MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmoix Structured version   Unicode version

Theorem nmoix 21362
Description: The operator norm is a bound on the size of an operator, even when it is infinite (using extended real multiplication). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmofval.1  |-  N  =  ( S normOp T )
nmoi.2  |-  V  =  ( Base `  S
)
nmoi.3  |-  L  =  ( norm `  S
)
nmoi.4  |-  M  =  ( norm `  T
)
Assertion
Ref Expression
nmoix  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  ( M `  ( F `  X
) )  <_  (
( N `  F
) xe ( L `  X ) ) )

Proof of Theorem nmoix
StepHypRef Expression
1 nmofval.1 . . . . . . 7  |-  N  =  ( S normOp T )
21isnghm2 21357 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( F  e.  ( S NGHom  T )  <-> 
( N `  F
)  e.  RR ) )
32biimpar 485 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  ( N `  F )  e.  RR )  ->  F  e.  ( S NGHom  T ) )
4 nmoi.2 . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  S
)
5 nmoi.3 . . . . . 6  |-  L  =  ( norm `  S
)
6 nmoi.4 . . . . . 6  |-  M  =  ( norm `  T
)
71, 4, 5, 6nmoi 21361 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  <_ 
( ( N `  F )  x.  ( L `  X )
) )
83, 7sylan 471 . . . 4  |-  ( ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  ( N `
 F )  e.  RR )  /\  X  e.  V )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  <_ 
( ( N `  F )  x.  ( L `  X )
) )
98an32s 804 . . 3  |-  ( ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V )  /\  ( N `  F )  e.  RR )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  <_ 
( ( N `  F )  x.  ( L `  X )
) )
10 id 22 . . . 4  |-  ( ( N `  F )  e.  RR  ->  ( N `  F )  e.  RR )
114, 5nmcl 21261 . . . . 5  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  X  e.  V )  ->  ( L `  X )  e.  RR )
12113ad2antl1 1158 . . . 4  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  ( L `  X )  e.  RR )
13 rexmul 11488 . . . 4  |-  ( ( ( N `  F
)  e.  RR  /\  ( L `  X )  e.  RR )  -> 
( ( N `  F ) xe ( L `  X
) )  =  ( ( N `  F
)  x.  ( L `
 X ) ) )
1410, 12, 13syl2anr 478 . . 3  |-  ( ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V )  /\  ( N `  F )  e.  RR )  ->  (
( N `  F
) xe ( L `  X ) )  =  ( ( N `  F )  x.  ( L `  X ) ) )
159, 14breqtrrd 4482 . 2  |-  ( ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V )  /\  ( N `  F )  e.  RR )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  <_ 
( ( N `  F ) xe ( L `  X
) ) )
16 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( X  =  ( 0g `  S )  ->  ( F `  X )  =  ( F `  ( 0g `  S ) ) )
1716fveq2d 5876 . . . . . 6  |-  ( X  =  ( 0g `  S )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  =  ( M `  ( F `  ( 0g `  S ) ) ) )
18 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( X  =  ( 0g `  S )  ->  ( L `  X )  =  ( L `  ( 0g `  S ) ) )
1918oveq2d 6312 . . . . . 6  |-  ( X  =  ( 0g `  S )  ->  ( +oo xe ( L `
 X ) )  =  ( +oo xe ( L `  ( 0g `  S ) ) ) )
2017, 19breq12d 4469 . . . . 5  |-  ( X  =  ( 0g `  S )  ->  (
( M `  ( F `  X )
)  <_  ( +oo xe ( L `
 X ) )  <-> 
( M `  ( F `  ( 0g `  S ) ) )  <_  ( +oo xe ( L `  ( 0g `  S ) ) ) ) )
21 simpl2 1000 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  T  e. NrmGrp )
22 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  T )  =  (
Base `  T )
234, 22ghmf 16398 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  F : V
--> ( Base `  T
) )
2423ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( S 
GrpHom  T )  /\  X  e.  V )  ->  ( F `  X )  e.  ( Base `  T
) )
25243ad2antl3 1160 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  ( F `  X )  e.  (
Base `  T )
)
2622, 6nmcl 21261 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e. NrmGrp  /\  ( F `  X )  e.  ( Base `  T
) )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  e.  RR )
2721, 25, 26syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  ( M `  ( F `  X
) )  e.  RR )
2827adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S
) )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  e.  RR )
2928rexrd 9660 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S
) )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  e. 
RR* )
30 pnfge 11364 . . . . . . 7  |-  ( ( M `  ( F `
 X ) )  e.  RR*  ->  ( M `
 ( F `  X ) )  <_ +oo )
3129, 30syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S
) )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  <_ +oo )
32 simp1 996 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  S  e. NrmGrp )
33 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
344, 5, 33nmrpcl 21265 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  X  e.  V  /\  X  =/=  ( 0g `  S
) )  ->  ( L `  X )  e.  RR+ )
35343expa 1196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S
) )  ->  ( L `  X )  e.  RR+ )
3632, 35sylanl1 650 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S
) )  ->  ( L `  X )  e.  RR+ )
37 rpxr 11252 . . . . . . . 8  |-  ( ( L `  X )  e.  RR+  ->  ( L `
 X )  e. 
