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Theorem nmhmcn 22145
Description: A linear operator over a normed complex module is bounded iff it is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmhmcn.j |- J = ( TopOpen ` S )
nmhmcn.k |- K = ( TopOpen ` T )
nmhmcn.g |- G = (Scalar ` S )
nmhmcn.b |- B = ( Base ` G )
Assertion
Ref Expression
nmhmcn |- ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) -> ( F e. ( S NMHom T ) <-> ( F e. ( S LMHom T ) /\ F e. ( J Cn K ) ) ) )
Proof of Theorem nmhmcn
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3620 . . . . 5 |- (NrmMod i^i CMod ) C_ NrmMod
21sseli 3396 . . . 4 |- ( S e. (NrmMod i^i CMod ) -> S e. NrmMod )
31sseli 3396 . . . 4 |- ( T e. (NrmMod i^i CMod ) -> T e. NrmMod )
4 isnmhm 21778 . . . . 5 |- ( F e. ( S NMHom T ) <-> ( ( S e. NrmMod /\ T e. NrmMod ) /\ ( F e. ( S LMHom T ) /\ F e. ( S NGHom T ) ) ) )
54baib 916 . . . 4 |- ( ( S e. NrmMod /\ T e. NrmMod ) -> ( F e. ( S NMHom T ) <-> ( F e. ( S LMHom T ) /\ F e. ( S NGHom T ) ) ) )
62, 3, 5syl2an 484 . . 3 |- ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) ) -> ( F e. ( S NMHom T ) <-> ( F e. ( S LMHom T ) /\ F e. ( S NGHom T ) ) ) )
763adant3 1029 . 2 |- ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) -> ( F e. ( S NMHom T ) <-> ( F e. ( S LMHom T ) /\ F e. ( S NGHom T ) ) ) )
8 nmhmcn.j . . . . 5 |- J = ( TopOpen ` S )
9 nmhmcn.k . . . . 5 |- K = ( TopOpen ` T )
108, 9nghmcn 21777 . . . 4 |- ( F e. ( S NGHom T ) -> F e. ( J Cn K ) )
11 simpll1 1048 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> S e. (NrmMod i^i CMod ) )
121, 11sseldi 3398 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> S e. NrmMod )
13 nlmngp 21691 . . . . . . . . 9 |- ( S e. NrmMod -> S e. NrmGrp )
14 ngpms 21625 . . . . . . . . 9 |- ( S e. NrmGrp -> S e. MetSp )
1512, 13, 143syl 18 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> S e. MetSp )
16 msxms 21480 . . . . . . . 8 |- ( S e. MetSp -> S e. *MetSp )
17 eqid 2452 . . . . . . . . 9 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
18 eqid 2452 . . . . . . . . 9 |- ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) = ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) )
1917, 18xmsxmet 21482 . . . . . . . 8 |- ( S e. *MetSp -> ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) e. ( *Met ` ( Base ` S ) ) )
2015, 16, 193syl 18 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) e. ( *Met ` ( Base ` S ) ) )
21 simpr 467 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> F e. ( J Cn K ) )
22 simpll2 1049 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> T e. (NrmMod i^i CMod ) )
231, 22sseldi 3398 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> T e. NrmMod )
24 nlmngp 21691 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( T e. NrmMod -> T e. NrmGrp )
25 ngpms 21625 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( T e. NrmGrp -> T e. MetSp )
2623, 24, 253syl 18 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> T e. MetSp )
27 msxms 21480 . . . . . . . . . . . 12 |- ( T e. MetSp -> T e. *MetSp )
28 eqid 2452 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( Base ` T ) = ( Base ` T )
29 eqid 2452 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) = ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) )
3028, 29xmsxmet 21482 . . . . . . . . . . . 12 |- ( T e. *MetSp -> ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) e. ( *Met ` ( Base ` T ) ) )
3126, 27, 303syl 18 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) e. ( *Met ` ( Base ` T ) ) )
32 nlmlmod 21692 . . . . . . . . . . . 12 |- ( T e. NrmMod -> T e. LMod )
33 eqid 2452 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0g ` T ) = ( 0g ` T )
3428, 33lmod0vcl 18131 . . . . . . . . . . . 12 |- ( T e. LMod -> ( 0g ` T ) e. ( Base ` T ) )
3523, 32, 343syl 18 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( 0g ` T ) e. ( Base ` T ) )
36 1rp 11296 . . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR+
37 rpxr 11299 . . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 e. RR+ -> 1 e. RR* )
3836, 37mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> 1 e. RR* )
39 eqid 2452 . . . . . . . . . . . 12 |- ( MetOpen ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) )
4039blopn 21526 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) e. ( *Met ` ( Base ` T ) ) /\ ( 0g ` T ) e. ( Base ` T ) /\ 1 e. RR* ) -> ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) e. ( MetOpen ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) )
4131, 35, 38, 40syl3anc 1271 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) e. ( MetOpen ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) )
