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Theorem nmoi 20266
Description: The operator norm achieves the minimum of the set of upper bounds, if the operator is bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmofval.1  |-  N  =  ( S normOp T )
nmoi.2  |-  V  =  ( Base `  S
)
nmoi.3  |-  L  =  ( norm `  S
)
nmoi.4  |-  M  =  ( norm `  T
)
Assertion
Ref Expression
nmoi  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  <_ 
( ( N `  F )  x.  ( L `  X )
) )

Proof of Theorem nmoi
Dummy variables  r  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5688 . . . 4  |-  ( X  =  ( 0g `  S )  ->  ( F `  X )  =  ( F `  ( 0g `  S ) ) )
21fveq2d 5692 . . 3  |-  ( X  =  ( 0g `  S )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  =  ( M `  ( F `  ( 0g `  S ) ) ) )
3 fveq2 5688 . . . 4  |-  ( X  =  ( 0g `  S )  ->  ( L `  X )  =  ( L `  ( 0g `  S ) ) )
43oveq2d 6106 . . 3  |-  ( X  =  ( 0g `  S )  ->  (
( N `  F
)  x.  ( L `
 X ) )  =  ( ( N `
 F )  x.  ( L `  ( 0g `  S ) ) ) )
52, 4breq12d 4302 . 2  |-  ( X  =  ( 0g `  S )  ->  (
( M `  ( F `  X )
)  <_  ( ( N `  F )  x.  ( L `  X
) )  <->  ( M `  ( F `  ( 0g `  S ) ) )  <_  ( ( N `  F )  x.  ( L `  ( 0g `  S ) ) ) ) )
6 fveq2 5688 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  ( F `  x )  =  ( F `  X ) )
76fveq2d 5692 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  ( M `  ( F `  x ) )  =  ( M `  ( F `  X )
) )
8 fveq2 5688 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  ( L `  x )  =  ( L `  X ) )
98oveq2d 6106 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  (
r  x.  ( L `
 x ) )  =  ( r  x.  ( L `  X
) ) )
107, 9breq12d 4302 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
( M `  ( F `  x )
)  <_  ( r  x.  ( L `  x
) )  <->  ( M `  ( F `  X
) )  <_  (
r  x.  ( L `
 X ) ) ) )
1110rspcv 3066 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  V  ->  ( A. x  e.  V  ( M `  ( F `
 x ) )  <_  ( r  x.  ( L `  x
) )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  <_ 
( r  x.  ( L `  X )
) ) )
1211ad3antlr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V
)  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  /\  r  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( A. x  e.  V  ( M `  ( F `
 x ) )  <_  ( r  x.  ( L `  x
) )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  <_ 
( r  x.  ( L `  X )
) ) )
13 nmofval.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  N  =  ( S normOp T )
1413isnghm 20261 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  <->  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp )  /\  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  ( N `  F )  e.  RR ) ) )
1514simplbi 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp )
)
1615adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp
) )
1716simprd 460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  T  e. NrmGrp )
1814simprbi 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  ( N `  F )  e.  RR ) )
1918adantr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  ( N `  F )  e.  RR ) )
2019simpld 456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )
21 nmoi.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  V  =  ( Base `  S
)
22 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  T )  =  (
Base `  T )
2321, 22ghmf 15744 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  F : V
--> ( Base `  T
) )
2420, 23syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  F : V --> ( Base `  T
) )
25 ffvelrn 5838 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : V --> ( Base `  T )  /\  X  e.  V )  ->  ( F `  X )  e.  ( Base `  T
) )
2624, 25sylancom 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  ( F `  X )  e.  ( Base `  T
) )
27 nmoi.4 . . . . . . . . . . 11  |-  M  =  ( norm `  T
)
2822, 27nmcl 20166 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e. NrmGrp  /\  ( F `  X )  e.  ( Base `  T
) )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  e.  RR )
2917, 26, 28syl2anc 656 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  e.  RR )
3029adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  e.  RR )
3130adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V
)  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  /\  r  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  e.  RR )
32 elrege0 11388 . . . . . . . . 9  |-  ( r  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( r  e.  RR  /\  0  <_ 
r ) )
3332simplbi 457 . . . . . . . 8  |-  ( r  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  r  e.  RR )
3433adantl 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V
)  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  /\  r  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  r  e.  RR )
3516simpld 456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  S  e. NrmGrp )
36 simpr 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  X  e.  V )
3735, 36jca 529 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  ( S  e. NrmGrp  /\  X  e.  V ) )
38 nmoi.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  L  =  ( norm `  S
)
39 eqid 2441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
4021, 38, 39nmrpcl 20170 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  X  e.  V  /\  X  =/=  ( 0g `  S
) )  ->  ( L `  X )  e.  RR+ )
41403expa 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S
) )  ->  ( L `  X )  e.  RR+ )
4237, 41sylan 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  ->  ( L `  X )  e.  RR+ )
4342rpregt0d 11029 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  ->  ( ( L `
 X )  e.  RR  /\  0  < 
( L `  X
) ) )
4443adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V
)  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  /\  r  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  (
( L `  X