RR* )
38 rpgt0 11256 . . . . . . . 8  |-  ( ( L `  X )  e.  RR+  ->  0  < 
( L `  X
) )
39 xmulpnf2 11492 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( L `  X
)  e.  RR*  /\  0  <  ( L `  X
) )  ->  ( +oo xe ( L `
 X ) )  = +oo )
4037, 38, 39syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( L `  X )  e.  RR+  ->  ( +oo xe ( L `
 X ) )  = +oo )
4136, 40syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S
) )  ->  ( +oo xe ( L `
 X ) )  = +oo )
4231, 41breqtrrd 4482 . . . . 5  |-  ( ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S
) )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  <_ 
( +oo xe ( L `  X ) ) )
43 0le0 10646 . . . . . 6  |-  0  <_  0
44 simpl3 1001 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )
45 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0g
`  T )  =  ( 0g `  T
)
4633, 45ghmid 16400 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  ( F `  ( 0g `  S
) )  =  ( 0g `  T ) )
4744, 46syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  ( F `  ( 0g `  S
) )  =  ( 0g `  T ) )
4847fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  ( M `  ( F `  ( 0g `  S ) ) )  =  ( M `
 ( 0g `  T ) ) )
496, 45nm0 21272 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e. NrmGrp  ->  ( M `  ( 0g `  T ) )  =  0 )
5021, 49syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  ( M `  ( 0g `  T
) )  =  0 )
5148, 50eqtrd 2498 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  ( M `  ( F `  ( 0g `  S ) ) )  =  0 )
52 simpl1 999 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  S  e. NrmGrp )
535, 33nm0 21272 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  ( L `  ( 0g `  S ) )  =  0 )
5452, 53syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  ( L `  ( 0g `  S
) )  =  0 )
5554oveq2d 6312 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  ( +oo xe ( L `
 ( 0g `  S ) ) )  =  ( +oo xe 0 ) )
56 pnfxr 11346 . . . . . . . . 9  |- +oo  e.  RR*
57 xmul01 11484 . . . . . . . . 9  |-  ( +oo  e.  RR*  ->  ( +oo xe 0 )  =  0 )
5856, 57ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( +oo xe 0 )  =  0
5955, 58syl6eq 2514 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  ( +oo xe ( L `
 ( 0g `  S ) ) )  =  0 )
6051, 59breq12d 4469 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  ( ( M `  ( F `  ( 0g `  S
) ) )  <_ 
( +oo xe ( L `  ( 0g
`  S ) ) )  <->  0  <_  0
) )
6143, 60mpbiri 233 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  ( M `  ( F `  ( 0g `  S ) ) )  <_  ( +oo xe ( L `
 ( 0g `  S ) ) ) )
6220, 42, 61pm2.61ne 2772 . . . 4  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  ( M `  ( F `  X
) )  <_  ( +oo xe ( L `
 X ) ) )
6362adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V )  /\  ( N `  F )  = +oo )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  <_ 
( +oo xe ( L `  X ) ) )
64 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V )  /\  ( N `  F )  = +oo )  ->  ( N `  F )  = +oo )
6564oveq1d 6311 . . 3  |-  ( ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V )  /\  ( N `  F )  = +oo )  ->  (
( N `  F
) xe ( L `  X ) )  =  ( +oo xe ( L `
 X ) ) )
6663, 65breqtrrd 4482 . 2  |-  ( ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V )  /\  ( N `  F )  = +oo )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  <_ 
( ( N `  F ) xe ( L `  X
) ) )
671nmocl 21353 . . . . 5  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( N `  F )  e.  RR* )
681nmoge0 21354 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  0  <_  ( N `  F )
)
69 ge0nemnf 11399 . . . . . 6  |-  ( ( ( N `  F
)  e.  RR*  /\  0  <_  ( N `  F
) )  ->  ( N `  F )  =/= -oo )
7067, 68, 69syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( N `  F )  =/= -oo )
7167, 70jca 532 . . . 4  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( ( N `
 F )  e. 
RR*  /\  ( N `  F )  =/= -oo ) )
72 xrnemnf 11353 . . . 4  |-  ( ( ( N `  F
)  e.  RR*  /\  ( N `  F )  =/= -oo )  <->  ( ( N `  F )  e.  RR  \/  ( N `
 F )  = +oo ) )
7371, 72sylib 196 . . 3  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( ( N `
 F )  e.  RR  \/  ( N `
 F )  = +oo ) )
7473adantr 465 . 2  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  ( ( N `  F )  e.  RR  \/  ( N `
 F )  = +oo ) )
7515, 66, 74mpjaodan 786 1  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  ( M `  ( F `  X
) )  <_  (
( N `  F
) xe ( L `  X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   RRcr 9508   0cc0 9509    x. cmul 9514   +oocpnf 9642   -oocmnf 9643   RR*cxr 9644    < clt 9645    <_ cle 9646   RR+crp 11245   xecxmu 11342   Basecbs 14644   0gc0g 14857    GrpHom cghm 16391   normcnm 21223  NrmGrpcngp 21224   normOpcnmo 21338   NGHom cnghm 21339
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ico 11560  df-0g 14859  df-topgen 14861  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-grp 16184  df-ghm 16392  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-xms 20949  df-ms 20950  df-nm 21229  df-ngp 21230  df-nmo 21341  df-nghm 21342
This theorem is referenced by:  nmoi2  21363  nmoleub2lem  21723
  Copyright terms: Public domain W3C validator