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Theorem nmhmcn 21366
Description: A linear operator over a normed complex module is bounded iff it is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmhmcn.j  |-  J  =  ( TopOpen `  S )
nmhmcn.k  |-  K  =  ( TopOpen `  T )
nmhmcn.g  |-  G  =  (Scalar `  S )
nmhmcn.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
nmhmcn  |-  ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  ->  ( F  e.  ( S NMHom  T )  <->  ( F  e.  ( S LMHom  T )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) ) ) )

Proof of Theorem nmhmcn
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3718 . . . . 5  |-  (NrmMod  i^i CMod ) 
C_ NrmMod
21sseli 3500 . . . 4  |-  ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  ->  S  e. NrmMod )
31sseli 3500 . . . 4  |-  ( T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  ->  T  e. NrmMod )
4 isnmhm 21016 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( S NMHom  T
)  <->  ( ( S  e. NrmMod  /\  T  e. NrmMod )  /\  ( F  e.  ( S LMHom  T )  /\  F  e.  ( S NGHom  T ) ) ) )
54baib 901 . . . 4  |-  ( ( S  e. NrmMod  /\  T  e. NrmMod
)  ->  ( F  e.  ( S NMHom  T )  <-> 
( F  e.  ( S LMHom  T )  /\  F  e.  ( S NGHom  T ) ) ) )
62, 3, 5syl2an 477 . . 3  |-  ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod ) )  ->  ( F  e.  ( S NMHom  T )  <->  ( F  e.  ( S LMHom  T )  /\  F  e.  ( S NGHom  T ) ) ) )
763adant3 1016 . 2  |-  ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  ->  ( F  e.  ( S NMHom  T )  <->  ( F  e.  ( S LMHom  T )  /\  F  e.  ( S NGHom  T ) ) ) )
8 nmhmcn.j . . . . 5  |-  J  =  ( TopOpen `  S )
9 nmhmcn.k . . . . 5  |-  K  =  ( TopOpen `  T )
108, 9nghmcn 21015 . . . 4  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
11 simpll1 1035 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  S  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
121, 11sseldi 3502 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  S  e. NrmMod )
13 nlmngp 20949 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e. NrmMod  ->  S  e. NrmGrp )
14 ngpms 20883 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  S  e.  MetSp )
1512, 13, 143syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  S  e.  MetSp )
16 msxms 20720 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  MetSp  ->  S  e.  *MetSp )
17 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
18 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) )  =  ( ( dist `  S )  |`  (
( Base `  S )  X.  ( Base `  S
) ) )
1917, 18xmsxmet 20722 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  *MetSp  ->  (
( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) )  e.  ( *Met `  ( Base `  S
) ) )
2015, 16, 193syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  (
( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) )  e.  ( *Met `  ( Base `  S
) ) )
21 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
22 simpll2 1036 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  T  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
231, 22sseldi 3502 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  T  e. NrmMod )
24 nlmngp 20949 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e. NrmMod  ->  T  e. NrmGrp )
25 ngpms 20883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e. NrmGrp  ->  T  e.  MetSp )
2623, 24, 253syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  T  e.  MetSp )
27 msxms 20720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  MetSp  ->  T  e.  *MetSp )
28 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  T )  =  (
Base `  T )
29 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) )  =  ( ( dist `  T )  |`  (
( Base `  T )  X.  ( Base `  T
) ) )
3028, 29xmsxmet 20722 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  *MetSp  ->  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) )  e.  ( *Met `  ( Base `  T
) ) )
3126, 27, 303syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) )  e.  ( *Met `  ( Base `  T
) ) )
32 nlmlmod 20950 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e. NrmMod  ->  T  e.  LMod )
33 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0g
`  T )  =  ( 0g `  T
)
3428, 33lmod0vcl 17341 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  LMod  ->  ( 0g
`  T )  e.  ( Base `  T
) )
3523, 32, 343syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( 0g `  T )  e.  ( Base `  T
) )
36 1rp 11224 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR+
37 rpxr 11227 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  RR+  ->  1  e. 
