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Theorem nmoleub 20332
Description: The operator norm, defined as an infimum of upper bounds, can also be defined as a supremum of norms of  F ( x ) away from zero. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmofval.1  |-  N  =  ( S normOp T )
nmoi.2  |-  V  =  ( Base `  S
)
nmoi.3  |-  L  =  ( norm `  S
)
nmoi.4  |-  M  =  ( norm `  T
)
nmoleub.z  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
nmoleub.1  |-  ( ph  ->  S  e. NrmGrp )
nmoleub.2  |-  ( ph  ->  T  e. NrmGrp )
nmoleub.3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( S 
GrpHom  T ) )
nmoleub.4  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
nmoleub.5  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
Assertion
Ref Expression
nmoleub  |-  ( ph  ->  ( ( N `  F )  <_  A  <->  A. x  e.  V  ( x  =/=  .0.  ->  ( ( M `  ( F `  x )
)  /  ( L `
 x ) )  <_  A ) ) )
Distinct variable groups:    x, L    x, M    x, S    x, T    x, A    x, F    ph, x    x, V    x, N
Allowed substitution hint:    .0. ( x)

Proof of Theorem nmoleub
StepHypRef Expression
1 nmoleub.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  e. NrmGrp )
21ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  x  =/=  .0.  ) )  ->  T  e. NrmGrp )
3 nmoleub.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  e.  ( S 
GrpHom  T ) )
4 nmoi.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  V  =  ( Base `  S
)
5 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  T )  =  (
Base `  T )
64, 5ghmf 15772 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  F : V
--> ( Base `  T
) )
73, 6syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : V --> ( Base `  T ) )
87ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  x  =/=  .0.  ) )  ->  F : V --> ( Base `  T )
)
9 simprl 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  x  =/=  .0.  ) )  ->  x  e.  V
)
10 ffvelrn 5862 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : V --> ( Base `  T )  /\  x  e.  V )  ->  ( F `  x )  e.  ( Base `  T
) )
118, 9, 10syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  x  =/=  .0.  ) )  ->  ( F `  x )  e.  (
Base `  T )
)
12 nmoi.4 . . . . . . . . 9  |-  M  =  ( norm `  T
)
135, 12nmcl 20229 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e. NrmGrp  /\  ( F `  x )  e.  ( Base `  T
) )  ->  ( M `  ( F `  x ) )  e.  RR )
142, 11, 13syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  x  =/=  .0.  ) )  ->  ( M `  ( F `  x ) )  e.  RR )
15 nmoleub.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  e. NrmGrp )
1615adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( N `  F )  <_  A
)  ->  S  e. NrmGrp )
17 nmoi.3 . . . . . . . . . 10  |-  L  =  ( norm `  S
)
18 nmoleub.z . . . . . . . . . 10  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
194, 17, 18nmrpcl 20233 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  x  e.  V  /\  x  =/=  .0.  )  ->  ( L `  x )  e.  RR+ )
20193expb 1188 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  (
x  e.  V  /\  x  =/=  .0.  ) )  ->  ( L `  x )  e.  RR+ )
2116, 20sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  x  =/=  .0.  ) )  ->  ( L `  x )  e.  RR+ )
2214, 21rerpdivcld 11075 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  x  =/=  .0.  ) )  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  / 
( L `  x
) )  e.  RR )
2322rexrd 9454 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  x  =/=  .0.  ) )  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  / 
( L `  x
) )  e.  RR* )
24 nmofval.1 . . . . . . . 8  |-  N  =  ( S normOp T )
2524nmocl 20321 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( N `  F )  e.  RR* )
2615, 1, 3, 25syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  F
)  e.  RR* )
2726ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  x  =/=  .0.  ) )  ->  ( N `  F )  e.  RR* )
28 nmoleub.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
2928ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  x  =/=  .0.  ) )  ->  A  e.  RR* )
3015, 1, 33jca 1168 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) ) )
3130adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( N `  F )  <_  A
)  ->  ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) ) )
3224, 4, 17, 12, 18nmoi2 20331 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  ( x  e.  V  /\  x  =/= 
.0.  ) )  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  ( L `
 x ) )  <_  ( N `  F ) )
3331, 32sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  x  =/=  .0.  ) )  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  / 
( L `  x
) )  <_  ( N `  F )
)
34 simplr 754 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  x  =/=  .0.  ) )  ->  ( N `  F )  <_  A
)
