Theorem nmlno0lem 9793

Description: Lemma for nmlno0i 9794.

Hypotheses

Ref	Expression
nmlno0.3	|- N = (UnormOpW)
nmlno0.0	|- Z = (U 0op W)
nmlno0.7	|- L = (U LnOp W)
nmlno0lem.u	|- U e. NrmCVec
nmlno0lem.w	|- W e. NrmCVec
nmlno0lem.l	|- T e. L
nmlno0lem.1	|- X = (BaseSet` U)
nmlno0lem.2	|- Y = (BaseSet` W)
nmlno0lem.r	|- R = (.s` U)
nmlno0lem.s	|- S = (.s` W)
nmlno0lem.p	|- P = (0v` U)
nmlno0lem.q	|- Q = (0v` W)
nmlno0lem.k	|- K = (norm` U)
nmlno0lem.m	|- M = (norm` W)

Assertion

Ref	Expression
nmlno0lem	|- ((N` T) = 0 <-> T = Z)

Proof of Theorem nmlno0lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmlno0lem.u	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- U e. NrmCVec
2		nmlno0lem.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- X = (BaseSet` U)
3		nmlno0lem.k	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- K = (norm` U)
4	2, 3	nvcl 9619	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((U e. NrmCVec /\ x e. X) -> (K` x) e. RR)
5	1, 4	mpan 759	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x e. X -> (K` x) e. RR)
6	5	recnd 6468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (x e. X -> (K` x) e. CC)
7	6	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((x e. X /\ (T` x) =/= Q) -> (K` x) e. CC)
8		nmlno0lem.p	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- P = (0v` U)
9	2, 8, 3	nvz 9629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((U e. NrmCVec /\ x e. X) -> ((K` x) = 0 <-> x = P))
10	1, 9	mpan 759	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (x e. X -> ((K` x) = 0 <-> x = P))
11		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (x = P -> (T` x) = (T` P))
12		nmlno0lem.w	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- W e. NrmCVec
13		nmlno0lem.l	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- T e. L
14		nmlno0lem.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- Y = (BaseSet` W)
15		nmlno0lem.q	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- Q = (0v` W)
16		nmlno0.7	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- L = (U LnOp W)
17	2, 14, 8, 15, 16	lno0 9756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L) -> (T` P) = Q)
18	1, 12, 13, 17	mp3an 1191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (T` P) = Q
19	11, 18	syl6eq 1944	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (x = P -> (T` x) = Q)
20	10, 19	syl6bi 231	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x e. X -> ((K` x) = 0 -> (T` x) = Q))
21	20	necon3d 2041	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (x e. X -> ((T` x) =/= Q -> (K` x) =/= 0))
22	21	imp 377	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((x e. X /\ (T` x) =/= Q) -> (K` x) =/= 0)
23		reccl 6904	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((K` x) e. CC /\ (K` x) =/= 0) -> (1 / (K` x)) e. CC)
24	7, 22, 23	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. X /\ (T` x) =/= Q) -> (1 / (K` x)) e. CC)
25	2, 14, 16	lnof 9755	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L) -> T:X-->Y)
26	1, 12, 13, 25	mp3an 1191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- T:X-->Y
27	26	ffvelrni 4788	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x e. X -> (T` x) e. Y)
28	27	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. X /\ (T` x) =/= Q) -> (T` x) e. Y)
