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Theorem nmlno0lem 22247
Description: Lemma for nmlno0i 22248. (Contributed by NM, 28-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmlno0.3  |-  N  =  ( U normOp OLD W
)
nmlno0.0  |-  Z  =  ( U  0op  W
)
nmlno0.7  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
nmlno0lem.u  |-  U  e.  NrmCVec
nmlno0lem.w  |-  W  e.  NrmCVec
nmlno0lem.l  |-  T  e.  L
nmlno0lem.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nmlno0lem.2  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
nmlno0lem.r  |-  R  =  ( .s OLD `  U
)
nmlno0lem.s  |-  S  =  ( .s OLD `  W
)
nmlno0lem.p  |-  P  =  ( 0vec `  U
)
nmlno0lem.q  |-  Q  =  ( 0vec `  W
)
nmlno0lem.k  |-  K  =  ( normCV `  U )
nmlno0lem.m  |-  M  =  ( normCV `  W )
Assertion
Ref Expression
nmlno0lem  |-  ( ( N `  T )  =  0  <->  T  =  Z )

Proof of Theorem nmlno0lem
Dummy variables  y 
z  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmlno0lem.u . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U  e.  NrmCVec
2 nmlno0lem.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
3 nmlno0lem.k . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  K  =  ( normCV `  U )
42, 3nvcl 22101 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X )  ->  ( K `  x )  e.  RR )
51, 4mpan 652 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  X  ->  ( K `  x )  e.  RR )
65recnd 9070 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  X  ->  ( K `  x )  e.  CC )
76adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( T `  x )  =/=  Q )  -> 
( K `  x
)  e.  CC )
8 nmlno0lem.p . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  P  =  ( 0vec `  U
)
92, 8, 3nvz 22111 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X )  ->  (
( K `  x
)  =  0  <->  x  =  P ) )
101, 9mpan 652 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  X  ->  (
( K `  x
)  =  0  <->  x  =  P ) )
11 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  P  ->  ( T `  x )  =  ( T `  P ) )
12 nmlno0lem.w . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  W  e.  NrmCVec
13 nmlno0lem.l . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  T  e.  L
14 nmlno0lem.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
15 nmlno0lem.q . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  Q  =  ( 0vec `  W
)
16 nmlno0.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
172, 14, 8, 15, 16lno0 22210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  ->  ( T `  P )  =  Q )
181, 12, 13, 17mp3an 1279 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T `
 P )  =  Q
1911, 18syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  P  ->  ( T `  x )  =  Q )
2010, 19syl6bi 220 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  X  ->  (
( K `  x
)  =  0  -> 
( T `  x
)  =  Q ) )
2120necon3d 2605 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  X  ->  (
( T `  x
)  =/=  Q  -> 
( K `  x
)  =/=  0 ) )
2221imp 419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( T `  x )  =/=  Q )  -> 
( K `  x
)  =/=  0 )
237, 22recne0d 9740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( T `  x )  =/=  Q )  -> 
( 1  /  ( K `  x )
)  =/=  0 )
24 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( T `  x )  =/=  Q )  -> 
( T `  x
)  =/=  Q )
257, 22reccld 9739 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( T `  x )  =/=  Q )  -> 
( 1  /  ( K `  x )
)  e.  CC )
