Theorem nmlnoubi 9796

Description: An upper bound for the operator norm of a linear operator, using only the properties of nonzero arguments.

Hypotheses

Ref	Expression
nmlnoubi.1	|- X = (BaseSet` U)
nmlnoubi.z	|- Z = (0v` U)
nmlnoubi.k	|- K = (norm` U)
nmlnoubi.m	|- M = (norm` W)
nmlnoubi.3	|- N = (UnormOpW)
nmlnoubi.7	|- L = (U LnOp W)
nmlnoubi.u	|- U e. NrmCVec
nmlnoubi.w	|- W e. NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
nmlnoubi	|- ((T e. L /\ (A e. RR /\ 0 <_ A) /\ A.x e. X (x =/= Z -> (M` (T` x)) <_ (A x. (K` x)))) -> (N` T) <_ A)

Distinct variable groups:   x,A   x,K   x,L   x,M   x,T   x,X   x,W

Proof of Theorem nmlnoubi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmlnoubi.1	. . . 4 |- X = (BaseSet` U)
2		eqid 1884	. . . 4 |- (BaseSet` W) = (BaseSet` W)
3		nmlnoubi.k	. . . 4 |- K = (norm` U)
4		nmlnoubi.m	. . . 4 |- M = (norm` W)
5		nmlnoubi.3	. . . 4 |- N = (UnormOpW)
6		nmlnoubi.u	. . . 4 |- U e. NrmCVec
7		nmlnoubi.w	. . . 4 |- W e. NrmCVec
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	nmoub2i 9776	. . 3 |- ((T:X-->(BaseSet` W) /\ (A e. RR /\ 0 <_ A) /\ A.x e. X (M` (T` x)) <_ (A x. (K` x))) -> (N` T) <_ A)
9		nmlnoubi.7	. . . . 5 |- L = (U LnOp W)
10	1, 2, 9	lnof 9755	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L) -> T:X-->(BaseSet` W))
11	6, 7, 10	mp3an12 1181	. . 3 |- (T e. L -> T:X-->(BaseSet` W))
12	8, 11	syl3an1 1130	. 2 |- ((T e. L /\ (A e. RR /\ 0 <_ A) /\ A.x e. X (M` (T` x)) <_ (A x. (K` x))) -> (N` T) <_ A)
13		fveq2 4681	. . . . . . . 8 |- (x = Z -> (T` x) = (T` Z))
14	13	fveq2d 4685	. . . . . . 7 |- (x = Z -> (M` (T` x)) = (M` (T` Z)))
15		fveq2 4681	. . . . . . . 8 |- (x = Z -> (K` x) = (K` Z))
16	15	opreq2d 4898	. . . . . . 7 |- (x = Z -> (A x. (K` x)) = (A x. (K` Z)))
17	14, 16	breq12d 3351	. . . . . 6 |- (x = Z -> ((M` (T` x)) <_ (A x. (K` x)) <-> (M` (T` Z)) <_ (A x. (K` Z))))
18		id 73	. . . . . . . 8 |- ((x =/= Z -> (M` (T` x)) <_ (A x. (K` x))) -> (x =/= Z -> (M` (T` x)) <_ (A x. (K` x))))
19	18	imp 377	. . . . . . 7 |- (((x =/= Z -> (M` (T` x)) <_ (A x. (K` x))) /\ x =/= Z) -> (M` (T` x)) <_ (A x. (K` x)))
20	19	adantll 428	. . . . . 6 |- ((((T e. L /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ (x =/= Z -> (M` (T` x)) <_ (A x. (K` x)))) /\ x =/= Z) -> (M` (T` x)) <_ (A x. (K` x)))
21		0re 6603	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR
22	21	leidi 6790	. . . . . . . . 9 |- 0 <_ 0
23	22	a1i 8	. . . . . . . 8 |- ((T e. L /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) -> 0 <_ 0)
24		nmlnoubi.z	. . . . . . . . . . . . 13 |- Z = (0v` U)
25		eqid 1884	. . . . . . . . . . . . 13 |- (0v` W) = (0v` W)
26	1, 2, 24, 25, 9	lno0 9756	. . . . . . . . . . . 12 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L) -> (T` Z) = (0v` W))