29		nmlno0lem.s	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- S = (.s` W)
30	14, 29, 15	nvmul0or 9604	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((W e. NrmCVec /\ (1 / (K` x)) e. CC /\ (T` x) e. Y) -> (((1 / (K` x))S(T` x)) = Q <-> ((1 / (K` x)) = 0 \/ (T` x) = Q)))
31	12, 30	mp3an1 1178	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((1 / (K` x)) e. CC /\ (T` x) e. Y) -> (((1 / (K` x))S(T` x)) = Q <-> ((1 / (K` x)) = 0 \/ (T` x) = Q)))
32	24, 28, 31	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x e. X /\ (T` x) =/= Q) -> (((1 / (K` x))S(T` x)) = Q <-> ((1 / (K` x)) = 0 \/ (T` x) = Q)))
33	32	necon3abid 2033	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. X /\ (T` x) =/= Q) -> (((1 / (K` x))S(T` x)) =/= Q <-> -. ((1 / (K` x)) = 0 \/ (T` x) = Q)))
34		neanior 2097	. . . . . . . . . . . 12 |- (((1 / (K` x)) =/= 0 /\ (T` x) =/= Q) <-> -. ((1 / (K` x)) = 0 \/ (T` x) = Q))
35	33, 34	syl6bbr 597	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. X /\ (T` x) =/= Q) -> (((1 / (K` x))S(T` x)) =/= Q <-> ((1 / (K` x)) =/= 0 /\ (T` x) =/= Q)))
36		recne0 6915	. . . . . . . . . . . 12 |- (((K` x) e. CC /\ (K` x) =/= 0) -> (1 / (K` x)) =/= 0)
37	7, 22, 36	syl11anc 524	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. X /\ (T` x) =/= Q) -> (1 / (K` x)) =/= 0)
38		simpr 350	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. X /\ (T` x) =/= Q) -> (T` x) =/= Q)
39	35, 37, 38	mpbir2and 802	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. X /\ (T` x) =/= Q) -> ((1 / (K` x))S(T` x)) =/= Q)
40	14, 29	nvscl 9579	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((W e. NrmCVec /\ (1 / (K` x)) e. CC /\ (T` x) e. Y) -> ((1 / (K` x))S(T` x)) e. Y)
41	12, 40	mp3an1 1178	. . . . . . . . . . . 12 |- (((1 / (K` x)) e. CC /\ (T` x) e. Y) -> ((1 / (K` x))S(T` x)) e. Y)
42	24, 28, 41	syl11anc 524	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. X /\ (T` x) =/= Q) -> ((1 / (K` x))S(T` x)) e. Y)
43		nmlno0lem.m	. . . . . . . . . . . . 13 |- M = (norm` W)
44	14, 15, 43	nvgt0 9635	. . . . . . . . . . . 12 |- ((W e. NrmCVec /\ ((1 / (K` x))S(T` x)) e. Y) -> (((1 / (K` x))S(T` x)) =/= Q <-> 0 < (M` ((1 / (K` x))S(T` x)))))
45	12, 44	mpan 759	. . . . . . . . . . 11 |- (((1 / (K` x))S(T` x)) e. Y -> (((1 / (K` x))S(T` x)) =/= Q <-> 0 < (M` ((1 / (K` x))S(T` x)))))
46	42, 45	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. X /\ (T` x) =/= Q) -> (((1 / (K` x))S(T` x)) =/= Q <-> 0 < (M` ((1 / (K` x))S(T` x)))))
47	39, 46	mpbid 212	. . . . . . . . 9 |- ((x e. X /\ (T` x) =/= Q) -> 0 < (M` ((1 / (K` x))S(T` x))))
48	47	ex 402	. . . . . . . 8 |- (x e. X -> ((T` x) =/= Q -> 0 < (M` ((1 / (K` x))S(T` x)))))
49	48	adantl 424	. . . . . . 7 |- (((N` T) = 0 /\ x e. X) -> ((T` x) =/= Q -> 0 < (M` ((1 / (K` x))S(T` x)))))
50		simpl 346	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((x e. X /\ (T` x) =/= Q) -> x e. X)
51		nmlno0lem.r	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- R = (.s` U)
52	2, 51	nvscl 9579	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((U e. NrmCVec /\ (1 / (K` x)) e. CC /\ x e. X) -> ((1 / (K` x))Rx) e. X)
53	1, 52	mp3an1 1178	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((1 / (K` x)) e. CC /\ x e. X) -> ((1 / (K` x))Rx) e. X)
54	24, 50, 53	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. X /\ (T` x) =/= Q) -> ((1 / (K` x))Rx) e. X)
