Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmoiOLD Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem nmoiOLD 21749
 Description: The operator norm achieves the minimum of the set of upper bounds, if the operator is bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.) Obsolete version of nmoi 21733 as of 26-Sep-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmofvalOLD.1
nmoiOLD.2
nmoiOLD.3
nmoiOLD.4
Assertion
Ref Expression
nmoiOLD NGHom

Proof of Theorem nmoiOLD
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5865 . . . 4
21fveq2d 5869 . . 3
3 fveq2 5865 . . . 4
43oveq2d 6306 . . 3
52, 4breq12d 4415 . 2
6 fveq2 5865 . . . . . . . . . 10
76fveq2d 5869 . . . . . . . . 9
8 fveq2 5865 . . . . . . . . . 10
98oveq2d 6306 . . . . . . . . 9
107, 9breq12d 4415 . . . . . . . 8
1110rspcv 3146 . . . . . . 7
1211ad3antlr 737 . . . . . 6 NGHom
13 nmofvalOLD.1 . . . . . . . . . . . . . 14
1413isnghmOLD 21746 . . . . . . . . . . . . 13 NGHom NrmGrp NrmGrp
1514simplbi 462 . . . . . . . . . . . 12 NGHom NrmGrp NrmGrp
1615adantr 467 . . . . . . . . . . 11 NGHom NrmGrp NrmGrp
1716simprd 465 . . . . . . . . . 10 NGHom NrmGrp
1814simprbi 466 . . . . . . . . . . . . . 14 NGHom
1918adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13 NGHom
2019simpld 461 . . . . . . . . . . . 12 NGHom
21 nmoiOLD.2 . . . . . . . . . . . . 13
22 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . 13
2321, 22ghmf 16887 . . . . . . . . . . . 12
2420, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 NGHom
25 ffvelrn 6020 . . . . . . . . . . 11
2624, 25sylancom 673 . . . . . . . . . 10 NGHom
27 nmoiOLD.4 . . . . . . . . . . 11
2822, 27nmcl 21629 . . . . . . . . . 10 NrmGrp
2917, 26, 28syl2anc 667 . . . . . . . . 9 NGHom
3029adantr 467 . . . . . . . 8 NGHom
3130adantr 467 . . . . . . 7 NGHom
32 elrege0 11738 . . . . . . . . 9
3332simplbi 462 . . . . . . . 8
3433adantl 468 . . . . . . 7 NGHom
3516simpld 461 . . . . . . . . . . 11 NGHom NrmGrp
36 simpr 463 . . . . . . . . . . 11 NGHom
3735, 36jca 535 . . . . . . . . . 10 NGHom NrmGrp
38 nmoiOLD.3 . . . . . . . . . . . 12
39 eqid 2451 . . . . . . . . . . . 12
4021, 38, 39nmrpcl 21633 . . . . . . . . . . 11 NrmGrp
41403expa 1208 . . . . . . . . . 10 NrmGrp
4237, 41sylan 474 . . . . . . . . 9 NGHom
4342rpregt0d 11347 . . . . . . . 8 NGHom
4443adantr 467 . . . . . . 7 NGHom
45 ledivmul2 10484 . . . . . . 7
4631, 34, 44, 45syl3anc 1268 . . . . . 6 NGHom
4712, 46sylibrd 238 . . . . 5 NGHom
4847ralrimiva 2802 . . . 4 NGHom
4935adantr 467 . . . . 5 NGHom NrmGrp
5017adantr 467 . . . . 5 NGHom NrmGrp
5120adantr 467 . . . . 5 NGHom
5230, 42rerpdivcld 11369 . . . . . 6 NGHom
5352rexrd 9690 . . . . 5 NGHom
5413, 21, 38, 27nmogelbOLD 21740 . . . . 5 NrmGrp NrmGrp
5549, 50, 51, 53, 54syl31anc 1271 . . . 4 NGHom
5648, 55mpbird 236 . . 3 NGHom
5719simprd 465 . . . . 5 NGHom
5857adantr 467 . . . 4 NGHom
5930, 58, 42ledivmul2d 11392 . . 3 NGHom
6056, 59mpbid 214 . 2 NGHom
61 eqid 2451 . . . . . . 7
6239, 61ghmid 16889 . . . . . 6
6320, 62syl 17 . . . . 5 NGHom
6463fveq2d 5869 . . . 4 NGHom
6527, 61nm0 21640 . . . . 5 NrmGrp
6617, 65syl 17 . . . 4 NGHom
6764, 66eqtrd 2485 . . 3 NGHom
6838, 39nm0 21640 . . . . . 6 NrmGrp
6935, 68syl 17 . . . . 5 NGHom
70 0re 9643 . . . . 5
7169, 70syl6eqel 2537 . . . 4 NGHom
7213nmoge0OLD 21744 . . . . 5 NrmGrp NrmGrp
7335, 17, 20, 72syl3anc 1268 . . . 4 NGHom
74 0le0 10699 . . . . 5
7574, 69syl5breqr 4439 . . . 4 NGHom
7657, 71, 73, 75mulge0d 10190 . . 3 NGHom
7767, 76eqbrtrd 4423 . 2 NGHom
785, 60, 77pm2.61ne 2709 1 NGHom
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   wceq 1444   wcel 1887   wne 2622  wral 2737   class class class wbr 4402  wf 5578  cfv 5582  (class class class)co 6290  cr 9538  cc0 9539   cmul 9544   cpnf 9672  cxr 9674   clt 9675   cle 9676   cdiv 10269  crp 11302  cico 11637  cbs 15121  c0g 15338   cghm 16880  cnm 21591  NrmGrpcngp 21592  cnmoold 21707   NGHom cnghmold 21709 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ico 11641  df-0g 15340  df-topgen 15342  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-grp 16673  df-ghm 16881  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-xms 21335  df-ms 21336  df-nm 21597  df-ngp 21598  df-nmoOLD 21712  df-nghmOLD 21714 This theorem is referenced by:  nmoixOLD  21750
 Copyright terms: Public domain W3C validator