262, 14, 16lnof 22209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  ->  T : X --> Y )
271, 12, 13, 26mp3an 1279 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  T : X
--> Y
2827ffvelrni 5828 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  X  ->  ( T `  x )  e.  Y )
2928adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( T `  x )  =/=  Q )  -> 
( T `  x
)  e.  Y )
30 nmlno0lem.s . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  S  =  ( .s OLD `  W
)
3114, 30, 15nvmul0or 22086 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  (
1  /  ( K `
 x ) )  e.  CC  /\  ( T `  x )  e.  Y )  ->  (
( ( 1  / 
( K `  x
) ) S ( T `  x ) )  =  Q  <->  ( (
1  /  ( K `
 x ) )  =  0  \/  ( T `  x )  =  Q ) ) )
3212, 31mp3an1 1266 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1  /  ( K `  x )
)  e.  CC  /\  ( T `  x )  e.  Y )  -> 
( ( ( 1  /  ( K `  x ) ) S ( T `  x
) )  =  Q  <-> 
( ( 1  / 
( K `  x
) )  =  0  \/  ( T `  x )  =  Q ) ) )
3325, 29, 32syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( T `  x )  =/=  Q )  -> 
( ( ( 1  /  ( K `  x ) ) S ( T `  x
) )  =  Q  <-> 
( ( 1  / 
( K `  x
) )  =  0  \/  ( T `  x )  =  Q ) ) )
3433necon3abid 2600 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( T `  x )  =/=  Q )  -> 
( ( ( 1  /  ( K `  x ) ) S ( T `  x
) )  =/=  Q  <->  -.  ( ( 1  / 
( K `  x
) )  =  0  \/  ( T `  x )  =  Q ) ) )
35 neanior 2652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  ( K `  x )
)  =/=  0  /\  ( T `  x
)  =/=  Q )  <->  -.  ( ( 1  / 
( K `  x
) )  =  0  \/  ( T `  x )  =  Q ) )
3634, 35syl6bbr 255 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( T `  x )  =/=  Q )  -> 
( ( ( 1  /  ( K `  x ) ) S ( T `  x
) )  =/=  Q  <->  ( ( 1  /  ( K `  x )
)  =/=  0  /\  ( T `  x
)  =/=  Q ) ) )
3723, 24, 36mpbir2and 889 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( T `  x )  =/=  Q )  -> 
( ( 1  / 
( K `  x
) ) S ( T `  x ) )  =/=  Q )
3814, 30nvscl 22060 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  (
1  /  ( K `
 x ) )  e.  CC  /\  ( T `  x )  e.  Y )  ->  (
( 1  /  ( K `  x )
) S ( T `
 x ) )  e.  Y )
3912, 38mp3an1 1266 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  ( K `  x )
)  e.  CC  /\  ( T `  x )  e.  Y )  -> 
( ( 1  / 
( K `  x
) ) S ( T `  x ) )  e.  Y )
4025, 29, 39syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( T `  x )  =/=  Q )  -> 
( ( 1  / 
( K `  x
) ) S ( T `  x ) )  e.  Y )
41 nmlno0lem.m . . . . . . . . . . . 12  |-  M  =  ( normCV `  W )
4214, 15, 41nvgt0 22117 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  (
( 1  /  ( K `  x )
) S ( T `
 x ) )  e.  Y )  -> 
( ( ( 1  /  ( K `  x ) ) S ( T `  x
) )  =/=  Q  <->  0  <  ( M `  ( ( 1  / 
( K `  x
) ) S ( T `  x ) ) ) ) )
4312, 40, 42sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( T `  x )  =/=  Q )  -> 
( ( ( 1  /  ( K `  x ) ) S ( T `  x
) )  =/=  Q  <->  0  <  ( M `  ( ( 1  / 
( K `  x
) ) S ( T `  x ) ) ) ) )
4437, 43mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( T `  x )  =/=  Q )  -> 
0  <  ( M `  ( ( 1  / 
( K `  x
) ) S ( T `  x ) ) ) )
4544ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  X  ->  (
( T `  x
)  =/=  Q  -> 
0  <  ( M `  ( ( 1  / 
( K `  x
) ) S ( T `  x ) ) ) ) )
4645adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N `  T
)  =  0  /\  x  e.  X )  ->  ( ( T `
 x )  =/= 
Q  ->  0  <  ( M `  ( ( 1  /  ( K `
 x ) ) S ( T `  x ) ) ) ) )