RR* )
3836, 37mp1i 12 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  1  e.  RR* )
39 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( MetOpen `  ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) )  =  (
MetOpen `  ( ( dist `  T )  |`  (
( Base `  T )  X.  ( Base `  T
) ) ) )
4039blopn 20766 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) )  e.  ( *Met `  ( Base `  T ) )  /\  ( 0g `  T )  e.  ( Base `  T
)  /\  1  e.  RR* )  ->  ( ( 0g `  T ) (
ball `  ( ( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 )  e.  ( MetOpen `  ( ( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) )
4131, 35, 38, 40syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  (
( 0g `  T
) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 )  e.  ( MetOpen `  ( ( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) )
429, 28, 29mstopn 20718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  MetSp  ->  K  =  ( MetOpen `  ( ( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) )
4323, 24, 25, 424syl 21 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  K  =  ( MetOpen `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) )
4441, 43eleqtrrd 2558 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  (
( 0g `  T
) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 )  e.  K )
45 cnima 19560 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  ( ( 0g `  T ) ( ball `  ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 )  e.  K )  -> 
( `' F "
( ( 0g `  T ) ( ball `  ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )  e.  J )
4621, 44, 45syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( `' F " ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )  e.  J )
478, 17, 18mstopn 20718 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  MetSp  ->  J  =  ( MetOpen `  ( ( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) ) )
4812, 13, 14, 474syl 21 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  J  =  ( MetOpen `  (
( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) ) )
4946, 48eleqtrd 2557 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( `' F " ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )  e.  ( MetOpen `  (
( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) ) )
50 nlmlmod 20950 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e. NrmMod  ->  S  e.  LMod )
51 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
5217, 51lmod0vcl 17341 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  LMod  ->  ( 0g
`  S )  e.  ( Base `  S
) )
5312, 50, 523syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( 0g `  S )  e.  ( Base `  S
) )
54 lmghm 17477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )
5554ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )
5651, 33ghmid 16078 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  ( F `  ( 0g `  S
) )  =  ( 0g `  T ) )
5755, 56syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( F `  ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  T
) )
5836a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  1  e.  RR+ )
59 blcntr 20679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) )  e.  ( *Met `  ( Base `  T ) )  /\  ( 0g `  T )  e.  ( Base `  T
)  /\  1  e.  RR+ )  ->  ( 0g `  T )  e.  ( ( 0g `  T
) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )
6031, 35, 58, 59syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( 0g `  T )  e.  ( ( 0g `  T ) ( ball `  ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )
6157, 60eqeltrd 2555 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( F `  ( 0g `  S ) )  e.  ( ( 0g `  T ) ( ball `  ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )
6217, 28lmhmf 17480 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  F :
( Base `  S ) --> ( Base `  T )
)
6362ad2antlr 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  F : ( Base `  S
) --> ( Base `  T
) )
64 ffn 5731 . . . . . . . . 9  |-  ( F : ( Base `  S
) --> ( Base `  T
)  ->  F  Fn  ( Base `  S )
)
65 elpreima 6001 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  ( Base `  S
)  ->  ( ( 0g `  S )  e.  ( `' F "
( ( 0g `  T ) ( ball `  ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )  <->  ( ( 0g
`  S )  e.  ( Base `  S
)  /\  ( F `  ( 0g `  S
) )  e.  ( ( 0g `  T
) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) ) ) )
6663, 64, 653syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  (
( 0g `  S
)  e.  ( `' F " ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )  <-> 
( ( 0g `  S )  e.  (
Base `  S )  /\  ( F `  ( 0g `  S ) )  e.  ( ( 0g
`  T ) (
ball `  ( ( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) ) ) )
6753, 61, 66mpbir2and 920 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( 0g `  S )  e.  ( `' F "
( ( 0g `  T ) ( ball `  ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) ) )
68 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( MetOpen `  ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) )  =  (
MetOpen `  ( ( dist `  S )  |`  (
( Base `  S )  X.  ( Base `  S
) ) ) )
6968mopni2 20759 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) )  e.  ( *Met `  ( Base `  S ) )  /\  ( `' F " ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )  e.  ( MetOpen `  (
( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) )  /\  ( 0g
`  S )  e.  ( `' F "
( ( 0g `  T ) ( ball `  ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  ( ( 0g
`  S ) (
