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Theorem nmobndseqi 26420
Description: A bounded sequence determines a bounded operator. (Contributed by NM, 18-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Apr-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoubi.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nmoubi.y  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
nmoubi.l  |-  L  =  ( normCV `  U )
nmoubi.m  |-  M  =  ( normCV `  W )
nmoubi.3  |-  N  =  ( U normOpOLD W
)
nmoubi.u  |-  U  e.  NrmCVec
nmoubi.w  |-  W  e.  NrmCVec
Assertion
Ref Expression
nmobndseqi  |-  ( ( T : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  ( L `  ( f `  k ) )  <_ 
1 )  ->  E. k  e.  NN  ( M `  ( T `  ( f `
 k ) ) )  <_  k )
)  ->  ( N `  T )  e.  RR )
Distinct variable groups:    f, k, L    k, Y    f, M, k    T, f, k    f, X, k    k, N
Allowed substitution hints:    U( f, k)    N( f)    W( f, k)    Y( f)

Proof of Theorem nmobndseqi
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 impexp 448 . . . . . 6  |-  ( ( ( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  ( L `  ( f `  k
) )  <_  1
)  ->  E. k  e.  NN  ( M `  ( T `  ( f `
 k ) ) )  <_  k )  <->  ( f : NN --> X  -> 
( A. k  e.  NN  ( L `  ( f `  k
) )  <_  1  ->  E. k  e.  NN  ( M `  ( T `
 ( f `  k ) ) )  <_  k ) ) )
2 r19.35 2937 . . . . . . 7  |-  ( E. k  e.  NN  (
( L `  (
f `  k )
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 ( f `  k ) ) )  <_  k )  <->  ( A. k  e.  NN  ( L `  ( f `  k ) )  <_ 
1  ->  E. k  e.  NN  ( M `  ( T `  ( f `
 k ) ) )  <_  k )
)
32imbi2i 314 . . . . . 6  |-  ( ( f : NN --> X  ->  E. k  e.  NN  ( ( L `  ( f `  k
) )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  ( f `  k ) ) )  <_  k ) )  <-> 
( f : NN --> X  ->  ( A. k  e.  NN  ( L `  ( f `  k
) )  <_  1  ->  E. k  e.  NN  ( M `  ( T `
 ( f `  k ) ) )  <_  k ) ) )
41, 3bitr4i 256 . . . . 5  |-  ( ( ( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  ( L `  ( f `  k
) )  <_  1
)  ->  E. k  e.  NN  ( M `  ( T `  ( f `
 k ) ) )  <_  k )  <->  ( f : NN --> X  ->  E. k  e.  NN  ( ( L `  ( f `  k
) )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  ( f `  k ) ) )  <_  k ) ) )
54albii 1691 . . . 4  |-  ( A. f ( ( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  ( L `  ( f `  k ) )  <_ 
1 )  ->  E. k  e.  NN  ( M `  ( T `  ( f `
 k ) ) )  <_  k )  <->  A. f ( f : NN --> X  ->  E. k  e.  NN  ( ( L `
 ( f `  k ) )  <_ 
1  ->  ( M `  ( T `  (
f `  k )
) )  <_  k
) ) )
6 nmoubi.1 . . . . . . . . 9  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
7 fvex 5875 . . . . . . . . 9  |-  ( BaseSet `  U )  e.  _V
86, 7eqeltri 2525 . . . . . . . 8  |-  X  e. 
_V
9 nnenom 12193 . . . . . . . 8  |-  NN  ~~  om
10 fveq2 5865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( f `  k )  ->  ( L `  y )  =  ( L `  ( f `  k
) ) )
1110breq1d 4412 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( f `  k )  ->  (
( L `  y
)  <_  1  <->  ( L `  ( f `  k
) )  <_  1
) )
12 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( f `  k )  ->  ( T `  y )  =  ( T `  ( f `  k
) ) )
1312fveq2d 5869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( f `  k )  ->  ( M `  ( T `  y ) )  =  ( M `  ( T `  ( f `  k ) ) ) )
1413breq1d 4412 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( f `  k )  ->  (
( M `  ( T `  y )
)  <_  k  <->  ( M `  ( T `  (
f `  k )
) )  <_  k
) )
1511, 14imbi12d 322 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( f `  k )  ->  (
( ( L `  y )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  y )
)  <_  k )  <->  ( ( L `  (
f `  k )
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 ( f `  k ) ) )  <_  k ) ) )
1615notbid 296 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( f `  k )  ->  ( -.  ( ( L `  y )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  y )
)  <_  k )  <->  -.  ( ( L `  ( f `  k
) )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  ( f `  k ) ) )  <_  k ) ) )
178, 9, 16axcc4 8869 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  NN  E. y  e.  X  -.  (
( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  k )  ->  E. f ( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  -.  ( ( L `  ( f `  k
) )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  ( f `  k ) ) )  <_  k ) ) )
1817con3i 141 . . . . . 6  |-  ( -. 
