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Theorem nmolb 21390
Description: Any upper bound on the values of a linear operator translates to an upper bound on the operator norm. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmofval.1  |-  N  =  ( S normOp T )
nmofval.2  |-  V  =  ( Base `  S
)
nmofval.3  |-  L  =  ( norm `  S
)
nmofval.4  |-  M  =  ( norm `  T
)
Assertion
Ref Expression
nmolb  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  ( A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_  ( A  x.  ( L `  x
) )  ->  ( N `  F )  <_  A ) )
Distinct variable groups:    x, L    x, M    x, S    x, T    x, A    x, F    x, V    x, N

Proof of Theorem nmolb
Dummy variable  r is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elrege0 11630 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
2 nmofval.1 . . . . . . . 8  |-  N  =  ( S normOp T )
3 nmofval.2 . . . . . . . 8  |-  V  =  ( Base `  S
)
4 nmofval.3 . . . . . . . 8  |-  L  =  ( norm `  S
)
5 nmofval.4 . . . . . . . 8  |-  M  =  ( norm `  T
)
62, 3, 4, 5nmoval 21388 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( N `  F )  =  sup ( { r  e.  ( 0 [,) +oo )  |  A. x  e.  V  ( M `  ( F `
 x ) )  <_  ( r  x.  ( L `  x
) ) } ,  RR* ,  `'  <  )
)
7 ssrab2 3571 . . . . . . . . 9  |-  { r  e.  ( 0 [,) +oo )  |  A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_ 
( r  x.  ( L `  x )
) }  C_  (
0 [,) +oo )
8 icossxr 11612 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR*
97, 8sstri 3498 . . . . . . . 8  |-  { r  e.  ( 0 [,) +oo )  |  A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_ 
( r  x.  ( L `  x )
) }  C_  RR*
10 infmxrcl 11511 . . . . . . . 8  |-  ( { r  e.  ( 0 [,) +oo )  | 
A. x  e.  V  ( M `  ( F `
 x ) )  <_  ( r  x.  ( L `  x
) ) }  C_  RR* 
->  sup ( { r  e.  ( 0 [,) +oo )  |  A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_ 
( r  x.  ( L `  x )
) } ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR* )
119, 10mp1i 12 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  sup ( { r  e.  ( 0 [,) +oo )  |  A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_ 
( r  x.  ( L `  x )
) } ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR* )
126, 11eqeltrd 2542 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( N `  F )  e.  RR* )
13 xrleid 11359 . . . . . 6  |-  ( ( N `  F )  e.  RR*  ->  ( N `
 F )  <_ 
( N `  F
) )
1412, 13syl 16 . . . . 5  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( N `  F )  <_  ( N `  F )
)
152, 3, 4, 5nmogelb 21389 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  ( N `  F )  e.  RR* )  ->  ( ( N `
 F )  <_ 
( N `  F
)  <->  A. r  e.  ( 0 [,) +oo )
( A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_  ( r  x.  ( L `  x
) )  ->  ( N `  F )  <_  r ) ) )
1612, 15mpdan 666 . . . . 5  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( ( N `
 F )  <_ 
( N `  F
)  <->  A. r  e.  ( 0 [,) +oo )
( A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_  ( r  x.  ( L `  x
) )  ->  ( N `  F )  <_  r ) ) )
1714, 16mpbid 210 . . . 4  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  A. r  e.  ( 0 [,) +oo )
( A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_  ( r  x.  ( L `  x
) )  ->  ( N `  F )  <_  r ) )
18 oveq1 6277 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  A  ->  (
r  x.  ( L `
 x ) )  =  ( A  x.  ( L `  x ) ) )
1918breq2d 4451 . . . . . . 7  |-  ( r  =  A  ->  (
( M `  ( F `  x )
)  <_  ( r  x.  ( L `  x
) )  <->  ( M `  ( F `  x
) )  <_  ( A  x.  ( L `  x ) ) ) )
2019ralbidv 2893 . . . . . 6  |-  ( r  =  A  ->  ( A. x  e.  V  ( M `  ( F `
 x ) )  <_  ( r  x.  ( L `  x
) )  <->  A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x
) )  <_  ( A  x.  ( L `  x ) ) ) )
21 breq2 4443 . . . . . 6  |-  ( r  =  A  ->  (
( N `  F
)  <_  r  <->  ( N `  F )  <_  A
) )
2220, 21imbi12d 318 . . . . 5  |-  ( r  =  A  ->  (
( A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_  ( r  x.  ( L `  x
) )  ->  ( N `  F )  <_  r )  <->  ( A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  x )
)  ->  ( N `  F )  <_  A
) ) )
2322rspccv 3204 . . . 4  |-  ( A. r  e.  ( 0 [,) +oo ) ( A. x  e.  V  ( M `  ( F `
 x ) )  <_  ( r  x.  ( L `  x
) )  ->  ( N `  F )  <_  r )  ->  ( A  e.  ( 0 [,) +oo )  -> 
( A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_  ( A  x.  ( L `  x
) )  ->  ( N `  F )  <_  A ) ) )
2417, 23syl 16 . . 3  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( A  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  ( A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x
) )  <_  ( A  x.  ( L `  x ) )  -> 
( N `  F
)  <_  A )
) )
251, 24syl5bir 218 . 2  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  ( A. x  e.  V  ( M `  ( F `
 x ) )  <_  ( A  x.  ( L `  x ) )  ->  ( N `  F )  <_  A
) ) )
26253impib 1192 1  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  ( A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_  ( A  x.  ( L `  x
) )  ->  ( N `  F )  <_  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   {crab 2808    C_ wss 3461   class class class wbr 4439   `'ccnv 4987   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   supcsup 7892   RRcr 9480   0cc0 9481    x. cmul 9486   +oocpnf 9614   RR*cxr 9616    < clt 9617    <_ cle 9618   [,)cico 11534   Basecbs 14716    GrpHom cghm 16463   normcnm 21263  NrmGrpcngp 21264   normOpcnmo 21378
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-ico 11538  df-nmo 21381
This theorem is referenced by:  nmolb2d  21391  nmoleub  21404
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