ball `  ( ( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) ) x )  C_  ( `' F " ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) ) )
7020, 49, 67, 69syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  E. x  e.  RR+  ( ( 0g
`  S ) (
ball `  ( ( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) ) x )  C_  ( `' F " ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) ) )
71 simpl1 999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( S  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  ->  S  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
721, 71sseldi 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( S  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  ->  S  e. NrmMod )
7372, 13syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( S  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  ->  S  e. NrmGrp )
7473adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  S  e. NrmGrp )
7574ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  S  e. NrmGrp )
76 ngpgrp 20882 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  S  e.  Grp )
7775, 76syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  S  e.  Grp )
78 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  y  e.  ( Base `  S
) )
79 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( norm `  S )  =  (
norm `  S )
80 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( dist `  S )  =  (
dist `  S )
8179, 17, 51, 80, 18nmval2 20875 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  e.  Grp  /\  y  e.  ( Base `  S ) )  -> 
( ( norm `  S
) `  y )  =  ( y ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) ( 0g `  S ) ) )
8277, 78, 81syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( norm `  S ) `  y )  =  ( y ( ( dist `  S )  |`  (
( Base `  S )  X.  ( Base `  S
) ) ) ( 0g `  S ) ) )
8320ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) )  e.  ( *Met `  ( Base `  S
) ) )
8453ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  ( 0g `  S )  e.  ( Base `  S
) )
85 xmetsym 20613 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) )  e.  ( *Met `  ( Base `  S ) )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  ( 0g `  S )  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
y ( ( dist `  S )  |`  (
( Base `  S )  X.  ( Base `  S
) ) ) ( 0g `  S ) )  =  ( ( 0g `  S ) ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) y ) )
8683, 78, 84, 85syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
y ( ( dist `  S )  |`  (
( Base `  S )  X.  ( Base `  S
) ) ) ( 0g `  S ) )  =  ( ( 0g `  S ) ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) y ) )
8782, 86eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( norm `  S ) `  y )  =  ( ( 0g `  S
) ( ( dist `  S )  |`  (
( Base `  S )  X.  ( Base `  S
) ) ) y ) )
8887breq1d 4457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( ( norm `  S
) `  y )  <  x  <->  ( ( 0g
`  S ) ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) y )  < 
x ) )
8988biimpd 207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( ( norm `  S
) `  y )  <  x  ->  ( ( 0g `  S ) ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) y )  < 
x ) )
9063ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  F : ( Base `  S
) --> ( Base `  T
) )
91 elpreima 6001 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  Fn  ( Base `  S
)  ->  ( y  e.  ( `' F "
( ( 0g `  T ) ( ball `  ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )  <->  ( y  e.  ( Base `  S
)  /\  ( F `  y )  e.  ( ( 0g `  T
) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) ) ) )
9290, 64, 913syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
y  e.  ( `' F " ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )  <-> 
( y  e.  (
Base `  S )  /\  ( F `  y
)  e.  ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) ) ) )
9331ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) )  e.  ( *Met `  ( Base `  T
) ) )
9435ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  ( 0g `  T )  e.  ( Base `  T
) )
9536, 37mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  1  e.  RR* )
96 elbl 20654 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) )  e.  ( *Met `  ( Base `  T ) )  /\  ( 0g `  T )  e.  ( Base `  T
)  /\  1  e.  RR* )  ->  ( ( F `  y )  e.  ( ( 0g `  T ) ( ball `  ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 )  <-> 
( ( F `  y )  e.  (
Base `  T )  /\  ( ( 0g `  T ) ( (
dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y
) )  <  1
) ) )
9793, 94, 95, 96syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( F `  y
)  e.  ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 )  <->  ( ( F `  y )  e.  ( Base `  T
)  /\  ( ( 0g `  T ) ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y ) )  <  1 ) ) )
98 simpl2 1000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( S  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  ->  T  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
991, 98sseldi 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( S  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  ->  T  e. NrmMod )
10099, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( S  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  ->  T  e. NrmGrp )
101100adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  T  e. NrmGrp )
102101ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  T  e. NrmGrp )
103 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  F  e.  ( S LMHom  T ) )