3523, 27, 29, 33, 34xrletrd 11157 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  x  =/=  .0.  ) )  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  / 
( L `  x
) )  <_  A
)
3635expr 615 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  x  e.  V )  ->  (
x  =/=  .0.  ->  ( ( M `  ( F `  x )
)  /  ( L `
 x ) )  <_  A ) )
3736ralrimiva 2820 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( N `  F )  <_  A
)  ->  A. x  e.  V  ( x  =/=  .0.  ->  ( ( M `  ( F `  x ) )  / 
( L `  x
) )  <_  A
) )
38 0le0 10432 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <_  0
39 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V
)  /\  x  =  .0.  )  ->  A  e.  RR )
4039recnd 9433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V
)  /\  x  =  .0.  )  ->  A  e.  CC )
4140mul01d 9589 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V
)  /\  x  =  .0.  )  ->  ( A  x.  0 )  =  0 )
4238, 41syl5breqr 4349 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V
)  /\  x  =  .0.  )  ->  0  <_ 
( A  x.  0 ) )
43 fveq2 5712 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  .0.  ->  ( F `  x )  =  ( F `  .0.  ) )
443ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V )  ->  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )
45 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0g
`  T )  =  ( 0g `  T
)
4618, 45ghmid 15774 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  ( F `  .0.  )  =  ( 0g `  T ) )
4744, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V )  ->  ( F `  .0.  )  =  ( 0g `  T
) )
4843, 47sylan9eqr 2497 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V
)  /\  x  =  .0.  )  ->  ( F `
 x )  =  ( 0g `  T
) )
4948fveq2d 5716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V
)  /\  x  =  .0.  )  ->  ( M `
 ( F `  x ) )  =  ( M `  ( 0g `  T ) ) )
501ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V
)  /\  x  =  .0.  )  ->  T  e. NrmGrp
)
5112, 45nm0 20240 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e. NrmGrp  ->  ( M `  ( 0g `  T ) )  =  0 )
5250, 51syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V
)  /\  x  =  .0.  )  ->  ( M `
 ( 0g `  T ) )  =  0 )
5349, 52eqtrd 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V
)  /\  x  =  .0.  )  ->  ( M `
 ( F `  x ) )  =  0 )
54 fveq2 5712 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  .0.  ->  ( L `  x )  =  ( L `  .0.  ) )
5515ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V )  ->  S  e. NrmGrp )
5617, 18nm0 20240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  ( L `  .0.  )  =  0
)
5755, 56syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V )  ->  ( L `  .0.  )  =  0 )
5854, 57sylan9eqr 2497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V
)  /\  x  =  .0.  )  ->  ( L `
 x )  =  0 )
5958oveq2d 6128 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V
)  /\  x  =  .0.  )  ->  ( A  x.  ( L `  x ) )  =  ( A  x.  0 ) )
6042, 53, 593brtr4d 4343 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V
)  /\  x  =  .0.  )  ->  ( M `
 ( F `  x ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  x )
) )
6160a1d 25 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V
)  /\  x  =  .0.  )  ->  ( ( x  =/=  .0.  ->  ( ( M `  ( F `  x )
)  /  ( L `
 x ) )  <_  A )  -> 
( M `  ( F `  x )
)  <_  ( A  x.  ( L `  x
) ) ) )
62 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V
)  /\  x  =/=  .0.  )  ->  x  =/= 
.0.  )
631ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V )  ->  T  e. NrmGrp )
647adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  A  e.  RR )  ->  F : V
--> ( Base `  T
) )
6564, 10sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V )  ->  ( F `  x )  e.  ( Base `  T
) )
6663, 65, 13syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V )  ->  ( M `  ( F `  x ) )  e.  RR )
6766adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V
)  /\  x  =/=  .0.  )  ->  ( M `
 ( F `  x ) )  e.  RR )
68 simpllr 758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V
)  /\  x  =/=  .0.  )  ->  A  e.  RR )
6915adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  A  e.  RR )  ->  S  e. NrmGrp
)
70193expa 1187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  x  e.  V )  /\  x  =/=  .0.  )  ->  ( L `  x )  e.  RR+ )
7169, 70sylanl1 650 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V
)  /\  x  =/=  .0.  )  ->  ( L `
 x )  e.  RR+ )
7267, 68, 71ledivmul2d 11098 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V
)  /\  x  =/=  .0.  )  ->  ( ( ( M `  ( F `  x )
)  /  ( L `
 x ) )  <_  A  <->  ( M `  ( F `  x
) )  <_  ( A  x.  ( L `  x ) ) ) )
7372biimpd 207 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V
)  /\  x  =/=  .0.  )  ->  ( ( ( M `  ( F `  x )
)  /  ( L `
