Theorem nmlnogt0 9797

Description: The norm of a nonzero linear operator is positive.

Hypotheses

Ref	Expression
nmlnogt0.3	|- N = (UnormOpW)
nmlnogt0.0	|- Z = (U 0op W)
nmlnogt0.7	|- L = (U LnOp W)

Assertion

Ref	Expression
nmlnogt0	|- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L) -> (T =/= Z <-> 0 < (N` T)))

Proof of Theorem nmlnogt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmlnogt0.3	. . . 4 |- N = (UnormOpW)
2		nmlnogt0.0	. . . 4 |- Z = (U 0op W)
3		nmlnogt0.7	. . . 4 |- L = (U LnOp W)
4	1, 2, 3	nmlno0 9795	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L) -> ((N` T) = 0 <-> T = Z))
5	4	necon3bid 2035	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L) -> ((N` T) =/= 0 <-> T =/= Z))
6		eqid 1884	. . . . 5 |- (BaseSet` U) = (BaseSet` U)
7		eqid 1884	. . . . 5 |- (BaseSet` W) = (BaseSet` W)
8	6, 7, 1	nmoxr 9768	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T:(BaseSet` U)-->(BaseSet` W)) -> (N` T) e. RR*)
9	6, 7, 1	nmoge0 9769	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T:(BaseSet` U)-->(BaseSet` W)) -> 0 <_ (N` T))
10		0re 6603	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
11		rexr 6668	. . . . . . . 8 |- (0 e. RR -> 0 e. RR*)
12	10, 11	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- 0 e. RR*
13		xrlttri2 6730	. . . . . . 7 |- (((N` T) e. RR* /\ 0 e. RR*) -> ((N` T) =/= 0 <-> ((N` T) < 0 \/ 0 < (N` T))))
14	12, 13	mpan2 760	. . . . . 6 |- ((N` T) e. RR* -> ((N` T) =/= 0 <-> ((N` T) < 0 \/ 0 < (N` T))))
15	14	adantr 425	. . . . 5 |- (((N` T) e. RR* /\ 0 <_ (N` T)) -> ((N` T) =/= 0 <-> ((N` T) < 0 \/ 0 < (N` T))))
16		xrlenlt 6670	. . . . . . . 8 |- ((0 e. RR* /\ (N` T) e. RR*) -> (0 <_ (N` T) <-> -. (N` T) < 0))
17	12, 16	mpan 759	. . . . . . 7 |- ((N` T) e. RR* -> (0 <_ (N` T) <-> -. (N` T) < 0))
18	17	biimpa 460	. . . . . 6 |- (((N` T) e. RR* /\ 0 <_ (N` T)) -> -. (N` T) < 0)
19		biorf 807	. . . . . 6 |- (-. (N` T) < 0 -> (0 < (N` T) <-> ((N` T) < 0 \/ 0 < (N` T))))
20	18, 19	syl 12	. . . . 5 |- (((N` T) e. RR* /\ 0 <_ (N` T)) -> (0 < (N` T) <-> ((N` T) < 0 \/ 0 < (N` T))))
21	15, 20	bitr4d 590	. . . 4 |- (((N` T) e. RR* /\ 0 <_ (N` T)) -> ((N` T) =/= 0 <-> 0 < (N` T)))
22	8, 9, 21	syl11anc 524	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T:(BaseSet` U)-->(BaseSet` W)) -> ((N` T) =/= 0 <-> 0 < (N` T)))
23	6, 7, 3	lnof 9755	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L) -> T:(BaseSet` U)-->(BaseSet` W))
24	22, 23	syld3an3 1142	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L) -> ((N` T) =/= 0 <-> 0 < (N` T)))
25	5, 24	bitr3d 589	1 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L) -> (T =/= Z <-> 0 < (N` T)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017   class class class wbr 3338  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  RRcr 6385  0cc0 6386   <_ cle 6448  RR*cxr 6652   < clt 6653  NrmCVeccnv 9535  BaseSetcba 9537   LnOp clno 9740  normOpcnmo 9741   0op c0o 9743

This theorem is referenced by:  blocni 9805

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-nm 9551  df-lno 9744  df-nmo 9745  df-0o 9747

Copyright terms: Public domain