MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nminvr Structured version   Unicode version

Theorem nminvr 20248
Description: The norm of an inverse in a nonzero normed ring. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nminvr.n  |-  N  =  ( norm `  R
)
nminvr.u  |-  U  =  (Unit `  R )
nminvr.i  |-  I  =  ( invr `  R
)
Assertion
Ref Expression
nminvr  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  ( N `  ( I `  A
) )  =  ( 1  /  ( N `
 A ) ) )

Proof of Theorem nminvr
StepHypRef Expression
1 nzrrng 17341 . . . . . . 7  |-  ( R  e. NzRing  ->  R  e.  Ring )
213ad2ant2 1010 . . . . . 6  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  R  e.  Ring )
3 simp3 990 . . . . . 6  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  A  e.  U )
4 nminvr.u . . . . . . 7  |-  U  =  (Unit `  R )
5 nminvr.i . . . . . . 7  |-  I  =  ( invr `  R
)
6 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
7 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
84, 5, 6, 7unitrinv 16768 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  A  e.  U )  ->  ( A ( .r `  R ) ( I `
 A ) )  =  ( 1r `  R ) )
92, 3, 8syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  ( A
( .r `  R
) ( I `  A ) )  =  ( 1r `  R
) )
109fveq2d 5693 . . . 4  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  ( N `  ( A ( .r
`  R ) ( I `  A ) ) )  =  ( N `  ( 1r
`  R ) ) )
11 simp1 988 . . . . 5  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  R  e. NrmRing )
12 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
1312, 4unitcl 16749 . . . . . 6  |-  ( A  e.  U  ->  A  e.  ( Base `  R
) )
14133ad2ant3 1011 . . . . 5  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  A  e.  ( Base `  R )
)
154, 5, 12rnginvcl 16766 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  A  e.  U )  ->  (
I `  A )  e.  ( Base `  R
) )
162, 3, 15syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  ( I `  A )  e.  (
Base `  R )
)
17 nminvr.n . . . . . 6  |-  N  =  ( norm `  R
)
1812, 17, 6nmmul 20243 . . . . 5  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  A  e.  ( Base `  R
)  /\  ( I `  A )  e.  (
Base `  R )
)  ->  ( N `  ( A ( .r
`  R ) ( I `  A ) ) )  =  ( ( N `  A
)  x.  ( N `
 ( I `  A ) ) ) )
1911, 14, 16, 18syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  ( N `  ( A ( .r
`  R ) ( I `  A ) ) )  =  ( ( N `  A
)  x.  ( N `
 ( I `  A ) ) ) )
2017, 7nm1 20246 . . . . 5  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing
)  ->  ( N `  ( 1r `  R
) )  =  1 )
21203adant3 1008 . . . 4  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  ( N `  ( 1r `  R
) )  =  1 )
2210, 19, 213eqtr3d 2481 . . 3  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  ( ( N `  A )  x.  ( N `  (
I `  A )
) )  =  1 )
23 ax-1cn 9338 . . . . 5  |-  1  e.  CC
2423a1i 11 . . . 4  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  1  e.  CC )
25 nrgngp 20241 . . . . . . 7  |-  ( R  e. NrmRing  ->  R  e. NrmGrp )
26253ad2ant1 1009 . . . . . 6  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  R  e. NrmGrp )
2712, 17nmcl 20205 . . . . . 6  |-  ( ( R  e. NrmGrp  /\  A  e.  ( Base `  R
) )  ->  ( N `  A )  e.  RR )
2826, 14, 27syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  ( N `  A )  e.  RR )
2928recnd 9410 . . . 4  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  ( N `  A )  e.  CC )
3012, 17nmcl 20205 . . . . . 6  |-  ( ( R  e. NrmGrp  /\  (
I `  A )  e.  ( Base `  R
) )  ->  ( N `  ( I `  A ) )  e.  RR )
3126, 16, 30syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  ( N `  ( I `  A
) )  e.  RR )
3231recnd 9410 . . . 4  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  ( N `  ( I `  A
) )  e.  CC )
3317, 4unitnmn0 20247 . . . 4  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  ( N `  A )  =/=  0
)
3424, 29, 32, 33divmuld 10127 . . 3  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  ( (
1  /  ( N `
 A ) )  =  ( N `  ( I `  A
) )  <->  ( ( N `  A )  x.  ( N `  (
I `  A )
) )  =  1 ) )
3522, 34mpbird 232 . 2  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  ( 1  /  ( N `  A ) )  =  ( N `  (
I `  A )
) )
3635eqcomd 2446 1  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  ( N `  ( I `  A
) )  =  ( 1  /  ( N `
 A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5416  (class class class)co 6089   CCcc 9278   RRcr 9279   1c1 9281    x. cmul 9285    / cdiv 9991   Basecbs 14172   .rcmulr 14237   1rcur 16601   Ringcrg 16643  Unitcui 16729   invrcinvr 16761  NzRingcnzr 17337   normcnm 20167  NrmGrpcngp 20168  NrmRingcnrg 20170
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357  ax-pre-sup 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-tpos 6743  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-er 7099  df-map 7214  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-sup 7689  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-div 9992  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-n0 10578  df-z 10645  df-uz 10860  df-q 10952  df-rp 10990  df-xneg 11087  df-xadd 11088  df-xmul 11089  df-ico 11304  df-ndx 14175  df-slot 14176  df-base 14177  df-sets 14178  df-ress 14179  df-plusg 14249  df-mulr 14250  df-0g 14378  df-topgen 14380  df-mnd 15413  df-grp 15543  df-minusg 15544  df-mgp 16590  df-ur 16602  df-rng 16645  df-oppr 16713  df-dvdsr 16731  df-unit 16732  df-invr 16762  df-abv 16900  df-nzr 17338  df-psmet 17807  df-xmet 17808  df-met 17809  df-bl 17810  df-mopn 17811  df-top 18501  df-bases 18503  df-topon 18504  df-topsp 18505  df-xms 19893  df-ms 19894  df-nm 20173  df-ngp 20174  df-nrg 20176
This theorem is referenced by:  nmdvr  20249
  Copyright terms: Public domain W3C validator