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Theorem nmoco 21410
Description: An upper bound on the operator norm of a composition. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoco.1  |-  N  =  ( S normOp U )
nmoco.2  |-  L  =  ( T normOp U )
nmoco.3  |-  M  =  ( S normOp T )
Assertion
Ref Expression
nmoco  |-  ( ( F  e.  ( T NGHom 
U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( N `  ( F  o.  G
) )  <_  (
( L `  F
)  x.  ( M `
 G ) ) )

Proof of Theorem nmoco
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmoco.1 . 2  |-  N  =  ( S normOp U )
2 eqid 2454 . 2  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
3 eqid 2454 . 2  |-  ( norm `  S )  =  (
norm `  S )
4 eqid 2454 . 2  |-  ( norm `  U )  =  (
norm `  U )
5 eqid 2454 . 2  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
6 nghmrcl1 21405 . . 3  |-  ( G  e.  ( S NGHom  T
)  ->  S  e. NrmGrp )
76adantl 464 . 2  |-  ( ( F  e.  ( T NGHom 
U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  S  e. NrmGrp )
8 nghmrcl2 21406 . . 3  |-  ( F  e.  ( T NGHom  U
)  ->  U  e. NrmGrp )
98adantr 463 . 2  |-  ( ( F  e.  ( T NGHom 
U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  U  e. NrmGrp )
10 nghmghm 21407 . . 3  |-  ( F  e.  ( T NGHom  U
)  ->  F  e.  ( T  GrpHom  U ) )
11 nghmghm 21407 . . 3  |-  ( G  e.  ( S NGHom  T
)  ->  G  e.  ( S  GrpHom  T ) )
12 ghmco 16485 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( T 
GrpHom  U )  /\  G  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( F  o.  G )  e.  ( S  GrpHom  U ) )
1310, 11, 12syl2an 475 . 2  |-  ( ( F  e.  ( T NGHom 
U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( F  o.  G )  e.  ( S  GrpHom  U ) )
14 nmoco.2 . . . 4  |-  L  =  ( T normOp U )
1514nghmcl 21400 . . 3  |-  ( F  e.  ( T NGHom  U
)  ->  ( L `  F )  e.  RR )
16 nmoco.3 . . . 4  |-  M  =  ( S normOp T )
1716nghmcl 21400 . . 3  |-  ( G  e.  ( S NGHom  T
)  ->  ( M `  G )  e.  RR )
18 remulcl 9566 . . 3  |-  ( ( ( L `  F
)  e.  RR  /\  ( M `  G )  e.  RR )  -> 
( ( L `  F )  x.  ( M `  G )
)  e.  RR )
1915, 17, 18syl2an 475 . 2  |-  ( ( F  e.  ( T NGHom 
U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( ( L `  F )  x.  ( M `  G
) )  e.  RR )
20 nghmrcl1 21405 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( T NGHom  U
)  ->  T  e. NrmGrp )
2114nmoge0 21394 . . . . 5  |-  ( ( T  e. NrmGrp  /\  U  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( T  GrpHom  U ) )  ->  0  <_  ( L `  F )
)
2220, 8, 10, 21syl3anc 1226 . . . 4  |-  ( F  e.  ( T NGHom  U
)  ->  0  <_  ( L `  F ) )
2315, 22jca 530 . . 3  |-  ( F  e.  ( T NGHom  U
)  ->  ( ( L `  F )  e.  RR  /\  0  <_ 
( L `  F
) ) )
24 nghmrcl2 21406 . . . . 5  |-  ( G  e.  ( S NGHom  T
)  ->  T  e. NrmGrp )
2516nmoge0 21394 . . . . 5  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  G  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  0  <_  ( M `  G )
)
266, 24, 11, 25syl3anc 1226 . . . 4  |-  ( G  e.  ( S NGHom  T
)  ->  0  <_  ( M `  G ) )
2717, 26jca 530 . . 3  |-  ( G  e.  ( S NGHom  T
)  ->  ( ( M `  G )  e.  RR  /\  0  <_ 
( M `  G
) ) )
28 mulge0 10066 . . 3  |-  ( ( ( ( L `  F )  e.  RR  /\  0  <_  ( L `  F ) )  /\  ( ( M `  G )  e.  RR  /\  0  <_  ( M `  G ) ) )  ->  0  <_  (
( L `  F
)  x.  ( M `
 G ) ) )
2923, 27, 28syl2an 475 . 2  |-  ( ( F  e.  ( T NGHom 
U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  0  <_  ( ( L `  F
)  x.  ( M `
 G ) ) )
