Theorem nmlno0lem 24016

Description: Lemma for nmlno0i 24017. (Contributed by NM, 28-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmlno0.3	|- N = ( U normOpOLD W )
nmlno0.0	|- Z = ( U 0op W )
nmlno0.7	|- L = ( U LnOp W )
nmlno0lem.u	|- U e. NrmCVec
nmlno0lem.w	|- W e. NrmCVec
nmlno0lem.l	|- T e. L
nmlno0lem.1	|- X = ( BaseSet ` U )
nmlno0lem.2	|- Y = ( BaseSet ` W )
nmlno0lem.r	|- R = ( .sOLD ` U )
nmlno0lem.s	|- S = ( .sOLD ` W )
nmlno0lem.p	|- P = ( 0vec ` U )
nmlno0lem.q	|- Q = ( 0vec ` W )
nmlno0lem.k	|- K = ( normCV ` U )
nmlno0lem.m	|- M = ( normCV ` W )

Assertion

Ref	Expression
nmlno0lem	|- ( ( N ` T ) = 0 <-> T = Z )

Proof of Theorem nmlno0lem

Dummy variables y z x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmlno0lem.u	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U e. NrmCVec
2		nmlno0lem.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- X = ( BaseSet ` U )
3		nmlno0lem.k	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- K = ( normCV ` U )
4	2, 3	nvcl 23870	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. X ) -> ( K ` x ) e. RR )
5	1, 4	mpan 663	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. X -> ( K ` x ) e. RR )
6	5	recnd 9400	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. X -> ( K ` x ) e. CC )
7	6	adantr 462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( K ` x ) e. CC )
8		nmlno0lem.p	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- P = ( 0vec ` U )
9	2, 8, 3	nvz 23880	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. X ) -> ( ( K ` x ) = 0 <-> x = P ) )
10	1, 9	mpan 663	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. X -> ( ( K ` x ) = 0 <-> x = P ) )
11		fveq2 5679	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = P -> ( T ` x ) = ( T ` P ) )
12		nmlno0lem.w	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- W e. NrmCVec
13		nmlno0lem.l	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- T e. L
14		nmlno0lem.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- Y = ( BaseSet ` W )
15		nmlno0lem.q	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- Q = ( 0vec ` W )
16		nmlno0.7	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- L = ( U LnOp W )
17	2, 14, 8, 15, 16	lno0 23979	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L ) -> ( T ` P ) = Q )
18	1, 12, 13, 17	mp3an 1307	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( T ` P ) = Q
19	11, 18	syl6eq 2481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = P -> ( T ` x ) = Q )
20	10, 19	syl6bi 228	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. X -> ( ( K ` x ) = 0 -> ( T ` x ) = Q ) )
21	20	necon3d 2636	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. X -> ( ( T ` x ) =/= Q -> ( K ` x ) =/= 0 ) )
22	21	imp 429	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( K ` x ) =/= 0 )
23	7, 22	recne0d 10089	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( 1 / ( K ` x ) ) =/= 0 )
24		simpr 458	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( T ` x ) =/= Q )
25	7, 22	reccld 10088	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( 1 / ( K ` x ) ) e. CC )
26	2, 14, 16	lnof 23978	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L ) -> T : X --> Y )
27	1, 12, 13, 26	mp3an 1307	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- T : X --> Y
28	27	ffvelrni 5830	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. X -> ( T ` x ) e. Y )
29	28	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( T ` x ) e. Y )
30		nmlno0lem.s	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- S = ( .sOLD ` W )
31	14, 30, 15	nvmul0or 23855	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( W e. NrmCVec /\ ( 1 / ( K ` x ) ) e. CC /\ ( T ` x ) e. Y ) -> ( ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) = Q <-> ( ( 1 / ( K ` x ) ) = 0 \/ ( T ` x ) = Q ) ) )
32	12, 31	mp3an1 1294	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 1 / ( K ` x ) ) e. CC /\ ( T ` x ) e. Y ) -> ( ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) = Q <-> ( ( 1 / ( K ` x ) ) = 0 \/ ( T ` x ) = Q ) ) )
33	25, 29, 32	syl2anc 654	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) = Q <-> ( ( 1 / ( K ` x ) ) = 0 \/ ( T ` x ) = Q ) ) )
34	33	necon3abid 2631	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) =/= Q <-> -. ( ( 1 / ( K ` x ) ) = 0 \/ ( T ` x ) = Q ) ) )
35		neanior 2687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1 / ( K ` x ) ) =/= 0 /\ ( T ` x ) =/= Q ) <-> -. ( ( 1 / ( K ` x ) ) = 0 \/ ( T ` x ) = Q ) )
36	34, 35	syl6bbr 263	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) =/= Q <-> ( ( 1 / ( K ` x ) ) =/= 0 /\ ( T ` x ) =/= Q ) ) )
