Theorem nmlno0lem 26434

Description: Lemma for nmlno0i 26435. (Contributed by NM, 28-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmlno0.3	|- N = ( U normOpOLD W )
nmlno0.0	|- Z = ( U 0op W )
nmlno0.7	|- L = ( U LnOp W )
nmlno0lem.u	|- U e. NrmCVec
nmlno0lem.w	|- W e. NrmCVec
nmlno0lem.l	|- T e. L
nmlno0lem.1	|- X = ( BaseSet ` U )
nmlno0lem.2	|- Y = ( BaseSet ` W )
nmlno0lem.r	|- R = ( .sOLD ` U )
nmlno0lem.s	|- S = ( .sOLD ` W )
nmlno0lem.p	|- P = ( 0vec ` U )
nmlno0lem.q	|- Q = ( 0vec ` W )
nmlno0lem.k	|- K = ( normCV ` U )
nmlno0lem.m	|- M = ( normCV ` W )

Assertion

Ref	Expression
nmlno0lem	|- ( ( N ` T ) = 0 <-> T = Z )

Proof of Theorem nmlno0lem

Dummy variables y z x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmlno0lem.u	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U e. NrmCVec
2		nmlno0lem.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- X = ( BaseSet ` U )
3		nmlno0lem.k	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- K = ( normCV ` U )
4	2, 3	nvcl 26288	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. X ) -> ( K ` x ) e. RR )
5	1, 4	mpan 676	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. X -> ( K ` x ) e. RR )
6	5	recnd 9669	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. X -> ( K ` x ) e. CC )
7	6	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( K ` x ) e. CC )
8		nmlno0lem.p	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- P = ( 0vec ` U )
9	2, 8, 3	nvz 26298	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. X ) -> ( ( K ` x ) = 0 <-> x = P ) )
10	1, 9	mpan 676	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. X -> ( ( K ` x ) = 0 <-> x = P ) )
11		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = P -> ( T ` x ) = ( T ` P ) )
12		nmlno0lem.w	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- W e. NrmCVec
13		nmlno0lem.l	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- T e. L
14		nmlno0lem.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- Y = ( BaseSet ` W )
15		nmlno0lem.q	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- Q = ( 0vec ` W )
16		nmlno0.7	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- L = ( U LnOp W )
17	2, 14, 8, 15, 16	lno0 26397	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L ) -> ( T ` P ) = Q )
18	1, 12, 13, 17	mp3an 1364	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( T ` P ) = Q
19	11, 18	syl6eq 2501	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = P -> ( T ` x ) = Q )
20	10, 19	syl6bi 232	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. X -> ( ( K ` x ) = 0 -> ( T ` x ) = Q ) )
21	20	necon3d 2645	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. X -> ( ( T ` x ) =/= Q -> ( K ` x ) =/= 0 ) )
22	21	imp 431	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( K ` x ) =/= 0 )
23	7, 22	recne0d 10377	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( 1 / ( K ` x ) ) =/= 0 )
24		simpr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( T ` x ) =/= Q )
25	7, 22	reccld 10376	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( 1 / ( K ` x ) ) e. CC )
26	2, 14, 16	lnof 26396	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L ) -> T : X --> Y )
27	1, 12, 13, 26	mp3an 1364	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- T : X --> Y
28	27	ffvelrni 6021	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. X -> ( T ` x ) e. Y )
29	28	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( T ` x ) e. Y )
30		nmlno0lem.s	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- S = ( .sOLD ` W )
31	14, 30, 15	nvmul0or 26273	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( W e. NrmCVec /\ ( 1 / ( K ` x ) ) e. CC /\ ( T ` x ) e. Y ) -> ( ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) = Q <-> ( ( 1 / ( K ` x ) ) = 0 \/ ( T ` x ) = Q ) ) )
32	12, 31	mp3an1 1351	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 1 / ( K ` x ) ) e. CC /\ ( T ` x ) e. Y ) -> ( ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) = Q <-> ( ( 1 / ( K ` x ) ) = 0 \/ ( T ` x ) = Q ) ) )
33	25, 29, 32	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) = Q <-> ( ( 1 / ( K ` x ) ) = 0 \/ ( T ` x ) = Q ) ) )
34	33	necon3abid 2660	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) =/= Q <-> -. ( ( 1 / ( K ` x ) ) = 0 \/ ( T ` x ) = Q ) ) )
35		neanior 2716	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1 / ( K ` x ) ) =/= 0 /\ ( T ` x ) =/= Q ) <-> -. ( ( 1 / ( K ` x ) ) = 0 \/ ( T ` x ) = Q ) )
36	34, 35	syl6bbr 267	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) =/= Q <-> ( ( 1 / ( K ` x ) ) =/= 0 /\ ( T ` x ) =/= Q ) ) )
