Theorem nmlno0lem 24328

Description: Lemma for nmlno0i 24329. (Contributed by NM, 28-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmlno0.3	|- N = ( U normOpOLD W )
nmlno0.0	|- Z = ( U 0op W )
nmlno0.7	|- L = ( U LnOp W )
nmlno0lem.u	|- U e. NrmCVec
nmlno0lem.w	|- W e. NrmCVec
nmlno0lem.l	|- T e. L
nmlno0lem.1	|- X = ( BaseSet ` U )
nmlno0lem.2	|- Y = ( BaseSet ` W )
nmlno0lem.r	|- R = ( .sOLD ` U )
nmlno0lem.s	|- S = ( .sOLD ` W )
nmlno0lem.p	|- P = ( 0vec ` U )
nmlno0lem.q	|- Q = ( 0vec ` W )
nmlno0lem.k	|- K = ( normCV ` U )
nmlno0lem.m	|- M = ( normCV ` W )

Assertion

Ref	Expression
nmlno0lem	|- ( ( N ` T ) = 0 <-> T = Z )

Proof of Theorem nmlno0lem

Dummy variables y z x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmlno0lem.u	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U e. NrmCVec
2		nmlno0lem.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- X = ( BaseSet ` U )
3		nmlno0lem.k	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- K = ( normCV ` U )
4	2, 3	nvcl 24182	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. X ) -> ( K ` x ) e. RR )
5	1, 4	mpan 670	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. X -> ( K ` x ) e. RR )
6	5	recnd 9513	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. X -> ( K ` x ) e. CC )
7	6	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( K ` x ) e. CC )
8		nmlno0lem.p	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- P = ( 0vec ` U )
9	2, 8, 3	nvz 24192	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. X ) -> ( ( K ` x ) = 0 <-> x = P ) )
10	1, 9	mpan 670	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. X -> ( ( K ` x ) = 0 <-> x = P ) )
11		fveq2 5789	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = P -> ( T ` x ) = ( T ` P ) )
12		nmlno0lem.w	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- W e. NrmCVec
13		nmlno0lem.l	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- T e. L
14		nmlno0lem.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- Y = ( BaseSet ` W )
15		nmlno0lem.q	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- Q = ( 0vec ` W )
16		nmlno0.7	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- L = ( U LnOp W )
17	2, 14, 8, 15, 16	lno0 24291	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L ) -> ( T ` P ) = Q )
18	1, 12, 13, 17	mp3an 1315	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( T ` P ) = Q
19	11, 18	syl6eq 2508	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = P -> ( T ` x ) = Q )
20	10, 19	syl6bi 228	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. X -> ( ( K ` x ) = 0 -> ( T ` x ) = Q ) )
21	20	necon3d 2672	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. X -> ( ( T ` x ) =/= Q -> ( K ` x ) =/= 0 ) )
22	21	imp 429	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( K ` x ) =/= 0 )
23	7, 22	recne0d 10202	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( 1 / ( K ` x ) ) =/= 0 )
24		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( T ` x ) =/= Q )
25	7, 22	reccld 10201	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( 1 / ( K ` x ) ) e. CC )
26	2, 14, 16	lnof 24290	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L ) -> T : X --> Y )
27	1, 12, 13, 26	mp3an 1315	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- T : X --> Y
28	27	ffvelrni 5941	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. X -> ( T ` x ) e. Y )
29	28	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( T ` x ) e. Y )
30		nmlno0lem.s	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- S = ( .sOLD ` W )
31	14, 30, 15	nvmul0or 24167	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( W e. NrmCVec /\ ( 1 / ( K ` x ) ) e. CC /\ ( T ` x ) e. Y ) -> ( ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) = Q <-> ( ( 1 / ( K ` x ) ) = 0 \/ ( T ` x ) = Q ) ) )
32	12, 31	mp3an1 1302	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 1 / ( K ` x ) ) e. CC /\ ( T ` x ) e. Y ) -> ( ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) = Q <-> ( ( 1 / ( K ` x ) ) = 0 \/ ( T ` x ) = Q ) ) )
33	25, 29, 32	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) = Q <-> ( ( 1 / ( K ` x ) ) = 0 \/ ( T ` x ) = Q ) ) )
34	33	necon3abid 2694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) =/= Q <-> -. ( ( 1 / ( K ` x ) ) = 0 \/ ( T ` x ) = Q ) ) )
35		neanior 2773	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1 / ( K ` x ) ) =/= 0 /\ ( T ` x ) =/= Q ) <-> -. ( ( 1 / ( K ` x ) ) = 0 \/ ( T ` x ) = Q ) )
36	34, 35	syl6bbr 263	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) =/= Q <-> ( ( 1 / ( K ` x ) ) =/= 0 /\ ( T ` x ) =/= Q ) ) )