37	23, 24, 36	mpbir2and 906	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) =/= Q )
38	14, 30	nvscl 23829	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. NrmCVec /\ ( 1 / ( K ` x ) ) e. CC /\ ( T ` x ) e. Y ) -> ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) e. Y )
39	12, 38	mp3an1 1294	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1 / ( K ` x ) ) e. CC /\ ( T ` x ) e. Y ) -> ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) e. Y )
40	25, 29, 39	syl2anc 654	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) e. Y )
41		nmlno0lem.m	. . . . . . . . . . . 12 |- M = ( normCV ` W )
42	14, 15, 41	nvgt0 23886	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( W e. NrmCVec /\ ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) e. Y ) -> ( ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) =/= Q <-> 0 < ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) ) )
43	12, 40, 42	sylancr 656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) =/= Q <-> 0 < ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) ) )
44	37, 43	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> 0 < ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) )
45	44	ex 434	. . . . . . . 8 |- ( x e. X -> ( ( T ` x ) =/= Q -> 0 < ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) ) )
46	45	adantl 463	. . . . . . 7 |- ( ( ( N ` T ) = 0 /\ x e. X ) -> ( ( T ` x ) =/= Q -> 0 < ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) ) )
47	14, 41	nmosetre 23987	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( W e. NrmCVec /\ T : X --> Y ) -> { y | E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` z ) ) ) } C_ RR )
48	12, 27, 47	mp2an 665	. . . . . . . . . . . . 13 |- { y | E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` z ) ) ) } C_ RR
49		ressxr 9415	. . . . . . . . . . . . 13 |- RR C_ RR*
50	48, 49	sstri 3353	. . . . . . . . . . . 12 |- { y | E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` z ) ) ) } C_ RR*
51		simpl 454	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> x e. X )
52		nmlno0lem.r	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- R = ( .sOLD ` U )
53	2, 52	nvscl 23829	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( 1 / ( K ` x ) ) e. CC /\ x e. X ) -> ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) e. X )
54	1, 53	mp3an1 1294	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( 1 / ( K ` x ) ) e. CC /\ x e. X ) -> ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) e. X )
55	25, 51, 54	syl2anc 654	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) e. X )
56	19	necon3i 2640	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( T ` x ) =/= Q -> x =/= P )
57	2, 52, 8, 3	nv1 23887	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. X /\ x =/= P ) -> ( K ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) = 1 )
58	1, 57	mp3an1 1294	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. X /\ x =/= P ) -> ( K ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) = 1 )
59	56, 58	sylan2 471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( K ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) = 1 )
60		1re 9373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. RR
61	59, 60	syl6eqel 2521	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( K ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) e. RR )
62		eqle 9465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( K ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) e. RR /\ ( K ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) = 1 ) -> ( K ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) <_ 1 )
63	61, 59, 62	syl2anc 654	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( K ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) <_ 1 )
64	1, 12, 13	3pm3.2i 1159	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L )
65	2, 52, 30, 16	lnomul 23983	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L ) /\ ( ( 1 / ( K ` x ) ) e. CC /\ x e. X ) ) -> ( T ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) = ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) )
66	64, 65	mpan 663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( 1 / ( K ` x ) ) e. CC /\ x e. X ) -> ( T ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) = ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) )
67	25, 51, 66	syl2anc 654	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( T ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) = ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) )