37	23, 24, 36	mpbir2and 933	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) =/= Q )
38	14, 30	nvscl 26247	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. NrmCVec /\ ( 1 / ( K ` x ) ) e. CC /\ ( T ` x ) e. Y ) -> ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) e. Y )
39	12, 38	mp3an1 1351	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1 / ( K ` x ) ) e. CC /\ ( T ` x ) e. Y ) -> ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) e. Y )
40	25, 29, 39	syl2anc 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) e. Y )
41		nmlno0lem.m	. . . . . . . . . . . 12 |- M = ( normCV ` W )
42	14, 15, 41	nvgt0 26304	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( W e. NrmCVec /\ ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) e. Y ) -> ( ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) =/= Q <-> 0 < ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) ) )
43	12, 40, 42	sylancr 669	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) =/= Q <-> 0 < ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) ) )
44	37, 43	mpbid 214	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> 0 < ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) )
45	44	ex 436	. . . . . . . 8 |- ( x e. X -> ( ( T ` x ) =/= Q -> 0 < ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) ) )
46	45	adantl 468	. . . . . . 7 |- ( ( ( N ` T ) = 0 /\ x e. X ) -> ( ( T ` x ) =/= Q -> 0 < ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) ) )
47	14, 41	nmosetre 26405	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( W e. NrmCVec /\ T : X --> Y ) -> { y | E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` z ) ) ) } C_ RR )
48	12, 27, 47	mp2an 678	. . . . . . . . . . . . 13 |- { y | E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` z ) ) ) } C_ RR
49		ressxr 9684	. . . . . . . . . . . . 13 |- RR C_ RR*
50	48, 49	sstri 3441	. . . . . . . . . . . 12 |- { y | E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` z ) ) ) } C_ RR*
51		simpl 459	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> x e. X )
52		nmlno0lem.r	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- R = ( .sOLD ` U )
53	2, 52	nvscl 26247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( 1 / ( K ` x ) ) e. CC /\ x e. X ) -> ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) e. X )
54	1, 53	mp3an1 1351	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( 1 / ( K ` x ) ) e. CC /\ x e. X ) -> ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) e. X )
55	25, 51, 54	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) e. X )
56	19	necon3i 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( T ` x ) =/= Q -> x =/= P )
57	2, 52, 8, 3	nv1 26305	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. X /\ x =/= P ) -> ( K ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) = 1 )
58	1, 57	mp3an1 1351	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. X /\ x =/= P ) -> ( K ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) = 1 )
59	56, 58	sylan2 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( K ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) = 1 )
60		1re 9642	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. RR
61	59, 60	syl6eqel 2537	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( K ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) e. RR )
62		eqle 9736	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( K ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) e. RR /\ ( K ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) = 1 ) -> ( K ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) <_ 1 )
63	61, 59, 62	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( K ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) <_ 1 )
64	1, 12, 13	3pm3.2i 1186	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L )
65	2, 52, 30, 16	lnomul 26401	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L ) /\ ( ( 1 / ( K ` x ) ) e. CC /\ x e. X ) ) -> ( T ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) = ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) )
66	64, 65	mpan 676	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( 1 / ( K ` x ) ) e. CC /\ x e. X ) -> ( T ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) = ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) )
67	25, 51, 66	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( T ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) = ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) )
