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Theorem nmobndseqi 25398
Description: A bounded sequence determines a bounded operator. (Contributed by NM, 18-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Apr-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoubi.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nmoubi.y  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
nmoubi.l  |-  L  =  ( normCV `  U )
nmoubi.m  |-  M  =  ( normCV `  W )
nmoubi.3  |-  N  =  ( U normOpOLD W
)
nmoubi.u  |-  U  e.  NrmCVec
nmoubi.w  |-  W  e.  NrmCVec
Assertion
Ref Expression
nmobndseqi  |-  ( ( T : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  ( L `  ( f `  k ) )  <_ 
1 )  ->  E. k  e.  NN  ( M `  ( T `  ( f `
 k ) ) )  <_  k )
)  ->  ( N `  T )  e.  RR )
Distinct variable groups:    f, k, L    k, Y    f, M, k    T, f, k    f, X, k    k, N
Allowed substitution hints:    U( f, k)    N( f)    W( f, k)    Y( f)

Proof of Theorem nmobndseqi
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 impexp 446 . . . . . 6  |-  ( ( ( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  ( L `  ( f `  k
) )  <_  1
)  ->  E. k  e.  NN  ( M `  ( T `  ( f `
 k ) ) )  <_  k )  <->  ( f : NN --> X  -> 
( A. k  e.  NN  ( L `  ( f `  k
) )  <_  1  ->  E. k  e.  NN  ( M `  ( T `
 ( f `  k ) ) )  <_  k ) ) )
2 r19.35 3008 . . . . . . 7  |-  ( E. k  e.  NN  (
( L `  (
f `  k )
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 ( f `  k ) ) )  <_  k )  <->  ( A. k  e.  NN  ( L `  ( f `  k ) )  <_ 
1  ->  E. k  e.  NN  ( M `  ( T `  ( f `
 k ) ) )  <_  k )
)
32imbi2i 312 . . . . . 6  |-  ( ( f : NN --> X  ->  E. k  e.  NN  ( ( L `  ( f `  k
) )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  ( f `  k ) ) )  <_  k ) )  <-> 
( f : NN --> X  ->  ( A. k  e.  NN  ( L `  ( f `  k
) )  <_  1  ->  E. k  e.  NN  ( M `  ( T `
 ( f `  k ) ) )  <_  k ) ) )
41, 3bitr4i 252 . . . . 5  |-  ( ( ( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  ( L `  ( f `  k
) )  <_  1
)  ->  E. k  e.  NN  ( M `  ( T `  ( f `
 k ) ) )  <_  k )  <->  ( f : NN --> X  ->  E. k  e.  NN  ( ( L `  ( f `  k
) )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  ( f `  k ) ) )  <_  k ) ) )
54albii 1620 . . . 4  |-  ( A. f ( ( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  ( L `  ( f `  k ) )  <_ 
1 )  ->  E. k  e.  NN  ( M `  ( T `  ( f `
 k ) ) )  <_  k )  <->  A. f ( f : NN --> X  ->  E. k  e.  NN  ( ( L `
 ( f `  k ) )  <_ 
1  ->  ( M `  ( T `  (
f `  k )
) )  <_  k
) ) )
6 nmoubi.1 . . . . . . . . 9  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
7 fvex 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( BaseSet `  U )  e.  _V
86, 7eqeltri 2551 . . . . . . . 8  |-  X  e. 
_V
9 nnenom 12058 . . . . . . . 8  |-  NN  ~~  om
10 fveq2 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( f `  k )  ->  ( L `  y )  =  ( L `  ( f `  k
) ) )
1110breq1d 4457 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( f `  k )  ->  (
( L `  y
)  <_  1  <->  ( L `  ( f `  k
) )  <_  1
) )
12 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( f `  k )  ->  ( T `  y )  =  ( T `  ( f `  k
) ) )
1312fveq2d 5870 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( f `  k )  ->  ( M `  ( T `  y ) )  =  ( M `  ( T `  ( f `  k ) ) ) )
1413breq1d 4457 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( f `  k )  ->  (
( M `  ( T `  y )
)  <_  k  <->  ( M `  ( T `  (
f `  k )
) )  <_  k
) )
1511, 14imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( f `  k )  ->  (
( ( L `  y )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  y )
)  <_  k )  <->  ( ( L `  (
f `  k )
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 ( f `  k ) ) )  <_  k ) ) )
1615notbid 294 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( f `  k )  ->  ( -.  ( ( L `  y )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  y )
)  <_  k )  <->  -.  ( ( L `  ( f `  k
) )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  ( f `  k ) ) )  <_  k ) ) )
178, 9, 16axcc4 8819 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  NN  E. y  e.  X  -.  (
( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  k )  ->  E. f ( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  -.  ( ( L `  ( f `  k
) )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  ( f `  k ) ) )  <_  k ) ) )
1817con3i 135 . . . . . 6  |-  ( -. 