37	23, 24, 36	mpbir2and 913	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) =/= Q )
38	14, 30	nvscl 24141	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. NrmCVec /\ ( 1 / ( K ` x ) ) e. CC /\ ( T ` x ) e. Y ) -> ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) e. Y )
39	12, 38	mp3an1 1302	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1 / ( K ` x ) ) e. CC /\ ( T ` x ) e. Y ) -> ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) e. Y )
40	25, 29, 39	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) e. Y )
41		nmlno0lem.m	. . . . . . . . . . . 12 |- M = ( normCV ` W )
42	14, 15, 41	nvgt0 24198	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( W e. NrmCVec /\ ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) e. Y ) -> ( ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) =/= Q <-> 0 < ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) ) )
43	12, 40, 42	sylancr 663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) =/= Q <-> 0 < ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) ) )
44	37, 43	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> 0 < ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) )
45	44	ex 434	. . . . . . . 8 |- ( x e. X -> ( ( T ` x ) =/= Q -> 0 < ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) ) )
46	45	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ( N ` T ) = 0 /\ x e. X ) -> ( ( T ` x ) =/= Q -> 0 < ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) ) )
47	14, 41	nmosetre 24299	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( W e. NrmCVec /\ T : X --> Y ) -> { y | E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` z ) ) ) } C_ RR )
48	12, 27, 47	mp2an 672	. . . . . . . . . . . . 13 |- { y | E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` z ) ) ) } C_ RR
49		ressxr 9528	. . . . . . . . . . . . 13 |- RR C_ RR*
50	48, 49	sstri 3463	. . . . . . . . . . . 12 |- { y | E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` z ) ) ) } C_ RR*
51		simpl 457	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> x e. X )
52		nmlno0lem.r	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- R = ( .sOLD ` U )
53	2, 52	nvscl 24141	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( 1 / ( K ` x ) ) e. CC /\ x e. X ) -> ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) e. X )
54	1, 53	mp3an1 1302	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( 1 / ( K ` x ) ) e. CC /\ x e. X ) -> ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) e. X )
55	25, 51, 54	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) e. X )
56	19	necon3i 2688	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( T ` x ) =/= Q -> x =/= P )
57	2, 52, 8, 3	nv1 24199	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. X /\ x =/= P ) -> ( K ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) = 1 )
58	1, 57	mp3an1 1302	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. X /\ x =/= P ) -> ( K ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) = 1 )
59	56, 58	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( K ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) = 1 )
60		1re 9486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. RR
61	59, 60	syl6eqel 2547	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( K ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) e. RR )
62		eqle 9578	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( K ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) e. RR /\ ( K ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) = 1 ) -> ( K ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) <_ 1 )
63	61, 59, 62	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( K ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) <_ 1 )
64	1, 12, 13	3pm3.2i 1166	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L )
65	2, 52, 30, 16	lnomul 24295	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L ) /\ ( ( 1 / ( K ` x ) ) e. CC /\ x e. X ) ) -> ( T ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) = ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) )
66	64, 65	mpan 670	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( 1 / ( K ` x ) ) e. CC /\ x e. X ) -> ( T ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) = ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) )
67	25, 51, 66	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( T ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) = ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) )
68	67	eqcomd 2459	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) = ( T ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) )
