Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmofval Structured version   Unicode version

Theorem nmofval 21347
 Description: Value of the operator norm. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmofval.1
nmofval.2
nmofval.3
nmofval.4
Assertion
Ref Expression
nmofval NrmGrp NrmGrp
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem nmofval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmofval.1 . 2
2 oveq12 6305 . . . 4
3 simpl 457 . . . . . . . . 9
43fveq2d 5876 . . . . . . . 8
5 nmofval.2 . . . . . . . 8
64, 5syl6eqr 2516 . . . . . . 7
7 simpr 461 . . . . . . . . . . 11
87fveq2d 5876 . . . . . . . . . 10
9 nmofval.4 . . . . . . . . . 10
108, 9syl6eqr 2516 . . . . . . . . 9
1110fveq1d 5874 . . . . . . . 8
123fveq2d 5876 . . . . . . . . . . 11
13 nmofval.3 . . . . . . . . . . 11
1412, 13syl6eqr 2516 . . . . . . . . . 10
1514fveq1d 5874 . . . . . . . . 9
1615oveq2d 6312 . . . . . . . 8
1711, 16breq12d 4469 . . . . . . 7
186, 17raleqbidv 3068 . . . . . 6
1918rabbidv 3101 . . . . 5
2019supeq1d 7923 . . . 4
212, 20mpteq12dv 4535 . . 3
22 df-nmo 21341 . . 3 NrmGrp NrmGrp
23 eqid 2457 . . . . 5
24 ssrab2 3581 . . . . . . 7
25 icossxr 11634 . . . . . . 7
2624, 25sstri 3508 . . . . . 6
27 infmxrcl 11533 . . . . . 6
2826, 27mp1i 12 . . . . 5
2923, 28fmpti 6055 . . . 4
30 ovex 6324 . . . 4
31 xrex 11242 . . . 4
32 fex2 6754 . . . 4
3329, 30, 31, 32mp3an 1324 . . 3
3421, 22, 33ovmpt2a 6432 . 2 NrmGrp NrmGrp
351, 34syl5eq 2510 1 NrmGrp NrmGrp
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1395   wcel 1819  wral 2807  crab 2811  cvv 3109   wss 3471   class class class wbr 4456   cmpt 4515  ccnv 5007  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6296  csup 7918  cc0 9509   cmul 9514   cpnf 9642  cxr 9644   clt 9645   cle 9646  cico 11556  cbs 14644   cghm 16391  cnm 21223  NrmGrpcngp 21224  cnmo 21338 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-ico 11560  df-nmo 21341 This theorem is referenced by:  nmoval  21348  nmof  21352
 Copyright terms: Public domain W3C validator