4714, 41nmosetre 22218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  T : X --> Y )  ->  { y  |  E. z  e.  X  (
( K `  z
)  <_  1  /\  y  =  ( M `  ( T `  z
) ) ) } 
C_  RR )
4812, 27, 47mp2an 654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { y  |  E. z  e.  X  ( ( K `
 z )  <_ 
1  /\  y  =  ( M `  ( T `
 z ) ) ) }  C_  RR
49 ressxr 9085 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR  C_  RR*
5048, 49sstri 3317 . . . . . . . . . . . 12  |-  { y  |  E. z  e.  X  ( ( K `
 z )  <_ 
1  /\  y  =  ( M `  ( T `
 z ) ) ) }  C_  RR*
51 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( T `  x )  =/=  Q )  ->  x  e.  X )
52 nmlno0lem.r . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  R  =  ( .s OLD `  U
)
532, 52nvscl 22060 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
1  /  ( K `
 x ) )  e.  CC  /\  x  e.  X )  ->  (
( 1  /  ( K `  x )
) R x )  e.  X )
541, 53mp3an1 1266 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1  /  ( K `  x )
)  e.  CC  /\  x  e.  X )  ->  ( ( 1  / 
( K `  x
) ) R x )  e.  X )
5525, 51, 54syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( T `  x )  =/=  Q )  -> 
( ( 1  / 
( K `  x
) ) R x )  e.  X )
5619necon3i 2606 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( T `  x )  =/=  Q  ->  x  =/=  P )
572, 52, 8, 3nv1 22118 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X  /\  x  =/=  P )  ->  ( K `  ( (
1  /  ( K `
 x ) ) R x ) )  =  1 )
581, 57mp3an1 1266 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  X  /\  x  =/=  P )  -> 
( K `  (
( 1  /  ( K `  x )
) R x ) )  =  1 )
5956, 58sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( T `  x )  =/=  Q )  -> 
( K `  (
( 1  /  ( K `  x )
) R x ) )  =  1 )
60 1re 9046 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  RR
6159, 60syl6eqel 2492 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( T `  x )  =/=  Q )  -> 
( K `  (
( 1  /  ( K `  x )
) R x ) )  e.  RR )
62 eqle 9132 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K `  (
( 1  /  ( K `  x )
) R x ) )  e.  RR  /\  ( K `  ( ( 1  /  ( K `
 x ) ) R x ) )  =  1 )  -> 
( K `  (
( 1  /  ( K `  x )
) R x ) )  <_  1 )
6361, 59, 62syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( T `  x )  =/=  Q )  -> 
( K `  (
( 1  /  ( K `  x )
) R x ) )  <_  1 )
641, 12, 133pm3.2i 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )
652, 52, 30, 16lnomul 22214 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  /\  (
( 1  /  ( K `  x )
)  e.  CC  /\  x  e.  X )
)  ->  ( T `  ( ( 1  / 
( K `  x
) ) R x ) )  =  ( ( 1  /  ( K `  x )
) S ( T `
 x ) ) )
6664, 65mpan 652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 1  /  ( K `  x )
)  e.  CC  /\  x  e.  X )  ->  ( T `  (
( 1  /  ( K `  x )
) R x ) )  =  ( ( 1  /  ( K `
 x ) ) S ( T `  x ) ) )
6725, 51, 66syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( T `  x )  =/=  Q )  -> 
( T `  (
( 1  /  ( K `  x )
) R x ) )  =  ( ( 1  /  ( K `
 x ) ) S ( T `  x ) ) )
6867eqcomd 2409 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( T `  x )  =/=  Q )  -> 
( ( 1  / 
( K `  x
) ) S ( T `  x ) )  =  ( T `
 ( ( 1  /  ( K `  x ) ) R x ) ) )
6968fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( T `  x )  =/=  Q )  -> 
( M `  (
( 1  /  ( K `  x )
) S ( T `
 x ) ) )  =  ( M `
 ( T `  ( ( 1  / 
( K `  x
) ) R x ) ) ) )
70 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( ( 1  /  ( K `  x ) ) R x )  ->  ( K `  z )  =  ( K `  ( ( 1  / 
