MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmmtri Structured version   Unicode version

Theorem nmmtri 20172
Description: The triangle inequality for the norm of a subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmf.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
nmf.n  |-  N  =  ( norm `  G
)
nmmtri.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
nmmtri  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( A  .-  B ) )  <_ 
( ( N `  A )  +  ( N `  B ) ) )

Proof of Theorem nmmtri
StepHypRef Expression
1 nmf.n . . 3  |-  N  =  ( norm `  G
)
2 nmf.x . . 3  |-  X  =  ( Base `  G
)
3 nmmtri.m . . 3  |-  .-  =  ( -g `  G )
4 eqid 2441 . . 3  |-  ( dist `  G )  =  (
dist `  G )
51, 2, 3, 4ngpds 20154 . 2  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A ( dist `  G
) B )  =  ( N `  ( A  .-  B ) ) )
6 ngpms 20151 . . . . 5  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  G  e.  MetSp )
763ad2ant1 1004 . . . 4  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  G  e.  MetSp )
8 simp2 984 . . . 4  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  A  e.  X )
9 simp3 985 . . . 4  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  B  e.  X )
10 ngpgrp 20150 . . . . . 6  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  G  e.  Grp )
11 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
122, 11grpidcl 15559 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  X )
1310, 12syl 16 . . . . 5  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  ( 0g `  G )  e.  X
)
14133ad2ant1 1004 . . . 4  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( 0g `  G )  e.  X )
152, 4mstri3 20005 . . . 4  |-  ( ( G  e.  MetSp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  ( 0g `  G )  e.  X ) )  ->  ( A (
dist `  G ) B )  <_  (
( A ( dist `  G ) ( 0g
`  G ) )  +  ( B (
dist `  G )
( 0g `  G
) ) ) )
167, 8, 9, 14, 15syl13anc 1215 . . 3  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A ( dist `  G
) B )  <_ 
( ( A (
dist `  G )
( 0g `  G
) )  +  ( B ( dist `  G
) ( 0g `  G ) ) ) )
171, 2, 11, 4nmval 20141 . . . . 5  |-  ( A  e.  X  ->  ( N `  A )  =  ( A (
dist `  G )
( 0g `  G
) ) )
18173ad2ant2 1005 . . . 4  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  A )  =  ( A (
dist `  G )
( 0g `  G
) ) )
191, 2, 11, 4nmval 20141 . . . . 5  |-  ( B  e.  X  ->  ( N `  B )  =  ( B (
dist `  G )
( 0g `  G
) ) )
20193ad2ant3 1006 . . . 4  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  B )  =  ( B (
dist `  G )
( 0g `  G
) ) )
2118, 20oveq12d 6108 . . 3  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( N `  A
)  +  ( N `
 B ) )  =  ( ( A ( dist `  G
) ( 0g `  G ) )  +  ( B ( dist `  G ) ( 0g
`  G ) ) ) )
2216, 21breqtrrd 4315 . 2  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A ( dist `  G
) B )  <_ 
( ( N `  A )  +  ( N `  B ) ) )
235, 22eqbrtrrd 4311 1  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( A  .-  B ) )  <_ 
( ( N `  A )  +  ( N `  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761   class class class wbr 4289   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    + caddc 9281    <_ cle 9415   Basecbs 14170   distcds 14243   0gc0g 14374   Grpcgrp 15406   -gcsg 15409   MetSpcmt 19852   normcnm 20128  NrmGrpcngp 20129
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-sup 7687  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-0g 14376  df-topgen 14378  df-mnd 15411  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-sbg 15540  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-xms 19854  df-ms 19855  df-nm 20134  df-ngp 20135
This theorem is referenced by:  nmtri  20176  tngngp  20199
  Copyright terms: Public domain W3C validator