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Theorem nmobndseqi 24184
Description: A bounded sequence determines a bounded operator. (Contributed by NM, 18-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Apr-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoubi.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nmoubi.y  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
nmoubi.l  |-  L  =  ( normCV `  U )
nmoubi.m  |-  M  =  ( normCV `  W )
nmoubi.3  |-  N  =  ( U normOpOLD W
)
nmoubi.u  |-  U  e.  NrmCVec
nmoubi.w  |-  W  e.  NrmCVec
Assertion
Ref Expression
nmobndseqi  |-  ( ( T : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  ( L `  ( f `  k ) )  <_ 
1 )  ->  E. k  e.  NN  ( M `  ( T `  ( f `
 k ) ) )  <_  k )
)  ->  ( N `  T )  e.  RR )
Distinct variable groups:    f, k, L    k, Y    f, M, k    T, f, k    f, X, k    k, N
Allowed substitution hints:    U( f, k)    N( f)    W( f, k)    Y( f)

Proof of Theorem nmobndseqi
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 impexp 446 . . . . . 6  |-  ( ( ( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  ( L `  ( f `  k
) )  <_  1
)  ->  E. k  e.  NN  ( M `  ( T `  ( f `
 k ) ) )  <_  k )  <->  ( f : NN --> X  -> 
( A. k  e.  NN  ( L `  ( f `  k
) )  <_  1  ->  E. k  e.  NN  ( M `  ( T `
 ( f `  k ) ) )  <_  k ) ) )
2 r19.35 2872 . . . . . . 7  |-  ( E. k  e.  NN  (
( L `  (
f `  k )
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 ( f `  k ) ) )  <_  k )  <->  ( A. k  e.  NN  ( L `  ( f `  k ) )  <_ 
1  ->  E. k  e.  NN  ( M `  ( T `  ( f `
 k ) ) )  <_  k )
)
32imbi2i 312 . . . . . 6  |-  ( ( f : NN --> X  ->  E. k  e.  NN  ( ( L `  ( f `  k
) )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  ( f `  k ) ) )  <_  k ) )  <-> 
( f : NN --> X  ->  ( A. k  e.  NN  ( L `  ( f `  k
) )  <_  1  ->  E. k  e.  NN  ( M `  ( T `
 ( f `  k ) ) )  <_  k ) ) )
41, 3bitr4i 252 . . . . 5  |-  ( ( ( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  ( L `  ( f `  k
) )  <_  1
)  ->  E. k  e.  NN  ( M `  ( T `  ( f `
 k ) ) )  <_  k )  <->  ( f : NN --> X  ->  E. k  e.  NN  ( ( L `  ( f `  k
) )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  ( f `  k ) ) )  <_  k ) ) )
54albii 1610 . . . 4  |-  ( A. f ( ( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  ( L `  ( f `  k ) )  <_ 
1 )  ->  E. k  e.  NN  ( M `  ( T `  ( f `
 k ) ) )  <_  k )  <->  A. f ( f : NN --> X  ->  E. k  e.  NN  ( ( L `
 ( f `  k ) )  <_ 
1  ->  ( M `  ( T `  (
f `  k )
) )  <_  k
) ) )
6 nmoubi.1 . . . . . . . . 9  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
7 fvex 5706 . . . . . . . . 9  |-  ( BaseSet `  U )  e.  _V
86, 7eqeltri 2513 . . . . . . . 8  |-  X  e. 
