Theorem nmoge0 9769

Description: The norm of an operator is nonnegative.

Hypotheses

Ref	Expression
nmoxr.1	|- X = (BaseSet` U)
nmoxr.2	|- Y = (BaseSet` W)
nmoxr.3	|- N = (UnormOpW)

Assertion

Ref	Expression
nmoge0	|- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) -> 0 <_ (N` T))

Proof of Theorem nmoge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 877	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) -> W e. NrmCVec)
2		ffvelrn 4787	. . . . . 6 |- ((T:X-->Y /\ (0v` U) e. X) -> (T` (0v` U)) e. Y)
3		nmoxr.1	. . . . . . 7 |- X = (BaseSet` U)
4		eqid 1884	. . . . . . 7 |- (0v` U) = (0v` U)
5	3, 4	nvzcl 9587	. . . . . 6 |- (U e. NrmCVec -> (0v` U) e. X)
6	2, 5	sylan2 500	. . . . 5 |- ((T:X-->Y /\ U e. NrmCVec) -> (T` (0v` U)) e. Y)
7	6	ancoms 484	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ T:X-->Y) -> (T` (0v` U)) e. Y)
8	7	3adant2 895	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) -> (T` (0v` U)) e. Y)
9		nmoxr.2	. . . 4 |- Y = (BaseSet` W)
10		eqid 1884	. . . 4 |- (norm` W) = (norm` W)
11	9, 10	nvge0 9634	. . 3 |- ((W e. NrmCVec /\ (T` (0v` U)) e. Y) -> 0 <_ ((norm` W)` (T` (0v` U))))
12	1, 8, 11	syl11anc 524	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) -> 0 <_ ((norm` W)` (T` (0v` U))))
13		supxrub 7307	. . . . . 6 |- (({x | E.z e. X (((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (T` z)))} C_ RR* /\ ((norm` W)` (T` (0v` U))) e. {x | E.z e. X (((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (T` z)))}) -> ((norm` W)` (T` (0v` U))) <_ sup({x | E.z e. X (((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (T` z)))}, RR*, < ))
14	9, 10	nmosetre 9766	. . . . . . 7 |- ((W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) -> {x | E.z e. X (((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (T` z)))} C_ RR)
15		ressxr 6667	. . . . . . . 8 |- RR C_ RR*
16		sstr 2625	. . . . . . . 8 |- (({x | E.z e. X (((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (T` z)))} C_ RR /\ RR C_ RR*) -> {x | E.z e. X (((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (T` z)))} C_ RR*)
17	15, 16	mpan2 760	. . . . . . 7 |- ({x | E.z e. X (((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (T` z)))} C_ RR -> {x | E.z e. X (((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (T` z)))} C_ RR*)
18	14, 17	syl 12	. . . . . 6 |- ((W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) -> {x | E.z e. X (((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (T` z)))} C_ RR*)
19		eqid 1884	. . . . . . 7 |- (norm` U) = (norm` U)
20	3, 4, 19	nmosetn0 9767	. . . . . 6 |- (U e. NrmCVec -> ((norm` W)` (T` (0v` U))) e. {x | E.z e. X (((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (T` z)))})
21	13, 18, 20	syl2an 503	. . . . 5 |- (((W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) /\ U e. NrmCVec) -> ((norm` W)` (T` (0v` U))) <_ sup({x | E.z e. X (((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (T` z)))}, RR*, < ))
22	21	3impa 1062	. . . 4 |- ((W e. NrmCVec /\ T:X-->Y /\ U e. NrmCVec) -> ((norm` W)` (T` (0v` U))) <_ sup({x | E.z e. X (((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (T` z)))}, RR*, < ))
23	22	3comr 1076	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) -> ((norm` W)` (T` (0v` U))) <_ sup({x | E.z e. X (((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (T` z)))}, RR*, < ))
24		nmoxr.3	. . . 4 |- N = (UnormOpW)
25	3, 9, 19, 10, 24	nmoval 9765	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) -> (N` T) = sup({x | E.z e. X (((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (T` z)))}, RR*, < ))
26	23, 25	breqtrrd 3363	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) -> ((norm` W)` (T` (0v` U))) <_ (N` T))
27		0re 6603	. . . . 5 |- 0 e. RR
28		rexr 6668	. . . . 5 |- (0 e. RR -> 0 e. RR*)
29	27, 28	ax-mp 7	. . . 4 |- 0 e. RR*
30	29	a1i 8	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) -> 0 e. RR*)
31	9, 10	nvcl 9619	. . . . 5 |- ((W e. NrmCVec /\ (T` (0v` U)) e. Y) -> ((norm` W)` (T` (0v` U))) e. RR)
32	1, 8, 31	syl11anc 524	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) -> ((norm` W)` (T` (0v` U))) e. RR)
33		rexr 6668	. . . 4 |- (((norm` W)` (T` (0v` U))) e. RR -> ((norm` W)` (T` (0v` U))) e. RR*)
34	32, 33	syl 12	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) -> ((norm` W)` (T` (0v` U))) e. RR*)
35	3, 9, 24	nmoxr 9768	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) -> (N` T) e. RR*)
36		xrletr 6739	. . 3 |- ((0 e. RR* /\ ((norm` W)` (T` (0v` U))) e. RR* /\ (N` T) e. RR*) -> ((0 <_ ((norm` W)` (T` (0v` U))) /\ ((norm` W)` (T` (0v` U))) <_ (N` T)) -> 0 <_ (N` T)))
37	30, 34, 35, 36	syl111anc 1100	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) -> ((0 <_ ((norm` W)` (T` (0v` U))) /\ ((norm` W)` (T` (0v` U))) <_ (N` T)) -> 0 <_ (N` T)))
38	12, 26, 37	mp2and 767	1 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) -> 0 <_ (N` T))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  {cab 1871  E.wrex 2106   C_ wss 2593   class class class wbr 3338  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  supcsup 5663  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   <_ cle 6448  RR*cxr 6652   < clt 6653  NrmCVeccnv 9535  BaseSetcba 9537  0vcn0v 9539  normcnm 9541  normOpcnmo 9741

This theorem is referenced by:  nmlnogt0 9797  htthlem10 9976

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-2 7154  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-nm 9551  df-nmo 9745

Copyright terms: Public domain