104103adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  F  e.  ( S LMHom  T ) )
105104, 62syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  F :
( Base `  S ) --> ( Base `  T )
)
106105ffvelrnda 6021 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  ( F `  y )  e.  ( Base `  T
) )
107 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( norm `  T )  =  (
norm `  T )
10828, 107nmcl 20898 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( T  e. NrmGrp  /\  ( F `  y )  e.  ( Base `  T
) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( F `  y
) )  e.  RR )
109102, 106, 108syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( F `  y
) )  e.  RR )
110 1re 9595 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  RR
111 ltle 9673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( norm `  T
) `  ( F `  y ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( ( norm `  T
) `  ( F `  y ) )  <  1  ->  ( ( norm `  T ) `  ( F `  y ) )  <_  1 ) )
112109, 110, 111sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( ( norm `  T
) `  ( F `  y ) )  <  1  ->  ( ( norm `  T ) `  ( F `  y ) )  <_  1 ) )
113 ngpgrp 20882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( T  e. NrmGrp  ->  T  e.  Grp )
114102, 113syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  T  e.  Grp )
115 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( dist `  T )  =  (
dist `  T )
116107, 28, 33, 115, 29nmval2 20875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( T  e.  Grp  /\  ( F `  y )  e.  ( Base `  T
) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( F `  y
) )  =  ( ( F `  y
) ( ( dist `  T )  |`  (
( Base `  T )  X.  ( Base `  T
) ) ) ( 0g `  T ) ) )
117114, 106, 116syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( F `  y
) )  =  ( ( F `  y
) ( ( dist `  T )  |`  (
( Base `  T )  X.  ( Base `  T
) ) ) ( 0g `  T ) ) )
118 xmetsym 20613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) )  e.  ( *Met `  ( Base `  T ) )  /\  ( F `  y )  e.  ( Base `  T
)  /\  ( 0g `  T )  e.  (
Base `  T )
)  ->  ( ( F `  y )
( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ( 0g `  T ) )  =  ( ( 0g `  T ) ( (
dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y
) ) )
11993, 106, 94, 118syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( F `  y
) ( ( dist `  T )  |`  (
( Base `  T )  X.  ( Base `  T
) ) ) ( 0g `  T ) )  =  ( ( 0g `  T ) ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y ) ) )
120117, 119eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( F `  y
) )  =  ( ( 0g `  T
) ( ( dist `  T )  |`  (
( Base `  T )  X.  ( Base `  T
) ) ) ( F `  y ) ) )
121120breq1d 4457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( ( norm `  T
) `  ( F `  y ) )  <  1  <->  ( ( 0g
`  T ) ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y ) )  <  1 ) )
122 1red 9611 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  1  e.  RR )
123 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  x  e.  RR+ )
124109, 122, 123lediv1d 11298 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( ( norm `  T
) `  ( F `  y ) )  <_ 
1  <->  ( ( (
norm `  T ) `  ( F `  y
) )  /  x
)  <_  ( 1  /  x ) ) )
125112, 121, 1243imtr3d 267 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( ( 0g `  T ) ( (
dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y
) )  <  1  ->  ( ( ( norm `  T ) `  ( F `  y )
)  /  x )  <_  ( 1  /  x ) ) )
126125adantld 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( ( F `  y )  e.  (
Base `  T )  /\  ( ( 0g `  T ) ( (
dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y
) )  <  1
)  ->  ( (
( norm `  T ) `  ( F `  y
) )  /  x
)  <_  ( 1  /  x ) ) )
12797, 126sylbid 215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( F `  y
)  e.  ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 )  -> 
( ( ( norm `  T ) `  ( F `  y )
)  /  x )  <_  ( 1  /  x ) ) )
128127adantld 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( y  e.  (
Base `  S )  /\  ( F `  y
)  e.  ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )  ->  ( ( (
norm `  T ) `  ( F `  y
) )  /  x
)  <_  ( 1  /  x ) ) )
12992, 128sylbid 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
y  e.  ( `' F " ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )  ->  ( ( (
norm `  T ) `  ( F `  y
) )  /  x
)  <_  ( 1  /  x ) ) )
13089, 129imim12d 74 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( ( ( 0g
`  S ) ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) y )  < 
x  ->  y  e.  ( `' F " ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) ) )  ->  ( (
( norm `  S ) `  y )  <  x  ->  ( ( ( norm `  T ) `  ( F `  y )
)  /  x )  <_  ( 1  /  x ) ) ) )
131130ralimdva 2872 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A. y  e.  ( Base `  S ) ( ( ( 0g `  S
) ( ( dist `  S )  |`  (
( Base `  S )  X.  ( Base `  S
) ) ) y )  <  x  -> 
y  e.  ( `' F " ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) ) )  ->  A. y  e.  ( Base `  S
) ( ( (
norm `  S ) `  y )  <  x  ->  ( ( ( norm `  T ) `  ( F `  y )
)  /  x )  <_  ( 1  /  x ) ) ) )
13220adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) )  e.  ( *Met `  ( Base `  S
) ) )
13353adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 0g
`  S )  e.  ( Base `  S
) )
134 rpxr 11227 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e. 
RR* )
135134adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e. 