55	2, 51, 8, 3	nv1 9636	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((U e. NrmCVec /\ x e. X /\ x =/= P) -> (K` ((1 / (K` x))Rx)) = 1)
56	1, 55	mp3an1 1178	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((x e. X /\ x =/= P) -> (K` ((1 / (K` x))Rx)) = 1)
57	19	necon3i 2042	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((T` x) =/= Q -> x =/= P)
58	56, 57	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((x e. X /\ (T` x) =/= Q) -> (K` ((1 / (K` x))Rx)) = 1)
59		1re 6598	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. RR
60	58, 59	syl6eqel 1979	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((x e. X /\ (T` x) =/= Q) -> (K` ((1 / (K` x))Rx)) e. RR)
61		eqle 6746	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((K` ((1 / (K` x))Rx)) e. RR /\ (K` ((1 / (K` x))Rx)) = 1) -> (K` ((1 / (K` x))Rx)) <_ 1)
62	60, 58, 61	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. X /\ (T` x) =/= Q) -> (K` ((1 / (K` x))Rx)) <_ 1)
63	1, 12, 13	3pm3.2i 1048	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L)
64	2, 51, 29, 16	lnomul 9760	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L) /\ ((1 / (K` x)) e. CC /\ x e. X)) -> (T` ((1 / (K` x))Rx)) = ((1 / (K` x))S(T` x)))
65	63, 64	mpan 759	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((1 / (K` x)) e. CC /\ x e. X) -> (T` ((1 / (K` x))Rx)) = ((1 / (K` x))S(T` x)))
66	24, 50, 65	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((x e. X /\ (T` x) =/= Q) -> (T` ((1 / (K` x))Rx)) = ((1 / (K` x))S(T` x)))
67	66	eqcomd 1889	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((x e. X /\ (T` x) =/= Q) -> ((1 / (K` x))S(T` x)) = (T` ((1 / (K` x))Rx)))
68	67	fveq2d 4685	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. X /\ (T` x) =/= Q) -> (M` ((1 / (K` x))S(T` x))) = (M` (T` ((1 / (K` x))Rx))))
69		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (z = ((1 / (K` x))Rx) -> (K` z) = (K` ((1 / (K` x))Rx)))
70	69	breq1d 3348	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (z = ((1 / (K` x))Rx) -> ((K` z) <_ 1 <-> (K` ((1 / (K` x))Rx)) <_ 1))
71		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (z = ((1 / (K` x))Rx) -> (T` z) = (T` ((1 / (K` x))Rx)))
72	71	fveq2d 4685	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (z = ((1 / (K` x))Rx) -> (M` (T` z)) = (M` (T` ((1 / (K` x))Rx))))
73	72	eqeq2d 1895	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (z = ((1 / (K` x))Rx) -> ((M` ((1 / (K` x))S(T` x))) = (M` (T` z)) <-> (M` ((1 / (K` x))S(T` x))) = (M` (T` ((1 / (K` x))Rx)))))
74	70, 73	anbi12d 690	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (z = ((1 / (K` x))Rx) -> (((K` z) <_ 1 /\ (M` ((1 / (K` x))S(T` x))) = (M` (T` z))) <-> ((K` ((1 / (K` x))Rx)) <_ 1 /\ (M` ((1 / (K` x))S(T` x))) = (M` (T` ((1 / (K` x))Rx))))))
75	74	rcla4ev 2381	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((1 / (K` x))Rx) e. X /\ ((K` ((1 / (K` x))Rx)) <_ 1 /\ (M` ((1 / (K` x))S(T` x))) = (M` (T` ((1 / (K` x))Rx))))) -> E.z e. X ((K` z) <_ 1 /\ (M` ((1 / (K` x))S(T` x))) = (M` (T` z))))
76	54, 62, 68, 75	syl12anc 1098	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x e. X /\ (T` x) =/= Q) -> E.z e. X ((K` z) <_ 1 /\ (M` ((1 / (K` x))S(T` x))) = (M` (T` z))))
77		fvex 4689	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (M` ((1 / (K` x))S(T` x))) e. _V