( K `  x
) ) R x ) ) )
7170breq1d 4182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( ( 1  /  ( K `  x ) ) R x )  ->  (
( K `  z
)  <_  1  <->  ( K `  ( ( 1  / 
( K `  x
) ) R x ) )  <_  1
) )
72 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( ( 1  /  ( K `  x ) ) R x )  ->  ( T `  z )  =  ( T `  ( ( 1  / 
( K `  x
) ) R x ) ) )
7372fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( ( 1  /  ( K `  x ) ) R x )  ->  ( M `  ( T `  z ) )  =  ( M `  ( T `  ( (
1  /  ( K `
 x ) ) R x ) ) ) )
7473eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( ( 1  /  ( K `  x ) ) R x )  ->  (
( M `  (
( 1  /  ( K `  x )
) S ( T `
 x ) ) )  =  ( M `
 ( T `  z ) )  <->  ( M `  ( ( 1  / 
( K `  x
) ) S ( T `  x ) ) )  =  ( M `  ( T `
 ( ( 1  /  ( K `  x ) ) R x ) ) ) ) )
7571, 74anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( ( 1  /  ( K `  x ) ) R x )  ->  (
( ( K `  z )  <_  1  /\  ( M `  (
( 1  /  ( K `  x )
) S ( T `
 x ) ) )  =  ( M `
 ( T `  z ) ) )  <-> 
( ( K `  ( ( 1  / 
( K `  x
) ) R x ) )  <_  1  /\  ( M `  (
( 1  /  ( K `  x )
) S ( T `
 x ) ) )  =  ( M `
 ( T `  ( ( 1  / 
( K `  x
) ) R x ) ) ) ) ) )
7675rspcev 3012 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( 1  / 
( K `  x
) ) R x )  e.  X  /\  ( ( K `  ( ( 1  / 
( K `  x
) ) R x ) )  <_  1  /\  ( M `  (
( 1  /  ( K `  x )
) S ( T `
 x ) ) )  =  ( M `
 ( T `  ( ( 1  / 
( K `  x
) ) R x ) ) ) ) )  ->  E. z  e.  X  ( ( K `  z )  <_  1  /\  ( M `
 ( ( 1  /  ( K `  x ) ) S ( T `  x
) ) )  =  ( M `  ( T `  z )
) ) )
7755, 63, 69, 76syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( T `  x )  =/=  Q )  ->  E. z  e.  X  ( ( K `  z )  <_  1  /\  ( M `  (
( 1  /  ( K `  x )
) S ( T `
 x ) ) )  =  ( M `
 ( T `  z ) ) ) )
78 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M `
 ( ( 1  /  ( K `  x ) ) S ( T `  x
) ) )  e. 
_V
79 eqeq1 2410 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( M `  ( ( 1  / 
( K `  x
) ) S ( T `  x ) ) )  ->  (
y  =  ( M `
 ( T `  z ) )  <->  ( M `  ( ( 1  / 
( K `  x
) ) S ( T `  x ) ) )  =  ( M `  ( T `
 z ) ) ) )
8079anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( M `  ( ( 1  / 
( K `  x
) ) S ( T `  x ) ) )  ->  (
( ( K `  z )  <_  1  /\  y  =  ( M `  ( T `  z ) ) )  <-> 
( ( K `  z )  <_  1  /\  ( M `  (
( 1  /  ( K `  x )
) S ( T `
 x ) ) )  =  ( M `
 ( T `  z ) ) ) ) )
8180rexbidv 2687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( M `  ( ( 1  / 
( K `  x
) ) S ( T `  x ) ) )  ->  ( E. z  e.  X  ( ( K `  z )  <_  1  /\  y  =  ( M `  ( T `  z ) ) )  <->  E. z  e.  X  ( ( K `  z )  <_  1  /\  ( M `  (
( 1  /  ( K `  x )
) S ( T `
 x ) ) )  =  ( M `
 ( T `  z ) ) ) ) )
8278, 81elab 3042 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M `  ( ( 1  /  ( K `
 x ) ) S ( T `  x ) ) )  e.  { y  |  E. z  e.  X  ( ( K `  z )  <_  1  /\  y  =  ( M `  ( T `  z ) ) ) }  <->  E. z  e.  X  ( ( K `  z )  <_  1  /\  ( M `  (
( 1  /  ( K `  x )
) S ( T `
 x ) ) )  =  ( M `
 ( T `  z ) ) ) )
8377, 82sylibr 204 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( T `  x )  =/=  Q )  -> 
( M `  (
( 1  /  ( K `  x )
) S ( T `
 x ) ) )  e.  { y  |  E. z  e.  X  ( ( K `
 z )  <_ 
1  /\  y  =  ( M `  ( T `
 z ) ) ) } )
84 supxrub 10859 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { y  |  E. z  e.  X  (
( K `  z
)  <_  1  /\  y  =  ( M `  ( T `  z
) ) ) } 
C_  RR*  /\  ( M `
 ( ( 1  /  ( K `  x ) ) S ( T `  x
) ) )  e. 
