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Theorem nmoleub2lem2 21465
Description: Lemma for nmoleub2a 21466 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoleub2.n  |-  N  =  ( S normOp T )
nmoleub2.v  |-  V  =  ( Base `  S
)
nmoleub2.l  |-  L  =  ( norm `  S
)
nmoleub2.m  |-  M  =  ( norm `  T
)
nmoleub2.g  |-  G  =  (Scalar `  S )
nmoleub2.w  |-  K  =  ( Base `  G
)
nmoleub2.s  |-  ( ph  ->  S  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
nmoleub2.t  |-  ( ph  ->  T  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
nmoleub2.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( S LMHom 
T ) )
nmoleub2.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
nmoleub2.r  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
nmoleub2a.5  |-  ( ph  ->  QQ  C_  K )
nmoleub2lem2.6  |-  ( ( ( L `  x
)  e.  RR  /\  R  e.  RR )  ->  ( ( L `  x ) O R  ->  ( L `  x )  <_  R
) )
nmoleub2lem2.7  |-  ( ( ( L `  x
)  e.  RR  /\  R  e.  RR )  ->  ( ( L `  x )  <  R  ->  ( L `  x
) O R ) )
Assertion
Ref Expression
nmoleub2lem2  |-  ( ph  ->  ( ( N `  F )  <_  A  <->  A. x  e.  V  ( ( L `  x
) O R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, F    x, L    x, N    x, M    ph, x    x, S    x, V    x, R
Allowed substitution hints:    T( x)    G( x)    K( x)    O( x)

Proof of Theorem nmoleub2lem2
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmoleub2.n . 2  |-  N  =  ( S normOp T )
2 nmoleub2.v . 2  |-  V  =  ( Base `  S
)
3 nmoleub2.l . 2  |-  L  =  ( norm `  S
)
4 nmoleub2.m . 2  |-  M  =  ( norm `  T
)
5 nmoleub2.g . 2  |-  G  =  (Scalar `  S )
6 nmoleub2.w . 2  |-  K  =  ( Base `  G
)
7 nmoleub2.s . 2  |-  ( ph  ->  S  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
8 nmoleub2.t . 2  |-  ( ph  ->  T  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
9 nmoleub2.f . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( S LMHom 
T ) )
10 nmoleub2.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
11 nmoleub2.r . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
12 lmghm 17546 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )
13 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
14 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  T )  =  ( 0g `  T
)
1513, 14ghmid 16144 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  ( F `  ( 0g `  S
) )  =  ( 0g `  T ) )
169, 12, 153syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  T ) )
1716fveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M `  ( F `  ( 0g `  S ) ) )  =  ( M `  ( 0g `  T ) ) )
18 inss1 3723 . . . . . . . . 9  |-  (NrmMod  i^i CMod ) 
C_ NrmMod
1918, 8sseldi 3507 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  e. NrmMod )
20 nlmngp 21052 . . . . . . . 8  |-  ( T  e. NrmMod  ->  T  e. NrmGrp )
214, 14nm0 21012 . . . . . . . 8  |-  ( T  e. NrmGrp  ->  ( M `  ( 0g `  T ) )  =  0 )
2219, 20, 213syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M `  ( 0g `  T ) )  =  0 )
2317, 22eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M `  ( F `  ( 0g `  S ) ) )  =  0 )
2423adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `  ( F `
 x ) )  /  R )  <_  A ) )  -> 
( M `  ( F `  ( 0g `  S ) ) )  =  0 )
2524oveq1d 6310 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `  ( F `
 x ) )  /  R )  <_  A ) )  -> 
( ( M `  ( F `  ( 0g
`  S ) ) )  /  R )  =  ( 0  /  R ) )
2611adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `  ( F `
 x ) )  /  R )  <_  A ) )  ->  R  e.  RR+ )
2726rpcnd 11270 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `  ( F `
 x ) )  /  R )  <_  A ) )  ->  R  e.  CC )
2826rpne0d 11273 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `  ( F `
 x ) )  /  R )  <_  A ) )  ->  R  =/=  0 )
2927, 28div0d 10331 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `  ( F `
 x ) )  /  R )  <_  A ) )  -> 
( 0  /  R
)  =  0 )
3025, 29eqtrd 2508 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `  ( F `
 x ) )  /  R )  <_  A ) )  -> 
( ( M `  ( F `  ( 0g
`  S ) ) )  /  R )  =  0 )
3118, 7sseldi 3507 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  e. NrmMod )