429, 28, 29mstopn 21478 . . . . . . . . . . 11 |- ( T e. MetSp -> K = ( MetOpen ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) )
4323, 24, 25, 424syl 19 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> K = ( MetOpen ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) )
4441, 43eleqtrrd 2533 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) e. K )
45 cnima 20292 . . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) e. K ) -> ( `' F " ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) e. J )
4621, 44, 45syl2anc 671 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( `' F " ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) e. J )
478, 17, 18mstopn 21478 . . . . . . . . 9 |- ( S e. MetSp -> J = ( MetOpen ` ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) ) )
4812, 13, 14, 474syl 19 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> J = ( MetOpen ` ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) ) )
4946, 48eleqtrd 2532 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( `' F " ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) e. ( MetOpen ` ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) ) )
50 nlmlmod 21692 . . . . . . . . 9 |- ( S e. NrmMod -> S e. LMod )
51 eqid 2452 . . . . . . . . . 10 |- ( 0g ` S ) = ( 0g ` S )
5217, 51lmod0vcl 18131 . . . . . . . . 9 |- ( S e. LMod -> ( 0g ` S ) e. ( Base ` S ) )
5312, 50, 523syl 18 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( 0g ` S ) e. ( Base ` S ) )
54 lmghm 18265 . . . . . . . . . . 11 |- ( F e. ( S LMHom T ) -> F e. ( S GrpHom T ) )
5554ad2antlr 738 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> F e. ( S GrpHom T ) )
5651, 33ghmid 16900 . . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> ( F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) )
5755, 56syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) )
5836a1i 11 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> 1 e. RR+ )
59 blcntr 21439 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) e. ( *Met ` ( Base ` T ) ) /\ ( 0g ` T ) e. ( Base ` T ) /\ 1 e. RR+ ) -> ( 0g ` T ) e. ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) )
6031, 35, 58, 59syl3anc 1271 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( 0g ` T ) e. ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) )
6157, 60eqeltrd 2530 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( F ` ( 0g ` S ) ) e. ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) )
6217, 28lmhmf 18268 . . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( S LMHom T ) -> F : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) )
6362ad2antlr 738 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> F : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) )
64 ffn 5711 . . . . . . . . 9 |- ( F : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) -> F Fn ( Base ` S ) )
65 elpreima 5986 . . . . . . . . 9 |- ( F Fn ( Base ` S ) -> ( ( 0g ` S ) e. ( `' F " ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) <-> ( ( 0g ` S ) e. ( Base ` S ) /\ ( F ` ( 0g ` S ) ) e. ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) ) )
6663, 64, 653syl 18 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( ( 0g ` S ) e. ( `' F " ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) <-> ( ( 0g ` S ) e. ( Base ` S ) /\ ( F ` ( 0g ` S ) ) e. ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) ) )
6753, 61, 66mpbir2and 933 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( 0g ` S ) e. ( `' F " ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) )
68 eqid 2452 . . . . . . . 8 |- ( MetOpen ` ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) )
6968mopni2 21519 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) e. ( *Met ` ( Base ` S ) ) /\ ( `' F " ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) e. ( MetOpen ` ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) ) /\ ( 0g ` S ) e. ( `' F " ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) ) -> E. x e. RR+ ( ( 0g ` S ) ( ball ` ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) ) x ) C_ ( `' F " ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) )
7020, 49, 67, 69syl3anc 1271 . . . . . 6 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> E. x e. RR+ ( ( 0g ` S ) ( ball ` ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) ) x ) C_ ( `' F " ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) )
71 simpl1 1012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) -> S e. (NrmMod i^i CMod ) )