68	67	eqcomd 2457	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) = ( T ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) )
69	68	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) = ( M ` ( T ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) ) )
70		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) -> ( K ` z ) = ( K ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) )
71	70	breq1d 4412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) -> ( ( K ` z ) <_ 1 <-> ( K ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) <_ 1 ) )
72		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) -> ( T ` z ) = ( T ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) )
73	72	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) -> ( M ` ( T ` z ) ) = ( M ` ( T ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) ) )
74	73	eqeq2d 2461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) -> ( ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) = ( M ` ( T ` z ) ) <-> ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) = ( M ` ( T ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) ) ) )
75	71, 74	anbi12d 717	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) -> ( ( ( K ` z ) <_ 1 /\ ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) = ( M ` ( T ` z ) ) ) <-> ( ( K ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) <_ 1 /\ ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) = ( M ` ( T ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) ) ) ) )
76	75	rspcev 3150	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) e. X /\ ( ( K ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) <_ 1 /\ ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) = ( M ` ( T ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) R x ) ) ) ) ) -> E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) = ( M ` ( T ` z ) ) ) )
77	55, 63, 69, 76	syl12anc 1266	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) = ( M ` ( T ` z ) ) ) )
78		fvex 5875	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) e. _V
79		eqeq1 2455	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) -> ( y = ( M ` ( T ` z ) ) <-> ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) = ( M ` ( T ` z ) ) ) )
80	79	anbi2d 710	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) -> ( ( ( K ` z ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` z ) ) ) <-> ( ( K ` z ) <_ 1 /\ ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) = ( M ` ( T ` z ) ) ) ) )
81	80	rexbidv 2901	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) -> ( E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` z ) ) ) <-> E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) = ( M ` ( T ` z ) ) ) ) )
82	78, 81	elab 3185	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) e. { y | E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` z ) ) ) } <-> E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) = ( M ` ( T ` z ) ) ) )
83	77, 82	sylibr 216	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) e. { y | E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` z ) ) ) } )
84		supxrub 11610	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { y | E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` z ) ) ) } C_ RR* /\ ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) e. { y | E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` z ) ) ) } ) -> ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) <_ sup ( { y | E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` z ) ) ) } , RR* , < ) )
85	50, 83, 84	sylancr 669	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) <_ sup ( { y | E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` z ) ) ) } , RR* , < ) )
86	85	adantll 720	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N ` T ) = 0 /\ x e. X ) /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) <_ sup ( { y | E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` z ) ) ) } , RR* , < ) )
87		nmlno0.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- N = ( U normOpOLD W )
88	2, 14, 3, 41, 87	nmooval 26404	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T : X --> Y ) -> ( N ` T ) = sup ( { y | E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` z ) ) ) } , RR* , < ) )
89	1, 12, 27, 88	mp3an 1364	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N ` T ) = sup ( { y | E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` z ) ) ) } , RR* , < )
90	89	eqeq1i 2456	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N ` T ) = 0 <-> sup ( { y | E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` z ) ) ) } , RR* , < ) = 0 )
