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Theorem nmlno0lem 25835
Description: Lemma for nmlno0i 25836. (Contributed by NM, 28-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmlno0.3  |-  N  =  ( U normOpOLD W
)
nmlno0.0  |-  Z  =  ( U  0op  W
)
nmlno0.7  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
nmlno0lem.u  |-  U  e.  NrmCVec
nmlno0lem.w  |-  W  e.  NrmCVec
nmlno0lem.l  |-  T  e.  L
nmlno0lem.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nmlno0lem.2  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
nmlno0lem.r  |-  R  =  ( .sOLD `  U )
nmlno0lem.s  |-  S  =  ( .sOLD `  W )
nmlno0lem.p  |-  P  =  ( 0vec `  U
)
nmlno0lem.q  |-  Q  =  ( 0vec `  W
)
nmlno0lem.k  |-  K  =  ( normCV `  U )
nmlno0lem.m  |-  M  =  ( normCV `  W )
Assertion
Ref Expression
nmlno0lem  |-  ( ( N `  T )  =  0  <->  T  =  Z )

Proof of Theorem nmlno0lem
Dummy variables  y 
z  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmlno0lem.u . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U  e.  NrmCVec
2 nmlno0lem.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
3 nmlno0lem.k . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  K  =  ( normCV `  U )
42, 3nvcl 25689 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X )  ->  ( K `  x )  e.  RR )
51, 4mpan 670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  X  ->  ( K `  x )  e.  RR )
65recnd 9639 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  X  ->  ( K `  x )  e.  CC )
76adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( T `  x )  =/=  Q )  -> 
( K `  x
)  e.  CC )
8 nmlno0lem.p . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  P  =  ( 0vec `  U
)
92, 8, 3nvz 25699 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X )  ->  (
( K `  x
)  =  0  <->  x  =  P ) )
101, 9mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  X  ->  (
( K `  x
)  =  0  <->  x  =  P ) )
11 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  P  ->  ( T `  x )  =  ( T `  P ) )
12 nmlno0lem.w . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  W  e.  NrmCVec
13 nmlno0lem.l . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  T  e.  L
14 nmlno0lem.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
15 nmlno0lem.q . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  Q  =  ( 0vec `  W
)
16 nmlno0.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
172, 14, 8, 15, 16lno0 25798 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  ->  ( T `  P )  =  Q )
181, 12, 13, 17mp3an 1324 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T `
 P )  =  Q
1911, 18syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  P  ->  ( T `  x )  =  Q )
2010, 19syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  X  ->  (
( K `  x
)  =  0  -> 
( T `  x
)  =  Q ) )
2120necon3d 2681 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  X  ->  (
( T `  x
)  =/=  Q  -> 
( K `  x
)  =/=  0 ) )
2221imp 429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( T `  x )  =/=  Q )  -> 
( K `  x
)  =/=  0 )
237, 22recne0d 10335 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( T `  x )  =/=  Q )  -> 
( 1  /  ( K `  x )
)  =/=  0 )
24 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( T `  x )  =/=  Q )  -> 
( T `  x
)  =/=  Q )
257, 22reccld 10334 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( T `  x )  =/=  Q )  -> 
( 1  /  ( K `  x )
)  e.  CC )