{ y  |  E. z  e.  X  (
( K `  z
)  <_  1  /\  y  =  ( M `  ( T `  z
) ) ) } )  ->  ( M `  ( ( 1  / 
( K `  x
) ) S ( T `  x ) ) )  <_  sup ( { y  |  E. z  e.  X  (
( K `  z
)  <_  1  /\  y  =  ( M `  ( T `  z
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
8550, 83, 84sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( T `  x )  =/=  Q )  -> 
( M `  (
( 1  /  ( K `  x )
) S ( T `
 x ) ) )  <_  sup ( { y  |  E. z  e.  X  (
( K `  z
)  <_  1  /\  y  =  ( M `  ( T `  z
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
8685adantll 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N `  T )  =  0  /\  x  e.  X
)  /\  ( T `  x )  =/=  Q
)  ->  ( M `  ( ( 1  / 
( K `  x
) ) S ( T `  x ) ) )  <_  sup ( { y  |  E. z  e.  X  (
( K `  z
)  <_  1  /\  y  =  ( M `  ( T `  z
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
87 nmlno0.3 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  N  =  ( U normOp OLD W
)
882, 14, 3, 41, 87nmooval 22217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X
--> Y )  ->  ( N `  T )  =  sup ( { y  |  E. z  e.  X  ( ( K `
 z )  <_ 
1  /\  y  =  ( M `  ( T `
 z ) ) ) } ,  RR* ,  <  ) )
891, 12, 27, 88mp3an 1279 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N `
 T )  =  sup ( { y  |  E. z  e.  X  ( ( K `
 z )  <_ 
1  /\  y  =  ( M `  ( T `
 z ) ) ) } ,  RR* ,  <  )
9089eqeq1i 2411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N `  T )  =  0  <->  sup ( { y  |  E. z  e.  X  (
( K `  z
)  <_  1  /\  y  =  ( M `  ( T `  z
) ) ) } ,  RR* ,  <  )  =  0 )
9190biimpi 187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N `  T )  =  0  ->  sup ( { y  |  E. z  e.  X  (
( K `  z
)  <_  1  /\  y  =  ( M `  ( T `  z
) ) ) } ,  RR* ,  <  )  =  0 )
9291ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N `  T )  =  0  /\  x  e.  X
)  /\  ( T `  x )  =/=  Q
)  ->  sup ( { y  |  E. z  e.  X  (
( K `  z
)  <_  1  /\  y  =  ( M `  ( T `  z
) ) ) } ,  RR* ,  <  )  =  0 )
9386, 92breqtrd 4196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N `  T )  =  0  /\  x  e.  X
)  /\  ( T `  x )  =/=  Q
)  ->  ( M `  ( ( 1  / 
( K `  x
) ) S ( T `  x ) ) )  <_  0
)
9414, 41nvcl 22101 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  (
( 1  /  ( K `  x )
) S ( T `
 x ) )  e.  Y )  -> 
( M `  (
( 1  /  ( K `  x )
) S ( T `
 x ) ) )  e.  RR )
9512, 40, 94sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( T `  x )  =/=  Q )  -> 
( M `  (
( 1  /  ( K `  x )
) S ( T `
 x ) ) )  e.  RR )
96 0re 9047 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
97 lenlt 9110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M `  (
( 1  /  ( K `  x )
) S ( T `
 x ) ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( M `  ( ( 1  / 
( K `  x
) ) S ( T `  x ) ) )  <_  0  <->  -.  0  <  ( M `
 ( ( 1  /  ( K `  x ) ) S ( T `  x
) ) ) ) )
9895, 96, 97sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( T `  x )  =/=  Q )  -> 
( ( M `  ( ( 1  / 
( K `  x
) ) S ( T `  x ) ) )  <_  0  <->  -.  0  <  ( M `
 ( ( 1  /  ( K `  x ) ) S ( T `  x
) ) ) ) )
9998adantll 695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N `  T )  =  0  /\  x  e.  X
)  /\  ( T `  x )  =/=  Q
