MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmmtri Structured version   Unicode version

Theorem nmmtri 21249
Description: The triangle inequality for the norm of a subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmf.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
nmf.n  |-  N  =  ( norm `  G
)
nmmtri.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
nmmtri  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( A  .-  B ) )  <_ 
( ( N `  A )  +  ( N `  B ) ) )

Proof of Theorem nmmtri
StepHypRef Expression
1 nmf.n . . 3  |-  N  =  ( norm `  G
)
2 nmf.x . . 3  |-  X  =  ( Base `  G
)
3 nmmtri.m . . 3  |-  .-  =  ( -g `  G )
4 eqid 2396 . . 3  |-  ( dist `  G )  =  (
dist `  G )
51, 2, 3, 4ngpds 21231 . 2  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A ( dist `  G
) B )  =  ( N `  ( A  .-  B ) ) )
6 ngpms 21228 . . . . 5  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  G  e.  MetSp )
763ad2ant1 1015 . . . 4  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  G  e.  MetSp )
8 simp2 995 . . . 4  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  A  e.  X )
9 simp3 996 . . . 4  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  B  e.  X )
10 ngpgrp 21227 . . . . . 6  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  G  e.  Grp )
11 eqid 2396 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
122, 11grpidcl 16218 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  X )
1310, 12syl 16 . . . . 5  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  ( 0g `  G )  e.  X
)
14133ad2ant1 1015 . . . 4  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( 0g `  G )  e.  X )
152, 4mstri3 21082 . . . 4  |-  ( ( G  e.  MetSp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  ( 0g `  G )  e.  X ) )  ->  ( A (
dist `  G ) B )  <_  (
( A ( dist `  G ) ( 0g
`  G ) )  +  ( B (
dist `  G )
( 0g `  G
) ) ) )
167, 8, 9, 14, 15syl13anc 1228 . . 3  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A ( dist `  G
) B )  <_ 
( ( A (
dist `  G )
( 0g `  G
) )  +  ( B ( dist `  G
) ( 0g `  G ) ) ) )
171, 2, 11, 4nmval 21218 . . . . 5  |-  ( A  e.  X  ->  ( N `  A )  =  ( A (
dist `  G )
( 0g `  G
) ) )
18173ad2ant2 1016 . . . 4  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  A )  =  ( A (
dist `  G )
( 0g `  G
) ) )
191, 2, 11, 4nmval 21218 . . . . 5  |-  ( B  e.  X  ->  ( N `  B )  =  ( B (
dist `  G )
( 0g `  G
) ) )
20193ad2ant3 1017 . . . 4  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  B )  =  ( B (
dist `  G )
( 0g `  G
) ) )
2118, 20oveq12d 6236 . . 3  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( N `  A
)  +  ( N `
 B ) )  =  ( ( A ( dist `  G
) ( 0g `  G ) )  +  ( B ( dist `  G ) ( 0g
`  G ) ) ) )
2216, 21breqtrrd 4410 . 2  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A ( dist `  G
) B )  <_ 
( ( N `  A )  +  ( N `  B ) ) )
235, 22eqbrtrrd 4406 1  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( A  .-  B ) )  <_ 
( ( N `  A )  +  ( N `  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1836   class class class wbr 4384   ` cfv 5513  (class class class)co 6218    + caddc 9428    <_ cle 9562   Basecbs 14657   distcds 14734   0gc0g 14870   Grpcgrp 16193   -gcsg 16195   MetSpcmt 20929   normcnm 21205  NrmGrpcngp 21206
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-rep 4495  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pow 4560  ax-pr 4618  ax-un 6513  ax-cnex 9481  ax-resscn 9482  ax-1cn 9483  ax-icn 9484  ax-addcl 9485  ax-addrcl 9486  ax-mulcl 9487  ax-mulrcl 9488  ax-mulcom 9489  ax-addass 9490  ax-mulass 9491  ax-distr 9492  ax-i2m1 9493  ax-1ne0 9494  ax-1rid 9495  ax-rnegex 9496  ax-rrecex 9497  ax-cnre 9498  ax-pre-lttri 9499  ax-pre-lttrn 9500  ax-pre-ltadd 9501  ax-pre-mulgt0 9502  ax-pre-sup 9503
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-nel 2594  df-ral 2751  df-rex 2752  df-reu 2753  df-rmo 2754  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3729  df-if 3875  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4181  df-iun 4262  df-br 4385  df-opab 4443  df-mpt 4444  df-tr 4478  df-eprel 4722  df-id 4726  df-po 4731  df-so 4732  df-fr 4769  df-we 4771  df-ord 4812  df-on 4813  df-lim 4814  df-suc 4815  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-rn 4941  df-res 4942  df-ima 4943  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-riota 6180  df-ov 6221  df-oprab 6222  df-mpt2 6223  df-om 6622  df-1st 6721  df-2nd 6722  df-recs 6982  df-rdg 7016  df-er 7251  df-map 7362  df-en 7458  df-dom 7459  df-sdom 7460  df-sup 7838  df-pnf 9563  df-mnf 9564  df-xr 9565  df-ltxr 9566  df-le 9567  df-sub 9742  df-neg 9743  df-div 10146  df-nn 10475  df-2 10533  df-n0 10735  df-z 10804  df-uz 11024  df-q 11124  df-rp 11162  df-xneg 11261  df-xadd 11262  df-xmul 11263  df-0g 14872  df-topgen 14874  df-mgm 16012  df-sgrp 16051  df-mnd 16061  df-grp 16197  df-minusg 16198  df-sbg 16199  df-psmet 18547  df-xmet 18548  df-met 18549  df-bl 18550  df-mopn 18551  df-top 19507  df-bases 19509  df-topon 19510  df-topsp 19511  df-xms 20931  df-ms 20932  df-nm 21211  df-ngp 21212
This theorem is referenced by:  nmtri  21253  tngngp  21276
  Copyright terms: Public domain W3C validator