262, 14, 16lnof 25797 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  ->  T : X --> Y )
271, 12, 13, 26mp3an 1324 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  T : X
--> Y
2827ffvelrni 6031 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  X  ->  ( T `  x )  e.  Y )
2928adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( T `  x )  =/=  Q )  -> 
( T `  x
)  e.  Y )
30 nmlno0lem.s . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  S  =  ( .sOLD `  W )
3114, 30, 15nvmul0or 25674 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  (
1  /  ( K `
 x ) )  e.  CC  /\  ( T `  x )  e.  Y )  ->  (
( ( 1  / 
( K `  x
) ) S ( T `  x ) )  =  Q  <->  ( (
1  /  ( K `
 x ) )  =  0  \/  ( T `  x )  =  Q ) ) )
3212, 31mp3an1 1311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1  /  ( K `  x )
)  e.  CC  /\  ( T `  x )  e.  Y )  -> 
( ( ( 1  /  ( K `  x ) ) S ( T `  x
) )  =  Q  <-> 
( ( 1  / 
( K `  x
) )  =  0  \/  ( T `  x )  =  Q ) ) )
3325, 29, 32syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( T `  x )  =/=  Q )  -> 
( ( ( 1  /  ( K `  x ) ) S ( T `  x
) )  =  Q  <-> 
( ( 1  / 
( K `  x
) )  =  0  \/  ( T `  x )  =  Q ) ) )
3433necon3abid 2703 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( T `  x )  =/=  Q )  -> 
( ( ( 1  /  ( K `  x ) ) S ( T `  x
) )  =/=  Q  <->  -.  ( ( 1  / 
( K `  x
) )  =  0  \/  ( T `  x )  =  Q ) ) )
35 neanior 2782 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  ( K `  x )
)  =/=  0  /\  ( T `  x
)  =/=  Q )  <->  -.  ( ( 1  / 
( K `  x
) )  =  0  \/  ( T `  x )  =  Q ) )
3634, 35syl6bbr 263 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( T `  x )  =/=  Q )  -> 
( ( ( 1  /  ( K `  x ) ) S ( T `  x
) )  =/=  Q  <->  ( ( 1  /  ( K `  x )
)  =/=  0  /\  ( T `  x
)  =/=  Q ) ) )
3723, 24, 36mpbir2and 922 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( T `  x )  =/=  Q )  -> 
( ( 1  / 
( K `  x
) ) S ( T `  x ) )  =/=  Q )
3814, 30nvscl 25648 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  (
1  /  ( K `
 x ) )  e.  CC  /\  ( T `  x )  e.  Y )  ->  (
( 1  /  ( K `  x )
) S ( T `
 x ) )  e.  Y )
3912, 38mp3an1 1311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  ( K `  x )
)  e.  CC  /\  ( T `  x )  e.  Y )  -> 
( ( 1  / 
( K `  x
) ) S ( T `  x ) )  e.  Y )
4025, 29, 39syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( T `  x )  =/=  Q )  -> 
( ( 1  / 
( K `  x
) ) S ( T `  x ) )  e.  Y )
41 nmlno0lem.m . . . . . . . . . . . 12  |-  M  =  ( normCV `  W )
4214, 15, 41nvgt0 25705 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  (
( 1  /  ( K `  x )
) S ( T `
 x ) )  e.  Y )  -> 
( ( ( 1  /  ( K `  x ) ) S ( T `  x
) )  =/=  Q  <->  0  <  ( M `  ( ( 1  / 
( K `  x
) ) S ( T `  x ) ) ) ) )
4312, 40, 42sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( T `  x )  =/=  Q )  -> 
( ( ( 1  /  ( K `  x ) ) S ( T `  x
) )  =/=  Q  <->  0  <  ( M `  ( ( 1  / 
( K `  x
) ) S ( T `  x ) ) ) ) )
4437, 43mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( T `  x )  =/=  Q )  -> 
0  <  ( M `  ( ( 1  / 
( K `  x
) ) S ( T `  x ) ) ) )
4544ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  X  ->  (
( T `  x
)  =/=  Q  -> 
0  <  ( M `  ( ( 1  / 
( K `  x
) ) S ( T `  x ) ) ) ) )
4645adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N `  T
)  =  0  /\  x  e.  X )  ->  ( ( T `
 x )  =/= 
Q  ->  0  <  ( M `  ( ( 1  /  ( K `
 x ) ) S ( T `  x ) ) ) ) )