308ad2antrr 723 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  ->  U  e. NrmGrp )
3110ad2antrr 723 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  ->  F  e.  ( T  GrpHom  U ) )
32 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  T )  =  (
Base `  T )
33 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
3432, 33ghmf 16470 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( T  GrpHom  U )  ->  F :
( Base `  T ) --> ( Base `  U )
)
3531, 34syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  ->  F : ( Base `  T
) --> ( Base `  U
) )
3611ad2antlr 724 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  ->  G  e.  ( S  GrpHom  T ) )
372, 32ghmf 16470 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  G :
( Base `  S ) --> ( Base `  T )
)
3836, 37syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  ->  G : ( Base `  S
) --> ( Base `  T
) )
39 simprl 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  ->  x  e.  ( Base `  S ) )
4038, 39ffvelrnd 6008 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( G `  x
)  e.  ( Base `  T ) )
4135, 40ffvelrnd 6008 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( F `  ( G `  x )
)  e.  ( Base `  U ) )
4233, 4nmcl 21301 . . . . 5  |-  ( ( U  e. NrmGrp  /\  ( F `  ( G `  x ) )  e.  ( Base `  U
) )  ->  (
( norm `  U ) `  ( F `  ( G `  x )
) )  e.  RR )
4330, 41, 42syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( norm `  U
) `  ( F `  ( G `  x
) ) )  e.  RR )
4415ad2antrr 723 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( L `  F
)  e.  RR )
4520ad2antrr 723 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  ->  T  e. NrmGrp )
46 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( norm `  T )  =  (
norm `  T )
4732, 46nmcl 21301 . . . . . 6  |-  ( ( T  e. NrmGrp  /\  ( G `  x )  e.  ( Base `  T
) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( G `  x
) )  e.  RR )
4845, 40, 47syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( norm `  T
) `  ( G `  x ) )  e.  RR )
4944, 48remulcld 9613 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( L `  F )  x.  (
( norm `  T ) `  ( G `  x
) ) )  e.  RR )
5017ad2antlr 724 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( M `  G
)  e.  RR )
512, 3nmcl 21301 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  x  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( norm `  S ) `  x )  e.  RR )
526, 51sylan 469 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  ( S NGHom 
T )  /\  x  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( norm `  S ) `  x )  e.  RR )
5352ad2ant2lr 745 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( norm `  S
) `  x )  e.  RR )
5450, 53remulcld 9613 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( M `  G )  x.  (
( norm `  S ) `  x ) )  e.  RR )
5544, 54remulcld 9613 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( L `  F )  x.  (
( M `  G
)  x.  ( (
norm `  S ) `  x ) ) )  e.  RR )
56 simpll 751 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  ->  F  e.  ( T NGHom  U ) )
5714, 32, 46, 4nmoi 21401 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( T NGHom 
U )  /\  ( G `  x )  e.  ( Base `  T
) )  ->  (
( norm `  U ) `  ( F `  ( G `  x )
) )  <_  (
( L `  F
)  x.  ( (
norm `  T ) `  ( G `  x
) ) ) )
5856, 40, 57syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( norm `  U
) `  ( F `  ( G `  x
) ) )  <_ 
( ( L `  F )  x.  (
( norm `  T ) `  ( G `  x
