Theorem nmlnop0iALT 11557

Description: A linear operator with a zero norm is identically zero.

Hypothesis

Ref	Expression
nmlnop0.1	|- T e. LinOp

Assertion

Ref	Expression
nmlnop0iALT	|- ((normop` T) = 0 <-> T = 0hop)

Proof of Theorem nmlnop0iALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normcl 10624	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x e. ~H -> (normh` x) e. RR)
2	1	recnd 6468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (x e. ~H -> (normh` x) e. CC)
3	2	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((x e. ~H /\ (T` x) =/= 0h) -> (normh` x) e. CC)
4		norm-i 10629	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (x e. ~H -> ((normh` x) = 0 <-> x = 0h))
5		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (x = 0h -> (T` x) = (T` 0h))
6		nmlnop0.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- T e. LinOp
7	6	lnop0i 11531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (T` 0h) = 0h
8	5, 7	syl6eq 1944	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (x = 0h -> (T` x) = 0h)
9	4, 8	syl6bi 231	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x e. ~H -> ((normh` x) = 0 -> (T` x) = 0h))
10	9	necon3d 2041	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (x e. ~H -> ((T` x) =/= 0h -> (normh` x) =/= 0))
11	10	imp 377	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((x e. ~H /\ (T` x) =/= 0h) -> (normh` x) =/= 0)
12		reccl 6904	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((normh` x) e. CC /\ (normh` x) =/= 0) -> (1 / (normh` x)) e. CC)
13	3, 11, 12	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. ~H /\ (T` x) =/= 0h) -> (1 / (normh` x)) e. CC)
14	6	lnopfi 11530	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- T:~H-->~H
15	14	ffvelrni 4788	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x e. ~H -> (T` x) e. ~H)
16	15	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. ~H /\ (T` x) =/= 0h) -> (T` x) e. ~H)
17		hvmul0or 10526	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((1 / (normh` x)) e. CC /\ (T` x) e. ~H) -> (((1 / (normh` x)) .h (T` x)) = 0h <-> ((1 / (normh` x)) = 0 \/ (T` x) = 0h)))
18	13, 16, 17	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x e. ~H /\ (T` x) =/= 0h) -> (((1 / (normh` x)) .h (T` x)) = 0h <-> ((1 / (normh` x)) = 0 \/ (T` x) = 0h)))
19	18	necon3abid 2033	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. ~H /\ (T` x) =/= 0h) -> (((1 / (normh` x)) .h (T` x)) =/= 0h <-> -. ((1 / (normh` x)) = 0 \/ (T` x) = 0h)))
20		neanior 2097	. . . . . . . . . . . 12 |- (((1 / (normh` x)) =/= 0 /\ (T` x) =/= 0h) <-> -. ((1 / (normh` x)) = 0 \/ (T` x) = 0h))
21	19, 20	syl6bbr 597	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. ~H /\ (T` x) =/= 0h) -> (((1 / (normh` x)) .h (T` x)) =/= 0h <-> ((1 / (normh` x)) =/= 0 /\ (T` x) =/= 0h)))
22		recne0 6915	. . . . . . . . . . . 12 |- (((normh` x) e. CC /\ (normh` x) =/= 0) -> (1 / (normh` x)) =/= 0)
23	3, 11, 22	syl11anc 524	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. ~H /\ (T` x) =/= 0h) -> (1 / (normh` x)) =/= 0)
