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Theorem nmoco 20338
Description: An upper bound on the operator norm of a composition. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoco.1  |-  N  =  ( S normOp U )
nmoco.2  |-  L  =  ( T normOp U )
nmoco.3  |-  M  =  ( S normOp T )
Assertion
Ref Expression
nmoco  |-  ( ( F  e.  ( T NGHom 
U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( N `  ( F  o.  G
) )  <_  (
( L `  F
)  x.  ( M `
 G ) ) )

Proof of Theorem nmoco
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmoco.1 . 2  |-  N  =  ( S normOp U )
2 eqid 2443 . 2  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
3 eqid 2443 . 2  |-  ( norm `  S )  =  (
norm `  S )
4 eqid 2443 . 2  |-  ( norm `  U )  =  (
norm `  U )
5 eqid 2443 . 2  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
6 nghmrcl1 20333 . . 3  |-  ( G  e.  ( S NGHom  T
)  ->  S  e. NrmGrp )
76adantl 466 . 2  |-  ( ( F  e.  ( T NGHom 
U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  S  e. NrmGrp )
8 nghmrcl2 20334 . . 3  |-  ( F  e.  ( T NGHom  U
)  ->  U  e. NrmGrp )
98adantr 465 . 2  |-  ( ( F  e.  ( T NGHom 
U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  U  e. NrmGrp )
10 nghmghm 20335 . . 3  |-  ( F  e.  ( T NGHom  U
)  ->  F  e.  ( T  GrpHom  U ) )
11 nghmghm 20335 . . 3  |-  ( G  e.  ( S NGHom  T
)  ->  G  e.  ( S  GrpHom  T ) )
12 ghmco 15787 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( T 
GrpHom  U )  /\  G  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( F  o.  G )  e.  ( S  GrpHom  U ) )
1310, 11, 12syl2an 477 . 2  |-  ( ( F  e.  ( T NGHom 
U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( F  o.  G )  e.  ( S  GrpHom  U ) )
14 nmoco.2 . . . 4  |-  L  =  ( T normOp U )
1514nghmcl 20328 . . 3  |-  ( F  e.  ( T NGHom  U
)  ->  ( L `  F )  e.  RR )
16 nmoco.3 . . . 4  |-  M  =  ( S normOp T )
1716nghmcl 20328 . . 3  |-  ( G  e.  ( S NGHom  T
)  ->  ( M `  G )  e.  RR )
18 remulcl 9388 . . 3  |-  ( ( ( L `  F
)  e.  RR  /\  ( M `  G )  e.  RR )  -> 
( ( L `  F )  x.  ( M `  G )
)  e.  RR )
1915, 17, 18syl2an 477 . 2  |-  ( ( F  e.  ( T NGHom 
U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( ( L `  F )  x.  ( M `  G
) )  e.  RR )
20 nghmrcl1 20333 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( T NGHom  U
)  ->  T  e. NrmGrp )
2114nmoge0 20322 . . . . 5  |-  ( ( T  e. NrmGrp  /\  U  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( T  GrpHom  U ) )  ->  0  <_  ( L `  F )
)
2220, 8, 10, 21syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( F  e.  ( T NGHom  U
)  ->  0  <_  ( L `  F ) )
2315, 22jca 532 . . 3  |-  ( F  e.  ( T NGHom  U
)  ->  ( ( L `  F )  e.  RR  /\  0  <_ 
( L `  F
) ) )
24 nghmrcl2 20334 . . . . 5  |-  ( G  e.  ( S NGHom  T
)  ->  T  e. NrmGrp )
2516nmoge0 20322 . . . . 5  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  G  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  0  <_  ( M `  G )
)
266, 24, 11, 25syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( G  e.  ( S NGHom  T
)  ->  0  <_  ( M `  G ) )
2717, 26jca 532 . . 3  |-  ( G  e.  ( S NGHom  T
)  ->  ( ( M `  G )  e.  RR  /\  0  <_ 
( M `  G
) ) )
28 mulge0 9878 . . 3  |-  ( ( ( ( L `  F )  e.  RR  /\  0  <_  ( L `  F ) )  /\  ( ( M `  G )  e.  RR  /\  0  <_  ( M `  G ) ) )  ->  0  <_  (
( L `  F
)  x.  ( M `
 G ) ) )
2923, 27, 28syl2an 477 . 2  |-  ( ( F  e.  ( T NGHom 
U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  0  <_  ( ( L `  F
)  x.  ( M `
 G ) ) )
308ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  ->  U  e. NrmGrp )
3110ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  ->  F  e.  ( T  GrpHom  U ) )
32 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  T )  =  (
Base `  T )
33 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
3432, 33ghmf 15772 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( T  GrpHom  U )  ->  F :
( Base `  T ) --> ( Base `  U )
)
3531, 34syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  ->  F : ( Base `  T
) --> ( Base `  U
) )
3611ad2antlr 726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  ->  G  e.  ( S  GrpHom  T ) )
372, 32ghmf 15772 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  G :
( Base `  S ) --> ( Base `  T )
)
3836, 37syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  ->  G : ( Base `  S
) --> ( Base `  T
) )
39 simprl 755 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  ->  x  e.  ( Base `  S ) )
4038, 39ffvelrnd 5865 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( G `  x
)  e.  ( Base `  T ) )
4135, 40ffvelrnd 5865 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( F `  ( G `  x )
)  e.  ( Base `  U ) )
4233, 4nmcl 20229 . . . . 5  |-  ( ( U  e. NrmGrp  /\  ( F `  ( G `  x ) )  e.  ( Base `  U
) )  ->  (
( norm `  U ) `  ( F `  ( G `  x )
) )  e.  RR )
4330, 41, 42syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( norm `  U
) `  ( F `  ( G `  x
) ) )  e.  RR )
4415ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( L `  F
)  e.  RR )
4520ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  ->  T  e. NrmGrp )
46 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( norm `  T )  =  (
norm `  T )
4732, 46nmcl 20229 . . . . . 6  |-  ( ( T  e. NrmGrp  /\  ( G `  x )  e.  ( Base `  T
) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( G `  x
) )  e.  RR )
4845, 40, 47syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( norm `  T
) `  ( G `  x ) )  e.  RR )
4944, 48remulcld 9435 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( L `  F )  x.  (
( norm `  T ) `  ( G `  x
) ) )  e.  RR )
5017ad2antlr 726 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( M `  G
)  e.  RR )
512, 3nmcl 20229 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  x  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( norm `  S ) `  x )  e.  RR )
526, 51sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  ( S NGHom 
T )  /\  x  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( norm `  S ) `  x )  e.  RR )
5352ad2ant2lr 747 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( norm `  S
) `  x )  e.  RR )
5450, 53remulcld 9435 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( M `  G )  x.  (
( norm `  S ) `  x ) )  e.  RR )
5544, 54remulcld 9435 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( L `  F )  x.  (
( M `  G
)  x.  ( (
norm `  S ) `  x ) ) )  e.  RR )
56 simpll 753 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  ->  F  e.  ( T NGHom  U ) )
5714, 32, 46, 4nmoi 20329 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( T NGHom 
U )  /\  ( G `  x )  e.  ( Base `  T
) )  ->  (
( norm `  U ) `  ( F `  ( G `  x )
) )  <_  (
( L `  F
)  x.  ( (
norm `  T ) `  ( G `  x
) ) ) )
5856, 40, 57syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( norm `  U
) `  ( F `  ( G `  x
) ) )  <_ 
( ( L `  F )  x.  (
( norm `  T ) `  ( G `  x
) ) ) )
5923ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( L `  F )  e.  RR  /\  0  <_  ( L `  F ) ) )
6016, 2, 3, 46nmoi 20329 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  ( S NGHom 