721, 71sseldi 3398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) -> S e. NrmMod )
7372, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) -> S e. NrmGrp )
7473adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> S e. NrmGrp )
7574ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> S e. NrmGrp )
76 ngpgrp 21624 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( S e. NrmGrp -> S e. Grp )
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> S e. Grp )
78 simpr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> y e. ( Base ` S ) )
79 eqid 2452 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( norm ` S ) = ( norm ` S )
80 eqid 2452 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( dist ` S ) = ( dist ` S )
8179, 17, 51, 80, 18nmval2 21617 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( S e. Grp /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( norm ` S ) ` y ) = ( y ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) ( 0g ` S ) ) )
8277, 78, 81syl2anc 671 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( norm ` S ) ` y ) = ( y ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) ( 0g ` S ) ) )
8320ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) e. ( *Met ` ( Base ` S ) ) )
8453ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( 0g ` S ) e. ( Base ` S ) )
85 xmetsym 21373 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) e. ( *Met ` ( Base ` S ) ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ ( 0g ` S ) e. ( Base ` S ) ) -> ( y ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) ( 0g ` S ) ) = ( ( 0g ` S ) ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) y ) )
8683, 78, 84, 85syl3anc 1271 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( y ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) ( 0g ` S ) ) = ( ( 0g ` S ) ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) y ) )
8782, 86eqtrd 2486 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( norm ` S ) ` y ) = ( ( 0g ` S ) ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) y ) )
8887breq1d 4384 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( ( norm ` S ) ` y ) < x <-> ( ( 0g ` S ) ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) y ) < x ) )
8988biimpd 212 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( ( norm ` S ) ` y ) < x -> ( ( 0g ` S ) ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) y ) < x ) )
9063ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> F : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) )
91 elpreima 5986 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( F Fn ( Base ` S ) -> ( y e. ( `' F " ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) <-> ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) e. ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) ) )
9290, 64, 913syl 18 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( y e. ( `' F " ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) <-> ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) e. ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) ) )
9331ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) e. ( *Met ` ( Base ` T ) ) )
9435ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( 0g ` T ) e. ( Base ` T ) )
9536, 37mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> 1 e. RR* )
96 elbl 21414 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) e. ( *Met ` ( Base ` T ) ) /\ ( 0g ` T ) e. ( Base ` T ) /\ 1 e. RR* ) -> ( ( F ` y ) e. ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) <-> ( ( F ` y ) e. ( Base ` T ) /\ ( ( 0g ` T ) ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ( F ` y ) ) < 1 ) ) )
9793, 94, 95, 96syl3anc 1271 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( F ` y ) e. ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) <-> ( ( F ` y ) e. ( Base ` T ) /\ ( ( 0g ` T ) ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ( F ` y ) ) < 1 ) ) )
98 simpl2 1013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) -> T e. (NrmMod i^i CMod ) )
991, 98sseldi 3398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) -> T e. NrmMod )
10099, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) -> T e. NrmGrp )
101100adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> T e. NrmGrp )
102101ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> T e. NrmGrp )
103 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> F e. ( S LMHom T ) )
104103adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) -> F e. ( S LMHom T ) )
105104, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) -> F : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) )