91	90	biimpi 198	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N ` T ) = 0 -> sup ( { y | E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` z ) ) ) } , RR* , < ) = 0 )
92	91	ad2antrr 732	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N ` T ) = 0 /\ x e. X ) /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> sup ( { y | E. z e. X ( ( K ` z ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` z ) ) ) } , RR* , < ) = 0 )
93	86, 92	breqtrd 4427	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N ` T ) = 0 /\ x e. X ) /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) <_ 0 )
94	14, 41	nvcl 26288	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( W e. NrmCVec /\ ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) e. Y ) -> ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) e. RR )
95	12, 40, 94	sylancr 669	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) e. RR )
96		0re 9643	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR
97		lenlt 9712	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) <_ 0 <-> -. 0 < ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) ) )
98	95, 96, 97	sylancl 668	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. X /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) <_ 0 <-> -. 0 < ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) ) )
99	98	adantll 720	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N ` T ) = 0 /\ x e. X ) /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> ( ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) <_ 0 <-> -. 0 < ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) ) )
100	93, 99	mpbid 214	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N ` T ) = 0 /\ x e. X ) /\ ( T ` x ) =/= Q ) -> -. 0 < ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) )
101	100	ex 436	. . . . . . 7 |- ( ( ( N ` T ) = 0 /\ x e. X ) -> ( ( T ` x ) =/= Q -> -. 0 < ( M ` ( ( 1 / ( K ` x ) ) S ( T ` x ) ) ) ) )
102	46, 101	pm2.65d 179	. . . . . 6 |- ( ( ( N ` T ) = 0 /\ x e. X ) -> -. ( T ` x ) =/= Q )
103		nne 2628	. . . . . 6 |- ( -. ( T ` x ) =/= Q <-> ( T ` x ) = Q )
104	102, 103	sylib 200	. . . . 5 |- ( ( ( N ` T ) = 0 /\ x e. X ) -> ( T ` x ) = Q )
105		nmlno0.0	. . . . . . . 8 |- Z = ( U 0op W )
106	2, 15, 105	0oval 26429	. . . . . . 7 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ x e. X ) -> ( Z ` x ) = Q )
107	1, 12, 106	mp3an12 1354	. . . . . 6 |- ( x e. X -> ( Z ` x ) = Q )
108	107	adantl 468	. . . . 5 |- ( ( ( N ` T ) = 0 /\ x e. X ) -> ( Z ` x ) = Q )
109	104, 108	eqtr4d 2488	. . . 4 |- ( ( ( N ` T ) = 0 /\ x e. X ) -> ( T ` x ) = ( Z ` x ) )
110	109	ralrimiva 2802	. . 3 |- ( ( N ` T ) = 0 -> A. x e. X ( T ` x ) = ( Z ` x ) )
111		ffn 5728	. . . . 5 |- ( T : X --> Y -> T Fn X )
112	27, 111	ax-mp 5	. . . 4 |- T Fn X
113	2, 14, 105	0oo 26430	. . . . . 6 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec ) -> Z : X --> Y )
114	1, 12, 113	mp2an 678	. . . . 5 |- Z : X --> Y
115		ffn 5728	. . . . 5 |- ( Z : X --> Y -> Z Fn X )
116	114, 115	ax-mp 5	. . . 4 |- Z Fn X
117		eqfnfv 5976	. . . 4 |- ( ( T Fn X /\ Z Fn X ) -> ( T = Z <-> A. x e. X ( T ` x ) = ( Z ` x ) ) )
118	112, 116, 117	mp2an 678	. . 3 |- ( T = Z <-> A. x e. X ( T ` x ) = ( Z ` x ) )
119	110, 118	sylibr 216	. 2 |- ( ( N ` T ) = 0 -> T = Z )
120		fveq2 5865	. . 3 |- ( T = Z -> ( N ` T ) = ( N ` Z ) )
121	87, 105	nmoo0 26432	. . . 4 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec ) -> ( N ` Z ) = 0 )
122	1, 12, 121	mp2an 678	. . 3 |- ( N ` Z ) = 0
123	120, 122	syl6eq 2501	. 2 |- ( T = Z -> ( N ` T ) = 0 )
124	119, 123	impbii 191	1 |- ( ( N ` T ) = 0 <-> T = Z )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   \/ wo 370   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   {cab 2437   =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   C_ wss 3404   class class class wbr 4402   Fn wfn 5577   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   supcsup 7954   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540   RR*cxr 9674   < clt 9675   <_ cle 9676   / cdiv 10269   NrmCVeccnv 26203   BaseSetcba 26205   .sOLDcns 26206   0veccn0v 26207   norm_CVcnmcv 26209   LnOp clno 26381   normOpOLDcnmoo 26382   0op c0o 26384

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-sup 7956  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-grpo 25919  df-gid 25920  df-ginv 25921  df-ablo 26010  df-vc 26165  df-nv 26211  df-va 26214  df-ba 26215  df-sm 26216  df-0v 26217  df-nmcv 26219  df-lno 26385  df-nmoo 26386  df-0o 26388

This theorem is referenced by:  nmlno0i  26435