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Theorem nmoleub 21364
Description: The operator norm, defined as an infimum of upper bounds, can also be defined as a supremum of norms of  F ( x ) away from zero. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmofval.1  |-  N  =  ( S normOp T )
nmoi.2  |-  V  =  ( Base `  S
)
nmoi.3  |-  L  =  ( norm `  S
)
nmoi.4  |-  M  =  ( norm `  T
)
nmoleub.z  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
nmoleub.1  |-  ( ph  ->  S  e. NrmGrp )
nmoleub.2  |-  ( ph  ->  T  e. NrmGrp )
nmoleub.3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( S 
GrpHom  T ) )
nmoleub.4  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
nmoleub.5  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
Assertion
Ref Expression
nmoleub  |-  ( ph  ->  ( ( N `  F )  <_  A  <->  A. x  e.  V  ( x  =/=  .0.  ->  ( ( M `  ( F `  x )
)  /  ( L `
 x ) )  <_  A ) ) )
Distinct variable groups:    x, L    x, M    x, S    x, T    x, A    x, F    ph, x    x, V    x, N
Allowed substitution hint:    .0. ( x)

Proof of Theorem nmoleub
StepHypRef Expression
1 nmoleub.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  e. NrmGrp )
21ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  x  =/=  .0.  ) )  ->  T  e. NrmGrp )
3 nmoleub.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  e.  ( S 
GrpHom  T ) )
4 nmoi.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  V  =  ( Base `  S
)
5 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  T )  =  (
Base `  T )
64, 5ghmf 16398 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  F : V
--> ( Base `  T
) )
73, 6syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : V --> ( Base `  T ) )
87ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  x  =/=  .0.  ) )  ->  F : V --> ( Base `  T )
)
9 simprl 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  x  =/=  .0.  ) )  ->  x  e.  V
)
10 ffvelrn 6030 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : V --> ( Base `  T )  /\  x  e.  V )  ->  ( F `  x )  e.  ( Base `  T
) )
118, 9, 10syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  x  =/=  .0.  ) )  ->  ( F `  x )  e.  (
Base `  T )
)
12 nmoi.4 . . . . . . . . 9  |-  M  =  ( norm `  T
)
135, 12nmcl 21261 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e. NrmGrp  /\  ( F `  x )  e.  ( Base `  T
) )  ->  ( M `  ( F `  x ) )  e.  RR )
142, 11, 13syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  x  =/=  .0.  ) )  ->  ( M `  ( F `  x ) )  e.  RR )
15 nmoleub.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  e. NrmGrp )
1615adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( N `  F )  <_  A
)  ->  S  e. NrmGrp )
17 nmoi.3 . . . . . . . . . 10  |-  L  =  ( norm `  S
)
18 nmoleub.z . . . . . . . . . 10  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
194, 17, 18nmrpcl 21265 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  x  e.  V  /\  x  =/=  .0.  )  ->  ( L `  x )  e.  RR+ )
20193expb 1197 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  (
x  e.  V  /\  x  =/=  .0.  ) )  ->  ( L `  x )  e.  RR+ )
2116, 20sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  x  =/=  .0.  ) )  ->  ( L `  x )  e.  RR+ )
2214, 21rerpdivcld 11308 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  x  =/=  .0.  ) )  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  / 
( L `  x
) )  e.  RR )
2322rexrd 9660 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  x  =/=  .0.  ) )  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  / 
( L `  x
) )  e.  RR* )
24 nmofval.1 . . . . . . . 8  |-  N  =  ( S normOp T )
2524nmocl 21353 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( N `  F )  e.  RR* )
2615, 1, 3, 25syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  F
)  e.  RR* )
2726ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  x  =/=  .0.  ) )  ->  ( N `  F )  e.  RR* )
28 nmoleub.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
2928ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  x  =/=  .0.  ) )  ->  A  e.  RR* )
3015, 1, 33jca 1176 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) ) )
3130adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( N `  F )  <_  A
)  ->  ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) ) )
3224, 4, 17, 12, 18nmoi2 21363 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  ( x  e.  V  /\  x  =/= 
.0.  ) )  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  ( L `
 x ) )  <_  ( N `  F ) )
3331, 32sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  x  =/=  .0.  ) )  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  / 
( L `  x
) )  <_  ( N `  F )
)