24		simpr 350	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. ~H /\ (T` x) =/= 0h) -> (T` x) =/= 0h)
25	21, 23, 24	mpbir2and 802	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. ~H /\ (T` x) =/= 0h) -> ((1 / (normh` x)) .h (T` x)) =/= 0h)
26		hvmulcl 10515	. . . . . . . . . . . 12 |- (((1 / (normh` x)) e. CC /\ (T` x) e. ~H) -> ((1 / (normh` x)) .h (T` x)) e. ~H)
27	13, 16, 26	syl11anc 524	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. ~H /\ (T` x) =/= 0h) -> ((1 / (normh` x)) .h (T` x)) e. ~H)
28		normgt0 10627	. . . . . . . . . . 11 |- (((1 / (normh` x)) .h (T` x)) e. ~H -> (((1 / (normh` x)) .h (T` x)) =/= 0h <-> 0 < (normh` ((1 / (normh` x)) .h (T` x)))))
29	27, 28	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. ~H /\ (T` x) =/= 0h) -> (((1 / (normh` x)) .h (T` x)) =/= 0h <-> 0 < (normh` ((1 / (normh` x)) .h (T` x)))))
30	25, 29	mpbid 212	. . . . . . . . 9 |- ((x e. ~H /\ (T` x) =/= 0h) -> 0 < (normh` ((1 / (normh` x)) .h (T` x))))
31	30	ex 402	. . . . . . . 8 |- (x e. ~H -> ((T` x) =/= 0h -> 0 < (normh` ((1 / (normh` x)) .h (T` x)))))
32	31	adantl 424	. . . . . . 7 |- (((normop` T) = 0 /\ x e. ~H) -> ((T` x) =/= 0h -> 0 < (normh` ((1 / (normh` x)) .h (T` x)))))
33		simpl 346	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((x e. ~H /\ (T` x) =/= 0h) -> x e. ~H)
34		hvmulcl 10515	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((1 / (normh` x)) e. CC /\ x e. ~H) -> ((1 / (normh` x)) .h x) e. ~H)
35	13, 33, 34	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. ~H /\ (T` x) =/= 0h) -> ((1 / (normh` x)) .h x) e. ~H)
36		norm1 10754	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((x e. ~H /\ x =/= 0h) -> (normh` ((1 / (normh` x)) .h x)) = 1)
37	8	necon3i 2042	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((T` x) =/= 0h -> x =/= 0h)
38	36, 37	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((x e. ~H /\ (T` x) =/= 0h) -> (normh` ((1 / (normh` x)) .h x)) = 1)
39		1re 6598	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. RR
40	38, 39	syl6eqel 1979	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((x e. ~H /\ (T` x) =/= 0h) -> (normh` ((1 / (normh` x)) .h x)) e. RR)
41		eqle 6746	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((normh` ((1 / (normh` x)) .h x)) e. RR /\ (normh` ((1 / (normh` x)) .h x)) = 1) -> (normh` ((1 / (normh` x)) .h x)) <_ 1)
42	40, 38, 41	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. ~H /\ (T` x) =/= 0h) -> (normh` ((1 / (normh` x)) .h x)) <_ 1)
43	6	lnopmuli 11533	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((1 / (normh` x)) e. CC /\ x e. ~H) -> (T` ((1 / (normh` x)) .h x)) = ((1 / (normh` x)) .h (T` x)))
44	13, 33, 43	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((x e. ~H /\ (T` x) =/= 0h) -> (T` ((1 / (normh` x)) .h x)) = ((1 / (normh` x)) .h (T` x)))
45	44	eqcomd 1889	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((x e. ~H /\ (T` x) =/= 0h) -> ((1 / (normh` x)) .h (T` x)) = (T` ((1 / (normh` x)) .h x)))
46	45	fveq2d 4685	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. ~H /\ (T` x) =/= 0h) -> (normh` ((1 / (normh` x)) .h (T` x))) = (normh` (T` ((1 / (normh` x)) .h x))))
