MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmmtri Structured version   Unicode version

Theorem nmmtri 20228
Description: The triangle inequality for the norm of a subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmf.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
nmf.n  |-  N  =  ( norm `  G
)
nmmtri.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
nmmtri  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( A  .-  B ) )  <_ 
( ( N `  A )  +  ( N `  B ) ) )

Proof of Theorem nmmtri
StepHypRef Expression
1 nmf.n . . 3  |-  N  =  ( norm `  G
)
2 nmf.x . . 3  |-  X  =  ( Base `  G
)
3 nmmtri.m . . 3  |-  .-  =  ( -g `  G )
4 eqid 2443 . . 3  |-  ( dist `  G )  =  (
dist `  G )
51, 2, 3, 4ngpds 20210 . 2  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A ( dist `  G
) B )  =  ( N `  ( A  .-  B ) ) )
6 ngpms 20207 . . . . 5  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  G  e.  MetSp )
763ad2ant1 1009 . . . 4  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  G  e.  MetSp )
8 simp2 989 . . . 4  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  A  e.  X )
9 simp3 990 . . . 4  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  B  e.  X )
10 ngpgrp 20206 . . . . . 6  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  G  e.  Grp )
11 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
122, 11grpidcl 15581 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  X )
1310, 12syl 16 . . . . 5  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  ( 0g `  G )  e.  X
)
14133ad2ant1 1009 . . . 4  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( 0g `  G )  e.  X )
152, 4mstri3 20061 . . . 4  |-  ( ( G  e.  MetSp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  ( 0g `  G )  e.  X ) )  ->  ( A (
dist `  G ) B )  <_  (
( A ( dist `  G ) ( 0g
`  G ) )  +  ( B (
dist `  G )
( 0g `  G
) ) ) )
167, 8, 9, 14, 15syl13anc 1220 . . 3  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A ( dist `  G
) B )  <_ 
( ( A (
dist `  G )
( 0g `  G
) )  +  ( B ( dist `  G
) ( 0g `  G ) ) ) )
171, 2, 11, 4nmval 20197 . . . . 5  |-  ( A  e.  X  ->  ( N `  A )  =  ( A (
dist `  G )
( 0g `  G
) ) )
18173ad2ant2 1010 . . . 4  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  A )  =  ( A (
dist `  G )
( 0g `  G
) ) )
191, 2, 11, 4nmval 20197 . . . . 5  |-  ( B  e.  X  ->  ( N `  B )  =  ( B (
dist `  G )
( 0g `  G
) ) )
20193ad2ant3 1011 . . . 4  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  B )  =  ( B (
dist `  G )
( 0g `  G
) ) )
2118, 20oveq12d 6124 . . 3  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( N `  A
)  +  ( N `
 B ) )  =  ( ( A ( dist `  G
) ( 0g `  G ) )  +  ( B ( dist `  G ) ( 0g
`  G ) ) ) )
2216, 21breqtrrd 4333 . 2  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A ( dist `  G
) B )  <_ 
( ( N `  A )  +  ( N `  B ) ) )
235, 22eqbrtrrd 4329 1  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( A  .-  B ) )  <_ 
( ( N `  A )  +  ( N `  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4307   ` cfv 5433  (class class class)co 6106    + caddc 9300    <_ cle 9434   Basecbs 14189   distcds 14262   0gc0g 14393   Grpcgrp 15425   -gcsg 15428   MetSpcmt 19908   normcnm 20184  NrmGrpcngp 20185
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4418  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387  ax-cnex 9353  ax-resscn 9354  ax-1cn 9355  ax-icn 9356  ax-addcl 9357  ax-addrcl 9358  ax-mulcl 9359  ax-mulrcl 9360  ax-mulcom 9361  ax-addass 9362  ax-mulass 9363  ax-distr 9364  ax-i2m1 9365  ax-1ne0 9366  ax-1rid 9367  ax-rnegex 9368  ax-rrecex 9369  ax-cnre 9370  ax-pre-lttri 9371  ax-pre-lttrn 9372  ax-pre-ltadd 9373  ax-pre-mulgt0 9374  ax-pre-sup 9375
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rmo 2738  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-pss 3359  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-tp 3897  df-op 3899  df-uni 4107  df-iun 4188  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-tr 4401  df-eprel 4647  df-id 4651  df-po 4656  df-so 4657  df-fr 4694  df-we 4696  df-ord 4737  df-on 4738  df-lim 4739  df-suc 4740  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-riota 6067  df-ov 6109  df-oprab 6110  df-mpt2 6111  df-om 6492  df-1st 6592  df-2nd 6593  df-recs 6847  df-rdg 6881  df-er 7116  df-map 7231  df-en 7326  df-dom 7327  df-sdom 7328  df-sup 7706  df-pnf 9435  df-mnf 9436  df-xr 9437  df-ltxr 9438  df-le 9439  df-sub 9612  df-neg 9613  df-div 10009  df-nn 10338  df-2 10395  df-n0 10595  df-z 10662  df-uz 10877  df-q 10969  df-rp 11007  df-xneg 11104  df-xadd 11105  df-xmul 11106  df-0g 14395  df-topgen 14397  df-mnd 15430  df-grp 15560  df-minusg 15561  df-sbg 15562  df-psmet 17824  df-xmet 17825  df-met 17826  df-bl 17827  df-mopn 17828  df-top 18518  df-bases 18520  df-topon 18521  df-topsp 18522  df-xms 19910  df-ms 19911  df-nm 20190  df-ngp 20191
This theorem is referenced by:  nmtri  20232  tngngp  20255
  Copyright terms: Public domain W3C validator