32 nlmngp 21052 . . . . . . 7  |-  ( S  e. NrmMod  ->  S  e. NrmGrp )
3331, 32syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e. NrmGrp )
34 ngpgrp 20985 . . . . . 6  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  S  e.  Grp )
352, 13grpidcl 15949 . . . . . 6  |-  ( S  e.  Grp  ->  ( 0g `  S )  e.  V )
3633, 34, 353syl 20 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0g `  S
)  e.  V )
3736adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `  ( F `
 x ) )  /  R )  <_  A ) )  -> 
( 0g `  S
)  e.  V )
382, 3nmcl 21001 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  x  e.  V )  ->  ( L `  x )  e.  RR )
3933, 38sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( L `  x )  e.  RR )
4011adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  R  e.  RR+ )
4140rpred 11268 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  R  e.  RR )
42 nmoleub2lem2.7 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( L `  x
)  e.  RR  /\  R  e.  RR )  ->  ( ( L `  x )  <  R  ->  ( L `  x
) O R ) )
4339, 41, 42syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
( L `  x
)  <  R  ->  ( L `  x ) O R ) )
4443imim1d 75 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
)  ->  ( ( L `  x )  <  R  ->  ( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) ) )
4544ralimdva 2875 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  V  ( ( L `
 x ) O R  ->  ( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
)  ->  A. x  e.  V  ( ( L `  x )  <  R  ->  ( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) ) )
4645imp 429 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `  ( F `
 x ) )  /  R )  <_  A ) )  ->  A. x  e.  V  ( ( L `  x )  <  R  ->  ( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )
473, 13nm0 21012 . . . . . . 7  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  ( L `  ( 0g `  S ) )  =  0 )
4831, 32, 473syl 20 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( L `  ( 0g `  S ) )  =  0 )
4948adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `  ( F `
 x ) )  /  R )  <_  A ) )  -> 
( L `  ( 0g `  S ) )  =  0 )
5026rpgt0d 11271 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `  ( F `
 x ) )  /  R )  <_  A ) )  -> 
0  <  R )
5149, 50eqbrtrd 4473 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `  ( F `
 x ) )  /  R )  <_  A ) )  -> 
( L `  ( 0g `  S ) )  <  R )
52 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( 0g `  S )  ->  ( L `  x )  =  ( L `  ( 0g `  S ) ) )
5352breq1d 4463 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( 0g `  S )  ->  (
( L `  x
)  <  R  <->  ( L `  ( 0g `  S
) )  <  R
) )
54 fveq2 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( 0g `  S )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( 0g `  S ) ) )
5554fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( 0g `  S )  ->  ( M `  ( F `  x ) )  =  ( M `  ( F `  ( 0g `  S ) ) ) )
5655oveq1d 6310 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( 0g `  S )  ->  (
( M `  ( F `  x )
)  /  R )  =  ( ( M `
 ( F `  ( 0g `  S ) ) )  /  R
) )
5756breq1d 4463 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( 0g `  S )  ->  (
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A  <->  ( ( M `  ( F `  ( 0g `  S
) ) )  /  R )  <_  A
) )
5853, 57imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( x  =  ( 0g `  S )  ->  (
( ( L `  x )  <  R  ->  ( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A )  <->  ( ( L `  ( 0g `  S ) )  < 
R  ->  ( ( M `  ( F `  ( 0g `  S
) ) )  /  R )  <_  A
) ) )
5958rspcv 3215 . . . 4  |-  ( ( 0g `  S )  e.  V  ->  ( A. x  e.  V  ( ( L `  x )  <  R  ->  ( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A )  -> 
( ( L `  ( 0g `  S ) )  <  R  -> 
( ( M `  ( F `  ( 0g
`  S ) ) )  /  R )  <_  A ) ) )
6037, 46, 51, 59syl3c 61 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `  ( F `
 x ) )  /  R )  <_  A ) )  -> 
( ( M `  ( F `  ( 0g
`  S ) ) )  /  R )  <_  A )
6130, 60eqbrtrrd 4475 . 2  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `  ( F `
 x ) )  /  R )  <_  A ) )  -> 
0  <_  A )
62 simp-4l 765 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  /\  (