4714, 41nmosetre 25806 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  T : X --> Y )  ->  { y  |  E. z  e.  X  (
( K `  z
)  <_  1  /\  y  =  ( M `  ( T `  z
) ) ) } 
C_  RR )
4812, 27, 47mp2an 672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { y  |  E. z  e.  X  ( ( K `
 z )  <_ 
1  /\  y  =  ( M `  ( T `
 z ) ) ) }  C_  RR
49 ressxr 9654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR  C_  RR*
5048, 49sstri 3508 . . . . . . . . . . . 12  |-  { y  |  E. z  e.  X  ( ( K `
 z )  <_ 
1  /\  y  =  ( M `  ( T `
 z ) ) ) }  C_  RR*
51 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( T `  x )  =/=  Q )  ->  x  e.  X )
52 nmlno0lem.r . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  R  =  ( .sOLD `  U )
532, 52nvscl 25648 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
1  /  ( K `
 x ) )  e.  CC  /\  x  e.  X )  ->  (
( 1  /  ( K `  x )
) R x )  e.  X )
541, 53mp3an1 1311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1  /  ( K `  x )
)  e.  CC  /\  x  e.  X )  ->  ( ( 1  / 
( K `  x
) ) R x )  e.  X )
5525, 51, 54syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( T `  x )  =/=  Q )  -> 
( ( 1  / 
( K `  x
) ) R x )  e.  X )
5619necon3i 2697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( T `  x )  =/=  Q  ->  x  =/=  P )
572, 52, 8, 3nv1 25706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X  /\  x  =/=  P )  ->  ( K `  ( (
1  /  ( K `
 x ) ) R x ) )  =  1 )
581, 57mp3an1 1311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  X  /\  x  =/=  P )  -> 
( K `  (
( 1  /  ( K `  x )
) R x ) )  =  1 )
5956, 58sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( T `  x )  =/=  Q )  -> 
( K `  (
( 1  /  ( K `  x )
) R x ) )  =  1 )
60 1re 9612 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  RR
6159, 60syl6eqel 2553 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( T `  x )  =/=  Q )  -> 
( K `  (
( 1  /  ( K `  x )
) R x ) )  e.  RR )
62 eqle 9704 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K `  (
( 1  /  ( K `  x )
) R x ) )  e.  RR  /\  ( K `  ( ( 1  /  ( K `
 x ) ) R x ) )  =  1 )  -> 
( K `  (
( 1  /  ( K `  x )
) R x ) )  <_  1 )
6361, 59, 62syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( T `  x )  =/=  Q )  -> 
( K `  (
( 1  /  ( K `  x )
) R x ) )  <_  1 )
641, 12, 133pm3.2i 1174 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )
652, 52, 30, 16lnomul 25802 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  /\  (
( 1  /  ( K `  x )
)  e.  CC  /\  x  e.  X )
)  ->  ( T `  ( ( 1  / 
( K `  x
) ) R x ) )  =  ( ( 1  /  ( K `  x )
) S ( T `
 x ) ) )
6664, 65mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 1  /  ( K `  x )
)  e.  CC  /\  x  e.  X )  ->  ( T `  (
( 1  /  ( K `  x )
) R x ) )  =  ( ( 1  /  ( K `
 x ) ) S ( T `  x ) ) )
6725, 51, 66syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( T `  x )  =/=  Q )  -> 
( T `  (
( 1  /  ( K `  x )
) R x ) )  =  ( ( 1  /  ( K `
 x ) ) S ( T `  x ) ) )
6867eqcomd 2465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( T `  x )  =/=  Q )  -> 
( ( 1  / 
( K `  x
) ) S ( T `  x ) )  =  ( T `
 ( ( 1  /  ( K `  x ) ) R x ) ) )
6968fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( T `  x )  =/=  Q )  -> 
( M `  (
( 1  /  ( K `  x )
) S ( T `
 x ) ) )  =  ( M `
 ( T `  ( ( 1  / 
( K `  x
) ) R x ) ) ) )
70 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( ( 1  /  ( K `  x ) ) R x )  ->  ( K `  z )  =  ( K `  ( ( 1  / 
