Theorem nmhmco 21136

Description: The composition of bounded linear operators is a bounded linear operator. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nmhmco	|- ( ( F e. ( T NMHom U ) /\ G e. ( S NMHom T ) ) -> ( F o. G ) e. ( S NMHom U ) )

Proof of Theorem nmhmco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmhmrcl2 21128	. . 3 |- ( F e. ( T NMHom U ) -> U e. NrmMod )
2		nmhmrcl1 21127	. . 3 |- ( G e. ( S NMHom T ) -> S e. NrmMod )
3	1, 2	anim12ci 567	. 2 |- ( ( F e. ( T NMHom U ) /\ G e. ( S NMHom T ) ) -> ( S e. NrmMod /\ U e. NrmMod ) )
4		nmhmlmhm 21129	. . . 4 |- ( F e. ( T NMHom U ) -> F e. ( T LMHom U ) )
5		nmhmlmhm 21129	. . . 4 |- ( G e. ( S NMHom T ) -> G e. ( S LMHom T ) )
6		lmhmco 17563	. . . 4 |- ( ( F e. ( T LMHom U ) /\ G e. ( S LMHom T ) ) -> ( F o. G ) e. ( S LMHom U ) )
7	4, 5, 6	syl2an 477	. . 3 |- ( ( F e. ( T NMHom U ) /\ G e. ( S NMHom T ) ) -> ( F o. G ) e. ( S LMHom U ) )
8		nmhmnghm 21130	. . . 4 |- ( F e. ( T NMHom U ) -> F e. ( T NGHom U ) )
9		nmhmnghm 21130	. . . 4 |- ( G e. ( S NMHom T ) -> G e. ( S NGHom T ) )
10		nghmco 21118	. . . 4 |- ( ( F e. ( T NGHom U ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) -> ( F o. G ) e. ( S NGHom U ) )
11	8, 9, 10	syl2an 477	. . 3 |- ( ( F e. ( T NMHom U ) /\ G e. ( S NMHom T ) ) -> ( F o. G ) e. ( S NGHom U ) )
12	7, 11	jca 532	. 2 |- ( ( F e. ( T NMHom U ) /\ G e. ( S NMHom T ) ) -> ( ( F o. G ) e. ( S LMHom U ) /\ ( F o. G ) e. ( S NGHom U ) ) )
13		isnmhm 21126	. 2 |- ( ( F o. G ) e. ( S NMHom U ) <-> ( ( S e. NrmMod /\ U e. NrmMod ) /\ ( ( F o. G ) e. ( S LMHom U ) /\ ( F o. G ) e. ( S NGHom U ) ) ) )
14	3, 12, 13	sylanbrc 664	1 |- ( ( F e. ( T NMHom U ) /\ G e. ( S NMHom T ) ) -> ( F o. G ) e. ( S NMHom U ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   e. wcel 1804   o. ccom 4993  (class class class)co 6281   LMHom clmhm 17539  NrmModcnlm 20974   NGHom cnghm 21086   NMHom cnmhm 21087

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213  df-nn 10543  df-2 10600  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-q 11192  df-rp 11230  df-xneg 11327  df-xadd 11328  df-xmul 11329  df-ico 11544  df-0g 14716  df-topgen 14718  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-mhm 15840  df-grp 15931  df-ghm 16139  df-lmod 17388  df-lmhm 17542  df-psmet 18285  df-xmet 18286  df-met 18287  df-bl 18288  df-mopn 18289  df-top 19272  df-bases 19274  df-topon 19275  df-topsp 19276  df-xms 20696  df-ms 20697  df-nm 20976  df-ngp 20977  df-nmo 21088  df-nghm 21089  df-nmhm 21090

This theorem is referenced by: (None)