y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S ) ) )  /\  -.  ( M `
 ( F `  y ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  y )
) )  ->  ph )
6362, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  /\  (
y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S ) ) )  /\  -.  ( M `
 ( F `  y ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  y )
) )  ->  S  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
6462, 8syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  /\  (
y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S ) ) )  /\  -.  ( M `
 ( F `  y ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  y )
) )  ->  T  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
6562, 9syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  /\  (
y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S ) ) )  /\  -.  ( M `
 ( F `  y ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  y )
) )  ->  F  e.  ( S LMHom  T ) )
6662, 10syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  /\  (
y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S ) ) )  /\  -.  ( M `
 ( F `  y ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  y )
) )  ->  A  e.  RR* )
6762, 11syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  /\  (
y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S ) ) )  /\  -.  ( M `
 ( F `  y ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  y )
) )  ->  R  e.  RR+ )
68 nmoleub2a.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  QQ  C_  K )
6962, 68syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  /\  (
y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S ) ) )  /\  -.  ( M `
 ( F `  y ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  y )
) )  ->  QQ  C_  K )
70 eqid 2467 . . . 4  |-  ( .s
`  S )  =  ( .s `  S
)
71 simpllr 758 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  /\  (
y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S ) ) )  /\  -.  ( M `
 ( F `  y ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  y )
) )  ->  A  e.  RR )
7261ad3antrrr 729 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  /\  (
y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S ) ) )  /\  -.  ( M `
 ( F `  y ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  y )
) )  ->  0  <_  A )
73 simplrl 759 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  /\  (
y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S ) ) )  /\  -.  ( M `
 ( F `  y ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  y )
) )  ->  y  e.  V )
74 simplrr 760 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  /\  (
y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S ) ) )  /\  -.  ( M `
 ( F `  y ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  y )
) )  ->  y  =/=  ( 0g `  S
) )
7546ad3antrrr 729 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  /\  (
y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S ) ) )  /\  -.  ( M `
 ( F `  y ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  y )
) )  ->  A. x  e.  V  ( ( L `  x )  <  R  ->  ( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )
76 fveq2 5872 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( z ( .s `  S ) y )  ->  ( L `  x )  =  ( L `  ( z ( .s
`  S ) y ) ) )
7776breq1d 4463 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( z ( .s `  S ) y )  ->  (
( L `  x
)  <  R  <->  ( L `  ( z ( .s
`  S ) y ) )  <  R
) )
78 fveq2 5872 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( z ( .s `  S ) y )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( z ( .s
`  S ) y ) ) )
7978fveq2d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( z ( .s `  S ) y )  ->  ( M `  ( F `  x ) )  =  ( M `  ( F `  ( z
( .s `  S
) y ) ) ) )
8079oveq1d 6310 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( z ( .s `  S ) y )  ->  (
( M `  ( F `  x )
)  /  R )  =  ( ( M `
 ( F `  ( z ( .s
`  S ) y ) ) )  /  R ) )
8180breq1d 4463 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( z ( .s `  S ) y )  ->  (
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A  <->  ( ( M `  ( F `  ( z ( .s
