MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmobndi Structured version   Unicode version

Theorem nmobndi 25817
Description: Two ways to express that an operator is bounded. (Contributed by NM, 11-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoubi.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nmoubi.y  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
nmoubi.l  |-  L  =  ( normCV `  U )
nmoubi.m  |-  M  =  ( normCV `  W )
nmoubi.3  |-  N  =  ( U normOpOLD W
)
nmoubi.u  |-  U  e.  NrmCVec
nmoubi.w  |-  W  e.  NrmCVec
Assertion
Ref Expression
nmobndi  |-  ( T : X --> Y  -> 
( ( N `  T )  e.  RR  <->  E. r  e.  RR  A. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  r ) ) )
Distinct variable groups:    y, r, L    y, U    y, W    Y, r, y    M, r, y    T, r, y    X, r, y    N, r, y
Allowed substitution hints:    U( r)    W( r)

Proof of Theorem nmobndi
StepHypRef Expression
1 leid 9697 . . . 4  |-  ( ( N `  T )  e.  RR  ->  ( N `  T )  <_  ( N `  T
) )
2 breq2 4460 . . . . 5  |-  ( r  =  ( N `  T )  ->  (
( N `  T
)  <_  r  <->  ( N `  T )  <_  ( N `  T )
) )
32rspcev 3210 . . . 4  |-  ( ( ( N `  T
)  e.  RR  /\  ( N `  T )  <_  ( N `  T ) )  ->  E. r  e.  RR  ( N `  T )  <_  r )
41, 3mpdan 668 . . 3  |-  ( ( N `  T )  e.  RR  ->  E. r  e.  RR  ( N `  T )  <_  r
)
5 nmoubi.u . . . . . . 7  |-  U  e.  NrmCVec
6 nmoubi.w . . . . . . 7  |-  W  e.  NrmCVec
7 nmoubi.1 . . . . . . . 8  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
8 nmoubi.y . . . . . . . 8  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
9 nmoubi.3 . . . . . . . 8  |-  N  =  ( U normOpOLD W
)
107, 8, 9nmoxr 25808 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X
--> Y )  ->  ( N `  T )  e.  RR* )
115, 6, 10mp3an12 1314 . . . . . 6  |-  ( T : X --> Y  -> 
( N `  T
)  e.  RR* )
1211adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( T : X --> Y  /\  ( r  e.  RR  /\  ( N `  T
)  <_  r )
)  ->  ( N `  T )  e.  RR* )
13 simprl 756 . . . . 5  |-  ( ( T : X --> Y  /\  ( r  e.  RR  /\  ( N `  T
)  <_  r )
)  ->  r  e.  RR )
147, 8, 9nmogtmnf 25812 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X
--> Y )  -> -oo  <  ( N `  T ) )
155, 6, 14mp3an12 1314 . . . . . 6  |-  ( T : X --> Y  -> -oo  <  ( N `  T ) )
1615adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( T : X --> Y  /\  ( r  e.  RR  /\  ( N `  T
)  <_  r )
)  -> -oo  <  ( N `  T )
)
17 simprr 757 . . . . 5  |-  ( ( T : X --> Y  /\  ( r  e.  RR  /\  ( N `  T
)  <_  r )
)  ->  ( N `  T )  <_  r
)
18 xrre 11395 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N `  T )  e.  RR*  /\  r  e.  RR )  /\  ( -oo  <  ( N `  T )  /\  ( N `  T )  <_  r
) )  ->  ( N `  T )  e.  RR )
1912, 13, 16, 17, 18syl22anc 1229 . . . 4  |-  ( ( T : X --> Y  /\  ( r  e.  RR  /\  ( N `  T
)  <_  r )
)  ->  ( N `  T )  e.  RR )
2019rexlimdvaa 2950 . . 3  |-  ( T : X --> Y  -> 
( E. r  e.  RR  ( N `  T )  <_  r  ->  ( N `  T
)  e.  RR ) )
214, 20impbid2 204 . 2  |-  ( T : X --> Y  -> 
( ( N `  T )  e.  RR  <->  E. r  e.  RR  ( N `  T )  <_  r ) )
22 rexr 9656 . . . 4  |-  ( r  e.  RR  ->  r  e.  RR* )
23 nmoubi.l . . . . 5  |-  L  =  ( normCV `  U )
24 nmoubi.m . . . . 5  |-  M  =  ( normCV `  W )
257, 8, 23, 24, 9, 5, 6nmoubi 25814 . . . 4  |-  ( ( T : X --> Y  /\  r  e.  RR* )  -> 
( ( N `  T )  <_  r  <->  A. y  e.  X  ( ( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  r ) ) )
2622, 25sylan2 474 . . 3  |-  ( ( T : X --> Y  /\  r  e.  RR )  ->  ( ( N `  T )  <_  r  <->  A. y  e.  X  ( ( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  r ) ) )
2726rexbidva 2965 . 2  |-  ( T : X --> Y  -> 
( E. r  e.  RR  ( N `  T )  <_  r  <->  E. r  e.  RR  A. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  r ) ) )
2821, 27bitrd 253 1  |-  ( T : X --> Y  -> 
( ( N `  T )  e.  RR  <->  E. r  e.  RR  A. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  r ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808   class class class wbr 4456   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   RRcr 9508   1c1 9510   -oocmnf 9643   RR*cxr 9644    < clt 9645    <_ cle 9646   NrmCVeccnv 25604   BaseSetcba 25606   normCVcnmcv 25610   normOpOLDcnmoo 25783
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-grpo 25320  df-gid 25321  df-ginv 25322  df-ablo 25411  df-vc 25566  df-nv 25612  df-va 25615  df-ba 25616  df-sm 25617  df-0v 25618  df-nmcv 25620  df-nmoo 25787
This theorem is referenced by:  nmounbi  25818  nmobndseqi  25821  nmobndseqiALT  25822  htthlem  25961
  Copyright terms: Public domain W3C validator