Theorem nmhmco 20453

Description: The composition of bounded linear operators is a bounded linear operator. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nmhmco	|- ( ( F e. ( T NMHom U ) /\ G e. ( S NMHom T ) ) -> ( F o. G ) e. ( S NMHom U ) )

Proof of Theorem nmhmco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmhmrcl2 20445	. . 3 |- ( F e. ( T NMHom U ) -> U e. NrmMod )
2		nmhmrcl1 20444	. . 3 |- ( G e. ( S NMHom T ) -> S e. NrmMod )
3	1, 2	anim12ci 567	. 2 |- ( ( F e. ( T NMHom U ) /\ G e. ( S NMHom T ) ) -> ( S e. NrmMod /\ U e. NrmMod ) )
4		nmhmlmhm 20446	. . . 4 |- ( F e. ( T NMHom U ) -> F e. ( T LMHom U ) )
5		nmhmlmhm 20446	. . . 4 |- ( G e. ( S NMHom T ) -> G e. ( S LMHom T ) )
6		lmhmco 17232	. . . 4 |- ( ( F e. ( T LMHom U ) /\ G e. ( S LMHom T ) ) -> ( F o. G ) e. ( S LMHom U ) )
7	4, 5, 6	syl2an 477	. . 3 |- ( ( F e. ( T NMHom U ) /\ G e. ( S NMHom T ) ) -> ( F o. G ) e. ( S LMHom U ) )
8		nmhmnghm 20447	. . . 4 |- ( F e. ( T NMHom U ) -> F e. ( T NGHom U ) )
9		nmhmnghm 20447	. . . 4 |- ( G e. ( S NMHom T ) -> G e. ( S NGHom T ) )
10		nghmco 20435	. . . 4 |- ( ( F e. ( T NGHom U ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) -> ( F o. G ) e. ( S NGHom U ) )
11	8, 9, 10	syl2an 477	. . 3 |- ( ( F e. ( T NMHom U ) /\ G e. ( S NMHom T ) ) -> ( F o. G ) e. ( S NGHom U ) )
12	7, 11	jca 532	. 2 |- ( ( F e. ( T NMHom U ) /\ G e. ( S NMHom T ) ) -> ( ( F o. G ) e. ( S LMHom U ) /\ ( F o. G ) e. ( S NGHom U ) ) )
13		isnmhm 20443	. 2 |- ( ( F o. G ) e. ( S NMHom U ) <-> ( ( S e. NrmMod /\ U e. NrmMod ) /\ ( ( F o. G ) e. ( S LMHom U ) /\ ( F o. G ) e. ( S NGHom U ) ) ) )
14	3, 12, 13	sylanbrc 664	1 |- ( ( F e. ( T NMHom U ) /\ G e. ( S NMHom T ) ) -> ( F o. G ) e. ( S NMHom U ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   e. wcel 1758   o. ccom 4944  (class class class)co 6192   LMHom clmhm 17208  NrmModcnlm 20291   NGHom cnghm 20403   NMHom cnmhm 20404

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462  ax-pre-sup 9463

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-er 7203  df-map 7318  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-sup 7794  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-div 10097  df-nn 10426  df-2 10483  df-n0 10683  df-z 10750  df-uz 10965  df-q 11057  df-rp 11095  df-xneg 11192  df-xadd 11193  df-xmul 11194  df-ico 11409  df-0g 14484  df-topgen 14486  df-mnd 15519  df-mhm 15568  df-grp 15649  df-ghm 15849  df-lmod 17058  df-lmhm 17211  df-psmet 17920  df-xmet 17921  df-met 17922  df-bl 17923  df-mopn 17924  df-top 18621  df-bases 18623  df-topon 18624  df-topsp 18625  df-xms 20013  df-ms 20014  df-nm 20293  df-ngp 20294  df-nmo 20405  df-nghm 20406  df-nmhm 20407

This theorem is referenced by: (None)