MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmobndi Structured version   Unicode version

Theorem nmobndi 24187
Description: Two ways to express that an operator is bounded. (Contributed by NM, 11-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoubi.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nmoubi.y  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
nmoubi.l  |-  L  =  ( normCV `  U )
nmoubi.m  |-  M  =  ( normCV `  W )
nmoubi.3  |-  N  =  ( U normOpOLD W
)
nmoubi.u  |-  U  e.  NrmCVec
nmoubi.w  |-  W  e.  NrmCVec
Assertion
Ref Expression
nmobndi  |-  ( T : X --> Y  -> 
( ( N `  T )  e.  RR  <->  E. r  e.  RR  A. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  r ) ) )
Distinct variable groups:    y, r, L    y, U    y, W    Y, r, y    M, r, y    T, r, y    X, r, y    N, r, y
Allowed substitution hints:    U( r)    W( r)

Proof of Theorem nmobndi
StepHypRef Expression
1 leid 9482 . . . 4  |-  ( ( N `  T )  e.  RR  ->  ( N `  T )  <_  ( N `  T
) )
2 breq2 4308 . . . . 5  |-  ( r  =  ( N `  T )  ->  (
( N `  T
)  <_  r  <->  ( N `  T )  <_  ( N `  T )
) )
32rspcev 3085 . . . 4  |-  ( ( ( N `  T
)  e.  RR  /\  ( N `  T )  <_  ( N `  T ) )  ->  E. r  e.  RR  ( N `  T )  <_  r )
41, 3mpdan 668 . . 3  |-  ( ( N `  T )  e.  RR  ->  E. r  e.  RR  ( N `  T )  <_  r
)
5 nmoubi.u . . . . . . 7  |-  U  e.  NrmCVec
6 nmoubi.w . . . . . . 7  |-  W  e.  NrmCVec
7 nmoubi.1 . . . . . . . 8  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
8 nmoubi.y . . . . . . . 8  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
9 nmoubi.3 . . . . . . . 8  |-  N  =  ( U normOpOLD W
)
107, 8, 9nmoxr 24178 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X
--> Y )  ->  ( N `  T )  e.  RR* )
115, 6, 10mp3an12 1304 . . . . . 6  |-  ( T : X --> Y  -> 
( N `  T
)  e.  RR* )
1211adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( T : X --> Y  /\  ( r  e.  RR  /\  ( N `  T
)  <_  r )
)  ->  ( N `  T )  e.  RR* )
13 simprl 755 . . . . 5  |-  ( ( T : X --> Y  /\  ( r  e.  RR  /\  ( N `  T
)  <_  r )
)  ->  r  e.  RR )
147, 8, 9nmogtmnf 24182 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X
--> Y )  -> -oo  <  ( N `  T ) )
155, 6, 14mp3an12 1304 . . . . . 6  |-  ( T : X --> Y  -> -oo  <  ( N `  T ) )
1615adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( T : X --> Y  /\  ( r  e.  RR  /\  ( N `  T
)  <_  r )
)  -> -oo  <  ( N `  T )
)
17 simprr 756 . . . . 5  |-  ( ( T : X --> Y  /\  ( r  e.  RR  /\  ( N `  T
)  <_  r )
)  ->  ( N `  T )  <_  r
)
18 xrre 11153 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N `  T )  e.  RR*  /\  r  e.  RR )  /\  ( -oo  <  ( N `  T )  /\  ( N `  T )  <_  r
) )  ->  ( N `  T )  e.  RR )
1912, 13, 16, 17, 18syl22anc 1219 . . . 4  |-  ( ( T : X --> Y  /\  ( r  e.  RR  /\  ( N `  T
)  <_  r )
)  ->  ( N `  T )  e.  RR )
2019rexlimdvaa 2854 . . 3  |-  ( T : X --> Y  -> 
( E. r  e.  RR  ( N `  T )  <_  r  ->  ( N `  T
)  e.  RR ) )
214, 20impbid2 204 . 2  |-  ( T : X --> Y  -> 
( ( N `  T )  e.  RR  <->  E. r  e.  RR  ( N `  T )  <_  r ) )
22 rexr 9441 . . . 4  |-  ( r  e.  RR  ->  r  e.  RR* )
23 nmoubi.l . . . . 5  |-  L  =  ( normCV `  U )
24 nmoubi.m . . . . 5  |-  M  =  ( normCV `  W )
257, 8, 23, 24, 9, 5, 6nmoubi 24184 . . . 4  |-  ( ( T : X --> Y  /\  r  e.  RR* )  -> 
( ( N `  T )  <_  r  <->  A. y  e.  X  ( ( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  r ) ) )
2622, 25sylan2 474 . . 3  |-  ( ( T : X --> Y  /\  r  e.  RR )  ->  ( ( N `  T )  <_  r  <->  A. y  e.  X  ( ( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  r ) ) )
2726rexbidva 2744 . 2  |-  ( T : X --> Y  -> 
( E. r  e.  RR  ( N `  T )  <_  r  <->  E. r  e.  RR  A. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  r ) ) )
2821, 27bitrd 253 1  |-  ( T : X --> Y  -> 
( ( N `  T )  e.  RR  <->  E. r  e.  RR  A. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  r ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2727   E.wrex 2728   class class class wbr 4304   -->wf 5426   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   RRcr 9293   1c1 9295   -oocmnf 9428   RR*cxr 9429    < clt 9430    <_ cle 9431   NrmCVeccnv 23974   BaseSetcba 23976   normCVcnmcv 23980   normOpOLDcnmoo 24153
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-er 7113  df-map 7228  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-sup 7703  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-rp 11004  df-seq 11819  df-exp 11878  df-cj 12600  df-re 12601  df-im 12602  df-sqr 12736  df-abs 12737  df-grpo 23690  df-gid 23691  df-ginv 23692  df-ablo 23781  df-vc 23936  df-nv 23982  df-va 23985  df-ba 23986  df-sm 23987  df-0v 23988  df-nmcv 23990  df-nmoo 24157
This theorem is referenced by:  nmounbi  24188  nmobndseqi  24191  nmobndseqiOLD  24192  htthlem  24331
  Copyright terms: Public domain W3C validator