 x ) )  <_  A  ->  ( M `  ( F `  x ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  x )
) ) )
7462, 73embantd 54 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V
)  /\  x  =/=  .0.  )  ->  ( ( x  =/=  .0.  ->  ( ( M `  ( F `  x )
)  /  ( L `
 x ) )  <_  A )  -> 
( M `  ( F `  x )
)  <_  ( A  x.  ( L `  x
) ) ) )
7561, 74pm2.61dane 2713 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V )  ->  (
( x  =/=  .0.  ->  ( ( M `  ( F `  x ) )  /  ( L `
 x ) )  <_  A )  -> 
( M `  ( F `  x )
)  <_  ( A  x.  ( L `  x
) ) ) )
7675ralimdva 2815 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  V  (
x  =/=  .0.  ->  ( ( M `  ( F `  x )
)  /  ( L `
 x ) )  <_  A )  ->  A. x  e.  V  ( M `  ( F `
 x ) )  <_  ( A  x.  ( L `  x ) ) ) )
771adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  e.  RR )  ->  T  e. NrmGrp
)
783adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  e.  RR )  ->  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )
79 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
80 nmoleub.5 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
8180adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  e.  RR )  ->  0  <_  A )
8224, 4, 17, 12nmolb 20318 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  ( A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_  ( A  x.  ( L `  x
) )  ->  ( N `  F )  <_  A ) )
8369, 77, 78, 79, 81, 82syl311anc 1232 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  x )
)  ->  ( N `  F )  <_  A
) )
8476, 83syld 44 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  V  (
x  =/=  .0.  ->  ( ( M `  ( F `  x )
)  /  ( L `
 x ) )  <_  A )  -> 
( N `  F
)  <_  A )
)
8584imp 429 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  A. x  e.  V  (
x  =/=  .0.  ->  ( ( M `  ( F `  x )
)  /  ( L `
 x ) )  <_  A ) )  ->  ( N `  F )  <_  A
)
8685an32s 802 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  (
x  =/=  .0.  ->  ( ( M `  ( F `  x )
)  /  ( L `
 x ) )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  ->  ( N `  F )  <_  A
)
8726ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  (
x  =/=  .0.  ->  ( ( M `  ( F `  x )
)  /  ( L `
 x ) )  <_  A ) )  /\  A  = +oo )  ->  ( N `  F )  e.  RR* )
88 pnfge 11131 . . . . 5  |-  ( ( N `  F )  e.  RR*  ->  ( N `
 F )  <_ +oo )
8987, 88syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  (
x  =/=  .0.  ->  ( ( M `  ( F `  x )
)  /  ( L `
 x ) )  <_  A ) )  /\  A  = +oo )  ->  ( N `  F )  <_ +oo )
90 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  (
x  =/=  .0.  ->  ( ( M `  ( F `  x )
)  /  ( L `
 x ) )  <_  A ) )  /\  A  = +oo )  ->  A  = +oo )
9189, 90breqtrrd 4339 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  (
x  =/=  .0.  ->  ( ( M `  ( F `  x )
)  /  ( L `
 x ) )  <_  A ) )  /\  A  = +oo )  ->  ( N `  F )  <_  A
)
92 ge0nemnf 11166 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  ->  A  =/= -oo )
9328, 80, 92syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  =/= -oo )
9428, 93jca 532 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR*  /\  A  =/= -oo )
)
95 xrnemnf 11120 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  =/= -oo )  <->  ( A  e.  RR  \/  A  = +oo ) )
9694, 95sylib 196 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  \/  A  = +oo ) )
9796adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  V  ( x  =/=  .0.  ->  ( ( M `  ( F `  x ) )  / 
( L `  x
) )  <_  A
) )  ->  ( A  e.  RR  \/  A  = +oo )
)
9886, 91, 97mpjaodan 784 . 2  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  V  ( x  =/=  .0.  ->  ( ( M `  ( F `  x ) )  / 
( L `  x
) )  <_  A
) )  ->  ( N `  F )  <_  A )
9937, 98impbida 828 1  |-  ( ph  ->  ( ( N `  F )  <_  A  <->  A. x  e.  V  ( x  =/=  .0.  ->  ( ( M `  ( F `  x )
)  /  ( L `
 x ) )  <_  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2620   A.wral 2736   class class class wbr 4313   -->wf 5435   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   RRcr 9302   0cc0 9303    x. cmul 9308   +oocpnf 9436   -oocmnf 9437   RR*cxr 9438    <_ cle 9440    / cdiv 10014   RR+crp 11012   Basecbs 14195   0gc0g 14399    GrpHom cghm 15765   normcnm 20191  NrmGrpcngp 20192   normOpcnmo 20306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-er 7122  df-map 7237  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-sup 7712  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-q 10975  df-rp 11013  df-xneg 11110  df-xadd 11111  df-xmul 11112  df-ico 11327  df-0g 14401  df-topgen 14403  df-mnd 15436  df-grp 15566  df-ghm 15766  df-psmet 17831  df-xmet 17832  df-met 17833  df-bl 17834  df-mopn 17835  df-top 18525  df-bases 18527  df-topon 18528  df-topsp 18529  df-xms 19917  df-ms 19918  df-nm 20197  df-ngp 20198  df-nmo 20309  df-nghm 20310
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