47		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (z = ((1 / (normh` x)) .h x) -> (normh` z) = (normh` ((1 / (normh` x)) .h x)))
48	47	breq1d 3348	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (z = ((1 / (normh` x)) .h x) -> ((normh` z) <_ 1 <-> (normh` ((1 / (normh` x)) .h x)) <_ 1))
49		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (z = ((1 / (normh` x)) .h x) -> (T` z) = (T` ((1 / (normh` x)) .h x)))
50	49	fveq2d 4685	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (z = ((1 / (normh` x)) .h x) -> (normh` (T` z)) = (normh` (T` ((1 / (normh` x)) .h x))))
51	50	eqeq2d 1895	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (z = ((1 / (normh` x)) .h x) -> ((normh` ((1 / (normh` x)) .h (T` x))) = (normh` (T` z)) <-> (normh` ((1 / (normh` x)) .h (T` x))) = (normh` (T` ((1 / (normh` x)) .h x)))))
52	48, 51	anbi12d 690	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (z = ((1 / (normh` x)) .h x) -> (((normh` z) <_ 1 /\ (normh` ((1 / (normh` x)) .h (T` x))) = (normh` (T` z))) <-> ((normh` ((1 / (normh` x)) .h x)) <_ 1 /\ (normh` ((1 / (normh` x)) .h (T` x))) = (normh` (T` ((1 / (normh` x)) .h x))))))
53	52	rcla4ev 2381	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((1 / (normh` x)) .h x) e. ~H /\ ((normh` ((1 / (normh` x)) .h x)) <_ 1 /\ (normh` ((1 / (normh` x)) .h (T` x))) = (normh` (T` ((1 / (normh` x)) .h x))))) -> E.z e. ~H ((normh` z) <_ 1 /\ (normh` ((1 / (normh` x)) .h (T` x))) = (normh` (T` z))))
54	35, 42, 46, 53	syl12anc 1098	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x e. ~H /\ (T` x) =/= 0h) -> E.z e. ~H ((normh` z) <_ 1 /\ (normh` ((1 / (normh` x)) .h (T` x))) = (normh` (T` z))))
55		fvex 4689	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (normh` ((1 / (normh` x)) .h (T` x))) e. _V
56		eqeq1 1890	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y = (normh` ((1 / (normh` x)) .h (T` x))) -> (y = (normh` (T` z)) <-> (normh` ((1 / (normh` x)) .h (T` x))) = (normh` (T` z))))
57	56	anbi2d 678	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y = (normh` ((1 / (normh` x)) .h (T` x))) -> (((normh` z) <_ 1 /\ y = (normh` (T` z))) <-> ((normh` z) <_ 1 /\ (normh` ((1 / (normh` x)) .h (T` x))) = (normh` (T` z)))))
58	57	rexbidv 2124	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y = (normh` ((1 / (normh` x)) .h (T` x))) -> (E.z e. ~H ((normh` z) <_ 1 /\ y = (normh` (T` z))) <-> E.z e. ~H ((normh` z) <_ 1 /\ (normh` ((1 / (normh` x)) .h (T` x))) = (normh` (T` z)))))
59	55, 58	elab 2403	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((normh` ((1 / (normh` x)) .h (T` x))) e. {y | E.z e. ~H ((normh` z) <_ 1 /\ y = (normh` (T` z)))} <-> E.z e. ~H ((normh` z) <_ 1 /\ (normh` ((1 / (normh` x)) .h (T` x))) = (normh` (T` z))))
60	54, 59	sylibr 217	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. ~H /\ (T` x) =/= 0h) -> (normh` ((1 / (normh` x)) .h (T` x))) e. {y | E.z e. ~H ((normh` z) <_ 1 /\ y = (normh` (T` z)))})
61		nmopsetretHIL 11428	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (T:~H-->~H -> {y | E.z e. ~H ((normh` z) <_ 1 /\ y = (normh` (T` z)))} C_ RR)
