Theorem nmhmco 21777

Description: The composition of bounded linear operators is a bounded linear operator. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nmhmco	|- ( ( F e. ( T NMHom U ) /\ G e. ( S NMHom T ) ) -> ( F o. G ) e. ( S NMHom U ) )

Proof of Theorem nmhmco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmhmrcl2 21769	. . 3 |- ( F e. ( T NMHom U ) -> U e. NrmMod )
2		nmhmrcl1 21768	. . 3 |- ( G e. ( S NMHom T ) -> S e. NrmMod )
3	1, 2	anim12ci 571	. 2 |- ( ( F e. ( T NMHom U ) /\ G e. ( S NMHom T ) ) -> ( S e. NrmMod /\ U e. NrmMod ) )
4		nmhmlmhm 21770	. . . 4 |- ( F e. ( T NMHom U ) -> F e. ( T LMHom U ) )
5		nmhmlmhm 21770	. . . 4 |- ( G e. ( S NMHom T ) -> G e. ( S LMHom T ) )
6		lmhmco 18266	. . . 4 |- ( ( F e. ( T LMHom U ) /\ G e. ( S LMHom T ) ) -> ( F o. G ) e. ( S LMHom U ) )
7	4, 5, 6	syl2an 480	. . 3 |- ( ( F e. ( T NMHom U ) /\ G e. ( S NMHom T ) ) -> ( F o. G ) e. ( S LMHom U ) )
8		nmhmnghm 21771	. . . 4 |- ( F e. ( T NMHom U ) -> F e. ( T NGHom U ) )
9		nmhmnghm 21771	. . . 4 |- ( G e. ( S NMHom T ) -> G e. ( S NGHom T ) )
10		nghmco 21759	. . . 4 |- ( ( F e. ( T NGHom U ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) -> ( F o. G ) e. ( S NGHom U ) )
11	8, 9, 10	syl2an 480	. . 3 |- ( ( F e. ( T NMHom U ) /\ G e. ( S NMHom T ) ) -> ( F o. G ) e. ( S NGHom U ) )
12	7, 11	jca 535	. 2 |- ( ( F e. ( T NMHom U ) /\ G e. ( S NMHom T ) ) -> ( ( F o. G ) e. ( S LMHom U ) /\ ( F o. G ) e. ( S NGHom U ) ) )
13		isnmhm 21767	. 2 |- ( ( F o. G ) e. ( S NMHom U ) <-> ( ( S e. NrmMod /\ U e. NrmMod ) /\ ( ( F o. G ) e. ( S LMHom U ) /\ ( F o. G ) e. ( S NGHom U ) ) ) )
14	3, 12, 13	sylanbrc 670	1 |- ( ( F e. ( T NMHom U ) /\ G e. ( S NMHom T ) ) -> ( F o. G ) e. ( S NMHom U ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   e. wcel 1887   o. ccom 4838  (class class class)co 6290   LMHom clmhm 18242  NrmModcnlm 21595   NGHom cnghm 21708   NMHom cnmhm 21710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ico 11641  df-0g 15340  df-topgen 15342  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-mhm 16582  df-grp 16673  df-ghm 16881  df-lmod 18093  df-lmhm 18245  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-xms 21335  df-ms 21336  df-nm 21597  df-ngp 21598  df-nmo 21711  df-nghm 21713  df-nmhm 21715

This theorem is referenced by: (None)