`  S ) y ) ) )  /  R )  <_  A
) )
8277, 81imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( z ( .s `  S ) y )  ->  (
( ( L `  x )  <  R  ->  ( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A )  <->  ( ( L `  ( z
( .s `  S
) y ) )  <  R  ->  (
( M `  ( F `  ( z
( .s `  S
) y ) ) )  /  R )  <_  A ) ) )
8382rspccv 3216 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  V  (
( L `  x
)  <  R  ->  ( ( M `  ( F `  x )
)  /  R )  <_  A )  -> 
( ( z ( .s `  S ) y )  e.  V  ->  ( ( L `  ( z ( .s
`  S ) y ) )  <  R  ->  ( ( M `  ( F `  ( z ( .s `  S
) y ) ) )  /  R )  <_  A ) ) )
8475, 83syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  /\  (
y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S ) ) )  /\  -.  ( M `
 ( F `  y ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  y )
) )  ->  (
( z ( .s
`  S ) y )  e.  V  -> 
( ( L `  ( z ( .s
`  S ) y ) )  <  R  ->  ( ( M `  ( F `  ( z ( .s `  S
) y ) ) )  /  R )  <_  A ) ) )
85 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  /\  (
y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S ) ) )  /\  -.  ( M `
 ( F `  y ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  y )
) )  ->  -.  ( M `  ( F `
 y ) )  <_  ( A  x.  ( L `  y ) ) )
861, 2, 3, 4, 5, 6, 63, 64, 65, 66, 67, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 84, 85nmoleub2lem3 21464 . . 3  |-  -.  (
( ( ( ph  /\ 
A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  /\  (
y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S ) ) )  /\  -.  ( M `
 ( F `  y ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  y )
) )
87 iman 424 . . 3  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  /\  (
y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  ( M `  ( F `  y ) )  <_  ( A  x.  ( L `  y
) ) )  <->  -.  (
( ( ( ph  /\ 
A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  /\  (
y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S ) ) )  /\  -.  ( M `
 ( F `  y ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  y )
) ) )
8886, 87mpbir 209 . 2  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
) O R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( M `  ( F `  y )
)  <_  ( A  x.  ( L `  y
) ) )
89 nmoleub2lem2.6 . . 3  |-  ( ( ( L `  x
)  e.  RR  /\  R  e.  RR )  ->  ( ( L `  x ) O R  ->  ( L `  x )  <_  R
) )
9039, 41, 89syl2anc 661 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
( L `  x
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( L `  x
)  <_  R )
)
911, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 61, 88, 90nmoleub2lem 21463 1  |-  ( ph  ->  ( ( N `  F )  <_  A  <->  A. x  e.  V  ( ( L `  x
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( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817    i^i cin 3480    C_ wss 3481   class class class wbr 4453   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   RRcr 9503   0cc0 9504    x. cmul 9509   RR*cxr 9639    < clt 9640    <_ cle 9641    / cdiv 10218   QQcq 11194   RR+crp 11232   Basecbs 14506  Scalarcsca 14574   .scvsca 14575   0gc0g 14711   Grpcgrp 15924    GrpHom cghm 16135   LMHom clmhm 17534   normcnm 20963  NrmGrpcngp 20964  NrmModcnlm 20967   normOpcnmo 21078  CModcclm 21428
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ico 11547  df-fz 11685  df-seq 12088  df-exp 12147  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-struct 14508  df-ndx 14509  df-slot 14510  df-base 14511  df-sets 14512  df-ress 14513  df-plusg 14584  df-mulr 14585  df-starv 14586  df-tset 14590  df-ple 14591  df-ds 14593  df-unif 14594  df-0g 14713  df-topgen 14715  df-mgm 15745  df-sgrp 15784  df-mnd 15794  df-grp 15928  df-subg 16069  df-ghm 16136  df-cmn 16671  df-mgp 17012  df-ring 17070  df-cring 17071  df-subrg 17296  df-lmod 17383  df-lmhm 17537  df-psmet 18279  df-xmet 18280  df-met 18281  df-bl 18282  df-mopn 18283  df-cnfld 18289  df-top 19266  df-bases 19268  df-topon 19269  df-topsp 19270  df-xms 20689  df-ms 20690  df-nm 20969  df-ngp 20970  df-nlm 20973  df-nmo 21081  df-nghm 21082  df-clm 21429
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