34 simplr 755 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  x  =/=  .0.  ) )  ->  ( N `  F )  <_  A
)
3523, 27, 29, 33, 34xrletrd 11390 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  x  =/=  .0.  ) )  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  / 
( L `  x
) )  <_  A
)
3635expr 615 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  x  e.  V )  ->  (
x  =/=  .0.  ->  ( ( M `  ( F `  x )
)  /  ( L `
 x ) )  <_  A ) )
3736ralrimiva 2871 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( N `  F )  <_  A
)  ->  A. x  e.  V  ( x  =/=  .0.  ->  ( ( M `  ( F `  x ) )  / 
( L `  x
) )  <_  A
) )
38 0le0 10646 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <_  0
39 simpllr 760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V
)  /\  x  =  .0.  )  ->  A  e.  RR )
4039recnd 9639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V
)  /\  x  =  .0.  )  ->  A  e.  CC )
4140mul01d 9796 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V
)  /\  x  =  .0.  )  ->  ( A  x.  0 )  =  0 )
4238, 41syl5breqr 4492 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V
)  /\  x  =  .0.  )  ->  0  <_ 
( A  x.  0 ) )
43 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  .0.  ->  ( F `  x )  =  ( F `  .0.  ) )
443ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V )  ->  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )
45 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0g
`  T )  =  ( 0g `  T
)
4618, 45ghmid 16400 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  ( F `  .0.  )  =  ( 0g `  T ) )
4744, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V )  ->  ( F `  .0.  )  =  ( 0g `  T
) )
4843, 47sylan9eqr 2520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V
)  /\  x  =  .0.  )  ->  ( F `
 x )  =  ( 0g `  T
) )
4948fveq2d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V
)  /\  x  =  .0.  )  ->  ( M `
 ( F `  x ) )  =  ( M `  ( 0g `  T ) ) )
501ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V
)  /\  x  =  .0.  )  ->  T  e. NrmGrp
)
5112, 45nm0 21272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e. NrmGrp  ->  ( M `  ( 0g `  T ) )  =  0 )
5250, 51syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V
)  /\  x  =  .0.  )  ->  ( M `
 ( 0g `  T ) )  =  0 )
5349, 52eqtrd 2498 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V
)  /\  x  =  .0.  )  ->  ( M `
 ( F `  x ) )  =  0 )
54 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  .0.  ->  ( L `  x )  =  ( L `  .0.  ) )
5515ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V )  ->  S  e. NrmGrp )
5617, 18nm0 21272 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  ( L `  .0.  )  =  0
)
5755, 56syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V )  ->  ( L `  .0.  )  =  0 )
5854, 57sylan9eqr 2520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V
)  /\  x  =  .0.  )  ->  ( L `
 x )  =  0 )
5958oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V
)  /\  x  =  .0.  )  ->  ( A  x.  ( L `  x ) )  =  ( A  x.  0 ) )
6042, 53, 593brtr4d 4486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V
)  /\  x  =  .0.  )  ->  ( M `
 ( F `  x ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  x )
) )
6160a1d 25 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V
)  /\  x  =  .0.  )  ->  ( ( x  =/=  .0.  ->  ( ( M `  ( F `  x )
)  /  ( L `
 x ) )  <_  A )  -> 
( M `  ( F `  x )
)  <_  ( A  x.  ( L `  x
) ) ) )
62 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V
)  /\  x  =/=  .0.  )  ->  x  =/= 
.0.  )
631ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V )  ->  T  e. NrmGrp )
647adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  A  e.  RR )  ->  F : V
--> ( Base `  T
) )
6564, 10sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V )  ->  ( F `  x )  e.  ( Base `  T
) )
6663, 65, 13syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V )  ->  ( M `  ( F `  x ) )  e.  RR )
6766adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V
)  /\  x  =/=  .0.  )  ->  ( M `
 ( F `  x ) )  e.  RR )
68 simpllr 760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V
)  /\  x  =/=  .0.  )  ->  A  e.  RR )
6915adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  A  e.  RR )  ->  S  e. NrmGrp
)
70193expa 1196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  x  e.  V )  /\  x  =/=  .0.  )  ->  ( L `  x )  e.  RR+ )
7169, 70sylanl1 650 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V
)  /\  x  =/=  .0.  )  ->  ( L `
 x )  e.  RR+ )
7267, 68, 71ledivmul2d 11331 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V
)  /\  x  =/=  .0.  )  ->  ( ( ( M `  ( F `  x )
)  /  ( L `
 x ) )  <_  A  <->  ( M `  ( F `  x
) )  <_  ( A  x.  ( L `  x ) ) ) )