E. f ( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  -.  ( ( L `  ( f `  k
) )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  ( f `  k ) ) )  <_  k ) )  ->  -.  A. k  e.  NN  E. y  e.  X  -.  ( ( L `  y )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  y ) )  <_ 
k ) )
19 dfrex2 2915 . . . . . . . . 9  |-  ( E. k  e.  NN  (
( L `  (
f `  k )
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 ( f `  k ) ) )  <_  k )  <->  -.  A. k  e.  NN  -.  ( ( L `  ( f `
 k ) )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  ( f `  k
) ) )  <_ 
k ) )
2019imbi2i 312 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : NN --> X  ->  E. k  e.  NN  ( ( L `  ( f `  k
) )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  ( f `  k ) ) )  <_  k ) )  <-> 
( f : NN --> X  ->  -.  A. k  e.  NN  -.  ( ( L `  ( f `
 k ) )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  ( f `  k
) ) )  <_ 
k ) ) )
2120albii 1620 . . . . . . 7  |-  ( A. f ( f : NN --> X  ->  E. k  e.  NN  ( ( L `
 ( f `  k ) )  <_ 
1  ->  ( M `  ( T `  (
f `  k )
) )  <_  k
) )  <->  A. f
( f : NN --> X  ->  -.  A. k  e.  NN  -.  ( ( L `  ( f `
 k ) )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  ( f `  k
) ) )  <_ 
k ) ) )
22 alinexa 1640 . . . . . . 7  |-  ( A. f ( f : NN --> X  ->  -.  A. k  e.  NN  -.  ( ( L `  ( f `  k
) )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  ( f `  k ) ) )  <_  k ) )  <->  -.  E. f ( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  -.  ( ( L `  ( f `  k
) )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  ( f `  k ) ) )  <_  k ) ) )
2321, 22bitri 249 . . . . . 6  |-  ( A. f ( f : NN --> X  ->  E. k  e.  NN  ( ( L `
 ( f `  k ) )  <_ 
1  ->  ( M `  ( T `  (
f `  k )
) )  <_  k
) )  <->  -.  E. f
( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  -.  ( ( L `  ( f `
 k ) )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  ( f `  k
) ) )  <_ 
k ) ) )
24 dfral2 2911 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  k )  <->  -.  E. y  e.  X  -.  (
( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  k ) )
2524rexbii 2965 . . . . . . 7  |-  ( E. k  e.  NN  A. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  k )  <->  E. k  e.  NN  -.  E. y  e.  X  -.  (
( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  k ) )
26 rexnal 2912 . . . . . . 7  |-  ( E. k  e.  NN  -.  E. y  e.  X  -.  ( ( L `  y )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  y )
)  <_  k )  <->  -. 
A. k  e.  NN  E. y  e.  X  -.  ( ( L `  y )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  y )
)  <_  k )
)
2725, 26bitri 249 . . . . . 6  |-  ( E. k  e.  NN  A. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  k )  <->  -.  A. k  e.  NN  E. y  e.  X  -.  ( ( L `  y )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  y ) )  <_ 
k ) )
2818, 23, 273imtr4i 266 . . . . 5  |-  ( A. f ( f : NN --> X  ->  E. k  e.  NN  ( ( L `
 ( f `  k ) )  <_ 
1  ->  ( M `  ( T `  (
f `  k )
) )  <_  k
) )  ->  E. k  e.  NN  A. y  e.  X  ( ( L `
 y )  <_ 
1  ->  ( M `  ( T `  y
) )  <_  k
) )
29 nnre 10543 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR )
3029anim1i 568 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. y  e.  X  ( ( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  k ) )  ->  ( k  e.  RR  /\  A. y  e.  X  ( ( L `  y )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  y
) )  <_  k
) ) )
3130reximi2 2931 . . . . 5  |-  ( E. k  e.  NN  A. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  k )  ->  E. k  e.  RR  A. y  e.  X  ( ( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  k ) )
3228, 31syl 16 . . . 4  |-  ( A. f ( f : NN --> X  ->  E. k  e.  NN  ( ( L `
 ( f `  k ) )  <_ 
1  ->  ( M `  ( T `  (
f `  k )
) )  <_  k
) )  ->  E. k  e.  RR  A. y  e.  X  ( ( L `
 y )  <_ 
1  ->  ( M `  ( T `  y
) )  <_  k
) )
335, 32sylbi 195 . . 3  |-  ( A. f ( ( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  ( L `  ( f `  k ) )  <_ 
1 )  ->  E. k  e.  NN  ( M `  ( T `  ( f `
 k ) ) )  <_  k )  ->  E. k  e.  RR  A. y  e.  X  ( ( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  k ) )
34 nmoubi.y . . . 4  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
35 nmoubi.l . . . 4  |-  L  =  ( normCV `  U )
36 nmoubi.m . . . 4  |-  M  =  ( normCV `  W )
37 nmoubi.3 . . . 4  |-  N  =  ( U normOpOLD W
)
38 nmoubi.u . . . 4  |-  U  e.  NrmCVec
39 nmoubi.w . . . 4  |-  W  e.  NrmCVec
406, 34, 35, 36, 37, 38, 39nmobndi 25394 . . 3  |-  ( T : X --> Y  -> 
( ( N `  T )  e.  RR  <->  E. k  e.  RR  A. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  k ) ) )
4133, 40syl5ibr 221 . 2  |-  ( T : X --> Y  -> 
( A. f ( ( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  ( L `  ( f `  k
) )  <_  1
)  ->  E. k  e.  NN  ( M `  ( T `  ( f `
 k ) ) )  <_  k )  ->  ( N `  T
)  e.  RR ) )
4241imp 429 1  |-  ( ( T : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  ( L `  ( f `  k ) )  <_ 
1 )  ->  E. k  e.  NN  ( M `  ( T `  ( f `
 k ) ) )  <_  k )
)  ->  ( N `  T )  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369   A.wal 1377    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113   class class class wbr 4447   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   RRcr 9491   1c1 9493    <_ cle 9629   NNcn 10536   NrmCVeccnv 25181   BaseSetcba 25183   normCVcnmcv 25187   normOpOLDcnmoo 25360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cc 8815  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-sup 7901  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-rp 11221  df-seq 12076  df-exp 12135  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-grpo 24897  df-gid 24898  df-ginv 24899  df-ablo 24988  df-vc 25143  df-nv 25189  df-va 25192  df-ba 25193  df-sm 25194  df-0v 25195  df-nmcv 25197  df-nmoo 25364
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