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Theorem nmoix 21104
Description: The operator norm is a bound on the size of an operator, even when it is infinite (using extended real multiplication). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmofval.1  |-  N  =  ( S normOp T )
nmoi.2  |-  V  =  ( Base `  S
)
nmoi.3  |-  L  =  ( norm `  S
)
nmoi.4  |-  M  =  ( norm `  T
)
Assertion
Ref Expression
nmoix  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  ( M `  ( F `  X
) )  <_  (
( N `  F
) xe ( L `  X ) ) )

Proof of Theorem nmoix
StepHypRef Expression
1 nmofval.1 . . . . . . 7  |-  N  =  ( S normOp T )
21isnghm2 21099 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( F  e.  ( S NGHom  T )  <-> 
( N `  F
)  e.  RR ) )
32biimpar 485 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  ( N `  F )  e.  RR )  ->  F  e.  ( S NGHom  T ) )
4 nmoi.2 . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  S
)
5 nmoi.3 . . . . . 6  |-  L  =  ( norm `  S
)
6 nmoi.4 . . . . . 6  |-  M  =  ( norm `  T
)
71, 4, 5, 6nmoi 21103 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  <_ 
( ( N `  F )  x.  ( L `  X )
) )
83, 7sylan 471 . . . 4  |-  ( ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  ( N `
 F )  e.  RR )  /\  X  e.  V )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  <_ 
( ( N `  F )  x.  ( L `  X )
) )
98an32s 802 . . 3  |-  ( ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V )  /\  ( N `  F )  e.  RR )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  <_ 
( ( N `  F )  x.  ( L `  X )
) )
10 id 22 . . . 4  |-  ( ( N `  F )  e.  RR  ->  ( N `  F )  e.  RR )
114, 5nmcl 21003 . . . . 5  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  X  e.  V )  ->  ( L `  X )  e.  RR )
12113ad2antl1 1158 . . . 4  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  ( L `  X )  e.  RR )
13 rexmul 11475 . . . 4  |-  ( ( ( N `  F
)  e.  RR  /\  ( L `  X )  e.  RR )  -> 
( ( N `  F ) xe ( L `  X
) )  =  ( ( N `  F
)  x.  ( L `
 X ) ) )
1410, 12, 13syl2anr 478 . . 3  |-  ( ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V )  /\  ( N `  F )  e.  RR )  ->  (
( N `  F
) xe ( L `  X ) )  =  ( ( N `  F )  x.  ( L `  X ) ) )
159, 14breqtrrd 4479 . 2  |-  ( ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V )  /\  ( N `  F )  e.  RR )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  <_ 
( ( N `  F ) xe ( L `  X
) ) )
16 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( X  =  ( 0g `  S )  ->  ( F `  X )  =  ( F `  ( 0g `  S ) ) )
1716fveq2d 5876 . . . . . 6  |-  ( X  =  ( 0g `  S )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  =  ( M `  ( F `  ( 0g `  S ) ) ) )
18 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( X  =  ( 0g `  S )  ->  ( L `  X )  =  ( L `  ( 0g `  S ) ) )
1918oveq2d 6311 . . . . . 6  |-  ( X  =  ( 0g `  S )  ->  ( +oo xe ( L `
 X ) )  =  ( +oo xe ( L `  ( 0g `  S ) ) ) )
2017, 19breq12d 4466 . . . . 5  |-  ( X  =  ( 0g `  S )  ->  (
( M `  ( F `  X )
)  <_  ( +oo xe ( L `
 X ) )  <-> 
( M `  ( F `  ( 0g `  S ) ) )  <_  ( +oo xe ( L `  ( 0g `  S ) ) ) ) )
21 simpl2 1000 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  T  e. NrmGrp )
22 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  T )  =  (
Base `  T )
234, 22ghmf 16143 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  F : V
--> ( Base `  T
) )
2423ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( S 
GrpHom  T )  /\  X  e.  V )  ->  ( F `  X )  e.  ( Base `  T
) )
25243ad2antl3 1160 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  ( F `  X )  e.  (
Base `  T )
)
2622, 6nmcl 21003 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e. NrmGrp  /\  ( F `  X )  e.  ( Base `  T
) )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  e.  RR )
2721, 25, 26syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  ( M `  ( F `  X
) )  e.  RR )
2827adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S
) )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  e.  RR )
2928rexrd 9655 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S
) )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  e. 
RR* )
30 pnfge 11351 . . . . . . 7  |-  ( ( M `  ( F `
 X ) )  e.  RR*  ->  ( M `
 ( F `  X ) )  <_ +oo )
3129, 30syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S
) )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  <_ +oo )
32 simp1 996 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  S  e. NrmGrp )
33 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
344, 5, 33nmrpcl 21007 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  X  e.  V  /\  X  =/=  ( 0g `  S
) )  ->  ( L `  X )  e.  RR+ )
35343expa 1196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S
) )  ->  ( L `  X )  e.  RR+ )
3632, 35sylanl1 650 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S
) )  ->  ( L `  X )  e.  RR+ )
37 rpxr 11239 . . . . . . . 8  |-  ( ( L `  X )  e.  RR+  ->  ( L `
 X )  e. 