78		eqeq1 1890	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y = (M` ((1 / (K` x))S(T` x))) -> (y = (M` (T` z)) <-> (M` ((1 / (K` x))S(T` x))) = (M` (T` z))))
79	78	anbi2d 678	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y = (M` ((1 / (K` x))S(T` x))) -> (((K` z) <_ 1 /\ y = (M` (T` z))) <-> ((K` z) <_ 1 /\ (M` ((1 / (K` x))S(T` x))) = (M` (T` z)))))
80	79	rexbidv 2124	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y = (M` ((1 / (K` x))S(T` x))) -> (E.z e. X ((K` z) <_ 1 /\ y = (M` (T` z))) <-> E.z e. X ((K` z) <_ 1 /\ (M` ((1 / (K` x))S(T` x))) = (M` (T` z)))))
81	77, 80	elab 2403	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((M` ((1 / (K` x))S(T` x))) e. {y | E.z e. X ((K` z) <_ 1 /\ y = (M` (T` z)))} <-> E.z e. X ((K` z) <_ 1 /\ (M` ((1 / (K` x))S(T` x))) = (M` (T` z))))
82	76, 81	sylibr 217	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. X /\ (T` x) =/= Q) -> (M` ((1 / (K` x))S(T` x))) e. {y | E.z e. X ((K` z) <_ 1 /\ y = (M` (T` z)))})
83	14, 43	nmosetre 9766	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) -> {y | E.z e. X ((K` z) <_ 1 /\ y = (M` (T` z)))} C_ RR)
84	12, 26, 83	mp2an 761	. . . . . . . . . . . . . 14 |- {y | E.z e. X ((K` z) <_ 1 /\ y = (M` (T` z)))} C_ RR
85		ressxr 6667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- RR C_ RR*
86	84, 85	sstri 2626	. . . . . . . . . . . . 13 |- {y | E.z e. X ((K` z) <_ 1 /\ y = (M` (T` z)))} C_ RR*
87		supxrub 7307	. . . . . . . . . . . . 13 |- (({y | E.z e. X ((K` z) <_ 1 /\ y = (M` (T` z)))} C_ RR* /\ (M` ((1 / (K` x))S(T` x))) e. {y | E.z e. X ((K` z) <_ 1 /\ y = (M` (T` z)))}) -> (M` ((1 / (K` x))S(T` x))) <_ sup({y | E.z e. X ((K` z) <_ 1 /\ y = (M` (T` z)))}, RR*, < ))
88	86, 87	mpan 759	. . . . . . . . . . . 12 |- ((M` ((1 / (K` x))S(T` x))) e. {y | E.z e. X ((K` z) <_ 1 /\ y = (M` (T` z)))} -> (M` ((1 / (K` x))S(T` x))) <_ sup({y | E.z e. X ((K` z) <_ 1 /\ y = (M` (T` z)))}, RR*, < ))
89	82, 88	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. X /\ (T` x) =/= Q) -> (M` ((1 / (K` x))S(T` x))) <_ sup({y | E.z e. X ((K` z) <_ 1 /\ y = (M` (T` z)))}, RR*, < ))
90	89	adantll 428	. . . . . . . . . 10 |- ((((N` T) = 0 /\ x e. X) /\ (T` x) =/= Q) -> (M` ((1 / (K` x))S(T` x))) <_ sup({y | E.z e. X ((K` z) <_ 1 /\ y = (M` (T` z)))}, RR*, < ))
91		nmlno0.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- N = (UnormOpW)
92	2, 14, 3, 43, 91	nmoval 9765	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) -> (N` T) = sup({y | E.z e. X ((K` z) <_ 1 /\ y = (M` (T` z)))}, RR*, < ))
93	1, 12, 26, 92	mp3an 1191	. . . . . . . . . . . . 13 |- (N` T) = sup({y | E.z e. X ((K` z) <_ 1 /\ y = (M` (T` z)))}, RR*, < )
94	93	eqeq1i 1891	. . . . . . . . . . . 12 |- ((N` T) = 0 <-> sup({y | E.z e. X ((K` z) <_ 1 /\ y = (M` (T` z)))}, RR*, < ) = 0)
95	94	biimpi 168	. . . . . . . . . . 11 |- ((N` T) = 0 -> sup({y | E.z e. X ((K` z) <_ 1 /\ y = (M` (T` z)))}, RR*, < ) = 0)
96	95	ad2antrr 440	. . . . . . . . . 10 |- ((((N` T) = 0 /\ x e. X) /\ (T` x) =/= Q) -> sup({y | E.z e. X ((K` z) <_ 1 /\ y = (M` (T` z)))}, RR*, < ) = 0)
97	90, 96	breqtrd 3361	. . . . . . . . 9 |- ((((N` T) = 0 /\ x e. X) /\ (T` x) =/= Q) -> (M` ((1 / (K` x))S(T` x))) <_ 0)
98	14, 43	nvcl 9619	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((W e. NrmCVec /\ ((1 / (K` x))S(T` x)) e. Y) -> (M` ((1 / (K` x))S(T` x))) e. RR)
