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Theorem nmoiOLD 21749
Description: The operator norm achieves the minimum of the set of upper bounds, if the operator is bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.) Obsolete version of nmoi 21733 as of 26-Sep-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmofvalOLD.1  |-  N  =  ( S normOp T )
nmoiOLD.2  |-  V  =  ( Base `  S
)
nmoiOLD.3  |-  L  =  ( norm `  S
)
nmoiOLD.4  |-  M  =  ( norm `  T
)
Assertion
Ref Expression
nmoiOLD  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  <_ 
( ( N `  F )  x.  ( L `  X )
) )

Proof of Theorem nmoiOLD
Dummy variables  r  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5865 . . . 4  |-  ( X  =  ( 0g `  S )  ->  ( F `  X )  =  ( F `  ( 0g `  S ) ) )
21fveq2d 5869 . . 3  |-  ( X  =  ( 0g `  S )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  =  ( M `  ( F `  ( 0g `  S ) ) ) )
3 fveq2 5865 . . . 4  |-  ( X  =  ( 0g `  S )  ->  ( L `  X )  =  ( L `  ( 0g `  S ) ) )
43oveq2d 6306 . . 3  |-  ( X  =  ( 0g `  S )  ->  (
( N `  F
)  x.  ( L `
 X ) )  =  ( ( N `
 F )  x.  ( L `  ( 0g `  S ) ) ) )
52, 4breq12d 4415 . 2  |-  ( X  =  ( 0g `  S )  ->  (
( M `  ( F `  X )
)  <_  ( ( N `  F )  x.  ( L `  X
) )  <->  ( M `  ( F `  ( 0g `  S ) ) )  <_  ( ( N `  F )  x.  ( L `  ( 0g `  S ) ) ) ) )
6 fveq2 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  ( F `  x )  =  ( F `  X ) )
76fveq2d 5869 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  ( M `  ( F `  x ) )  =  ( M `  ( F `  X )
) )
8 fveq2 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  ( L `  x )  =  ( L `  X ) )
98oveq2d 6306 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  (
r  x.  ( L `
 x ) )  =  ( r  x.  ( L `  X
) ) )
107, 9breq12d 4415 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
( M `  ( F `  x )
)  <_  ( r  x.  ( L `  x
) )  <->  ( M `  ( F `  X
) )  <_  (
r  x.  ( L `
 X ) ) ) )
1110rspcv 3146 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  V  ->  ( A. x  e.  V  ( M `  ( F `
 x ) )  <_  ( r  x.  ( L `  x
) )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  <_ 
( r  x.  ( L `  X )
) ) )
1211ad3antlr 737 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V
)  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  /\  r  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( A. x  e.  V  ( M `  ( F `
 x ) )  <_  ( r  x.  ( L `  x
) )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  <_ 
( r  x.  ( L `  X )
) ) )
13 nmofvalOLD.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  N  =  ( S normOp T )
1413isnghmOLD 21746 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  <->  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp )  /\  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  ( N `  F )  e.  RR ) ) )
1514simplbi 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp )
)
1615adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp
) )
1716simprd 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  T  e. NrmGrp )
1814simprbi 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  ( N `  F )  e.  RR ) )
1918adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  ( N `  F )  e.  RR ) )
2019simpld 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )
21 nmoiOLD.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  V  =  ( Base `  S
)
22 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  T )  =  (
Base `  T )
2321, 22ghmf 16887 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  F : V
--> ( Base `  T
) )
2420, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  F : V --> ( Base `  T
) )
25 ffvelrn 6020 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : V --> ( Base `  T )  /\  X  e.  V )  ->  ( F `  X )  e.  ( Base `  T
) )
2624, 25sylancom 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  ( F `  X )  e.  ( Base `  T
) )
27 nmoiOLD.4 . . . . . . . . . . 11  |-  M  =  ( norm `  T
)
2822, 27nmcl 21629 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e. NrmGrp  /\  ( F `  X )  e.  ( Base `  T
) )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  e.  RR )
2917, 26, 28syl2anc 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  e.  RR )
3029adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  e.  RR )
3130adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V
)  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  /\  r  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  e.  RR )
32 elrege0 11738 . . . . . . . . 9  |-  ( r  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( r  e.  RR  /\  0  <_ 
r ) )
3332simplbi 462 . . . . . . . 8  |-  ( r  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  r  e.  RR )
3433adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V
)  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  /\  r  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  r  e.  RR )
3516simpld 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  S  e. NrmGrp )
36 simpr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  X  e.  V )
3735, 36jca 535 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  ( S  e. NrmGrp  /\  X  e.  V ) )
38 nmoiOLD.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  L  =  ( norm `  S
)
39 eqid 2451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
4021, 38, 39nmrpcl 21633 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  X  e.  V  /\  X  =/=  ( 0g `  S
) )  ->  ( L `  X )  e.  RR+ )
41403expa 1208 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S
) )  ->  ( L `  X )  e.  RR+ )
4237, 41sylan 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  ->  ( L `  X )  e.  RR+ )
4342rpregt0d 11347 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  ->  ( ( L `
 X )  e.  RR  /\  0  < 
( L `  X
) ) )
4443adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V
