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Theorem nmobndseqi 26291
Description: A bounded sequence determines a bounded operator. (Contributed by NM, 18-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Apr-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoubi.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nmoubi.y  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
nmoubi.l  |-  L  =  ( normCV `  U )
nmoubi.m  |-  M  =  ( normCV `  W )
nmoubi.3  |-  N  =  ( U normOpOLD W
)
nmoubi.u  |-  U  e.  NrmCVec
nmoubi.w  |-  W  e.  NrmCVec
Assertion
Ref Expression
nmobndseqi  |-  ( ( T : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  ( L `  ( f `  k ) )  <_ 
1 )  ->  E. k  e.  NN  ( M `  ( T `  ( f `
 k ) ) )  <_  k )
)  ->  ( N `  T )  e.  RR )
Distinct variable groups:    f, k, L    k, Y    f, M, k    T, f, k    f, X, k    k, N
Allowed substitution hints:    U( f, k)    N( f)    W( f, k)    Y( f)

Proof of Theorem nmobndseqi
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 impexp 447 . . . . . 6  |-  ( ( ( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  ( L `  ( f `  k
) )  <_  1
)  ->  E. k  e.  NN  ( M `  ( T `  ( f `
 k ) ) )  <_  k )  <->  ( f : NN --> X  -> 
( A. k  e.  NN  ( L `  ( f `  k
) )  <_  1  ->  E. k  e.  NN  ( M `  ( T `
 ( f `  k ) ) )  <_  k ) ) )
2 r19.35 2973 . . . . . . 7  |-  ( E. k  e.  NN  (
( L `  (
f `  k )
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 ( f `  k ) ) )  <_  k )  <->  ( A. k  e.  NN  ( L `  ( f `  k ) )  <_ 
1  ->  E. k  e.  NN  ( M `  ( T `  ( f `
 k ) ) )  <_  k )
)
32imbi2i 313 . . . . . 6  |-  ( ( f : NN --> X  ->  E. k  e.  NN  ( ( L `  ( f `  k
) )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  ( f `  k ) ) )  <_  k ) )  <-> 
( f : NN --> X  ->  ( A. k  e.  NN  ( L `  ( f `  k
) )  <_  1  ->  E. k  e.  NN  ( M `  ( T `
 ( f `  k ) ) )  <_  k ) ) )
41, 3bitr4i 255 . . . . 5  |-  ( ( ( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  ( L `  ( f `  k
) )  <_  1
)  ->  E. k  e.  NN  ( M `  ( T `  ( f `
 k ) ) )  <_  k )  <->  ( f : NN --> X  ->  E. k  e.  NN  ( ( L `  ( f `  k
) )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  ( f `  k ) ) )  <_  k ) ) )
54albii 1687 . . . 4  |-  ( A. f ( ( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  ( L `  ( f `  k ) )  <_ 
1 )  ->  E. k  e.  NN  ( M `  ( T `  ( f `
 k ) ) )  <_  k )  <->  A. f ( f : NN --> X  ->  E. k  e.  NN  ( ( L `
 ( f `  k ) )  <_ 
1  ->  ( M `  ( T `  (
f `  k )
) )  <_  k
) ) )
6 nmoubi.1 . . . . . . . . 9  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
7 fvex 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( BaseSet `  U )  e.  _V
86, 7eqeltri 2504 . . . . . . . 8  |-  X  e. 
