MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmlno0 Structured version   Unicode version

Theorem nmlno0 25837
Description: The norm of a linear operator is zero iff the operator is zero. (Contributed by NM, 24-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmlno0.3  |-  N  =  ( U normOpOLD W
)
nmlno0.0  |-  Z  =  ( U  0op  W
)
nmlno0.7  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
Assertion
Ref Expression
nmlno0  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  ->  (
( N `  T
)  =  0  <->  T  =  Z ) )

Proof of Theorem nmlno0
StepHypRef Expression
1 nmlno0.7 . . . . . 6  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
2 oveq1 6303 . . . . . 6  |-  ( U  =  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( U  LnOp  W
)  =  ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) 
LnOp  W ) )
31, 2syl5eq 2510 . . . . 5  |-  ( U  =  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  L  =  ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) 
LnOp  W ) )
43eleq2d 2527 . . . 4  |-  ( U  =  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( T  e.  L  <->  T  e.  ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  LnOp  W ) ) )
5 nmlno0.3 . . . . . . . 8  |-  N  =  ( U normOpOLD W
)
6 oveq1 6303 . . . . . . . 8  |-  ( U  =  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( U normOpOLD W
)  =  ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
normOpOLD W ) )
75, 6syl5eq 2510 . . . . . . 7  |-  ( U  =  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  N  =  ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
normOpOLD W ) )
87fveq1d 5874 . . . . . 6  |-  ( U  =  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( N `  T
)  =  ( ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) normOpOLD W ) `  T ) )
98eqeq1d 2459 . . . . 5  |-  ( U  =  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( N `  T )  =  0  <-> 
( ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) normOpOLD W ) `  T )  =  0 ) )
10 nmlno0.0 . . . . . . 7  |-  Z  =  ( U  0op  W
)
11 oveq1 6303 . . . . . . 7  |-  ( U  =  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( U  0op  W
)  =  ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  0op  W ) )
1210, 11syl5eq 2510 . . . . . 6  |-  ( U  =  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  Z  =  ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  0op  W ) )
1312eqeq2d 2471 . . . . 5  |-  ( U  =  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( T  =  Z  <-> 
T  =  ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  0op  W ) ) )
149, 13bibi12d 321 . . . 4  |-  ( U  =  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( ( N `
 T )  =  0  <->  T  =  Z
)  <->  ( ( ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) normOpOLD W ) `  T )  =  0  <-> 
T  =  ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  0op  W ) ) ) )
154, 14imbi12d 320 . . 3  |-  ( U  =  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( T  e.  L  ->  ( ( N `  T )  =  0  <->  T  =  Z ) )  <->  ( T  e.  ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  LnOp  W )  ->  (
( ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) normOpOLD W ) `  T )  =  0  <-> 
T  =  ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  0op  W ) ) ) ) )
16 oveq2 6304 . . . . 5  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  LnOp  W )  =  ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
)  LnOp  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) )
1716eleq2d 2527 . . . 4  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( T  e.  ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
)  LnOp  W )  <->  T  e.  ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  LnOp  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ) )
18 oveq2 6304 . . . . . . 7  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) normOpOLD W )  =  ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) normOpOLD if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) )
1918fveq1d 5874 . . . . . 6  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) normOpOLD W ) `  T )  =  ( ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) normOpOLD if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  T )
)
2019eqeq1d 2459 . . . . 5  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
normOpOLD W ) `  T )  =  0  <-> 
( ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) normOpOLD if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  T )  =  0 ) )
21 oveq2 6304 . . . . . 6  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  0op  W )  =  ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
)  0op  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) )
2221eqeq2d 2471 . . . . 5  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( T  =  ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
)  0op  W )  <->  T  =  ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  0op  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ) )
2320, 22bibi12d 321 . . . 4  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( ( ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) normOpOLD W ) `  T )  =  0  <-> 
T  =  ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  0op  W ) )  <-> 
( ( ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
normOpOLD if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  T )  =  0  <->  T  =  ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
)  0op  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) ) ) )
2417, 23imbi12d 320 . . 3  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( T  e.  ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  LnOp  W )  ->  (
( ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) normOpOLD W ) `  T )  =  0  <-> 
T  =  ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  0op  W ) ) )  <->  ( T  e.  ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  LnOp  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  ->  (
( ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) normOpOLD if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  T )  =  0  <->  T  =  ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
)  0op  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) ) ) ) )
25 eqid 2457 . . . 4  |-  ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
normOpOLD if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)  =  ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
normOpOLD if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)
26 eqid 2457 . . . 4  |-  ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  0op  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)  =  ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  0op  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)
27 eqid 2457 . . . 4  |-  ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) 
LnOp  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  =  ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
)  LnOp  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)
28 elimnvu 25717 . . . 4  |-  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  e.  NrmCVec
29 elimnvu 25717 . . . 4  |-  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  e.  NrmCVec
3025, 26, 27, 28, 29nmlno0i 25836 . . 3  |-  ( T  e.  ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  LnOp  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  ->  (
( ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) normOpOLD if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  T )  =  0  <->  T  =  ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
)  0op  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) ) )
3115, 24, 30dedth2h 3997 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  ( T  e.  L  ->  ( ( N `  T
)  =  0  <->  T  =  Z ) ) )
32313impia 1193 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  ->  (
( N `  T
)  =  0  <->  T  =  Z ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   ifcif 3944   <.cop 4038   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   0cc0 9509    + caddc 9512    x. cmul 9514   abscabs 13079   NrmCVeccnv 25604    LnOp clno 25782   normOpOLDcnmoo 25783    0op c0o 25785
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-grpo 25320  df-gid 25321  df-ginv 25322  df-ablo 25411  df-vc 25566  df-nv 25612  df-va 25615  df-ba 25616  df-sm 25617  df-0v 25618  df-nmcv 25620  df-lno 25786  df-nmoo 25787  df-0o 25789
This theorem is referenced by:  nmlnogt0  25839
  Copyright terms: Public domain W3C validator