( K `  x
) ) R x ) ) )
7170breq1d 4466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( ( 1  /  ( K `  x ) ) R x )  ->  (
( K `  z
)  <_  1  <->  ( K `  ( ( 1  / 
( K `  x
) ) R x ) )  <_  1
) )
72 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( ( 1  /  ( K `  x ) ) R x )  ->  ( T `  z )  =  ( T `  ( ( 1  / 
( K `  x
) ) R x ) ) )
7372fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( ( 1  /  ( K `  x ) ) R x )  ->  ( M `  ( T `  z ) )  =  ( M `  ( T `  ( (
1  /  ( K `
 x ) ) R x ) ) ) )
7473eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( ( 1  /  ( K `  x ) ) R x )  ->  (
( M `  (
( 1  /  ( K `  x )
) S ( T `
 x ) ) )  =  ( M `
 ( T `  z ) )  <->  ( M `  ( ( 1  / 
( K `  x
) ) S ( T `  x ) ) )  =  ( M `  ( T `
 ( ( 1  /  ( K `  x ) ) R x ) ) ) ) )
7571, 74anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( ( 1  /  ( K `  x ) ) R x )  ->  (
( ( K `  z )  <_  1  /\  ( M `  (
( 1  /  ( K `  x )
) S ( T `
 x ) ) )  =  ( M `
 ( T `  z ) ) )  <-> 
( ( K `  ( ( 1  / 
( K `  x
) ) R x ) )  <_  1  /\  ( M `  (
( 1  /  ( K `  x )
) S ( T `
 x ) ) )  =  ( M `
 ( T `  ( ( 1  / 
( K `  x
) ) R x ) ) ) ) ) )
7675rspcev 3210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( 1  / 
( K `  x
) ) R x )  e.  X  /\  ( ( K `  ( ( 1  / 
( K `  x
) ) R x ) )  <_  1  /\  ( M `  (
( 1  /  ( K `  x )
) S ( T `
 x ) ) )  =  ( M `
 ( T `  ( ( 1  / 
( K `  x
) ) R x ) ) ) ) )  ->  E. z  e.  X  ( ( K `  z )  <_  1  /\  ( M `
 ( ( 1  /  ( K `  x ) ) S ( T `  x
) ) )  =  ( M `  ( T `  z )
) ) )
7755, 63, 69, 76syl12anc 1226 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( T `  x )  =/=  Q )  ->  E. z  e.  X  ( ( K `  z )  <_  1  /\  ( M `  (
( 1  /  ( K `  x )
) S ( T `
 x ) ) )  =  ( M `
 ( T `  z ) ) ) )
78 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M `
 ( ( 1  /  ( K `  x ) ) S ( T `  x
) ) )  e. 
_V
79 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( M `  ( ( 1  / 
( K `  x
) ) S ( T `  x ) ) )  ->  (
y  =  ( M `
 ( T `  z ) )  <->  ( M `  ( ( 1  / 
( K `  x
) ) S ( T `  x ) ) )  =  ( M `  ( T `
 z ) ) ) )
8079anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( M `  ( ( 1  / 
( K `  x
) ) S ( T `  x ) ) )  ->  (
( ( K `  z )  <_  1  /\  y  =  ( M `  ( T `  z ) ) )  <-> 
( ( K `  z )  <_  1  /\  ( M `  (
( 1  /  ( K `  x )
) S ( T `
 x ) ) )  =  ( M `
 ( T `  z ) ) ) ) )
8180rexbidv 2968 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( M `  ( ( 1  / 
( K `  x
) ) S ( T `  x ) ) )  ->  ( E. z  e.  X  ( ( K `  z )  <_  1  /\  y  =  ( M `  ( T `  z ) ) )  <->  E. z  e.  X  ( ( K `  z )  <_  1  /\  ( M `  (
( 1  /  ( K `  x )
) S ( T `
 x ) ) )  =  ( M `
 ( T `  z ) ) ) ) )
8278, 81elab 3246 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M `  ( ( 1  /  ( K `
 x ) ) S ( T `  x ) ) )  e.  { y  |  E. z  e.  X  ( ( K `  z )  <_  1  /\  y  =  ( M `  ( T `  z ) ) ) }  <->  E. z  e.  X  ( ( K `  z )  <_  1  /\  ( M `  (
( 1  /  ( K `  x )
) S ( T `
 x ) ) )  =  ( M `
 ( T `  z ) ) ) )
8377, 82sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( T `  x )  =/=  Q )  -> 
( M `  (
( 1  /  ( K `  x )
) S ( T `
 x ) ) )  e.  { y  |  E. z  e.  X  ( ( K `
 z )  <_ 
1  /\  y  =  ( M `  ( T `
 z ) ) ) } )
84 supxrub 11541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { y  |  E. z  e.  X  (
( K `  z
)  <_  1  /\  y  =  ( M `  ( T `  z
) ) ) } 
C_  RR*  /\  ( M `
 ( ( 1  /  ( K `  x ) ) S ( T `  x
) ) )  e. 