69	68	fveq2d 5793	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) = ( M ` ( T ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) ) )
70		fveq2 5789	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) -> ( K ` z ) = ( K ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) )
71	70	breq1d 4400	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) -> ( ( K ` z ) <_ 1 <-> ( K ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) <_ 1 ) )
72		fveq2 5789	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) -> ( T ` z ) = ( T ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) )
73	72	fveq2d 5793	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) -> ( M ` ( T ` z ) ) = ( M ` ( T ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) ) )
74	73	eqeq2d 2465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) -> ( ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) = ( M ` ( T ` z ) ) <-> ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) = ( M ` ( T ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) ) ) )
75	71, 74	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) -> ( ( ( K ` z ) <_ 1 /\ ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) = ( M ` ( T ` z ) ) ) <-> ( ( K ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) <_ 1 /\ ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) = ( M ` ( T ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) ) ) ) )
76	75	rspcev 3169	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) e. X /\ ( ( K ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) <_ 1 /\ ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) = ( M ` ( T ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) ) ) ) -> E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) = ( M ` ( T ` z ) ) ) )
77	55, 63, 69, 76	syl12anc 1217	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) = ( M ` ( T ` z ) ) ) )
78		fvex 5799	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) e. _V
79		eqeq1 2455	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) -> ( y = ( M ` ( T ` z ) ) <-> ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) = ( M ` ( T ` z ) ) ) )
80	79	anbi2d 703	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) -> ( ( ( K ` z ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` z ) ) ) <-> ( ( K ` z ) <_ 1 /\ ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) = ( M ` ( T ` z ) ) ) ) )
81	80	rexbidv 2844	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) -> ( E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` z ) ) ) <-> E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) = ( M ` ( T ` z ) ) ) ) )
82	78, 81	elab 3203	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) e. { y | E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` z ) ) ) } <-> E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) = ( M ` ( T ` z ) ) ) )
83	77, 82	sylibr 212	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) e. { y | E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` z ) ) ) } )
84		supxrub 11388	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { y | E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` z ) ) ) } C_ RR* /\ ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) e. { y | E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` z ) ) ) } ) -> ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) <_ sup ( { y | E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` z ) ) ) } , RR* , < ) )
85	50, 83, 84	sylancr 663	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) <_ sup ( { y | E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` z ) ) ) } , RR* , < ) )
86	85	adantll 713	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N ` T ) = 0 /\ x e. X ) /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) <_ sup ( { y | E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` z ) ) ) } , RR* , < ) )
87		nmlno0.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- N = ( U normOpOLD W )
88	2, 14, 3, 41, 87	nmooval 24298	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T : X --> Y ) -> ( N ` T ) = sup ( { y | E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` z ) ) ) } , RR* , < ) )
89	1, 12, 27, 88	mp3an 1315	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N ` T ) = sup ( { y | E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` z ) ) ) } , RR* , < )
90	89	eqeq1i 2458	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N ` T ) = 0 <-> sup ( { y | E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` z ) ) ) } , RR* , < ) = 0 )
91	90	biimpi 194	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N ` T ) = 0 -> sup ( { y | E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` z ) ) ) } , RR* , < ) = 0 )