T )  /\  x  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( G `  x
) )  <_  (
( M `  G
)  x.  ( (
norm `  S ) `  x ) ) )
6160ad2ant2lr 747 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( norm `  T
) `  ( G `  x ) )  <_ 
( ( M `  G )  x.  (
( norm `  S ) `  x ) ) )
62 lemul2a 10205 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( norm `  T ) `  ( G `  x )
)  e.  RR  /\  ( ( M `  G )  x.  (
( norm `  S ) `  x ) )  e.  RR  /\  ( ( L `  F )  e.  RR  /\  0  <_  ( L `  F
) ) )  /\  ( ( norm `  T
) `  ( G `  x ) )  <_ 
( ( M `  G )  x.  (
( norm `  S ) `  x ) ) )  ->  ( ( L `
 F )  x.  ( ( norm `  T
) `  ( G `  x ) ) )  <_  ( ( L `
 F )  x.  ( ( M `  G )  x.  (
( norm `  S ) `  x ) ) ) )
6348, 54, 59, 61, 62syl31anc 1221 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( L `  F )  x.  (
( norm `  T ) `  ( G `  x
) ) )  <_ 
( ( L `  F )  x.  (
( M `  G
)  x.  ( (
norm `  S ) `  x ) ) ) )
6443, 49, 55, 58, 63letrd 9549 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( norm `  U
) `  ( F `  ( G `  x
) ) )  <_ 
( ( L `  F )  x.  (
( M `  G
)  x.  ( (
norm `  S ) `  x ) ) ) )
65 fvco3 5789 . . . . 5  |-  ( ( G : ( Base `  S ) --> ( Base `  T )  /\  x  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( F  o.  G
) `  x )  =  ( F `  ( G `  x ) ) )
6638, 39, 65syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( F  o.  G ) `  x
)  =  ( F `
 ( G `  x ) ) )
6766fveq2d 5716 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( norm `  U
) `  ( ( F  o.  G ) `  x ) )  =  ( ( norm `  U
) `  ( F `  ( G `  x
) ) ) )
6844recnd 9433 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( L `  F
)  e.  CC )
6950recnd 9433 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( M `  G
)  e.  CC )
7053recnd 9433 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( norm `  S
) `  x )  e.  CC )
7168, 69, 70mulassd 9430 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( ( L `
 F )  x.  ( M `  G
) )  x.  (
( norm `  S ) `  x ) )  =  ( ( L `  F )  x.  (
( M `  G
)  x.  ( (
norm `  S ) `  x ) ) ) )
7264, 67, 713brtr4d 4343 . 2  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( norm `  U
) `  ( ( F  o.  G ) `  x ) )  <_ 
( ( ( L `
 F )  x.  ( M `  G
) )  x.  (
( norm `  S ) `  x ) ) )
731, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 13, 19, 29, 72nmolb2d 20319 1  |-  ( ( F  e.  ( T NGHom 
U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( N `  ( F  o.  G
) )  <_  (
( L `  F
)  x.  ( M `
 G ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2620   class class class wbr 4313    o. ccom 4865   -->wf 5435   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   RRcr 9302   0cc0 9303    x. cmul 9308    <_ cle 9440   Basecbs 14195   0gc0g 14399    GrpHom cghm 15765   normcnm 20191  NrmGrpcngp 20192   normOpcnmo 20306   NGHom cnghm 20307
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-er 7122  df-map 7237  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-sup 7712  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-q 10975  df-rp 11013  df-xneg 11110  df-xadd 11111  df-xmul 11112  df-ico 11327  df-0g 14401  df-topgen 14403  df-mnd 15436  df-mhm 15485  df-grp 15566  df-ghm 15766  df-psmet 17831  df-xmet 17832  df-met 17833  df-bl 17834  df-mopn 17835  df-top 18525  df-bases 18527  df-topon 18528  df-topsp 18529  df-xms 19917  df-ms 19918  df-nm 20197  df-ngp 20198  df-nmo 20309  df-nghm 20310
This theorem is referenced by:  nghmco  20339
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