Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nminvr Structured version   Unicode version

Theorem nminvr 20929
 Description: The norm of an inverse in a nonzero normed ring. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nminvr.n
nminvr.u Unit
nminvr.i
Assertion
Ref Expression
nminvr NrmRing NzRing

Proof of Theorem nminvr
StepHypRef Expression
1 nzrrng 17703 . . . . . . 7 NzRing
213ad2ant2 1018 . . . . . 6 NrmRing NzRing
3 simp3 998 . . . . . 6 NrmRing NzRing
4 nminvr.u . . . . . . 7 Unit
5 nminvr.i . . . . . . 7
6 eqid 2467 . . . . . . 7
7 eqid 2467 . . . . . . 7
84, 5, 6, 7unitrinv 17123 . . . . . 6
92, 3, 8syl2anc 661 . . . . 5 NrmRing NzRing
109fveq2d 5869 . . . 4 NrmRing NzRing
11 simp1 996 . . . . 5 NrmRing NzRing NrmRing
12 eqid 2467 . . . . . . 7
1312, 4unitcl 17104 . . . . . 6
14133ad2ant3 1019 . . . . 5 NrmRing NzRing
154, 5, 12rnginvcl 17121 . . . . . 6
162, 3, 15syl2anc 661 . . . . 5 NrmRing NzRing
17 nminvr.n . . . . . 6
1812, 17, 6nmmul 20924 . . . . 5 NrmRing
1911, 14, 16, 18syl3anc 1228 . . . 4 NrmRing NzRing
2017, 7nm1 20927 . . . . 5 NrmRing NzRing
21203adant3 1016 . . . 4 NrmRing NzRing
2210, 19, 213eqtr3d 2516 . . 3 NrmRing NzRing
23 ax-1cn 9549 . . . . 5
2423a1i 11 . . . 4 NrmRing NzRing
25 nrgngp 20922 . . . . . . 7 NrmRing NrmGrp
26253ad2ant1 1017 . . . . . 6 NrmRing NzRing NrmGrp
2712, 17nmcl 20886 . . . . . 6 NrmGrp
2826, 14, 27syl2anc 661 . . . . 5 NrmRing NzRing
2928recnd 9621 . . . 4 NrmRing NzRing
3012, 17nmcl 20886 . . . . . 6 NrmGrp
3126, 16, 30syl2anc 661 . . . . 5 NrmRing NzRing
3231recnd 9621 . . . 4 NrmRing NzRing
3317, 4unitnmn0 20928 . . . 4 NrmRing NzRing
3424, 29, 32, 33divmuld 10341 . . 3 NrmRing NzRing
3522, 34mpbird 232 . 2 NrmRing NzRing
3635eqcomd 2475 1 NrmRing NzRing
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767  cfv 5587  (class class class)co 6283  cc 9489  cr 9490  c1 9492   cmul 9496   cdiv 10205  cbs 14489  cmulr 14555  cur 16952  crg 16995  Unitcui 17084  cinvr 17116  NzRingcnzr 17699  cnm 20848  NrmGrpcngp 20849  NrmRingcnrg 20851 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568  ax-pre-sup 9569 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-tpos 6955  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-sup 7900  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10206  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-n0 10795  df-z 10864  df-uz 11082  df-q 11182  df-rp 11220  df-xneg 11317  df-xadd 11318  df-xmul 11319  df-ico 11534  df-ndx 14492  df-slot 14493  df-base 14494  df-sets 14495  df-ress 14496  df-plusg 14567  df-mulr 14568  df-0g 14696  df-topgen 14698  df-mnd 15731  df-grp 15864  df-minusg 15865  df-mgp 16941  df-ur 16953  df-rng 16997  df-oppr 17068  df-dvdsr 17086  df-unit 17087  df-invr 17117  df-abv 17261  df-nzr 17700  df-psmet 18198  df-xmet 18199  df-met 18200  df-bl 18201  df-mopn 18202  df-top 19182  df-bases 19184  df-topon 19185  df-topsp 19186  df-xms 20574  df-ms 20575  df-nm 20854  df-ngp 20855  df-nrg 20857 This theorem is referenced by:  nmdvr  20930
 Copyright terms: Public domain W3C validator