_V
9 nnenom 12179 . . . . . . . 8  |-  NN  ~~  om
10 fveq2 5872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( f `  k )  ->  ( L `  y )  =  ( L `  ( f `  k
) ) )
1110breq1d 4427 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( f `  k )  ->  (
( L `  y
)  <_  1  <->  ( L `  ( f `  k
) )  <_  1
) )
12 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( f `  k )  ->  ( T `  y )  =  ( T `  ( f `  k
) ) )
1312fveq2d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( f `  k )  ->  ( M `  ( T `  y ) )  =  ( M `  ( T `  ( f `  k ) ) ) )
1413breq1d 4427 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( f `  k )  ->  (
( M `  ( T `  y )
)  <_  k  <->  ( M `  ( T `  (
f `  k )
) )  <_  k
) )
1511, 14imbi12d 321 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( f `  k )  ->  (
( ( L `  y )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  y )
)  <_  k )  <->  ( ( L `  (
f `  k )
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 ( f `  k ) ) )  <_  k ) ) )
1615notbid 295 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( f `  k )  ->  ( -.  ( ( L `  y )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  y )
)  <_  k )  <->  -.  ( ( L `  ( f `  k
) )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  ( f `  k ) ) )  <_  k ) ) )
178, 9, 16axcc4 8858 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  NN  E. y  e.  X  -.  (
( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  k )  ->  E. f ( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  -.  ( ( L `  ( f `  k
) )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  ( f `  k ) ) )  <_  k ) ) )
1817con3i 140 . . . . . 6  |-  ( -. 
E. f ( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  -.  ( ( L `  ( f `  k
) )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  ( f `  k ) ) )  <_  k ) )  ->  -.  A. k  e.  NN  E. y  e.  X  -.  ( ( L `  y )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  y ) )  <_ 
k ) )
19 dfrex2 2874 . . . . . . . . 9  |-  ( E. k  e.  NN  (
( L `  (
f `  k )
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 ( f `  k ) ) )  <_  k )  <->  -.  A. k  e.  NN  -.  ( ( L `  ( f `
 k ) )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  ( f `  k
) ) )  <_ 
k ) )
2019imbi2i 313 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : NN --> X  ->  E. k  e.  NN  ( ( L `  ( f `  k
) )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  ( f `  k ) ) )  <_  k ) )  <-> 
( f : NN --> X  ->  -.  A. k  e.  NN  -.  ( ( L `  ( f `
 k ) )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  ( f `  k
) ) )  <_ 
k ) ) )
2120albii 1687 . . . . . . 7  |-  ( A. f ( f : NN --> X  ->  E. k  e.  NN  ( ( L `
 ( f `  k ) )  <_ 
1  ->  ( M `  ( T `  (
f `  k )
) )  <_  k
) )  <->  A. f
( f : NN --> X  ->  -.  A. k  e.  NN  -.  ( ( L `  ( f `
 k ) )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  ( f `  k
) ) )  <_ 
k ) ) )
22 alinexa 1708 . . . . . . 7  |-  ( A. f ( f : NN --> X  ->  -.  A. k  e.  NN  -.  ( ( L `  ( f `  k
) )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  ( f `  k ) ) )  <_  k ) )  <->  -.  E. f ( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  -.  ( ( L `  ( f `  k
) )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  ( f `  k ) ) )  <_  k ) ) )
2321, 22bitri 252 . . . . . 6  |-  ( A. f ( f : NN --> X  ->  E. k  e.  NN  ( ( L `
 ( f `  k ) )  <_ 
1  ->  ( M `  ( T `  (
f `  k )
) )  <_  k
) )  <->  -.  E. f
( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  -.  ( ( L `  ( f `
 k ) )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  ( f `  k
) ) )  <_ 
k ) ) )
24 dfral2 2870 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  k )  <->  -.  E. y  e.  X  -.  (
( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  k ) )
2524rexbii 2925 . . . . . . 7  |-  ( E. k  e.  NN  A. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  k )  <->  E. k  e.  NN  -.  E. y  e.  X  -.  (
( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  k ) )
26 rexnal 2871 . . . . . . 7  |-  ( E. k  e.  NN  -.  E. y  e.  X  -.  ( ( L `  y )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  y )
)  <_  k )  <->  -. 