106105ffvelrnda 6006 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( F ` y ) e. ( Base ` T ) )
107 eqid 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( norm ` T ) = ( norm ` T )
10828, 107nmcl 21640 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( T e. NrmGrp /\ ( F ` y ) e. ( Base ` T ) ) -> ( ( norm ` T ) ` ( F ` y ) ) e. RR )
109102, 106, 108syl2anc 671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( norm ` T ) ` ( F ` y ) ) e. RR )
110 1re 9629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. RR
111 ltle 9709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( norm ` T ) ` ( F ` y ) ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( ( norm ` T ) ` ( F ` y ) ) < 1 -> ( ( norm ` T ) ` ( F ` y ) ) <_ 1 ) )
112109, 110, 111sylancl 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( ( norm ` T ) ` ( F ` y ) ) < 1 -> ( ( norm ` T ) ` ( F ` y ) ) <_ 1 ) )
113 ngpgrp 21624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( T e. NrmGrp -> T e. Grp )
114102, 113syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> T e. Grp )
115 eqid 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( dist ` T ) = ( dist ` T )
116107, 28, 33, 115, 29nmval2 21617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( T e. Grp /\ ( F ` y ) e. ( Base ` T ) ) -> ( ( norm ` T ) ` ( F ` y ) ) = ( ( F ` y ) ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ( 0g ` T ) ) )
117114, 106, 116syl2anc 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( norm ` T ) ` ( F ` y ) ) = ( ( F ` y ) ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ( 0g ` T ) ) )
118 xmetsym 21373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) e. ( *Met ` ( Base ` T ) ) /\ ( F ` y ) e. ( Base ` T ) /\ ( 0g ` T ) e. ( Base ` T ) ) -> ( ( F ` y ) ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ( 0g ` T ) ) = ( ( 0g ` T ) ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ( F ` y ) ) )
11993, 106, 94, 118syl3anc 1271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( F ` y ) ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ( 0g ` T ) ) = ( ( 0g ` T ) ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ( F ` y ) ) )
120117, 119eqtrd 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( norm ` T ) ` ( F ` y ) ) = ( ( 0g ` T ) ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ( F ` y ) ) )
121120breq1d 4384 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( ( norm ` T ) ` ( F ` y ) ) < 1 <-> ( ( 0g ` T ) ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ( F ` y ) ) < 1 ) )
122 1red 9645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> 1 e. RR )
123 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> x e. RR+ )
124109, 122, 123lediv1d 11374 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( ( norm ` T ) ` ( F ` y ) ) <_ 1 <-> ( ( ( norm ` T ) ` ( F ` y ) ) / x ) <_ ( 1 / x ) ) )
125112, 121, 1243imtr3d 275 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( ( 0g ` T ) ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ( F ` y ) ) < 1 -> ( ( ( norm ` T ) ` ( F ` y ) ) / x ) <_ ( 1 / x ) ) )
126125adantld 473 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( ( F ` y ) e. ( Base ` T ) /\ ( ( 0g ` T ) ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ( F ` y ) ) < 1 ) -> ( ( ( norm ` T ) ` ( F ` y ) ) / x ) <_ ( 1 / x ) ) )
12797, 126sylbid 223 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( F ` y ) e. ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) -> ( ( ( norm ` T ) ` ( F ` y ) ) / x ) <_ ( 1 / x ) ) )
128127adantld 473 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) e. ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) -> ( ( ( norm ` T ) ` ( F ` y ) ) / x ) <_ ( 1 / x ) ) )
12992, 128sylbid 223 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( y e. ( `' F " ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) -> ( ( ( norm ` T ) ` ( F ` y ) ) / x ) <_ ( 1 / x ) ) )
13089, 129imim12d 77 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( ( ( 0g ` S ) ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) y ) < x -> y e. ( `' F " ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) ) -> ( ( ( norm ` S ) ` y ) < x -> ( ( ( norm ` T ) ` ( F ` y ) ) / x ) <_ ( 1 / x ) ) ) )
131130ralimdva 2786 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( A. y e. ( Base ` S ) ( ( ( 0g ` S ) ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) y ) < x -> y e. ( `' F " ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) ) -> A. y e. ( Base ` S ) ( ( ( norm ` S ) ` y ) < x -> ( ( ( norm ` T ) ` ( F ` y ) ) / x ) <_ ( 1 / x ) ) ) )