68	67	eqcomd 2438	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) = ( T ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) )
69	68	fveq2d 5683	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) = ( M ` ( T ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) ) )
70		fveq2 5679	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) -> ( K ` z ) = ( K ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) )
71	70	breq1d 4290	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) -> ( ( K ` z ) <_ 1 <-> ( K ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) <_ 1 ) )
72		fveq2 5679	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) -> ( T ` z ) = ( T ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) )
73	72	fveq2d 5683	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) -> ( M ` ( T ` z ) ) = ( M ` ( T ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) ) )
74	73	eqeq2d 2444	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) -> ( ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) = ( M ` ( T ` z ) ) <-> ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) = ( M ` ( T ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) ) ) )
75	71, 74	anbi12d 703	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) -> ( ( ( K ` z ) <_ 1 /\ ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) = ( M ` ( T ` z ) ) ) <-> ( ( K ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) <_ 1 /\ ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) = ( M ` ( T ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) ) ) ) )
76	75	rspcev 3062	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) e. X /\ ( ( K ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) <_ 1 /\ ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) = ( M ` ( T ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) ) ) ) -> E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) = ( M ` ( T ` z ) ) ) )
77	55, 63, 69, 76	syl12anc 1209	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) = ( M ` ( T ` z ) ) ) )
78		fvex 5689	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) e. _V
79		eqeq1 2439	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) -> ( y = ( M ` ( T ` z ) ) <-> ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) = ( M ` ( T ` z ) ) ) )
80	79	anbi2d 696	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) -> ( ( ( K ` z ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` z ) ) ) <-> ( ( K ` z ) <_ 1 /\ ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) = ( M ` ( T ` z ) ) ) ) )
81	80	rexbidv 2726	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) -> ( E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` z ) ) ) <-> E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) = ( M ` ( T ` z ) ) ) ) )
82	78, 81	elab 3095	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) e. { y | E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` z ) ) ) } <-> E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) = ( M ` ( T ` z ) ) ) )
83	77, 82	sylibr 212	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) e. { y | E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` z ) ) ) } )
84		supxrub 11275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { y | E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` z ) ) ) } C_ RR* /\ ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) e. { y | E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` z ) ) ) } ) -> ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) <_ sup ( { y | E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` z ) ) ) } , RR* , < ) )
85	50, 83, 84	sylancr 656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) <_ sup ( { y | E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` z ) ) ) } , RR* , < ) )
86	85	adantll 706	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N ` T ) = 0 /\ x e. X ) /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) <_ sup ( { y | E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` z ) ) ) } , RR* , < ) )
87		nmlno0.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- N = ( U normOpOLD W )
88	2, 14, 3, 41, 87	nmooval 23986	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T : X --> Y ) -> ( N ` T ) = sup ( { y | E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` z ) ) ) } , RR* , < ) )
89	1, 12, 27, 88	mp3an 1307	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N ` T ) = sup ( { y | E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` z ) ) ) } , RR* , < )
90	89	eqeq1i 2440	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N ` T ) = 0 <-> sup ( { y | E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` z ) ) ) } , RR* , < ) = 0 )
