MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmogtmnf Structured version   Unicode version

Theorem nmogtmnf 26403
Description: The norm of an operator is greater than minus infinity. (Contributed by NM, 8-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoxr.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nmoxr.2  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
nmoxr.3  |-  N  =  ( U normOpOLD W
)
Assertion
Ref Expression
nmogtmnf  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X
--> Y )  -> -oo  <  ( N `  T ) )

Proof of Theorem nmogtmnf
StepHypRef Expression
1 nmoxr.1 . . . 4  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2 nmoxr.2 . . . 4  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
3 nmoxr.3 . . . 4  |-  N  =  ( U normOpOLD W
)
41, 2, 3nmorepnf 26401 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X
--> Y )  ->  (
( N `  T
)  e.  RR  <->  ( N `  T )  =/= +oo ) )
5 df-ne 2621 . . 3  |-  ( ( N `  T )  =/= +oo  <->  -.  ( N `  T )  = +oo )
64, 5syl6bb 265 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X
--> Y )  ->  (
( N `  T
)  e.  RR  <->  -.  ( N `  T )  = +oo ) )
7 xor3 359 . . 3  |-  ( -.  ( ( N `  T )  e.  RR  <->  ( N `  T )  = +oo )  <->  ( ( N `  T )  e.  RR  <->  -.  ( N `  T )  = +oo ) )
8 nbior 869 . . 3  |-  ( -.  ( ( N `  T )  e.  RR  <->  ( N `  T )  = +oo )  -> 
( ( N `  T )  e.  RR  \/  ( N `  T
)  = +oo )
)
97, 8sylbir 217 . 2  |-  ( ( ( N `  T
)  e.  RR  <->  -.  ( N `  T )  = +oo )  ->  (
( N `  T
)  e.  RR  \/  ( N `  T )  = +oo ) )
10 mnfltxr 11431 . 2  |-  ( ( ( N `  T
)  e.  RR  \/  ( N `  T )  = +oo )  -> -oo  <  ( N `  T ) )
116, 9, 103syl 18 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X
--> Y )  -> -oo  <  ( N `  T ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ w3a 983    = wceq 1438    e. wcel 1869    =/= wne 2619   class class class wbr 4421   -->wf 5595   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   RRcr 9540   +oocpnf 9674   -oocmnf 9675    < clt 9677   NrmCVeccnv 26195   BaseSetcba 26197   normOpOLDcnmoo 26374
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-er 7369  df-map 7480  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-sup 7960  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-rp 11305  df-seq 12215  df-exp 12274  df-cj 13156  df-re 13157  df-im 13158  df-sqrt 13292  df-abs 13293  df-grpo 25911  df-gid 25912  df-ginv 25913  df-ablo 26002  df-vc 26157  df-nv 26203  df-va 26206  df-ba 26207  df-sm 26208  df-0v 26209  df-nmcv 26211  df-nmoo 26378
This theorem is referenced by:  nmobndi  26408  nmblore  26419  ubthlem3  26506
  Copyright terms: Public domain W3C validator