13220adantr 471 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) e. ( *Met ` ( Base ` S ) ) )
13353adantr 471 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( 0g ` S ) e. ( Base ` S ) )
134 rpxr 11299 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. RR+ -> x e. RR* )
135134adantl 472 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) -> x e. RR* )
136 blval 21412 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) e. ( *Met ` ( Base ` S ) ) /\ ( 0g ` S ) e. ( Base ` S ) /\ x e. RR* ) -> ( ( 0g ` S ) ( ball ` ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) ) x ) = { y e. ( Base ` S ) | ( ( 0g ` S ) ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) y ) < x } )
137132, 133, 135, 136syl3anc 1271 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( ( 0g ` S ) ( ball ` ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) ) x ) = { y e. ( Base ` S ) | ( ( 0g ` S ) ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) y ) < x } )
138137sseq1d 3427 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( 0g ` S ) ( ball ` ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) ) x ) C_ ( `' F " ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) <-> { y e. ( Base ` S ) | ( ( 0g ` S ) ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) y ) < x } C_ ( `' F " ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) ) )
139 rabss 3474 . . . . . . . . . 10 |- ( { y e. ( Base ` S ) | ( ( 0g ` S ) ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) y ) < x } C_ ( `' F " ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) <-> A. y e. ( Base ` S ) ( ( ( 0g ` S ) ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) y ) < x -> y e. ( `' F " ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) ) )
140138, 139syl6bb 269 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( 0g ` S ) ( ball ` ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) ) x ) C_ ( `' F " ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) <-> A. y e. ( Base ` S ) ( ( ( 0g ` S ) ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) y ) < x -> y e. ( `' F " ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) ) ) )
141 eqid 2452 . . . . . . . . . 10 |- ( S normOp T ) = ( S normOp T )
142 nmhmcn.g . . . . . . . . . 10 |- G = (Scalar ` S )
143 nmhmcn.b . . . . . . . . . 10 |- B = ( Base ` G )
14411adantr 471 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) -> S e. (NrmMod i^i CMod ) )
14522adantr 471 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) -> T e. (NrmMod i^i CMod ) )
146 rpreccl 11316 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR+ -> ( 1 / x ) e. RR+ )
147146adantl 472 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( 1 / x ) e. RR+ )
148147rpxrd 11332 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( 1 / x ) e. RR* )
149 simpr 467 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) -> x e. RR+ )
150 simpl3 1014 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) -> QQ C_ B )
151150ad2antrr 737 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) -> QQ C_ B )
152141, 17, 79, 107, 142, 143, 144, 145, 104, 148, 149, 151nmoleub2b 22143 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( S normOp T ) ` F ) <_ ( 1 / x ) <-> A. y e. ( Base ` S ) ( ( ( norm ` S ) ` y ) < x -> ( ( ( norm ` T ) ` ( F ` y ) ) / x ) <_ ( 1 / x ) ) ) )
153131, 140, 1523imtr4d 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( 0g ` S ) ( ball ` ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) ) x ) C_ ( `' F " ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) -> ( ( S normOp T ) ` F ) <_ ( 1 / x ) ) )
15474, 101, 553jca 1189 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) )
155146rpred 11331 . . . . . . . . 9 |- ( x e. RR+ -> ( 1 / x ) e. RR )
156141bddnghm 21742 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) /\ ( ( 1 / x ) e. RR /\ ( ( S normOp T ) ` F ) <_ ( 1 / x ) ) ) -> F e. ( S NGHom T ) )
157156expr 624 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) /\ ( 1 / x ) e. RR ) -> ( ( ( S normOp T ) ` F ) <_ ( 1 / x ) -> F e. ( S NGHom T ) ) )
158154, 155, 157syl2an 484 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( S normOp T ) ` F ) <_ ( 1 / x ) -> F e. ( S NGHom T ) ) )
159153, 158syld 45 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( 0g ` S ) ( ball ` ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) ) x ) C_ ( `' F " ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) -> F e. ( S NGHom T ) ) )
160159rexlimdva 2852 . . . . . 6 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( E. x e. RR+ ( ( 0g ` S ) ( ball ` ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) ) x ) C_ ( `' F " ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) -> F e. ( S NGHom T ) ) )