)  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  /\  r  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  (
( L `  X
)  e.  RR  /\  0  <  ( L `  X ) ) )
45 ledivmul2 10484 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M `  ( F `  X )
)  e.  RR  /\  r  e.  RR  /\  (
( L `  X
)  e.  RR  /\  0  <  ( L `  X ) ) )  ->  ( ( ( M `  ( F `
 X ) )  /  ( L `  X ) )  <_ 
r  <->  ( M `  ( F `  X ) )  <_  ( r  x.  ( L `  X
) ) ) )
4631, 34, 44, 45syl3anc 1268 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V
)  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  /\  r  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  (
( ( M `  ( F `  X ) )  /  ( L `
 X ) )  <_  r  <->  ( M `  ( F `  X
) )  <_  (
r  x.  ( L `
 X ) ) ) )
4712, 46sylibrd 238 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V
)  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  /\  r  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( A. x  e.  V  ( M `  ( F `
 x ) )  <_  ( r  x.  ( L `  x
) )  ->  (
( M `  ( F `  X )
)  /  ( L `
 X ) )  <_  r ) )
4847ralrimiva 2802 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  ->  A. r  e.  ( 0 [,) +oo )
( A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_  ( r  x.  ( L `  x
) )  ->  (
( M `  ( F `  X )
)  /  ( L `
 X ) )  <_  r ) )
4935adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  ->  S  e. NrmGrp )
5017adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  ->  T  e. NrmGrp )
5120adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  ->  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )
5230, 42rerpdivcld 11369 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  ->  ( ( M `
 ( F `  X ) )  / 
( L `  X
) )  e.  RR )
5352rexrd 9690 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  ->  ( ( M `
 ( F `  X ) )  / 
( L `  X
) )  e.  RR* )
5413, 21, 38, 27nmogelbOLD 21740 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  ( ( M `
 ( F `  X ) )  / 
( L `  X
) )  e.  RR* )  ->  ( ( ( M `  ( F `
 X ) )  /  ( L `  X ) )  <_ 
( N `  F
)  <->  A. r  e.  ( 0 [,) +oo )
( A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_  ( r  x.  ( L `  x
) )  ->  (
( M `  ( F `  X )
)  /  ( L `
 X ) )  <_  r ) ) )
5549, 50, 51, 53, 54syl31anc 1271 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  ->  ( ( ( M `  ( F `
 X ) )  /  ( L `  X ) )  <_ 
( N `  F
)  <->  A. r  e.  ( 0 [,) +oo )
( A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_  ( r  x.  ( L `  x
) )  ->  (
( M `  ( F `  X )
)  /  ( L `
 X ) )  <_  r ) ) )
5648, 55mpbird 236 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  ->  ( ( M `
 ( F `  X ) )  / 
( L `  X
) )  <_  ( N `  F )
)
5719simprd 465 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  F )  e.  RR )
5857adantr 467 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  ->  ( N `  F )  e.  RR )
5930, 58, 42ledivmul2d 11392 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  ->  ( ( ( M `  ( F `
 X ) )  /  ( L `  X ) )  <_ 
( N `  F
)  <->  ( M `  ( F `  X ) )  <_  ( ( N `  F )  x.  ( L `  X
) ) ) )
6056, 59mpbid 214 . 2  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  <_  ( ( N `  F )  x.  ( L `  X
) ) )
61 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  T )  =  ( 0g `  T
)
6239, 61ghmid 16889 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  ( F `  ( 0g `  S
) )  =  ( 0g `  T ) )
6320, 62syl 17 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  ( F `  ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  T
) )
6463fveq2d 5869 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  ( M `  ( F `  ( 0g `  S
) ) )  =  ( M `  ( 0g `  T ) ) )
6527, 61nm0 21640 . . . . 5  |-  ( T  e. NrmGrp  ->  ( M `  ( 0g `  T ) )  =  0 )
6617, 65syl 17 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  ( M `  ( 0g `  T ) )  =  0 )
6764, 66eqtrd 2485 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  ( M `  ( F `  ( 0g `  S
) ) )  =  0 )
6838, 39nm0 21640 . . . . . 6  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  ( L `  ( 0g `  S ) )  =  0 )
6935, 68syl 17 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  ( L `  ( 0g `  S ) )  =  0 )
70 0re 9643 . . . . 5  |-  0  e.  RR
7169, 70syl6eqel 2537 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  ( L `  ( 0g `  S ) )  e.  RR )
7213nmoge0OLD 21744 . . . . 5  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  0  <_  ( N `  F )
)
7335, 17, 20, 72syl3anc 1268 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  0  <_  ( N `  F
) )
74 0le0 10699 . . . . 5  |-  0  <_  0
7574, 69syl5breqr 4439 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  0  <_  ( L `  ( 0g `  S ) ) )
7657, 71, 73, 75mulge0d 10190 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  0  <_  ( ( N `  F )  x.  ( L `  ( 0g `  S ) ) ) )
7767, 76eqbrtrd 4423 . 2  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  ( M `  ( F `  ( 0g `  S
) ) )  <_ 
( ( N `  F )  x.  ( L `  ( 0g `  S ) ) ) )
785, 60, 77pm2.61ne 2709 1  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  <_ 
( ( N `  F )  x.  ( L `  X )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   A.wral 2737   class class class wbr 4402   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   RRcr 9538   0cc0 9539    x. cmul 9544   +oocpnf 9672   RR*cxr 9674    < clt 9675    <_ cle 9676    / cdiv 10269   RR+crp 11302   [,)cico 11637   Basecbs 15121   0gc0g 15338    GrpHom cghm 16880   normcnm 21591  NrmGrpcngp 21592   normOpcnmoold 21707   NGHom cnghmold 21709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ico 11641  df-0g 15340  df-topgen 15342  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-grp 16673  df-ghm 16881  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-xms 21335  df-ms 21336  df-nm 21597  df-ngp 21598  df-nmoOLD 21712  df-nghmOLD 21714
This theorem is referenced by:  nmoixOLD  21750
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