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Theorem nmolb 20318
Description: Any upper bound on the values of a linear operator translates to an upper bound on the operator norm. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmofval.1  |-  N  =  ( S normOp T )
nmofval.2  |-  V  =  ( Base `  S
)
nmofval.3  |-  L  =  ( norm `  S
)
nmofval.4  |-  M  =  ( norm `  T
)
Assertion
Ref Expression
nmolb  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  ( A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_  ( A  x.  ( L `  x
) )  ->  ( N `  F )  <_  A ) )
Distinct variable groups:    x, L    x, M    x, S    x, T    x, A    x, F    x, V    x, N

Proof of Theorem nmolb
Dummy variable  r is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elrege0 11413 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
2 nmofval.1 . . . . . . . 8  |-  N  =  ( S normOp T )
3 nmofval.2 . . . . . . . 8  |-  V  =  ( Base `  S
)
4 nmofval.3 . . . . . . . 8  |-  L  =  ( norm `  S
)
5 nmofval.4 . . . . . . . 8  |-  M  =  ( norm `  T
)
62, 3, 4, 5nmoval 20316 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( N `  F )  =  sup ( { r  e.  ( 0 [,) +oo )  |  A. x  e.  V  ( M `  ( F `
 x ) )  <_  ( r  x.  ( L `  x
) ) } ,  RR* ,  `'  <  )
)
7 ssrab2 3458 . . . . . . . . 9  |-  { r  e.  ( 0 [,) +oo )  |  A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_ 
( r  x.  ( L `  x )
) }  C_  (
0 [,) +oo )
8 icossxr 11401 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR*
97, 8sstri 3386 . . . . . . . 8  |-  { r  e.  ( 0 [,) +oo )  |  A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_ 
( r  x.  ( L `  x )
) }  C_  RR*
10 infmxrcl 11300 . . . . . . . 8  |-  ( { r  e.  ( 0 [,) +oo )  | 
A. x  e.  V  ( M `  ( F `
 x ) )  <_  ( r  x.  ( L `  x
) ) }  C_  RR* 
->  sup ( { r  e.  ( 0 [,) +oo )  |  A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_ 
( r  x.  ( L `  x )
) } ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR* )
119, 10mp1i 12 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  sup ( { r  e.  ( 0 [,) +oo )  |  A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_ 
( r  x.  ( L `  x )
) } ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR* )
126, 11eqeltrd 2517 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( N `  F )  e.  RR* )
13 xrleid 11148 . . . . . 6  |-  ( ( N `  F )  e.  RR*  ->  ( N `
 F )  <_ 
( N `  F
) )
1412, 13syl 16 . . . . 5  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( N `  F )  <_  ( N `  F )
)
152, 3, 4, 5nmogelb 20317 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  ( N `  F )  e.  RR* )  ->  ( ( N `
 F )  <_ 
( N `  F
)  <->  A. r  e.  ( 0 [,) +oo )
( A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_  ( r  x.  ( L `  x
) )  ->  ( N `  F )  <_  r ) ) )
1612, 15mpdan 668 . . . . 5  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( ( N `
 F )  <_ 
( N `  F
)  <->  A. r  e.  ( 0 [,) +oo )
( A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_  ( r  x.  ( L `  x
) )  ->  ( N `  F )  <_  r ) ) )
1714, 16mpbid 210 . . . 4  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  A. r  e.  ( 0 [,) +oo )
( A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_  ( r  x.  ( L `  x
) )  ->  ( N `  F )  <_  r ) )
18 oveq1 6119 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  A  ->  (
r  x.  ( L `
 x ) )  =  ( A  x.  ( L `  x ) ) )
1918breq2d 4325 . . . . . . 7  |-  ( r  =  A  ->  (
( M `  ( F `  x )
)  <_  ( r  x.  ( L `  x
) )  <->  ( M `  ( F `  x
) )  <_  ( A  x.  ( L `  x ) ) ) )
2019ralbidv 2756 . . . . . 6  |-  ( r  =  A  ->  ( A. x  e.  V  ( M `  ( F `
 x ) )  <_  ( r  x.  ( L `  x
) )  <->  A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x
) )  <_  ( A  x.  ( L `  x ) ) ) )
21 breq2 4317 . . . . . 6  |-  ( r  =  A  ->  (
( N `  F
)  <_  r  <->  ( N `  F )  <_  A
) )
2220, 21imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( r  =  A  ->  (
( A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_  ( r  x.  ( L `  x
) )  ->  ( N `  F )  <_  r )  <->  ( A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  x )
)  ->  ( N `  F )  <_  A
) ) )
2322rspccv 3091 . . . 4  |-  ( A. r  e.  ( 0 [,) +oo ) ( A. x  e.  V  ( M `  ( F `
 x ) )  <_  ( r  x.  ( L `  x
) )  ->  ( N `  F )  <_  r )  ->  ( A  e.  ( 0 [,) +oo )  -> 
( A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_  ( A  x.  ( L `  x
) )  ->  ( N `  F )  <_  A ) ) )
2417, 23syl 16 . . 3  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( A  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  ( A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x
) )  <_  ( A  x.  ( L `  x ) )  -> 
( N `  F
)  <_  A )
) )
251, 24syl5bir 218 . 2  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  ( A. x  e.  V  ( M `  ( F `
 x ) )  <_  ( A  x.  ( L `  x ) )  ->  ( N `  F )  <_  A
) ) )
26253impib 1185 1  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  ( A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_  ( A  x.  ( L `  x
) )  ->  ( N `  F )  <_  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2736   {crab 2740    C_ wss 3349   class class class wbr 4313   `'ccnv 4860   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   supcsup 7711   RRcr 9302   0cc0 9303    x. cmul 9308   +oocpnf 9436   RR*cxr 9438    < clt 9439    <_ cle 9440   [,)cico 11323   Basecbs 14195    GrpHom cghm 15765   normcnm 20191  NrmGrpcngp 20192   normOpcnmo 20306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-sup 7712  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-ico 11327  df-nmo 20309
This theorem is referenced by:  nmolb2d  20319  nmoleub  20332
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