MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmlnogt0 Structured version   Unicode version

Theorem nmlnogt0 26324
Description: The norm of a nonzero linear operator is positive. (Contributed by NM, 10-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmlnogt0.3  |-  N  =  ( U normOpOLD W
)
nmlnogt0.0  |-  Z  =  ( U  0op  W
)
nmlnogt0.7  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
Assertion
Ref Expression
nmlnogt0  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  ->  ( T  =/=  Z  <->  0  <  ( N `  T ) ) )

Proof of Theorem nmlnogt0
StepHypRef Expression
1 nmlnogt0.3 . . . 4  |-  N  =  ( U normOpOLD W
)
2 nmlnogt0.0 . . . 4  |-  Z  =  ( U  0op  W
)
3 nmlnogt0.7 . . . 4  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
41, 2, 3nmlno0 26322 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  ->  (
( N `  T
)  =  0  <->  T  =  Z ) )
54necon3bid 2680 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  ->  (
( N `  T
)  =/=  0  <->  T  =/=  Z ) )
6 eqid 2420 . . . 4  |-  ( BaseSet `  U )  =  (
BaseSet `  U )
7 eqid 2420 . . . 4  |-  ( BaseSet `  W )  =  (
BaseSet `  W )
86, 7, 3lnof 26282 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  ->  T : ( BaseSet `  U
) --> ( BaseSet `  W
) )
96, 7, 1nmoxr 26293 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T :
( BaseSet `  U ) --> ( BaseSet `  W )
)  ->  ( N `  T )  e.  RR* )
106, 7, 1nmooge0 26294 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T :
( BaseSet `  U ) --> ( BaseSet `  W )
)  ->  0  <_  ( N `  T ) )
11 0xr 9676 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR*
12 xrlttri2 11430 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N `  T
)  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  (
( N `  T
)  =/=  0  <->  (
( N `  T
)  <  0  \/  0  <  ( N `  T ) ) ) )
1311, 12mpan2 675 . . . . . 6  |-  ( ( N `  T )  e.  RR*  ->  ( ( N `  T )  =/=  0  <->  ( ( N `  T )  <  0  \/  0  < 
( N `  T
) ) ) )
1413adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( ( N `  T
)  e.  RR*  /\  0  <_  ( N `  T
) )  ->  (
( N `  T
)  =/=  0  <->  (
( N `  T
)  <  0  \/  0  <  ( N `  T ) ) ) )
15 xrlenlt 9688 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  ( N `  T )  e.  RR* )  ->  (
0  <_  ( N `  T )  <->  -.  ( N `  T )  <  0 ) )
1611, 15mpan 674 . . . . . . 7  |-  ( ( N `  T )  e.  RR*  ->  ( 0  <_  ( N `  T )  <->  -.  ( N `  T )  <  0 ) )
1716biimpa 486 . . . . . 6  |-  ( ( ( N `  T
)  e.  RR*  /\  0  <_  ( N `  T
) )  ->  -.  ( N `  T )  <  0 )
18 biorf 406 . . . . . 6  |-  ( -.  ( N `  T
)  <  0  ->  ( 0  <  ( N `
 T )  <->  ( ( N `  T )  <  0  \/  0  < 
( N `  T
) ) ) )
1917, 18syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( N `  T
)  e.  RR*  /\  0  <_  ( N `  T
) )  ->  (
0  <  ( N `  T )  <->  ( ( N `  T )  <  0  \/  0  < 
( N `  T
) ) ) )
2014, 19bitr4d 259 . . . 4  |-  ( ( ( N `  T
)  e.  RR*  /\  0  <_  ( N `  T
) )  ->  (
( N `  T
)  =/=  0  <->  0  <  ( N `  T ) ) )
219, 10, 20syl2anc 665 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T :
( BaseSet `  U ) --> ( BaseSet `  W )
)  ->  ( ( N `  T )  =/=  0  <->  0  <  ( N `  T )
) )
228, 21syld3an3 1309 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  ->  (
( N `  T
)  =/=  0  <->  0  <  ( N `  T ) ) )
235, 22bitr3d 258 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  ->  ( T  =/=  Z  <->  0  <  ( N `  T ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1867    =/= wne 2616   class class class wbr 4417   -->wf 5588   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   0cc0 9528   RR*cxr 9663    < clt 9664    <_ cle 9665   NrmCVeccnv 26089   BaseSetcba 26091    LnOp clno 26267   normOpOLDcnmoo 26268    0op c0o 26270
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605  ax-pre-sup 9606  ax-addf 9607  ax-mulf 9608
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-er 7362  df-map 7473  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-sup 7953  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-div 10259  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-n0 10859  df-z 10927  df-uz 11149  df-rp 11292  df-seq 12200  df-exp 12259  df-cj 13130  df-re 13131  df-im 13132  df-sqrt 13266  df-abs 13267  df-grpo 25805  df-gid 25806  df-ginv 25807  df-ablo 25896  df-vc 26051  df-nv 26097  df-va 26100  df-ba 26101  df-sm 26102  df-0v 26103  df-nmcv 26105  df-lno 26271  df-nmoo 26272  df-0o 26274
This theorem is referenced by:  blocni  26332
  Copyright terms: Public domain W3C validator