E. f ( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  -.  ( ( L `  ( f `  k
) )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  ( f `  k ) ) )  <_  k ) )  ->  -.  A. k  e.  NN  E. y  e.  X  -.  ( ( L `  y )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  y ) )  <_ 
k ) )
19 dfrex2 2838 . . . . . . . . 9  |-  ( E. k  e.  NN  (
( L `  (
f `  k )
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 ( f `  k ) ) )  <_  k )  <->  -.  A. k  e.  NN  -.  ( ( L `  ( f `
 k ) )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  ( f `  k
) ) )  <_ 
k ) )
2019imbi2i 314 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : NN --> X  ->  E. k  e.  NN  ( ( L `  ( f `  k
) )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  ( f `  k ) ) )  <_  k ) )  <-> 
( f : NN --> X  ->  -.  A. k  e.  NN  -.  ( ( L `  ( f `
 k ) )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  ( f `  k
) ) )  <_ 
k ) ) )
2120albii 1691 . . . . . . 7  |-  ( A. f ( f : NN --> X  ->  E. k  e.  NN  ( ( L `
 ( f `  k ) )  <_ 
1  ->  ( M `  ( T `  (
f `  k )
) )  <_  k
) )  <->  A. f
( f : NN --> X  ->  -.  A. k  e.  NN  -.  ( ( L `  ( f `
 k ) )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  ( f `  k
) ) )  <_ 
k ) ) )
22 alinexa 1713 . . . . . . 7  |-  ( A. f ( f : NN --> X  ->  -.  A. k  e.  NN  -.  ( ( L `  ( f `  k
) )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  ( f `  k ) ) )  <_  k ) )  <->  -.  E. f ( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  -.  ( ( L `  ( f `  k
) )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  ( f `  k ) ) )  <_  k ) ) )
2321, 22bitri 253 . . . . . 6  |-  ( A. f ( f : NN --> X  ->  E. k  e.  NN  ( ( L `
 ( f `  k ) )  <_ 
1  ->  ( M `  ( T `  (
f `  k )
) )  <_  k
) )  <->  -.  E. f
( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  -.  ( ( L `  ( f `
 k ) )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  ( f `  k
) ) )  <_ 
k ) ) )
24 dfral2 2835 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  k )  <->  -.  E. y  e.  X  -.  (
( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  k ) )
2524rexbii 2889 . . . . . . 7  |-  ( E. k  e.  NN  A. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  k )  <->  E. k  e.  NN  -.  E. y  e.  X  -.  (
( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  k ) )
26 rexnal 2836 . . . . . . 7  |-  ( E. k  e.  NN  -.  E. y  e.  X  -.  ( ( L `  y )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  y )
)  <_  k )  <->  -. 
A. k  e.  NN  E. y  e.  X  -.  ( ( L `  y )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  y )
)  <_  k )
)
2725, 26bitri 253 . . . . . 6  |-  ( E. k  e.  NN  A. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  k )  <->  -.  A. k  e.  NN  E. y  e.  X  -.  ( ( L `  y )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  y ) )  <_ 
k ) )
2818, 23, 273imtr4i 270 . . . . 5  |-  ( A. f ( f : NN --> X  ->  E. k  e.  NN  ( ( L `
 ( f `  k ) )  <_ 
1  ->  ( M `  ( T `  (
f `  k )
) )  <_  k
) )  ->  E. k  e.  NN  A. y  e.  X  ( ( L `
 y )  <_ 
1  ->  ( M `  ( T `  y
) )  <_  k
) )
29 nnre 10616 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR )
3029anim1i 572 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. y  e.  X  ( ( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  k ) )  ->  ( k  e.  RR  /\  A. y  e.  X  ( ( L `  y )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  y
) )  <_  k
) ) )
3130reximi2 2854 . . . . 5  |-  ( E. k  e.  NN  A. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  k )  ->  E. k  e.  RR  A. y  e.  X  ( ( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  k ) )
3228, 31syl 17 . . . 4  |-  ( A. f ( f : NN --> X  ->  E. k  e.  NN  ( ( L `
 ( f `  k ) )  <_ 
1  ->  ( M `  ( T `  (
f `  k )
) )  <_  k
) )  ->  E. k  e.  RR  A. y  e.  X  ( ( L `
 y )  <_ 
1  ->  ( M `  ( T `  y
) )  <_  k
) )
335, 32sylbi 199 . . 3  |-  ( A. f ( ( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  ( L `  ( f `  k ) )  <_ 
1 )  ->  E. k  e.  NN  ( M `  ( T `  ( f `
 k ) ) )  <_  k )  ->  E. k  e.  RR  A. y  e.  X  ( ( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  k ) )
34 nmoubi.y . . . 4  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
35 nmoubi.l . . . 4  |-  L  =  ( normCV `  U )
36 nmoubi.m . . . 4  |-  M  =  ( normCV `  W )
37 nmoubi.3 . . . 4  |-  N  =  ( U normOpOLD W
)
38 nmoubi.u . . . 4  |-  U  e.  NrmCVec
39 nmoubi.w . . . 4  |-  W  e.  NrmCVec
406, 34, 35, 36, 37, 38, 39nmobndi 26416 . . 3  |-  ( T : X --> Y  -> 
( ( N `  T )  e.  RR  <->  E. k  e.  RR  A. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  k ) ) )
4133, 40syl5ibr 225 . 2  |-  ( T : X --> Y  -> 
( A. f ( ( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  ( L `  ( f `  k
) )  <_  1
)  ->  E. k  e.  NN  ( M `  ( T `  ( f `
 k ) ) )  <_  k )  ->  ( N `  T
)  e.  RR ) )
4241imp 431 1  |-  ( ( T : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  ( L `  ( f `  k ) )  <_ 
1 )  ->  E. k  e.  NN  ( M `  ( T `  ( f `
 k ) ) )  <_  k )
)  ->  ( N `  T )  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371   A.wal 1442    = wceq 1444   E.wex 1663    e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738   _Vcvv 3045   class class class wbr 4402   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   RRcr 9538   1c1 9540    <_ cle 9676   NNcn 10609   NrmCVeccnv 26203   BaseSetcba 26205   normCVcnmcv 26209   normOpOLDcnmoo 26382
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cc 8865  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-sup 7956  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-grpo 25919  df-gid 25920  df-ginv 25921  df-ablo 26010  df-vc 26165  df-nv 26211  df-va 26214  df-ba 26215  df-sm 26216  df-0v 26217  df-nmcv 26219  df-nmoo 26386
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