_V
9 nnenom 11807 . . . . . . . 8  |-  NN  ~~  om
10 fveq2 5696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( f `  k )  ->  ( L `  y )  =  ( L `  ( f `  k
) ) )
1110breq1d 4307 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( f `  k )  ->  (
( L `  y
)  <_  1  <->  ( L `  ( f `  k
) )  <_  1
) )
12 fveq2 5696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( f `  k )  ->  ( T `  y )  =  ( T `  ( f `  k
) ) )
1312fveq2d 5700 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( f `  k )  ->  ( M `  ( T `  y ) )  =  ( M `  ( T `  ( f `  k ) ) ) )
1413breq1d 4307 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( f `  k )  ->  (
( M `  ( T `  y )
)  <_  k  <->  ( M `  ( T `  (
f `  k )
) )  <_  k
) )
1511, 14imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( f `  k )  ->  (
( ( L `  y )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  y )
)  <_  k )  <->  ( ( L `  (
f `  k )
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 ( f `  k ) ) )  <_  k ) ) )
1615notbid 294 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( f `  k )  ->  ( -.  ( ( L `  y )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  y )
)  <_  k )  <->  -.  ( ( L `  ( f `  k
) )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  ( f `  k ) ) )  <_  k ) ) )
178, 9, 16axcc4 8613 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  NN  E. y  e.  X  -.  (
( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  k )  ->  E. f ( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  -.  ( ( L `  ( f `  k
) )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  ( f `  k ) ) )  <_  k ) ) )
1817con3i 135 . . . . . 6  |-  ( -. 
E. f ( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  -.  ( ( L `  ( f `  k
) )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  ( f `  k ) ) )  <_  k ) )  ->  -.  A. k  e.  NN  E. y  e.  X  -.  ( ( L `  y )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  y ) )  <_ 
k ) )
19 dfrex2 2733 . . . . . . . . 9  |-  ( E. k  e.  NN  (
( L `  (
f `  k )
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 ( f `  k ) ) )  <_  k )  <->  -.  A. k  e.  NN  -.  ( ( L `  ( f `
 k ) )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  ( f `  k
) ) )  <_ 
k ) )
2019imbi2i 312 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : NN --> X  ->  E. k  e.  NN  ( ( L `  ( f `  k
) )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  ( f `  k ) ) )  <_  k ) )  <-> 
( f : NN --> X  ->  -.  A. k  e.  NN  -.  ( ( L `  ( f `
 k ) )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  ( f `  k
) ) )  <_ 
k ) ) )
2120albii 1610 . . . . . . 7  |-  ( A. f ( f : NN --> X  ->  E. k  e.  NN  ( ( L `
 ( f `  k ) )  <_ 
1  ->  ( M `  ( T `  (
f `  k )
) )  <_  k
) )  <->  A. f
( f : NN --> X  ->  -.  A. k  e.  NN  -.  ( ( L `  ( f `
 k ) )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  ( f `  k
) ) )  <_ 
k ) ) )
22 alinexa 1630 . . . . . . 7  |-  ( A. f ( f : NN --> X  ->  -.  A. k  e.  NN  -.  ( ( L `  ( f `  k
) )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  ( f `  k ) ) )  <_  k ) )  <->  -.  E. f ( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  -.  ( ( L `  ( f `  k
) )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  ( f `  k ) ) )  <_  k ) ) )
2321, 22bitri 249 . . . . . 6  |-  ( A. f ( f : NN --> X  ->  E. k  e.  NN  ( ( L `
 ( f `  k ) )  <_ 
1  ->  ( M `  ( T `  (
f `  k )
) )  <_  k
) )  <->  -.  E. f
( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  -.  ( ( L `  ( f `
 k ) )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  ( f `  k
) ) )  <_ 
k ) ) )
24 dfral2 2732 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  k )  <->  -.  E. y  e.  X  -.  (
( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  k ) )
2524rexbii 2745 . . . . . . 7  |-  ( E. k  e.  NN  A. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  k )  <->  E. k  e.  NN  -.  E. y  e.  X  -.  (
( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  k ) )
26 rexnal 2731 . . . . . . 7  |-  ( E. k  e.  NN  -.  E. y  e.  X  -.  ( ( L `  y )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  y )
)  <_  k )  <->  -. 