62	14, 61	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . 14 |- {y | E.z e. ~H ((normh` z) <_ 1 /\ y = (normh` (T` z)))} C_ RR
63		ressxr 6667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- RR C_ RR*
64	62, 63	sstri 2626	. . . . . . . . . . . . 13 |- {y | E.z e. ~H ((normh` z) <_ 1 /\ y = (normh` (T` z)))} C_ RR*
65		supxrub 7307	. . . . . . . . . . . . 13 |- (({y | E.z e. ~H ((normh` z) <_ 1 /\ y = (normh` (T` z)))} C_ RR* /\ (normh` ((1 / (normh` x)) .h (T` x))) e. {y | E.z e. ~H ((normh` z) <_ 1 /\ y = (normh` (T` z)))}) -> (normh` ((1 / (normh` x)) .h (T` x))) <_ sup({y | E.z e. ~H ((normh` z) <_ 1 /\ y = (normh` (T` z)))}, RR*, < ))
66	64, 65	mpan 759	. . . . . . . . . . . 12 |- ((normh` ((1 / (normh` x)) .h (T` x))) e. {y | E.z e. ~H ((normh` z) <_ 1 /\ y = (normh` (T` z)))} -> (normh` ((1 / (normh` x)) .h (T` x))) <_ sup({y | E.z e. ~H ((normh` z) <_ 1 /\ y = (normh` (T` z)))}, RR*, < ))
67	60, 66	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. ~H /\ (T` x) =/= 0h) -> (normh` ((1 / (normh` x)) .h (T` x))) <_ sup({y | E.z e. ~H ((normh` z) <_ 1 /\ y = (normh` (T` z)))}, RR*, < ))
68	67	adantll 428	. . . . . . . . . 10 |- ((((normop` T) = 0 /\ x e. ~H) /\ (T` x) =/= 0h) -> (normh` ((1 / (normh` x)) .h (T` x))) <_ sup({y | E.z e. ~H ((normh` z) <_ 1 /\ y = (normh` (T` z)))}, RR*, < ))
69		nmopval 11419	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (T:~H-->~H -> (normop` T) = sup({y | E.z e. ~H ((normh` z) <_ 1 /\ y = (normh` (T` z)))}, RR*, < ))
70	14, 69	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . 13 |- (normop` T) = sup({y | E.z e. ~H ((normh` z) <_ 1 /\ y = (normh` (T` z)))}, RR*, < )
71	70	eqeq1i 1891	. . . . . . . . . . . 12 |- ((normop` T) = 0 <-> sup({y | E.z e. ~H ((normh` z) <_ 1 /\ y = (normh` (T` z)))}, RR*, < ) = 0)
72	71	biimpi 168	. . . . . . . . . . 11 |- ((normop` T) = 0 -> sup({y | E.z e. ~H ((normh` z) <_ 1 /\ y = (normh` (T` z)))}, RR*, < ) = 0)
73	72	ad2antrr 440	. . . . . . . . . 10 |- ((((normop` T) = 0 /\ x e. ~H) /\ (T` x) =/= 0h) -> sup({y | E.z e. ~H ((normh` z) <_ 1 /\ y = (normh` (T` z)))}, RR*, < ) = 0)
74	68, 73	breqtrd 3361	. . . . . . . . 9 |- ((((normop` T) = 0 /\ x e. ~H) /\ (T` x) =/= 0h) -> (normh` ((1 / (normh` x)) .h (T` x))) <_ 0)
75		normcl 10624	. . . . . . . . . . . 12 |- (((1 / (normh` x)) .h (T` x)) e. ~H -> (normh` ((1 / (normh` x)) .h (T` x))) e. RR)
76	27, 75	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. ~H /\ (T` x) =/= 0h) -> (normh` ((1 / (normh` x)) .h (T` x))) e. RR)
77		0re 6603	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. RR
78		lenlt 6679	. . . . . . . . . . . 12 |- (((normh` ((1 / (normh` x)) .h (T` x))) e. RR /\ 0 e. RR) -> ((normh` ((1 / (normh` x)) .h (T` x))) <_ 0 <-> -. 0 < (normh` ((1 / (normh` x)) .h (T` x)))))
79	77, 78	mpan2 760	. . . . . . . . . . 11 |- ((normh` ((1 / (normh` x)) .h (T` x))) e. RR -> ((normh` ((1 / (normh` x)) .h (T` x))) <_ 0 <-> -. 0 < (normh` ((1 / (normh` x)) .h (T` x)))))
