MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmlnogt0 Structured version   Unicode version

Theorem nmlnogt0 24216
Description: The norm of a nonzero linear operator is positive. (Contributed by NM, 10-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmlnogt0.3  |-  N  =  ( U normOpOLD W
)
nmlnogt0.0  |-  Z  =  ( U  0op  W
)
nmlnogt0.7  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
Assertion
Ref Expression
nmlnogt0  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  ->  ( T  =/=  Z  <->  0  <  ( N `  T ) ) )

Proof of Theorem nmlnogt0
StepHypRef Expression
1 nmlnogt0.3 . . . 4  |-  N  =  ( U normOpOLD W
)
2 nmlnogt0.0 . . . 4  |-  Z  =  ( U  0op  W
)
3 nmlnogt0.7 . . . 4  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
41, 2, 3nmlno0 24214 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  ->  (
( N `  T
)  =  0  <->  T  =  Z ) )
54necon3bid 2665 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  ->  (
( N `  T
)  =/=  0  <->  T  =/=  Z ) )
6 eqid 2443 . . . 4  |-  ( BaseSet `  U )  =  (
BaseSet `  U )
7 eqid 2443 . . . 4  |-  ( BaseSet `  W )  =  (
BaseSet `  W )
86, 7, 3lnof 24174 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  ->  T : ( BaseSet `  U
) --> ( BaseSet `  W
) )
96, 7, 1nmoxr 24185 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T :
( BaseSet `  U ) --> ( BaseSet `  W )
)  ->  ( N `  T )  e.  RR* )
106, 7, 1nmooge0 24186 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T :
( BaseSet `  U ) --> ( BaseSet `  W )
)  ->  0  <_  ( N `  T ) )
11 0xr 9449 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR*
12 xrlttri2 11138 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N `  T
)  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  (
( N `  T
)  =/=  0  <->  (
( N `  T
)  <  0  \/  0  <  ( N `  T ) ) ) )
1311, 12mpan2 671 . . . . . 6  |-  ( ( N `  T )  e.  RR*  ->  ( ( N `  T )  =/=  0  <->  ( ( N `  T )  <  0  \/  0  < 
( N `  T
) ) ) )
1413adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( N `  T
)  e.  RR*  /\  0  <_  ( N `  T
) )  ->  (
( N `  T
)  =/=  0  <->  (
( N `  T
)  <  0  \/  0  <  ( N `  T ) ) ) )
15 xrlenlt 9461 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  ( N `  T )  e.  RR* )  ->  (
0  <_  ( N `  T )  <->  -.  ( N `  T )  <  0 ) )
1611, 15mpan 670 . . . . . . 7  |-  ( ( N `  T )  e.  RR*  ->  ( 0  <_  ( N `  T )  <->  -.  ( N `  T )  <  0 ) )
1716biimpa 484 . . . . . 6  |-  ( ( ( N `  T
)  e.  RR*  /\  0  <_  ( N `  T
) )  ->  -.  ( N `  T )  <  0 )
18 biorf 405 . . . . . 6  |-  ( -.  ( N `  T
)  <  0  ->  ( 0  <  ( N `
 T )  <->  ( ( N `  T )  <  0  \/  0  < 
( N `  T
) ) ) )
1917, 18syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( N `  T
)  e.  RR*  /\  0  <_  ( N `  T
) )  ->  (
0  <  ( N `  T )  <->  ( ( N `  T )  <  0  \/  0  < 
( N `  T
) ) ) )
2014, 19bitr4d 256 . . . 4  |-  ( ( ( N `  T
)  e.  RR*  /\  0  <_  ( N `  T
) )  ->  (
( N `  T
)  =/=  0  <->  0  <  ( N `  T ) ) )
219, 10, 20syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T :
( BaseSet `  U ) --> ( BaseSet `  W )
)  ->  ( ( N `  T )  =/=  0  <->  0  <  ( N `  T )
) )
228, 21syld3an3 1263 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  ->  (
( N `  T
)  =/=  0  <->  0  <  ( N `  T ) ) )
235, 22bitr3d 255 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  ->  ( T  =/=  Z  <->  0  <  ( N `  T ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2620   class class class wbr 4311   -->wf 5433   ` cfv 5437  (class class class)co 6110   0cc0 9301   RR*cxr 9436    < clt 9437    <_ cle 9438   NrmCVeccnv 23981   BaseSetcba 23983    LnOp clno 24159   normOpOLDcnmoo 24160    0op c0o 24162
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4422  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391  ax-cnex 9357  ax-resscn 9358  ax-1cn 9359  ax-icn 9360  ax-addcl 9361  ax-addrcl 9362  ax-mulcl 9363  ax-mulrcl 9364  ax-mulcom 9365  ax-addass 9366  ax-mulass 9367  ax-distr 9368  ax-i2m1 9369  ax-1ne0 9370  ax-1rid 9371  ax-rnegex 9372  ax-rrecex 9373  ax-cnre 9374  ax-pre-lttri 9375  ax-pre-lttrn 9376  ax-pre-ltadd 9377  ax-pre-mulgt0 9378  ax-pre-sup 9379  ax-addf 9380  ax-mulf 9381
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2739  df-rex 2740  df-reu 2741  df-rmo 2742  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-pss 3363  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-tp 3901  df-op 3903  df-uni 4111  df-iun 4192  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-tr 4405  df-eprel 4651  df-id 4655  df-po 4660  df-so 4661  df-fr 4698  df-we 4700  df-ord 4741  df-on 4742  df-lim 4743  df-suc 4744  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-f1 5442  df-fo 5443  df-f1o 5444  df-fv 5445  df-riota 6071  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-om 6496  df-1st 6596  df-2nd 6597  df-recs 6851  df-rdg 6885  df-er 7120  df-map 7235  df-en 7330  df-dom 7331  df-sdom 7332  df-sup 7710  df-pnf 9439  df-mnf 9440  df-xr 9441  df-ltxr 9442  df-le 9443  df-sub 9616  df-neg 9617  df-div 10013  df-nn 10342  df-2 10399  df-3 10400  df-n0 10599  df-z 10666  df-uz 10881  df-rp 11011  df-seq 11826  df-exp 11885  df-cj 12607  df-re 12608  df-im 12609  df-sqr 12743  df-abs 12744  df-grpo 23697  df-gid 23698  df-ginv 23699  df-ablo 23788  df-vc 23943  df-nv 23989  df-va 23992  df-ba 23993  df-sm 23994  df-0v 23995  df-nmcv 23997  df-lno 24163  df-nmoo 24164  df-0o 24166
This theorem is referenced by:  blocni  24224
  Copyright terms: Public domain W3C validator