)  e.  RR  /\  0  <  ( L `  X ) ) )
45 ledivmul2 10205 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M `  ( F `  X )
)  e.  RR  /\  r  e.  RR  /\  (
( L `  X
)  e.  RR  /\  0  <  ( L `  X ) ) )  ->  ( ( ( M `  ( F `
 X ) )  /  ( L `  X ) )  <_ 
r  <->  ( M `  ( F `  X ) )  <_  ( r  x.  ( L `  X
) ) ) )
4631, 34, 44, 45syl3anc 1213 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V
)  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  /\  r  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  (
( ( M `  ( F `  X ) )  /  ( L `
 X ) )  <_  r  <->  ( M `  ( F `  X
) )  <_  (
r  x.  ( L `
 X ) ) ) )
4712, 46sylibrd 234 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V
)  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  /\  r  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( A. x  e.  V  ( M `  ( F `
 x ) )  <_  ( r  x.  ( L `  x
) )  ->  (
( M `  ( F `  X )
)  /  ( L `
 X ) )  <_  r ) )
4847ralrimiva 2797 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  ->  A. r  e.  ( 0 [,) +oo )
( A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_  ( r  x.  ( L `  x
) )  ->  (
( M `  ( F `  X )
)  /  ( L `
 X ) )  <_  r ) )
4935adantr 462 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  ->  S  e. NrmGrp )
5017adantr 462 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  ->  T  e. NrmGrp )
5120adantr 462 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  ->  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )
5230, 42rerpdivcld 11050 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  ->  ( ( M `
 ( F `  X ) )  / 
( L `  X
) )  e.  RR )
5352rexrd 9429 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  ->  ( ( M `
 ( F `  X ) )  / 
( L `  X
) )  e.  RR* )
5413, 21, 38, 27nmogelb 20254 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  ( ( M `
 ( F `  X ) )  / 
( L `  X
) )  e.  RR* )  ->  ( ( ( M `  ( F `
 X ) )  /  ( L `  X ) )  <_ 
( N `  F
)  <->  A. r  e.  ( 0 [,) +oo )
( A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_  ( r  x.  ( L `  x
) )  ->  (
( M `  ( F `  X )
)  /  ( L `
 X ) )  <_  r ) ) )
5549, 50, 51, 53, 54syl31anc 1216 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  ->  ( ( ( M `  ( F `
 X ) )  /  ( L `  X ) )  <_ 
( N `  F
)  <->  A. r  e.  ( 0 [,) +oo )
( A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_  ( r  x.  ( L `  x
) )  ->  (
( M `  ( F `  X )
)  /  ( L `
 X ) )  <_  r ) ) )
5648, 55mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  ->  ( ( M `
 ( F `  X ) )  / 
( L `  X
) )  <_  ( N `  F )
)
5719simprd 460 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  F )  e.  RR )
5857adantr 462 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  ->  ( N `  F )  e.  RR )
5930, 58, 42ledivmul2d 11073 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  ->  ( ( ( M `  ( F `
 X ) )  /  ( L `  X ) )  <_ 
( N `  F
)  <->  ( M `  ( F `  X ) )  <_  ( ( N `  F )  x.  ( L `  X
) ) ) )
6056, 59mpbid 210 . 2  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  <_  ( ( N `  F )  x.  ( L `  X
) ) )
61 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  T )  =  ( 0g `  T
)
6239, 61ghmid 15746 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  ( F `  ( 0g `  S
) )  =  ( 0g `  T ) )
6320, 62syl 16 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  ( F `  ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  T
) )
6463fveq2d 5692 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  ( M `  ( F `  ( 0g `  S
) ) )  =  ( M `  ( 0g `  T ) ) )
6527, 61nm0 20177 . . . . 5  |-  ( T  e. NrmGrp  ->  ( M `  ( 0g `  T ) )  =  0 )
6617, 65syl 16 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  ( M `  ( 0g `  T ) )  =  0 )
6764, 66eqtrd 2473 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  ( M `  ( F `  ( 0g `  S
) ) )  =  0 )
6838, 39nm0 20177 . . . . . 6  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  ( L `  ( 0g `  S ) )  =  0 )
6935, 68syl 16 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  ( L `  ( 0g `  S ) )  =  0 )
70 0re 9382 . . . . 5  |-  0  e.  RR
7169, 70syl6eqel 2529 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  ( L `  ( 0g `  S ) )  e.  RR )
7213nmoge0 20259 . . . . 5  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  0  <_  ( N `  F )
)
7335, 17, 20, 72syl3anc 1213 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  0  <_  ( N `  F
) )
74 0le0 10407 . . . . 5  |-  0  <_  0
7574, 69syl5breqr 4325 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  0  <_  ( L `  ( 0g `  S ) ) )
7657, 71, 73, 75mulge0d 9912 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  0  <_  ( ( N `  F )  x.  ( L `  ( 0g `  S ) ) ) )
7767, 76eqbrtrd 4309 . 2  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  ( M `  ( F `  ( 0g `  S
) ) )  <_ 
( ( N `  F )  x.  ( L `  ( 0g `  S ) ) ) )
785, 60, 77pm2.61ne 2684 1  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  <_ 
( ( N `  F )  x.  ( L `  X )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   A.wral 2713   class class class wbr 4289   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   RRcr 9277   0cc0 9278    x. cmul 9283   +oocpnf 9411   RR*cxr 9413    < clt 9414    <_ cle 9415    / cdiv 9989   RR+crp 10987   [,)cico 11298   Basecbs 14170   0gc0g 14374    GrpHom cghm 15737   normcnm 20128  NrmGrpcngp 20129   normOpcnmo 20243   NGHom cnghm 20244
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-sup 7687  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ico 11302  df-0g 14376  df-topgen 14378  df-mnd 15411  df-grp 15538  df-ghm 15738  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-xms 19854  df-ms 19855  df-nm 20134  df-ngp 20135  df-nmo 20246  df-nghm 20247
This theorem is referenced by:  nmoix  20267  nmoeq0  20274  nmoco  20275  nmotri  20277  nmoid  20280  nmods  20282
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