Theorem nmo0 9791

Description: The operator norm of the zero operator.

Hypotheses

Ref	Expression
nmo0.3	|- N = (UnormOpW)
nmo0.0	|- Z = (U 0op W)

Assertion

Ref	Expression
nmo0	|- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (N` Z) = 0)

Proof of Theorem nmo0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1884	. . . . 5 |- (BaseSet` U) = (BaseSet` U)
2		eqid 1884	. . . . 5 |- (BaseSet` W) = (BaseSet` W)
3		nmo0.0	. . . . 5 |- Z = (U 0op W)
4	1, 2, 3	0oo 9789	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> Z:(BaseSet` U)-->(BaseSet` W))
5		eqid 1884	. . . . 5 |- (norm` U) = (norm` U)
6		eqid 1884	. . . . 5 |- (norm` W) = (norm` W)
7		nmo0.3	. . . . 5 |- N = (UnormOpW)
8	1, 2, 5, 6, 7	nmoval 9765	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ Z:(BaseSet` U)-->(BaseSet` W)) -> (N` Z) = sup({x | E.z e. (BaseSet` U)(((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (Z` z)))}, RR*, < ))
9	4, 8	mpd3an3 1192	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (N` Z) = sup({x | E.z e. (BaseSet` U)(((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (Z` z)))}, RR*, < ))
10		eqid 1884	. . . . . . . . . . 11 |- (0v` U) = (0v` U)
11	1, 10	nvzcl 9587	. . . . . . . . . 10 |- (U e. NrmCVec -> (0v` U) e. (BaseSet` U))
12	10, 5	nvz0 9628	. . . . . . . . . . 11 |- (U e. NrmCVec -> ((norm` U)` (0v` U)) = 0)
13		0re 6603	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. RR
14		1re 6598	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR
15		lt01 6871	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < 1
16	13, 14, 15	ltleii 6756	. . . . . . . . . . 11 |- 0 <_ 1
17	12, 16	syl6eqbr 3374	. . . . . . . . . 10 |- (U e. NrmCVec -> ((norm` U)` (0v` U)) <_ 1)
18		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . 12 |- (z = (0v` U) -> ((norm` U)` z) = ((norm` U)` (0v` U)))
19	18	breq1d 3348	. . . . . . . . . . 11 |- (z = (0v` U) -> (((norm` U)` z) <_ 1 <-> ((norm` U)` (0v` U)) <_ 1))
20	19	rcla4ev 2381	. . . . . . . . . 10 |- (((0v` U) e. (BaseSet` U) /\ ((norm` U)` (0v` U)) <_ 1) -> E.z e. (BaseSet` U)((norm` U)` z) <_ 1)
21	11, 17, 20	syl11anc 524	. . . . . . . . 9 |- (U e. NrmCVec -> E.z e. (BaseSet` U)((norm` U)` z) <_ 1)
22	21	biantrurd 796	. . . . . . . 8 |- (U e. NrmCVec -> (x = 0 <-> (E.z e. (BaseSet` U)((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = 0)))
23	22	adantr 425	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (x = 0 <-> (E.z e. (BaseSet` U)((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = 0)))
24		eqid 1884	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (0v` W) = (0v` W)
25	1, 24, 3	0oval 9788	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ z e. (BaseSet` U)) -> (Z` z) = (0v` W))
26	25	3expa 1067	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) /\ z e. (BaseSet` U)) -> (Z` z) = (0v` W))
27	26	fveq2d 4685	. . . . . . . . . . . 12 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) /\ z e. (BaseSet` U)) -> ((norm` W)` (Z` z)) = ((norm` W)` (0v` W)))
28	24, 6	nvz0 9628	. . . . . . . . . . . . 13 |- (W e. NrmCVec -> ((norm` W)` (0v` W)) = 0)
29	28	ad2antlr 441	. . . . . . . . . . . 12 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) /\ z e. (BaseSet` U)) -> ((norm` W)` (0v` W)) = 0)
30	27, 29	eqtrd 1925	. . . . . . . . . . 11 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) /\ z e. (BaseSet` U)) -> ((norm` W)` (Z` z)) = 0)
31	30	eqeq2d 1895	. . . . . . . . . 10 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) /\ z e. (BaseSet` U)) -> (x = ((norm` W)` (Z` z)) <-> x = 0))
32	31	anbi2d 678	. . . . . . . . 9 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) /\ z e. (BaseSet` U)) -> ((((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (Z` z))) <-> (((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = 0)))
33	32	rexbidva 2120	. . . . . . . 8 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (E.z e. (BaseSet` U)(((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (Z` z))) <-> E.z e. (BaseSet` U)(((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = 0)))
34		r19.41v 2236	. . . . . . . 8 |- (E.z e. (BaseSet` U)(((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = 0) <-> (E.z e. (BaseSet` U)((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = 0))
35	33, 34	syl6rbb 596	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> ((E.z e. (BaseSet` U)((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = 0) <-> E.z e. (BaseSet` U)(((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (Z` z)))))
36	23, 35	bitrd 587	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (x = 0 <-> E.z e. (BaseSet` U)(((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (Z` z)))))
37	36	abbidv 2008	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> {x | x = 0} = {x | E.z e. (BaseSet` U)(((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (Z` z)))})
38		df-sn 3049	. . . . 5 |- {0} = {x | x = 0}
39	37, 38	syl5req 1941	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> {x | E.z e. (BaseSet` U)(((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (Z` z)))} = {0})
40		supeq1 5665	. . . 4 |- ({x | E.z e. (BaseSet` U)(((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (Z` z)))} = {0} -> sup({x | E.z e. (BaseSet` U)(((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (Z` z)))}, RR*, < ) = sup({0}, RR*, < ))
41	39, 40	syl 12	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> sup({x | E.z e. (BaseSet` U)(((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (Z` z)))}, RR*, < ) = sup({0}, RR*, < ))
42	9, 41	eqtrd 1925	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (N` Z) = sup({0}, RR*, < ))
43		rexr 6668	. . . 4 |- (0 e. RR -> 0 e. RR*)
44	13, 43	ax-mp 7	. . 3 |- 0 e. RR*
45		xrltso 6729	. . . 4 |- < Or RR*
46	45	supsn 5681	. . 3 |- (0 e. RR* -> sup({0}, RR*, < ) = 0)
47	44, 46	ax-mp 7	. 2 |- sup({0}, RR*, < ) = 0
48	42, 47	syl6eq 1944	1 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (N` Z) = 0)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  {cab 1871  E.wrex 2106  {csn 3044   class class class wbr 3338  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  supcsup 5663  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   <_ cle 6448  RR*cxr 6652   < clt 6653  NrmCVeccnv 9535  BaseSetcba 9537  0vcn0v 9539  normcnm 9541  normOpcnmo 9741   0op c0o 9743

This theorem is referenced by:  0blo 9792  nmlno0lem 9793

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-nm 9551  df-nmo 9745  df-0o 9747

Copyright terms: Public domain