16170, 160mpd 15 . . . . 5 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> F e. ( S NGHom T ) )
162161ex 440 . . . 4 |- ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) -> F e. ( S NGHom T ) ) )
16310, 162impbid2 209 . . 3 |- ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) -> ( F e. ( S NGHom T ) <-> F e. ( J Cn K ) ) )
164163pm5.32da 651 . 2 |- ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) -> ( ( F e. ( S LMHom T ) /\ F e. ( S NGHom T ) ) <-> ( F e. ( S LMHom T ) /\ F e. ( J Cn K ) ) ) )
1657, 164bitrd 261 1 |- ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) -> ( F e. ( S NMHom T ) <-> ( F e. ( S LMHom T ) /\ F e. ( J Cn K ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   /\ w3a 986   = wceq 1448   e. wcel 1891   A.wral 2737   E.wrex 2738   {crab 2741   i^i cin 3371   C_ wss 3372   class class class wbr 4374   X. cxp 4810   `'ccnv 4811   |` cres 4814   "cima 4815   Fn wfn 5556   -->wf 5557   ` cfv 5561  (class class class)co 6276   RRcr 9525   1c1 9527   RR*cxr 9661   < clt 9662   <_ cle 9663   / cdiv 10258   QQcq 11254   RR+crp 11292   Basecbs 15132  Scalarcsca 15204   distcds 15210   TopOpenctopn 15331   0gc0g 15349   Grpcgrp 16680   GrpHom cghm 16891   LModclmod 18102   LMHom clmhm 18253   *Metcxmt 18966   ballcbl 18968   MetOpencmopn 18971   Cn ccn 20251   *MetSpcxme 21343   MetSpcmt 21344   normcnm 21602  NrmGrpcngp 21603  NrmModcnlm 21606   normOpcnmo 21717   NGHom cnghm 21719   NMHom cnmhm 21721  CModcclm 22104
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1673  ax-4 1686  ax-5 1762  ax-6 1809  ax-7 1855  ax-8 1893  ax-9 1900  ax-10 1919  ax-11 1924  ax-12 1937  ax-13 2092  ax-ext 2432  ax-rep 4487  ax-sep 4497  ax-nul 4506  ax-pow 4554  ax-pr 4612  ax-un 6571  ax-cnex 9582  ax-resscn 9583  ax-1cn 9584  ax-icn 9585  ax-addcl 9586  ax-addrcl 9587  ax-mulcl 9588  ax-mulrcl 9589  ax-mulcom 9590  ax-addass 9591  ax-mulass 9592  ax-distr 9593  ax-i2m1 9594  ax-1ne0 9595  ax-1rid 9596  ax-rnegex 9597  ax-rrecex 9598  ax-cnre 9599  ax-pre-lttri 9600  ax-pre-lttrn 9601  ax-pre-ltadd 9602  ax-pre-mulgt0 9603  ax-pre-sup 9604  ax-addf 9605  ax-mulf 9606
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1451  df-ex 1668  df-nf 1672  df-sb 1802  df-eu 2304  df-mo 2305  df-clab 2439  df-cleq 2445  df-clel 2448  df-nfc 2582  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3015  df-sbc 3236  df-csb 3332  df-dif 3375  df-un 3377  df-in 3379  df-ss 3386  df-pss 3388  df-nul 3700  df-if 3850  df-pw 3921  df-sn 3937  df-pr 3939  df-tp 3941  df-op 3943  df-uni 4169  df-int 4205  df-iun 4250  df-br 4375  df-opab 4434  df-mpt 4435  df-tr 4470  df-eprel 4723  df-id 4727  df-po 4733  df-so 4734  df-fr 4771  df-we 4773  df-xp 4818  df-rel 4819  df-cnv 4820  df-co 4821  df-dm 4822  df-rn 4823  df-res 4824  df-ima 4825  df-pred 5359  df-ord 5405  df-on 5406  df-lim 5407  df-suc 5408  df-iota 5525  df-fun 5563  df-fn 5564  df-f 5565  df-f1 5566  df-fo 5567  df-f1o 5568  df-fv 5569  df-riota 6238  df-ov 6279  df-oprab 6280  df-mpt2 6281  df-om 6681  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-oadd 7173  df-er 7350  df-map 7461  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-sup 7943  df-inf 7944  df-pnf 9664  df-mnf 9665  df-xr 9666  df-ltxr 9667  df-le 9668  df-sub 9849  df-neg 9850  df-div 10259  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-4 10659  df-5 10660  df-6 10661  df-7 10662  df-8 10663  df-9 10664  df-10 10665  df-n0 10860  df-z 10928  df-dec 11042  df-uz 11150  df-q 11255  df-rp 11293  df-xneg 11399  df-xadd 11400  df-xmul 11401  df-ico 11631  df-fz 11776  df-seq 12208  df-exp 12267  df-cj 13173  df-re 13174  df-im 13175  df-sqrt 13309  df-abs 13310  df-struct 15134  df-ndx 15135  df-slot 15136  df-base 15137  df-sets 15138  df-ress 15139  df-plusg 15214  df-mulr 15215  df-starv 15216  df-tset 15220  df-ple 15221  df-ds 15223  df-unif 15224  df-0g 15351  df-topgen 15353  df-mgm 16499  df-sgrp 16538  df-mnd 16548  df-grp 16684  df-minusg 16685  df-sbg 16686  df-subg 16825  df-ghm 16892  df-cmn 17443  df-mgp 17735  df-ring 17793  df-cring 17794  df-subrg 18017  df-lmod 18104  df-lmhm 18256  df-psmet 18973  df-xmet 18974  df-met 18975  df-bl 18976  df-mopn 18977  df-cnfld 18982  df-top 19932  df-bases 19933  df-topon 19934  df-topsp 19935  df-cn 20254  df-cnp 20255  df-xms 21346  df-ms 21347  df-nm 21608  df-ngp 21609  df-nlm 21612  df-nmo 21722  df-nghm 21724  df-nmhm 21726  df-clm 22105
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