80	76, 79	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. ~H /\ (T` x) =/= 0h) -> ((normh` ((1 / (normh` x)) .h (T` x))) <_ 0 <-> -. 0 < (normh` ((1 / (normh` x)) .h (T` x)))))
81	80	adantll 428	. . . . . . . . 9 |- ((((normop` T) = 0 /\ x e. ~H) /\ (T` x) =/= 0h) -> ((normh` ((1 / (normh` x)) .h (T` x))) <_ 0 <-> -. 0 < (normh` ((1 / (normh` x)) .h (T` x)))))
82	74, 81	mpbid 212	. . . . . . . 8 |- ((((normop` T) = 0 /\ x e. ~H) /\ (T` x) =/= 0h) -> -. 0 < (normh` ((1 / (normh` x)) .h (T` x))))
83	82	ex 402	. . . . . . 7 |- (((normop` T) = 0 /\ x e. ~H) -> ((T` x) =/= 0h -> -. 0 < (normh` ((1 / (normh` x)) .h (T` x)))))
84	32, 83	pm2.65d 151	. . . . . 6 |- (((normop` T) = 0 /\ x e. ~H) -> -. (T` x) =/= 0h)
85		nne 2021	. . . . . 6 |- (-. (T` x) =/= 0h <-> (T` x) = 0h)
86	84, 85	sylib 215	. . . . 5 |- (((normop` T) = 0 /\ x e. ~H) -> (T` x) = 0h)
87		ho0val 11313	. . . . . 6 |- (x e. ~H -> (0hop` x) = 0h)
88	87	adantl 424	. . . . 5 |- (((normop` T) = 0 /\ x e. ~H) -> (0hop` x) = 0h)
89	86, 88	eqtr4d 1928	. . . 4 |- (((normop` T) = 0 /\ x e. ~H) -> (T` x) = (0hop` x))
90	89	r19.21aiva 2176	. . 3 |- ((normop` T) = 0 -> A.x e. ~H (T` x) = (0hop` x))
91		ffn 4562	. . . . 5 |- (T:~H-->~H -> T Fn ~H)
92	14, 91	ax-mp 7	. . . 4 |- T Fn ~H
93		ho0f 11314	. . . . 5 |- 0hop:~H-->~H
94		ffn 4562	. . . . 5 |- (0hop:~H-->~H -> 0hop Fn ~H)
95	93, 94	ax-mp 7	. . . 4 |- 0hop Fn ~H
96		eqfnfv2 4767	. . . 4 |- ((T Fn ~H /\ 0hop Fn ~H) -> (T = 0hop <-> A.x e. ~H (T` x) = (0hop` x)))
97	92, 95, 96	mp2an 761	. . 3 |- (T = 0hop <-> A.x e. ~H (T` x) = (0hop` x))
98	90, 97	sylibr 217	. 2 |- ((normop` T) = 0 -> T = 0hop)
99		fveq2 4681	. . 3 |- (T = 0hop -> (normop` T) = (normop` 0hop))
100		nmop0 11547	. . 3 |- (normop` 0hop) = 0
101	99, 100	syl6eq 1944	. 2 |- (T = 0hop -> (normop` T) = 0)
102	98, 101	impbii 174	1 |- ((normop` T) = 0 <-> T = 0hop)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  {cab 1871   =/= wne 2017  A.wral 2105  E.wrex 2106   C_ wss 2593   class class class wbr 3338   Fn wfn 3993  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  supcsup 5663  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   / cdiv 6447   <_ cle 6448  RR*cxr 6652   < clt 6653  ~Hchil 10420   .h csm 10422  0hc0v 10423  normhcno 10426  0_hopch0o 10444  norm_opcnop 10446  LinOpclo 10448

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584  ax-his4 10585  ax-hcompl 10704

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-r1 5750  df-rank 5751  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-q 7436  df-fl 7463  df-ioo 7528  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-sum 8240  df-top 8861  df-bases 8863  df-topgen 8864  df-cld 8939  df-ntr 8940  df-cls 8941  df-cn 9030  df-cnp 9031  df-haus 9059  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-lm 9200  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551  df-ims 9552  df-ip 9689  df-ph 9813  df-hnorm 10469  df-hvsub 10472  df-hlim 10473  df-hcau 10474  df-sh 10709  df-ch 10725  df-oc 10757  df-ch0 10758  df-pj 10870  df-h0op 11311  df-nmop 11402  df-lnop 11404

Copyright terms: Public domain