99	12, 98	mpan 759	. . . . . . . . . . . 12 |- (((1 / (K` x))S(T` x)) e. Y -> (M` ((1 / (K` x))S(T` x))) e. RR)
100	42, 99	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. X /\ (T` x) =/= Q) -> (M` ((1 / (K` x))S(T` x))) e. RR)
101		0re 6603	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. RR
102		lenlt 6679	. . . . . . . . . . . 12 |- (((M` ((1 / (K` x))S(T` x))) e. RR /\ 0 e. RR) -> ((M` ((1 / (K` x))S(T` x))) <_ 0 <-> -. 0 < (M` ((1 / (K` x))S(T` x)))))
103	101, 102	mpan2 760	. . . . . . . . . . 11 |- ((M` ((1 / (K` x))S(T` x))) e. RR -> ((M` ((1 / (K` x))S(T` x))) <_ 0 <-> -. 0 < (M` ((1 / (K` x))S(T` x)))))
104	100, 103	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. X /\ (T` x) =/= Q) -> ((M` ((1 / (K` x))S(T` x))) <_ 0 <-> -. 0 < (M` ((1 / (K` x))S(T` x)))))
105	104	adantll 428	. . . . . . . . 9 |- ((((N` T) = 0 /\ x e. X) /\ (T` x) =/= Q) -> ((M` ((1 / (K` x))S(T` x))) <_ 0 <-> -. 0 < (M` ((1 / (K` x))S(T` x)))))
106	97, 105	mpbid 212	. . . . . . . 8 |- ((((N` T) = 0 /\ x e. X) /\ (T` x) =/= Q) -> -. 0 < (M` ((1 / (K` x))S(T` x))))
107	106	ex 402	. . . . . . 7 |- (((N` T) = 0 /\ x e. X) -> ((T` x) =/= Q -> -. 0 < (M` ((1 / (K` x))S(T` x)))))
108	49, 107	pm2.65d 151	. . . . . 6 |- (((N` T) = 0 /\ x e. X) -> -. (T` x) =/= Q)
109		nne 2021	. . . . . 6 |- (-. (T` x) =/= Q <-> (T` x) = Q)
110	108, 109	sylib 215	. . . . 5 |- (((N` T) = 0 /\ x e. X) -> (T` x) = Q)
111		nmlno0.0	. . . . . . . 8 |- Z = (U 0op W)
112	2, 15, 111	0oval 9788	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ x e. X) -> (Z` x) = Q)
113	1, 12, 112	mp3an12 1181	. . . . . 6 |- (x e. X -> (Z` x) = Q)
114	113	adantl 424	. . . . 5 |- (((N` T) = 0 /\ x e. X) -> (Z` x) = Q)
115	110, 114	eqtr4d 1928	. . . 4 |- (((N` T) = 0 /\ x e. X) -> (T` x) = (Z` x))
116	115	r19.21aiva 2176	. . 3 |- ((N` T) = 0 -> A.x e. X (T` x) = (Z` x))
117		ffn 4562	. . . . 5 |- (T:X-->Y -> T Fn X)
118	26, 117	ax-mp 7	. . . 4 |- T Fn X
119	2, 14, 111	0oo 9789	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> Z:X-->Y)
120	1, 12, 119	mp2an 761	. . . . 5 |- Z:X-->Y
121		ffn 4562	. . . . 5 |- (Z:X-->Y -> Z Fn X)
122	120, 121	ax-mp 7	. . . 4 |- Z Fn X
123		eqfnfv2 4767	. . . 4 |- ((T Fn X /\ Z Fn X) -> (T = Z <-> A.x e. X (T` x) = (Z` x)))
124	118, 122, 123	mp2an 761	. . 3 |- (T = Z <-> A.x e. X (T` x) = (Z` x))
125	116, 124	sylibr 217	. 2 |- ((N` T) = 0 -> T = Z)
126		fveq2 4681	. . 3 |- (T = Z -> (N` T) = (N` Z))
127	91, 111	nmo0 9791	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (N` Z) = 0)
128	1, 12, 127	mp2an 761	. . 3 |- (N` Z) = 0
129	126, 128	syl6eq 1944	. 2 |- (T = Z -> (N` T) = 0)
130	125, 129	impbii 174	1 |- ((N` T) = 0 <-> T = Z)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  {cab 1871   =/= wne 2017  A.wral 2105  E.wrex 2106   C_ wss 2593   class class class wbr 3338   Fn wfn 3993  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  supcsup 5663  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   / cdiv 6447   <_ cle 6448  RR*cxr 6652   < clt 6653  NrmCVeccnv 9535  BaseSetcba 9537  .scns 9538  0vcn0v 9539  normcnm 9541   LnOp clno 9740  normOpcnmo 9741   0op c0o 9743

This theorem is referenced by:  nmlno0i 9794

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-2 7154  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-nm 9551  df-lno 9744  df-nmo 9745  df-0o 9747

Copyright terms: Public domain