7372biimpd 207 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V
)  /\  x  =/=  .0.  )  ->  ( ( ( M `  ( F `  x )
)  /  ( L `
 x ) )  <_  A  ->  ( M `  ( F `  x ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  x )
) ) )
7462, 73embantd 54 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V
)  /\  x  =/=  .0.  )  ->  ( ( x  =/=  .0.  ->  ( ( M `  ( F `  x )
)  /  ( L `
 x ) )  <_  A )  -> 
( M `  ( F `  x )
)  <_  ( A  x.  ( L `  x
) ) ) )
7561, 74pm2.61dane 2775 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V )  ->  (
( x  =/=  .0.  ->  ( ( M `  ( F `  x ) )  /  ( L `
 x ) )  <_  A )  -> 
( M `  ( F `  x )
)  <_  ( A  x.  ( L `  x
) ) ) )
7675ralimdva 2865 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  V  (
x  =/=  .0.  ->  ( ( M `  ( F `  x )
)  /  ( L `
 x ) )  <_  A )  ->  A. x  e.  V  ( M `  ( F `
 x ) )  <_  ( A  x.  ( L `  x ) ) ) )
771adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  e.  RR )  ->  T  e. NrmGrp
)
783adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  e.  RR )  ->  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )
79 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
80 nmoleub.5 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
8180adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  e.  RR )  ->  0  <_  A )
8224, 4, 17, 12nmolb 21350 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  ( A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_  ( A  x.  ( L `  x
) )  ->  ( N `  F )  <_  A ) )
8369, 77, 78, 79, 81, 82syl311anc 1242 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  x )
)  ->  ( N `  F )  <_  A
) )
8476, 83syld 44 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  V  (
x  =/=  .0.  ->  ( ( M `  ( F `  x )
)  /  ( L `
 x ) )  <_  A )  -> 
( N `  F
)  <_  A )
)
8584imp 429 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  A. x  e.  V  (
x  =/=  .0.  ->  ( ( M `  ( F `  x )
)  /  ( L `
 x ) )  <_  A ) )  ->  ( N `  F )  <_  A
)
8685an32s 804 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  (
x  =/=  .0.  ->  ( ( M `  ( F `  x )
)  /  ( L `
 x ) )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  ->  ( N `  F )  <_  A
)
8726ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  (
x  =/=  .0.  ->  ( ( M `  ( F `  x )
)  /  ( L `
 x ) )  <_  A ) )  /\  A  = +oo )  ->  ( N `  F )  e.  RR* )
88 pnfge 11364 . . . . 5  |-  ( ( N `  F )  e.  RR*  ->  ( N `
 F )  <_ +oo )
8987, 88syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  (
x  =/=  .0.  ->  ( ( M `  ( F `  x )
)  /  ( L `
 x ) )  <_  A ) )  /\  A  = +oo )  ->  ( N `  F )  <_ +oo )
90 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  (
x  =/=  .0.  ->  ( ( M `  ( F `  x )
)  /  ( L `
 x ) )  <_  A ) )  /\  A  = +oo )  ->  A  = +oo )
9189, 90breqtrrd 4482 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  (
x  =/=  .0.  ->  ( ( M `  ( F `  x )
)  /  ( L `
 x ) )  <_  A ) )  /\  A  = +oo )  ->  ( N `  F )  <_  A
)
92 ge0nemnf 11399 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  ->  A  =/= -oo )
9328, 80, 92syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  =/= -oo )
9428, 93jca 532 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR*  /\  A  =/= -oo )
)
95 xrnemnf 11353 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  =/= -oo )  <->  ( A  e.  RR  \/  A  = +oo ) )
9694, 95sylib 196 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  \/  A  = +oo ) )
9796adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  V  ( x  =/=  .0.  ->  ( ( M `  ( F `  x ) )  / 
( L `  x
) )  <_  A
) )  ->  ( A  e.  RR  \/  A  = +oo )
)
9886, 91, 97mpjaodan 786 . 2  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  V  ( x  =/=  .0.  ->  ( ( M `  ( F `  x ) )  / 
( L `  x
) )  <_  A
) )  ->  ( N `  F )  <_  A )
9937, 98impbida 832 1  |-  ( ph  ->  ( ( N `  F )  <_  A  <->  A. x  e.  V  ( x  =/=  .0.  ->  ( ( M `  ( F `  x )
)  /  ( L `
 x ) )  <_  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   class class class wbr 4456   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   RRcr 9508   0cc0 9509    x. cmul 9514   +oocpnf 9642   -oocmnf 9643   RR*cxr 9644    <_ cle 9646    / cdiv 10227   RR+crp 11245   Basecbs 14644   0gc0g 14857    GrpHom cghm 16391   normcnm 21223  NrmGrpcngp 21224   normOpcnmo 21338
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ico 11560  df-0g 14859  df-topgen 14861  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-grp 16184  df-ghm 16392  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-xms 20949  df-ms 20950  df-nm 21229  df-ngp 21230  df-nmo 21341  df-nghm 21342
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