RR* )
38 rpgt0 11243 . . . . . . . 8  |-  ( ( L `  X )  e.  RR+  ->  0  < 
( L `  X
) )
39 xmulpnf2 11479 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( L `  X
)  e.  RR*  /\  0  <  ( L `  X
) )  ->  ( +oo xe ( L `
 X ) )  = +oo )
4037, 38, 39syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( L `  X )  e.  RR+  ->  ( +oo xe ( L `
 X ) )  = +oo )
4136, 40syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S
) )  ->  ( +oo xe ( L `
 X ) )  = +oo )
4231, 41breqtrrd 4479 . . . . 5  |-  ( ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S
) )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  <_ 
( +oo xe ( L `  X ) ) )
43 0le0 10637 . . . . . 6  |-  0  <_  0
44 simpl3 1001 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )
45 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0g
`  T )  =  ( 0g `  T
)
4633, 45ghmid 16145 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  ( F `  ( 0g `  S
) )  =  ( 0g `  T ) )
4744, 46syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  ( F `  ( 0g `  S
) )  =  ( 0g `  T ) )
4847fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  ( M `  ( F `  ( 0g `  S ) ) )  =  ( M `
 ( 0g `  T ) ) )
496, 45nm0 21014 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e. NrmGrp  ->  ( M `  ( 0g `  T ) )  =  0 )
5021, 49syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  ( M `  ( 0g `  T
) )  =  0 )
5148, 50eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  ( M `  ( F `  ( 0g `  S ) ) )  =  0 )
52 simpl1 999 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  S  e. NrmGrp )
535, 33nm0 21014 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  ( L `  ( 0g `  S ) )  =  0 )
5452, 53syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  ( L `  ( 0g `  S
) )  =  0 )
5554oveq2d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  ( +oo xe ( L `
 ( 0g `  S ) ) )  =  ( +oo xe 0 ) )
56 pnfxr 11333 . . . . . . . . 9  |- +oo  e.  RR*
57 xmul01 11471 . . . . . . . . 9  |-  ( +oo  e.  RR*  ->  ( +oo xe 0 )  =  0 )
5856, 57ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( +oo xe 0 )  =  0
5955, 58syl6eq 2524 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  ( +oo xe ( L `
 ( 0g `  S ) ) )  =  0 )
6051, 59breq12d 4466 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  ( ( M `  ( F `  ( 0g `  S
) ) )  <_ 
( +oo xe ( L `  ( 0g
`  S ) ) )  <->  0  <_  0
) )
6143, 60mpbiri 233 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  ( M `  ( F `  ( 0g `  S ) ) )  <_  ( +oo xe ( L `
 ( 0g `  S ) ) ) )
6220, 42, 61pm2.61ne 2782 . . . 4  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  ( M `  ( F `  X
) )  <_  ( +oo xe ( L `
 X ) ) )
6362adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V )  /\  ( N `  F )  = +oo )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  <_ 
( +oo xe ( L `  X ) ) )
64 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V )  /\  ( N `  F )  = +oo )  ->  ( N `  F )  = +oo )
6564oveq1d 6310 . . 3  |-  ( ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V )  /\  ( N `  F )  = +oo )  ->  (
( N `  F
) xe ( L `  X ) )  =  ( +oo xe ( L `
 X ) ) )
6663, 65breqtrrd 4479 . 2  |-  ( ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V )  /\  ( N `  F )  = +oo )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  <_ 
( ( N `  F ) xe ( L `  X
) ) )
671nmocl 21095 . . . . 5  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( N `  F )  e.  RR* )
681nmoge0 21096 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  0  <_  ( N `  F )
)
69 ge0nemnf 11386 . . . . . 6  |-  ( ( ( N `  F
)  e.  RR*  /\  0  <_  ( N `  F
) )  ->  ( N `  F )  =/= -oo )
7067, 68, 69syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( N `  F )  =/= -oo )
7167, 70jca 532 . . . 4  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( ( N `
 F )  e. 
RR*  /\  ( N `  F )  =/= -oo ) )
72 xrnemnf 11340 . . . 4  |-  ( ( ( N `  F
)  e.  RR*  /\  ( N `  F )  =/= -oo )  <->  ( ( N `  F )  e.  RR  \/  ( N `
 F )  = +oo ) )
7371, 72sylib 196 . . 3  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( ( N `
 F )  e.  RR  \/  ( N `
 F )  = +oo ) )
7473adantr 465 . 2  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  ( ( N `  F )  e.  RR  \/  ( N `
 F )  = +oo ) )
7515, 66, 74mpjaodan 784 1  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  ( M `  ( F `  X
) )  <_  (
( N `  F
) xe ( L `  X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   class class class wbr 4453   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   RRcr 9503   0cc0 9504    x. cmul 9509   +oocpnf 9637   -oocmnf 9638   RR*cxr 9639    < clt 9640    <_ cle 9641   RR+crp 11232   xecxmu 11329   Basecbs 14507   0gc0g 14712    GrpHom cghm 16136   normcnm 20965  NrmGrpcngp 20966   normOpcnmo 21080   NGHom cnghm 21081
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ico 11547  df-0g 14714  df-topgen 14716  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15929  df-ghm 16137  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-xms 20691  df-ms 20692  df-nm 20971  df-ngp 20972  df-nmo 21083  df-nghm 21084
This theorem is referenced by:  nmoi2  21105  nmoleub2lem  21465
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