27	6, 7, 26	mp3an12 1181	. . . . . . . . . . 11 |- (T e. L -> (T` Z) = (0v` W))
28	27	fveq2d 4685	. . . . . . . . . 10 |- (T e. L -> (M` (T` Z)) = (M` (0v` W)))
29	25, 4	nvz0 9628	. . . . . . . . . . 11 |- (W e. NrmCVec -> (M` (0v` W)) = 0)
30	7, 29	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 |- (M` (0v` W)) = 0
31	28, 30	syl6eq 1944	. . . . . . . . 9 |- (T e. L -> (M` (T` Z)) = 0)
32	31	adantr 425	. . . . . . . 8 |- ((T e. L /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) -> (M` (T` Z)) = 0)
33		recn 6466	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. RR -> A e. CC)
34		mul01 6606	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. CC -> (A x. 0) = 0)
35	33, 34	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- (A e. RR -> (A x. 0) = 0)
36	24, 3	nvz0 9628	. . . . . . . . . . . 12 |- (U e. NrmCVec -> (K` Z) = 0)
37	6, 36	ax-mp 7	. . . . . . . . . . 11 |- (K` Z) = 0
38	37	opreq2i 4893	. . . . . . . . . 10 |- (A x. (K` Z)) = (A x. 0)
39	35, 38	syl5eq 1940	. . . . . . . . 9 |- (A e. RR -> (A x. (K` Z)) = 0)
40	39	ad2antrl 442	. . . . . . . 8 |- ((T e. L /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) -> (A x. (K` Z)) = 0)
41	23, 32, 40	3brtr4d 3367	. . . . . . 7 |- ((T e. L /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) -> (M` (T` Z)) <_ (A x. (K` Z)))
42	41	adantr 425	. . . . . 6 |- (((T e. L /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ (x =/= Z -> (M` (T` x)) <_ (A x. (K` x)))) -> (M` (T` Z)) <_ (A x. (K` Z)))
43	17, 20, 42	pm2.61ne 2087	. . . . 5 |- (((T e. L /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ (x =/= Z -> (M` (T` x)) <_ (A x. (K` x)))) -> (M` (T` x)) <_ (A x. (K` x)))
44	43	ex 402	. . . 4 |- ((T e. L /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) -> ((x =/= Z -> (M` (T` x)) <_ (A x. (K` x))) -> (M` (T` x)) <_ (A x. (K` x))))
45	44	ralimdv 2172	. . 3 |- ((T e. L /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) -> (A.x e. X (x =/= Z -> (M` (T` x)) <_ (A x. (K` x))) -> A.x e. X (M` (T` x)) <_ (A x. (K` x))))
46	45	3impia 1064	. 2 |- ((T e. L /\ (A e. RR /\ 0 <_ A) /\ A.x e. X (x =/= Z -> (M` (T` x)) <_ (A x. (K` x)))) -> A.x e. X (M` (T` x)) <_ (A x. (K` x)))
47	12, 46	syld3an3 1142	1 |- ((T e. L /\ (A e. RR /\ 0 <_ A) /\ A.x e. X (x =/= Z -> (M` (T` x)) <_ (A x. (K` x)))) -> (N` T) <_ A)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  A.wral 2105   class class class wbr 3338  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386   x. cmul 6391   <_ cle 6448  NrmCVeccnv 9535  BaseSetcba 9537  0vcn0v 9539  normcnm 9541   LnOp clno 9740  normOpcnmo 9741

This theorem is referenced by:  ubthlem13 9885  ubthlem13OLD 9886

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-nm 9551  df-lno 9744  df-nmo 9745

Copyright terms: Public domain