A. k  e.  NN  E. y  e.  X  -.  ( ( L `  y )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  y )
)  <_  k )
)
2725, 26bitri 252 . . . . . 6  |-  ( E. k  e.  NN  A. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  k )  <->  -.  A. k  e.  NN  E. y  e.  X  -.  ( ( L `  y )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  y ) )  <_ 
k ) )
2818, 23, 273imtr4i 269 . . . . 5  |-  ( A. f ( f : NN --> X  ->  E. k  e.  NN  ( ( L `
 ( f `  k ) )  <_ 
1  ->  ( M `  ( T `  (
f `  k )
) )  <_  k
) )  ->  E. k  e.  NN  A. y  e.  X  ( ( L `
 y )  <_ 
1  ->  ( M `  ( T `  y
) )  <_  k
) )
29 nnre 10605 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR )
3029anim1i 570 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. y  e.  X  ( ( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  k ) )  ->  ( k  e.  RR  /\  A. y  e.  X  ( ( L `  y )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  y
) )  <_  k
) ) )
3130reximi2 2890 . . . . 5  |-  ( E. k  e.  NN  A. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  k )  ->  E. k  e.  RR  A. y  e.  X  ( ( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  k ) )
3228, 31syl 17 . . . 4  |-  ( A. f ( f : NN --> X  ->  E. k  e.  NN  ( ( L `
 ( f `  k ) )  <_ 
1  ->  ( M `  ( T `  (
f `  k )
) )  <_  k
) )  ->  E. k  e.  RR  A. y  e.  X  ( ( L `
 y )  <_ 
1  ->  ( M `  ( T `  y
) )  <_  k
) )
335, 32sylbi 198 . . 3  |-  ( A. f ( ( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  ( L `  ( f `  k ) )  <_ 
1 )  ->  E. k  e.  NN  ( M `  ( T `  ( f `
 k ) ) )  <_  k )  ->  E. k  e.  RR  A. y  e.  X  ( ( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  k ) )
34 nmoubi.y . . . 4  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
35 nmoubi.l . . . 4  |-  L  =  ( normCV `  U )
36 nmoubi.m . . . 4  |-  M  =  ( normCV `  W )
37 nmoubi.3 . . . 4  |-  N  =  ( U normOpOLD W
)
38 nmoubi.u . . . 4  |-  U  e.  NrmCVec
39 nmoubi.w . . . 4  |-  W  e.  NrmCVec
406, 34, 35, 36, 37, 38, 39nmobndi 26287 . . 3  |-  ( T : X --> Y  -> 
( ( N `  T )  e.  RR  <->  E. k  e.  RR  A. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  k ) ) )
4133, 40syl5ibr 224 . 2  |-  ( T : X --> Y  -> 
( A. f ( ( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  ( L `  ( f `  k
) )  <_  1
)  ->  E. k  e.  NN  ( M `  ( T `  ( f `
 k ) ) )  <_  k )  ->  ( N `  T
)  e.  RR ) )
4241imp 430 1  |-  ( ( T : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  ( L `  ( f `  k ) )  <_ 
1 )  ->  E. k  e.  NN  ( M `  ( T `  ( f `
 k ) ) )  <_  k )
)  ->  ( N `  T )  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370   A.wal 1435    = wceq 1437   E.wex 1659    e. wcel 1867   A.wral 2773   E.wrex 2774   _Vcvv 3078   class class class wbr 4417   -->wf 5588   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   RRcr 9527   1c1 9529    <_ cle 9665   NNcn 10598   NrmCVeccnv 26074   BaseSetcba 26076   normCVcnmcv 26080   normOpOLDcnmoo 26253
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-inf2 8137  ax-cc 8854  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605  ax-pre-sup 9606
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-er 7362  df-map 7473  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-sup 7953  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-div 10259  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-n0 10859  df-z 10927  df-uz 11149  df-rp 11292  df-seq 12200  df-exp 12259  df-cj 13130  df-re 13131  df-im 13132  df-sqrt 13266  df-abs 13267  df-grpo 25790  df-gid 25791  df-ginv 25792  df-ablo 25881  df-vc 26036  df-nv 26082  df-va 26085  df-ba 26086  df-sm 26087  df-0v 26088  df-nmcv 26090  df-nmoo 26257
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