) ) ) )
5923ad2antrr 723 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( L `  F )  e.  RR  /\  0  <_  ( L `  F ) ) )
6016, 2, 3, 46nmoi 21401 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  ( S NGHom 
T )  /\  x  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( G `  x
) )  <_  (
( M `  G
)  x.  ( (
norm `  S ) `  x ) ) )
6160ad2ant2lr 745 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( norm `  T
) `  ( G `  x ) )  <_ 
( ( M `  G )  x.  (
( norm `  S ) `  x ) ) )
62 lemul2a 10393 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( norm `  T ) `  ( G `  x )
)  e.  RR  /\  ( ( M `  G )  x.  (
( norm `  S ) `  x ) )  e.  RR  /\  ( ( L `  F )  e.  RR  /\  0  <_  ( L `  F
) ) )  /\  ( ( norm `  T
) `  ( G `  x ) )  <_ 
( ( M `  G )  x.  (
( norm `  S ) `  x ) ) )  ->  ( ( L `
 F )  x.  ( ( norm `  T
) `  ( G `  x ) ) )  <_  ( ( L `
 F )  x.  ( ( M `  G )  x.  (
( norm `  S ) `  x ) ) ) )
6348, 54, 59, 61, 62syl31anc 1229 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( L `  F )  x.  (
( norm `  T ) `  ( G `  x
) ) )  <_ 
( ( L `  F )  x.  (
( M `  G
)  x.  ( (
norm `  S ) `  x ) ) ) )
6443, 49, 55, 58, 63letrd 9728 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( norm `  U
) `  ( F `  ( G `  x
) ) )  <_ 
( ( L `  F )  x.  (
( M `  G
)  x.  ( (
norm `  S ) `  x ) ) ) )
65 fvco3 5925 . . . . 5  |-  ( ( G : ( Base `  S ) --> ( Base `  T )  /\  x  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( F  o.  G
) `  x )  =  ( F `  ( G `  x ) ) )
6638, 39, 65syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( F  o.  G ) `  x
)  =  ( F `
 ( G `  x ) ) )
6766fveq2d 5852 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( norm `  U
) `  ( ( F  o.  G ) `  x ) )  =  ( ( norm `  U
) `  ( F `  ( G `  x
) ) ) )
6844recnd 9611 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( L `  F
)  e.  CC )
6950recnd 9611 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( M `  G
)  e.  CC )
7053recnd 9611 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( norm `  S
) `  x )  e.  CC )
7168, 69, 70mulassd 9608 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( ( L `
 F )  x.  ( M `  G
) )  x.  (
( norm `  S ) `  x ) )  =  ( ( L `  F )  x.  (
( M `  G
)  x.  ( (
norm `  S ) `  x ) ) ) )
7264, 67, 713brtr4d 4469 . 2  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( norm `  U
) `  ( ( F  o.  G ) `  x ) )  <_ 
( ( ( L `
 F )  x.  ( M `  G
) )  x.  (
( norm `  S ) `  x ) ) )
731, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 13, 19, 29, 72nmolb2d 21391 1  |-  ( ( F  e.  ( T NGHom 
U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( N `  ( F  o.  G
) )  <_  (
( L `  F
)  x.  ( M `
 G ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   class class class wbr 4439    o. ccom 4992   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   RRcr 9480   0cc0 9481    x. cmul 9486    <_ cle 9618   Basecbs 14716   0gc0g 14929    GrpHom cghm 16463   normcnm 21263  NrmGrpcngp 21264   normOpcnmo 21378   NGHom cnghm 21379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ico 11538  df-0g 14931  df-topgen 14933  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-mhm 16165  df-grp 16256  df-ghm 16464  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-xms 20989  df-ms 20990  df-nm 21269  df-ngp 21270  df-nmo 21381  df-nghm 21382
This theorem is referenced by:  nghmco  21411
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