92	91	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N ` T ) = 0 /\ x e. X ) /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> sup ( { y | E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` z ) ) ) } , RR* , < ) = 0 )
93	86, 92	breqtrd 4414	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N ` T ) = 0 /\ x e. X ) /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) <_ 0 )
94	14, 41	nvcl 24182	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( W e. NrmCVec /\ ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) e. Y ) -> ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) e. RR )
95	12, 40, 94	sylancr 663	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) e. RR )
96		0re 9487	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR
97		lenlt 9554	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) <_ 0 <-> -. 0 < ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) ) )
98	95, 96, 97	sylancl 662	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) <_ 0 <-> -. 0 < ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) ) )
99	98	adantll 713	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N ` T ) = 0 /\ x e. X ) /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) <_ 0 <-> -. 0 < ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) ) )
100	93, 99	mpbid 210	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N ` T ) = 0 /\ x e. X ) /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> -. 0 < ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) )
101	100	ex 434	. . . . . . 7 |- ( ( ( N ` T ) = 0 /\ x e. X ) -> ( ( T ` x ) =/= Q -> -. 0 < ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) ) )
102	46, 101	pm2.65d 175	. . . . . 6 |- ( ( ( N ` T ) = 0 /\ x e. X ) -> -. ( T ` x ) =/= Q )
103		nne 2650	. . . . . 6 |- ( -. ( T ` x ) =/= Q <-> ( T ` x ) = Q )
104	102, 103	sylib 196	. . . . 5 |- ( ( ( N ` T ) = 0 /\ x e. X ) -> ( T ` x ) = Q )
105		nmlno0.0	. . . . . . . 8 |- Z = ( U 0op W )
106	2, 15, 105	0oval 24323	. . . . . . 7 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ x e. X ) -> ( Z ` x ) = Q )
107	1, 12, 106	mp3an12 1305	. . . . . 6 |- ( x e. X -> ( Z ` x ) = Q )
108	107	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( ( N ` T ) = 0 /\ x e. X ) -> ( Z ` x ) = Q )
109	104, 108	eqtr4d 2495	. . . 4 |- ( ( ( N ` T ) = 0 /\ x e. X ) -> ( T ` x ) = ( Z ` x ) )
110	109	ralrimiva 2822	. . 3 |- ( ( N ` T ) = 0 -> A. x e. X ( T ` x ) = ( Z ` x ) )
111		ffn 5657	. . . . 5 |- ( T : X --> Y -> T Fn X )
112	27, 111	ax-mp 5	. . . 4 |- T Fn X
113	2, 14, 105	0oo 24324	. . . . . 6 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec ) -> Z : X --> Y )
114	1, 12, 113	mp2an 672	. . . . 5 |- Z : X --> Y
115		ffn 5657	. . . . 5 |- ( Z : X --> Y -> Z Fn X )
116	114, 115	ax-mp 5	. . . 4 |- Z Fn X
117		eqfnfv 5896	. . . 4 |- ( ( T Fn X /\ Z Fn X ) -> ( T = Z <-> A. x e. X ( T ` x ) = ( Z ` x ) ) )
118	112, 116, 117	mp2an 672	. . 3 |- ( T = Z <-> A. x e. X ( T ` x ) = ( Z ` x ) )
119	110, 118	sylibr 212	. 2 |- ( ( N ` T ) = 0 -> T = Z )
120		fveq2 5789	. . 3 |- ( T = Z -> ( N ` T ) = ( N ` Z ) )
121	87, 105	nmoo0 24326	. . . 4 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec ) -> ( N ` Z ) = 0 )
122	1, 12, 121	mp2an 672	. . 3 |- ( N ` Z ) = 0
123	120, 122	syl6eq 2508	. 2 |- ( T = Z -> ( N ` T ) = 0 )
124	119, 123	impbii 188	1 |- ( ( N ` T ) = 0 <-> T = Z )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   {cab 2436   =/= wne 2644   A.wral 2795   E.wrex 2796   C_ wss 3426   class class class wbr 4390   Fn wfn 5511   -->wf 5512   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   supcsup 7791   CCcc 9381   RRcr 9382   0cc0 9383   1c1 9384   RR*cxr 9518   < clt 9519   <_ cle 9520   / cdiv 10094   NrmCVeccnv 24097   BaseSetcba 24099   .sOLDcns 24100   0veccn0v 24101   norm_CVcnmcv 24103   LnOp clno 24275   normOpOLDcnmoo 24276   0op c0o 24278

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460  ax-pre-sup 9461

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-er 7201  df-map 7316  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-sup 7792  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-div 10095  df-nn 10424  df-2 10481  df-3 10482  df-n0 10681  df-z 10748  df-uz 10963  df-rp 11093  df-seq 11908  df-exp 11967  df-cj 12690  df-re 12691  df-im 12692  df-sqr 12826  df-abs 12827  df-grpo 23813  df-gid 23814  df-ginv 23815  df-ablo 23904  df-vc 24059  df-nv 24105  df-va 24108  df-ba 24109  df-sm 24110  df-0v 24111  df-nmcv 24113  df-lno 24279  df-nmoo 24280  df-0o 24282

This theorem is referenced by:  nmlno0i  24329