A. k  e.  NN  E. y  e.  X  -.  ( ( L `  y )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  y )
)  <_  k )
)
2725, 26bitri 249 . . . . . 6  |-  ( E. k  e.  NN  A. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  k )  <->  -.  A. k  e.  NN  E. y  e.  X  -.  ( ( L `  y )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  y ) )  <_ 
k ) )
2818, 23, 273imtr4i 266 . . . . 5  |-  ( A. f ( f : NN --> X  ->  E. k  e.  NN  ( ( L `
 ( f `  k ) )  <_ 
1  ->  ( M `  ( T `  (
f `  k )
) )  <_  k
) )  ->  E. k  e.  NN  A. y  e.  X  ( ( L `
 y )  <_ 
1  ->  ( M `  ( T `  y
) )  <_  k
) )
29 nnre 10334 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR )
3029anim1i 568 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. y  e.  X  ( ( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  k ) )  ->  ( k  e.  RR  /\  A. y  e.  X  ( ( L `  y )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  y
) )  <_  k
) ) )
3130reximi2 2827 . . . . 5  |-  ( E. k  e.  NN  A. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  k )  ->  E. k  e.  RR  A. y  e.  X  ( ( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  k ) )
3228, 31syl 16 . . . 4  |-  ( A. f ( f : NN --> X  ->  E. k  e.  NN  ( ( L `
 ( f `  k ) )  <_ 
1  ->  ( M `  ( T `  (
f `  k )
) )  <_  k
) )  ->  E. k  e.  RR  A. y  e.  X  ( ( L `
 y )  <_ 
1  ->  ( M `  ( T `  y
) )  <_  k
) )
335, 32sylbi 195 . . 3  |-  ( A. f ( ( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  ( L `  ( f `  k ) )  <_ 
1 )  ->  E. k  e.  NN  ( M `  ( T `  ( f `
 k ) ) )  <_  k )  ->  E. k  e.  RR  A. y  e.  X  ( ( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  k ) )
34 nmoubi.y . . . 4  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
35 nmoubi.l . . . 4  |-  L  =  ( normCV `  U )
36 nmoubi.m . . . 4  |-  M  =  ( normCV `  W )
37 nmoubi.3 . . . 4  |-  N  =  ( U normOpOLD W
)
38 nmoubi.u . . . 4  |-  U  e.  NrmCVec
39 nmoubi.w . . . 4  |-  W  e.  NrmCVec
406, 34, 35, 36, 37, 38, 39nmobndi 24180 . . 3  |-  ( T : X --> Y  -> 
( ( N `  T )  e.  RR  <->  E. k  e.  RR  A. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  k ) ) )
4133, 40syl5ibr 221 . 2  |-  ( T : X --> Y  -> 
( A. f ( ( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  ( L `  ( f `  k
) )  <_  1
)  ->  E. k  e.  NN  ( M `  ( T `  ( f `
 k ) ) )  <_  k )  ->  ( N `  T
)  e.  RR ) )
4241imp 429 1  |-  ( ( T : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  ( L `  ( f `  k ) )  <_ 
1 )  ->  E. k  e.  NN  ( M `  ( T `  ( f `
 k ) ) )  <_  k )
)  ->  ( N `  T )  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369   A.wal 1367    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   A.wral 2720   E.wrex 2721   _Vcvv 2977   class class class wbr 4297   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   RRcr 9286   1c1 9288    <_ cle 9424   NNcn 10327   NrmCVeccnv 23967   BaseSetcba 23969   normCVcnmcv 23973   normOpOLDcnmoo 24146
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cc 8609  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-map 7221  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-sup 7696  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-rp 10997  df-seq 11812  df-exp 11871  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-grpo 23683  df-gid 23684  df-ginv 23685  df-ablo 23774  df-vc 23929  df-nv 23975  df-va 23978  df-ba 23979  df-sm 23980  df-0v 23981  df-nmcv 23983  df-nmoo 24150
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