)  ->  ( ( M `  ( (
1  /  ( K `
 x ) ) S ( T `  x ) ) )  <_  0  <->  -.  0  <  ( M `  (
( 1  /  ( K `  x )
) S ( T `
 x ) ) ) ) )
10093, 99mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N `  T )  =  0  /\  x  e.  X
)  /\  ( T `  x )  =/=  Q
)  ->  -.  0  <  ( M `  (
( 1  /  ( K `  x )
) S ( T `
 x ) ) ) )
101100ex 424 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N `  T
)  =  0  /\  x  e.  X )  ->  ( ( T `
 x )  =/= 
Q  ->  -.  0  <  ( M `  (
( 1  /  ( K `  x )
) S ( T `
 x ) ) ) ) )
10246, 101pm2.65d 168 . . . . . 6  |-  ( ( ( N `  T
)  =  0  /\  x  e.  X )  ->  -.  ( T `  x )  =/=  Q
)
103 nne 2571 . . . . . 6  |-  ( -.  ( T `  x
)  =/=  Q  <->  ( T `  x )  =  Q )
104102, 103sylib 189 . . . . 5  |-  ( ( ( N `  T
)  =  0  /\  x  e.  X )  ->  ( T `  x )  =  Q )
105 nmlno0.0 . . . . . . . 8  |-  Z  =  ( U  0op  W
)
1062, 15, 1050oval 22242 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X )  ->  ( Z `  x )  =  Q )
1071, 12, 106mp3an12 1269 . . . . . 6  |-  ( x  e.  X  ->  ( Z `  x )  =  Q )
108107adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( ( N `  T
)  =  0  /\  x  e.  X )  ->  ( Z `  x )  =  Q )
109104, 108eqtr4d 2439 . . . 4  |-  ( ( ( N `  T
)  =  0  /\  x  e.  X )  ->  ( T `  x )  =  ( Z `  x ) )
110109ralrimiva 2749 . . 3  |-  ( ( N `  T )  =  0  ->  A. x  e.  X  ( T `  x )  =  ( Z `  x ) )
111 ffn 5550 . . . . 5  |-  ( T : X --> Y  ->  T  Fn  X )
11227, 111ax-mp 8 . . . 4  |-  T  Fn  X
1132, 14, 1050oo 22243 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  Z : X --> Y )
1141, 12, 113mp2an 654 . . . . 5  |-  Z : X
--> Y
115 ffn 5550 . . . . 5  |-  ( Z : X --> Y  ->  Z  Fn  X )
116114, 115ax-mp 8 . . . 4  |-  Z  Fn  X
117 eqfnfv 5786 . . . 4  |-  ( ( T  Fn  X  /\  Z  Fn  X )  ->  ( T  =  Z  <->  A. x  e.  X  ( T `  x )  =  ( Z `  x ) ) )
118112, 116, 117mp2an 654 . . 3  |-  ( T  =  Z  <->  A. x  e.  X  ( T `  x )  =  ( Z `  x ) )
119110, 118sylibr 204 . 2  |-  ( ( N `  T )  =  0  ->  T  =  Z )
120 fveq2 5687 . . 3  |-  ( T  =  Z  ->  ( N `  T )  =  ( N `  Z ) )
12187, 105nmoo0 22245 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  ( N `  Z )  =  0 )
1221, 12, 121mp2an 654 . . 3  |-  ( N `
 Z )  =  0
123120, 122syl6eq 2452 . 2  |-  ( T  =  Z  ->  ( N `  T )  =  0 )
124119, 123impbii 181 1  |-  ( ( N `  T )  =  0  <->  T  =  Z )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   {cab 2390    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667    C_ wss 3280   class class class wbr 4172    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   supcsup 7403   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   RR*cxr 9075    < clt 9076    <_ cle 9077    / cdiv 9633   NrmCVeccnv 22016   BaseSetcba 22018   .s
OLDcns 22019   0veccn0v 22020   normCVcnmcv 22022    LnOp clno 22194   normOp OLDcnmoo 22195    0op c0o 22197
This theorem is referenced by:  nmlno0i  22248
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-grpo 21732  df-gid 21733  df-ginv 21734  df-ablo 21823  df-vc 21978  df-nv 22024  df-va 22027  df-ba 22028  df-sm 22029  df-0v 22030  df-nmcv 22032  df-lno 22198  df-nmoo 22199  df-0o 22201
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