91	90	biimpi 194	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N ` T ) = 0 -> sup ( { y | E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` z ) ) ) } , RR* , < ) = 0 )
92	91	ad2antrr 718	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N ` T ) = 0 /\ x e. X ) /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> sup ( { y | E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` z ) ) ) } , RR* , < ) = 0 )
93	86, 92	breqtrd 4304	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N ` T ) = 0 /\ x e. X ) /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) <_ 0 )
94	14, 41	nvcl 23870	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( W e. NrmCVec /\ ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) e. Y ) -> ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) e. RR )
95	12, 40, 94	sylancr 656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) e. RR )
96		0re 9374	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR
97		lenlt 9441	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) <_ 0 <-> -. 0 < ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) ) )
98	95, 96, 97	sylancl 655	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) <_ 0 <-> -. 0 < ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) ) )
99	98	adantll 706	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N ` T ) = 0 /\ x e. X ) /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) <_ 0 <-> -. 0 < ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) ) )
100	93, 99	mpbid 210	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N ` T ) = 0 /\ x e. X ) /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> -. 0 < ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) )
101	100	ex 434	. . . . . . 7 |- ( ( ( N ` T ) = 0 /\ x e. X ) -> ( ( T ` x ) =/= Q -> -. 0 < ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) ) )
102	46, 101	pm2.65d 175	. . . . . 6 |- ( ( ( N ` T ) = 0 /\ x e. X ) -> -. ( T ` x ) =/= Q )
103		nne 2602	. . . . . 6 |- ( -. ( T ` x ) =/= Q <-> ( T ` x ) = Q )
104	102, 103	sylib 196	. . . . 5 |- ( ( ( N ` T ) = 0 /\ x e. X ) -> ( T ` x ) = Q )
105		nmlno0.0	. . . . . . . 8 |- Z = ( U 0op W )
106	2, 15, 105	0oval 24011	. . . . . . 7 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ x e. X ) -> ( Z ` x ) = Q )
107	1, 12, 106	mp3an12 1297	. . . . . 6 |- ( x e. X -> ( Z ` x ) = Q )
108	107	adantl 463	. . . . 5 |- ( ( ( N ` T ) = 0 /\ x e. X ) -> ( Z ` x ) = Q )
109	104, 108	eqtr4d 2468	. . . 4 |- ( ( ( N ` T ) = 0 /\ x e. X ) -> ( T ` x ) = ( Z ` x ) )
110	109	ralrimiva 2789	. . 3 |- ( ( N ` T ) = 0 -> A. x e. X ( T ` x ) = ( Z ` x ) )
111		ffn 5547	. . . . 5 |- ( T : X --> Y -> T Fn X )
112	27, 111	ax-mp 5	. . . 4 |- T Fn X
113	2, 14, 105	0oo 24012	. . . . . 6 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec ) -> Z : X --> Y )
114	1, 12, 113	mp2an 665	. . . . 5 |- Z : X --> Y
115		ffn 5547	. . . . 5 |- ( Z : X --> Y -> Z Fn X )
116	114, 115	ax-mp 5	. . . 4 |- Z Fn X
117		eqfnfv 5785	. . . 4 |- ( ( T Fn X /\ Z Fn X ) -> ( T = Z <-> A. x e. X ( T ` x ) = ( Z ` x ) ) )
118	112, 116, 117	mp2an 665	. . 3 |- ( T = Z <-> A. x e. X ( T ` x ) = ( Z ` x ) )
119	110, 118	sylibr 212	. 2 |- ( ( N ` T ) = 0 -> T = Z )
120		fveq2 5679	. . 3 |- ( T = Z -> ( N ` T ) = ( N ` Z ) )
121	87, 105	nmoo0 24014	. . . 4 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec ) -> ( N ` Z ) = 0 )
122	1, 12, 121	mp2an 665	. . 3 |- ( N ` Z ) = 0
123	120, 122	syl6eq 2481	. 2 |- ( T = Z -> ( N ` T ) = 0 )
124	119, 123	impbii 188	1 |- ( ( N ` T ) = 0 <-> T = Z )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 958   = wceq 1362   e. wcel 1755   {cab 2419   =/= wne 2596   A.wral 2705   E.wrex 2706   C_ wss 3316   class class class wbr 4280   Fn wfn 5401   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   supcsup 7678   CCcc 9268   RRcr 9269   0cc0 9270   1c1 9271   RR*cxr 9405   < clt 9406   <_ cle 9407   / cdiv 9981   NrmCVeccnv 23785   BaseSetcba 23787   .sOLDcns 23788   0veccn0v 23789   norm_CVcnmcv 23791   LnOp clno 23963   normOpOLDcnmoo 23964   0op c0o 23966

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-map 7204  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-sup 7679  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-rp 10980  df-seq 11791  df-exp 11850  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709  df-grpo 23501  df-gid 23502  df-ginv 23503  df-ablo 23592  df-vc 23747  df-nv 23793  df-va 23796  df-ba 23797  df-sm 23798  df-0v 23799  df-nmcv 23801  df-lno 23967  df-nmoo 23968  df-0o 23970

This theorem is referenced by:  nmlno0i  24017