{ y  |  E. z  e.  X  (
( K `  z
)  <_  1  /\  y  =  ( M `  ( T `  z
) ) ) } )  ->  ( M `  ( ( 1  / 
( K `  x
) ) S ( T `  x ) ) )  <_  sup ( { y  |  E. z  e.  X  (
( K `  z
)  <_  1  /\  y  =  ( M `  ( T `  z
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
8550, 83, 84sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( T `  x )  =/=  Q )  -> 
( M `  (
( 1  /  ( K `  x )
) S ( T `
 x ) ) )  <_  sup ( { y  |  E. z  e.  X  (
( K `  z
)  <_  1  /\  y  =  ( M `  ( T `  z
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
8685adantll 713 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N `  T )  =  0  /\  x  e.  X
)  /\  ( T `  x )  =/=  Q
)  ->  ( M `  ( ( 1  / 
( K `  x
) ) S ( T `  x ) ) )  <_  sup ( { y  |  E. z  e.  X  (
( K `  z
)  <_  1  /\  y  =  ( M `  ( T `  z
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
87 nmlno0.3 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  N  =  ( U normOpOLD W
)
882, 14, 3, 41, 87nmooval 25805 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X
--> Y )  ->  ( N `  T )  =  sup ( { y  |  E. z  e.  X  ( ( K `
 z )  <_ 
1  /\  y  =  ( M `  ( T `
 z ) ) ) } ,  RR* ,  <  ) )
891, 12, 27, 88mp3an 1324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N `
 T )  =  sup ( { y  |  E. z  e.  X  ( ( K `
 z )  <_ 
1  /\  y  =  ( M `  ( T `
 z ) ) ) } ,  RR* ,  <  )
9089eqeq1i 2464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N `  T )  =  0  <->  sup ( { y  |  E. z  e.  X  (
( K `  z
)  <_  1  /\  y  =  ( M `  ( T `  z
) ) ) } ,  RR* ,  <  )  =  0 )
9190biimpi 194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N `  T )  =  0  ->  sup ( { y  |  E. z  e.  X  (
( K `  z
)  <_  1  /\  y  =  ( M `  ( T `  z
) ) ) } ,  RR* ,  <  )  =  0 )
9291ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N `  T )  =  0  /\  x  e.  X
)  /\  ( T `  x )  =/=  Q
)  ->  sup ( { y  |  E. z  e.  X  (
( K `  z
)  <_  1  /\  y  =  ( M `  ( T `  z
) ) ) } ,  RR* ,  <  )  =  0 )
9386, 92breqtrd 4480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N `  T )  =  0  /\  x  e.  X
)  /\  ( T `  x )  =/=  Q
)  ->  ( M `  ( ( 1  / 
( K `  x
) ) S ( T `  x ) ) )  <_  0
)
9414, 41nvcl 25689 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  (
( 1  /  ( K `  x )
) S ( T `
 x ) )  e.  Y )  -> 
( M `  (
( 1  /  ( K `  x )
) S ( T `
 x ) ) )  e.  RR )
9512, 40, 94sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( T `  x )  =/=  Q )  -> 
( M `  (
( 1  /  ( K `  x )
) S ( T `
 x ) ) )  e.  RR )
96 0re 9613 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
97 lenlt 9680 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M `  (
( 1  /  ( K `  x )
) S ( T `
 x ) ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( M `  ( ( 1  / 
( K `  x
) ) S ( T `  x ) ) )  <_  0  <->  -.  0  <  ( M `
 ( ( 1  /  ( K `  x ) ) S ( T `  x
) ) ) ) )
9895, 96, 97sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( T `  x )  =/=  Q )  -> 
( ( M `  ( ( 1  / 
( K `  x
) ) S ( T `  x ) ) )  <_  0  <->  -.  0  <  ( M `
 ( ( 1  /  ( K `  x ) ) S ( T `  x
) ) ) ) )
9998adantll 713 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N `  T )  =  0  /\  x  e.  X
)  /\  ( T `  x )  =/=  Q
