MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmlnogt0 Structured version   Unicode version

Theorem nmlnogt0 25485
Description: The norm of a nonzero linear operator is positive. (Contributed by NM, 10-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmlnogt0.3  |-  N  =  ( U normOpOLD W
)
nmlnogt0.0  |-  Z  =  ( U  0op  W
)
nmlnogt0.7  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
Assertion
Ref Expression
nmlnogt0  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  ->  ( T  =/=  Z  <->  0  <  ( N `  T ) ) )

Proof of Theorem nmlnogt0
StepHypRef Expression
1 nmlnogt0.3 . . . 4  |-  N  =  ( U normOpOLD W
)
2 nmlnogt0.0 . . . 4  |-  Z  =  ( U  0op  W
)
3 nmlnogt0.7 . . . 4  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
41, 2, 3nmlno0 25483 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  ->  (
( N `  T
)  =  0  <->  T  =  Z ) )
54necon3bid 2725 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  ->  (
( N `  T
)  =/=  0  <->  T  =/=  Z ) )
6 eqid 2467 . . . 4  |-  ( BaseSet `  U )  =  (
BaseSet `  U )
7 eqid 2467 . . . 4  |-  ( BaseSet `  W )  =  (
BaseSet `  W )
86, 7, 3lnof 25443 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  ->  T : ( BaseSet `  U
) --> ( BaseSet `  W
) )
96, 7, 1nmoxr 25454 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T :
( BaseSet `  U ) --> ( BaseSet `  W )
)  ->  ( N `  T )  e.  RR* )
106, 7, 1nmooge0 25455 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T :
( BaseSet `  U ) --> ( BaseSet `  W )
)  ->  0  <_  ( N `  T ) )
11 0xr 9641 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR*
12 xrlttri2 11349 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N `  T
)  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  (
( N `  T
)  =/=  0  <->  (
( N `  T
)  <  0  \/  0  <  ( N `  T ) ) ) )
1311, 12mpan2 671 . . . . . 6  |-  ( ( N `  T )  e.  RR*  ->  ( ( N `  T )  =/=  0  <->  ( ( N `  T )  <  0  \/  0  < 
( N `  T
) ) ) )
1413adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( N `  T
)  e.  RR*  /\  0  <_  ( N `  T
) )  ->  (
( N `  T
)  =/=  0  <->  (
( N `  T
)  <  0  \/  0  <  ( N `  T ) ) ) )
15 xrlenlt 9653 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  ( N `  T )  e.  RR* )  ->  (
0  <_  ( N `  T )  <->  -.  ( N `  T )  <  0 ) )
1611, 15mpan 670 . . . . . . 7  |-  ( ( N `  T )  e.  RR*  ->  ( 0  <_  ( N `  T )  <->  -.  ( N `  T )  <  0 ) )
1716biimpa 484 . . . . . 6  |-  ( ( ( N `  T
)  e.  RR*  /\  0  <_  ( N `  T
) )  ->  -.  ( N `  T )  <  0 )
18 biorf 405 . . . . . 6  |-  ( -.  ( N `  T
)  <  0  ->  ( 0  <  ( N `
 T )  <->  ( ( N `  T )  <  0  \/  0  < 
( N `  T
) ) ) )
1917, 18syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( N `  T
)  e.  RR*  /\  0  <_  ( N `  T
) )  ->  (
0  <  ( N `  T )  <->  ( ( N `  T )  <  0  \/  0  < 
( N `  T
) ) ) )
2014, 19bitr4d 256 . . . 4  |-  ( ( ( N `  T
)  e.  RR*  /\  0  <_  ( N `  T
) )  ->  (
( N `  T
)  =/=  0  <->  0  <  ( N `  T ) ) )
219, 10, 20syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T :
( BaseSet `  U ) --> ( BaseSet `  W )
)  ->  ( ( N `  T )  =/=  0  <->  0  <  ( N `  T )
) )
228, 21syld3an3 1273 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  ->  (
( N `  T
)  =/=  0  <->  0  <  ( N `  T ) ) )
235, 22bitr3d 255 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  ->  ( T  =/=  Z  <->  0  <  ( N `  T ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   class class class wbr 4447   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   0cc0 9493   RR*cxr 9628    < clt 9629    <_ cle 9630   NrmCVeccnv 25250   BaseSetcba 25252    LnOp clno 25428   normOpOLDcnmoo 25429    0op c0o 25431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571  ax-addf 9572  ax-mulf 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-er 7312  df-map 7423  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-sup 7902  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-rp 11222  df-seq 12077  df-exp 12136  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-grpo 24966  df-gid 24967  df-ginv 24968  df-ablo 25057  df-vc 25212  df-nv 25258  df-va 25261  df-ba 25262  df-sm 25263  df-0v 25264  df-nmcv 25266  df-lno 25432  df-nmoo 25433  df-0o 25435
This theorem is referenced by:  blocni  25493
  Copyright terms: Public domain W3C validator