Theorem nmobndseqi 9780

Description: A bounded sequence determines a bounded operator.

Hypotheses

Ref	Expression
nmoubi.1	|- X = (BaseSet` U)
nmoubi.y	|- Y = (BaseSet` W)
nmoubi.l	|- L = (norm` U)
nmoubi.m	|- M = (norm` W)
nmoubi.3	|- N = (UnormOpW)
nmoubi.u	|- U e. NrmCVec
nmoubi.w	|- W e. NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
nmobndseqi	|- ((T:X-->Y /\ A.f((f:NN-->X /\ A.k e. NN (L` (f` k)) <_ 1) -> E.k e. NN (M` (T` (f` k))) <_ k)) -> (N` T) e. RR)

Distinct variable groups:   f,k,L   f,M,k   k,N   T,f,k   f,X,k   k,Y

Proof of Theorem nmobndseqi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmoubi.1	. . . 4 |- X = (BaseSet` U)
2		nmoubi.y	. . . 4 |- Y = (BaseSet` W)
3		nmoubi.l	. . . 4 |- L = (norm` U)
4		nmoubi.m	. . . 4 |- M = (norm` W)
5		nmoubi.3	. . . 4 |- N = (UnormOpW)
6		nmoubi.u	. . . 4 |- U e. NrmCVec
7		nmoubi.w	. . . 4 |- W e. NrmCVec
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	nmobndi 9777	. . 3 |- (T:X-->Y -> ((N` T) e. RR <-> E.k e. RR A.y e. X ((L` y) <_ 1 -> (M` (T` y)) <_ k)))
9		impexp 374	. . . . . 6 |- (((f:NN-->X /\ A.k e. NN (L` (f` k)) <_ 1) -> E.k e. NN (M` (T` (f` k))) <_ k) <-> (f:NN-->X -> (A.k e. NN (L` (f` k)) <_ 1 -> E.k e. NN (M` (T` (f` k))) <_ k)))
10		r19.35 2231	. . . . . . 7 |- (E.k e. NN ((L` (f` k)) <_ 1 -> (M` (T` (f` k))) <_ k) <-> (A.k e. NN (L` (f` k)) <_ 1 -> E.k e. NN (M` (T` (f` k))) <_ k))
11	10	imbi2i 202	. . . . . 6 |- ((f:NN-->X -> E.k e. NN ((L` (f` k)) <_ 1 -> (M` (T` (f` k))) <_ k)) <-> (f:NN-->X -> (A.k e. NN (L` (f` k)) <_ 1 -> E.k e. NN (M` (T` (f` k))) <_ k)))
12	9, 11	bitr4i 193	. . . . 5 |- (((f:NN-->X /\ A.k e. NN (L` (f` k)) <_ 1) -> E.k e. NN (M` (T` (f` k))) <_ k) <-> (f:NN-->X -> E.k e. NN ((L` (f` k)) <_ 1 -> (M` (T` (f` k))) <_ k)))
13	12	albii 1346	. . . 4 |- (A.f((f:NN-->X /\ A.k e. NN (L` (f` k)) <_ 1) -> E.k e. NN (M` (T` (f` k))) <_ k) <-> A.f(f:NN-->X -> E.k e. NN ((L` (f` k)) <_ 1 -> (M` (T` (f` k))) <_ k)))
14		nnex 7116	. . . . . 6 |- NN e. _V
15		fveq2 4681	. . . . . . . 8 |- (y = (f` k) -> (L` y) = (L` (f` k)))
16	15	breq1d 3348	. . . . . . 7 |- (y = (f` k) -> ((L` y) <_ 1 <-> (L` (f` k)) <_ 1))
17		fveq2 4681	. . . . . . . . 9 |- (y = (f` k) -> (T` y) = (T` (f` k)))
18	17	fveq2d 4685	. . . . . . . 8 |- (y = (f` k) -> (M` (T` y)) = (M` (T` (f` k))))
19	18	breq1d 3348	. . . . . . 7 |- (y = (f` k) -> ((M` (T` y)) <_ k <-> (M` (T` (f` k))) <_ k))
20	16, 19	imbi12d 688	. . . . . 6 |- (y = (f` k) -> (((L` y) <_ 1 -> (M` (T` y)) <_ k) <-> ((L` (f` k)) <_ 1 -> (M` (T` (f` k))) <_ k)))
21	14, 20	ac6n 5919	. . . . 5 |- (A.f(f:NN-->X -> E.k e. NN ((L` (f` k)) <_ 1 -> (M` (T` (f` k))) <_ k)) -> E.k e. NN A.y e. X ((L` y) <_ 1 -> (M` (T` y)) <_ k))
22		nnre 7112	. . . . . . 7 |- (k e. NN -> k e. RR)
23	22	anim1i 361	. . . . . 6 |- ((k e. NN /\ A.y e. X ((L` y) <_ 1 -> (M` (T` y)) <_ k)) -> (k e. RR /\ A.y e. X ((L` y) <_ 1 -> (M` (T` y)) <_ k)))
24	23	reximi2 2197	. . . . 5 |- (E.k e. NN A.y e. X ((L` y) <_ 1 -> (M` (T` y)) <_ k) -> E.k e. RR A.y e. X ((L` y) <_ 1 -> (M` (T` y)) <_ k))
25	21, 24	syl 12	. . . 4 |- (A.f(f:NN-->X -> E.k e. NN ((L` (f` k)) <_ 1 -> (M` (T` (f` k))) <_ k)) -> E.k e. RR A.y e. X ((L` y) <_ 1 -> (M` (T` y)) <_ k))
26	13, 25	sylbi 216	. . 3 |- (A.f((f:NN-->X /\ A.k e. NN (L` (f` k)) <_ 1) -> E.k e. NN (M` (T` (f` k))) <_ k) -> E.k e. RR A.y e. X ((L` y) <_ 1 -> (M` (T` y)) <_ k))
27	8, 26	syl5bir 227	. 2 |- (T:X-->Y -> (A.f((f:NN-->X /\ A.k e. NN (L` (f` k)) <_ 1) -> E.k e. NN (M` (T` (f` k))) <_ k) -> (N` T) e. RR))
28	27	imp 377	1 |- ((T:X-->Y /\ A.f((f:NN-->X /\ A.k e. NN (L` (f` k)) <_ 1) -> E.k e. NN (M` (T` (f` k))) <_ k)) -> (N` T) e. RR)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106   class class class wbr 3338  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  RRcr 6385  1c1 6387   <_ cle 6448  NNcn 6449  NrmCVeccnv 9535  BaseSetcba 9537  normcnm 9541  normOpcnmo 9741

This theorem is referenced by:  htthlem12 9978

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-r1 5750  df-rank 5751  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-nm 9551  df-nmo 9745

Copyright terms: Public domain