)  ->  ( ( M `  ( (
1  /  ( K `
 x ) ) S ( T `  x ) ) )  <_  0  <->  -.  0  <  ( M `  (
( 1  /  ( K `  x )
) S ( T `
 x ) ) ) ) )
10093, 99mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N `  T )  =  0  /\  x  e.  X
)  /\  ( T `  x )  =/=  Q
)  ->  -.  0  <  ( M `  (
( 1  /  ( K `  x )
) S ( T `
 x ) ) ) )
101100ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N `  T
)  =  0  /\  x  e.  X )  ->  ( ( T `
 x )  =/= 
Q  ->  -.  0  <  ( M `  (
( 1  /  ( K `  x )
) S ( T `
 x ) ) ) ) )
10246, 101pm2.65d 175 . . . . . 6  |-  ( ( ( N `  T
)  =  0  /\  x  e.  X )  ->  -.  ( T `  x )  =/=  Q
)
103 nne 2658 . . . . . 6  |-  ( -.  ( T `  x
)  =/=  Q  <->  ( T `  x )  =  Q )
104102, 103sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( ( N `  T
)  =  0  /\  x  e.  X )  ->  ( T `  x )  =  Q )
105 nmlno0.0 . . . . . . . 8  |-  Z  =  ( U  0op  W
)
1062, 15, 1050oval 25830 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X )  ->  ( Z `  x )  =  Q )
1071, 12, 106mp3an12 1314 . . . . . 6  |-  ( x  e.  X  ->  ( Z `  x )  =  Q )
108107adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( N `  T
)  =  0  /\  x  e.  X )  ->  ( Z `  x )  =  Q )
109104, 108eqtr4d 2501 . . . 4  |-  ( ( ( N `  T
)  =  0  /\  x  e.  X )  ->  ( T `  x )  =  ( Z `  x ) )
110109ralrimiva 2871 . . 3  |-  ( ( N `  T )  =  0  ->  A. x  e.  X  ( T `  x )  =  ( Z `  x ) )
111 ffn 5737 . . . . 5  |-  ( T : X --> Y  ->  T  Fn  X )
11227, 111ax-mp 5 . . . 4  |-  T  Fn  X
1132, 14, 1050oo 25831 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  Z : X --> Y )
1141, 12, 113mp2an 672 . . . . 5  |-  Z : X
--> Y
115 ffn 5737 . . . . 5  |-  ( Z : X --> Y  ->  Z  Fn  X )
116114, 115ax-mp 5 . . . 4  |-  Z  Fn  X
117 eqfnfv 5982 . . . 4  |-  ( ( T  Fn  X  /\  Z  Fn  X )  ->  ( T  =  Z  <->  A. x  e.  X  ( T `  x )  =  ( Z `  x ) ) )
118112, 116, 117mp2an 672 . . 3  |-  ( T  =  Z  <->  A. x  e.  X  ( T `  x )  =  ( Z `  x ) )
119110, 118sylibr 212 . 2  |-  ( ( N `  T )  =  0  ->  T  =  Z )
120 fveq2 5872 . . 3  |-  ( T  =  Z  ->  ( N `  T )  =  ( N `  Z ) )
12187, 105nmoo0 25833 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  ( N `  Z )  =  0 )
1221, 12, 121mp2an 672 . . 3  |-  ( N `
 Z )  =  0
123120, 122syl6eq 2514 . 2  |-  ( T  =  Z  ->  ( N `  T )  =  0 )
124119, 123impbii 188 1  |-  ( ( N `  T )  =  0  <->  T  =  Z )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   {cab 2442    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808    C_ wss 3471   class class class wbr 4456    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   supcsup 7918   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   RR*cxr 9644    < clt 9645    <_ cle 9646    / cdiv 10227   NrmCVeccnv 25604   BaseSetcba 25606   .sOLDcns 25607   0veccn0v 25608   normCVcnmcv 25610    LnOp clno 25782   normOpOLDcnmoo 25783    0op c0o 25785
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-grpo 25320  df-gid 25321  df-ginv 25322  df-ablo 25411  df-vc 25566  df-nv 25612  df-va 25615  df-ba 25616  df-sm 25617  df-0v 25618  df-nmcv 25620  df-lno 25786  df-nmoo 25787  df-0o 25789
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