RR* )
136 blval 20652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) )  e.  ( *Met `  ( Base `  S ) )  /\  ( 0g `  S )  e.  ( Base `  S
)  /\  x  e.  RR* )  ->  ( ( 0g `  S ) (
ball `  ( ( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) ) x )  =  { y  e.  (
Base `  S )  |  ( ( 0g
`  S ) ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) y )  < 
x } )
137132, 133, 135, 136syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( 0g `  S ) ( ball `  (
( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) ) x )  =  { y  e.  (
Base `  S )  |  ( ( 0g
`  S ) ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) y )  < 
x } )
138137sseq1d 3531 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( 0g `  S
) ( ball `  (
( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) ) x )  C_  ( `' F " ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )  <->  { y  e.  (
Base `  S )  |  ( ( 0g
`  S ) ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) y )  < 
x }  C_  ( `' F " ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) ) ) )
139 rabss 3577 . . . . . . . . . 10  |-  ( { y  e.  ( Base `  S )  |  ( ( 0g `  S
) ( ( dist `  S )  |`  (
( Base `  S )  X.  ( Base `  S
) ) ) y )  <  x }  C_  ( `' F "
( ( 0g `  T ) ( ball `  ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )  <->  A. y  e.  (
Base `  S )
( ( ( 0g
`  S ) ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) y )  < 
x  ->  y  e.  ( `' F " ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) ) ) )
140138, 139syl6bb 261 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( 0g `  S
) ( ball `  (
( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) ) x )  C_  ( `' F " ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )  <->  A. y  e.  ( Base `  S ) ( ( ( 0g `  S ) ( (
dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) y )  <  x  ->  y  e.  ( `' F " ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) ) ) ) )
141 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( S
normOp T )  =  ( S normOp T )
142 nmhmcn.g . . . . . . . . . 10  |-  G  =  (Scalar `  S )
143 nmhmcn.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  G
)
14411adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  S  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
14522adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  T  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
146 rpreccl 11243 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( 1  /  x )  e.  RR+ )
147146adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  x )  e.  RR+ )
148147rpxrd 11257 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  x )  e. 
RR* )
149 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
150 simpl3 1001 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  ->  QQ  C_  B
)
151150ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  QQ  C_  B )
152141, 17, 79, 107, 142, 143, 144, 145, 104, 148, 149, 151nmoleub2b 21364 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( S normOp T ) `
 F )  <_ 
( 1  /  x
)  <->  A. y  e.  (
Base `  S )
( ( ( norm `  S ) `  y
)  <  x  ->  ( ( ( norm `  T
) `  ( F `  y ) )  /  x )  <_  (
1  /  x ) ) ) )
153131, 140, 1523imtr4d 268 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( 0g `  S
) ( ball `  (
( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) ) x )  C_  ( `' F " ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )  ->  ( ( S
normOp T ) `  F
)  <_  ( 1  /  x ) ) )
15474, 101, 553jca 1176 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) ) )
155146rpred 11256 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( 1  /  x )  e.  RR )
156141bddnghm 20996 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  ( ( 1  /  x )  e.  RR  /\  ( ( S normOp T ) `  F )  <_  (
1  /  x ) ) )  ->  F  e.  ( S NGHom  T ) )
157156expr 615 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  ( 1  /  x )  e.  RR )  ->  ( ( ( S normOp T ) `  F )  <_  (
1  /  x )  ->  F  e.  ( S NGHom  T ) ) )
158154, 155, 157syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( S normOp T ) `
 F )  <_ 
( 1  /  x
)  ->  F  e.  ( S NGHom  T ) ) )
159153, 158syld 44 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( 0g `  S
) ( ball `  (
( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) ) x )  C_  ( `' F " ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )  ->  F  e.  ( S NGHom  T ) ) )
160159rexlimdva 2955 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( E. x  e.  RR+  (
( 0g `  S
) ( ball `  (
( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) ) x )  C_  ( `' F " ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )  ->  F  e.  ( S NGHom  T ) ) )
16170, 160mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  F  e.  ( S NGHom  T ) )
162161ex 434 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  ->  F  e.  ( S NGHom  T ) ) )
16310, 162impbid2 204 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  ->  ( F  e.  ( S NGHom  T )  <-> 
F  e.  ( J  Cn  K ) ) )
164163pm5.32da 641 . 2  |-  ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  ->  (
( F  e.  ( S LMHom  T )  /\  F  e.  ( S NGHom  T ) )  <->  ( F  e.  ( S LMHom  T )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) ) ) )
1657, 164bitrd 253 1  |-  ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  ->  ( F  e.  ( S NMHom  T )  <->  ( F  e.  ( S LMHom  T )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818    i^i cin 3475    C_ wss 3476   class class class wbr 4447    X. cxp 4997   `'ccnv 4998    |` cres 5001   "cima 5002    Fn wfn 5583   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   RRcr 9491   1c1 9493   RR*cxr 9627    < clt 9628    <_ cle 9629    / cdiv 10206   QQcq 11182   RR+crp 11220   Basecbs 14490  Scalarcsca 14558   distcds 14564   TopOpenctopn 14677   0gc0g 14695   Grpcgrp 15727    GrpHom cghm 16069   LModclmod 17312   LMHom clmhm 17465   *Metcxmt 18202   ballcbl 18204   MetOpencmopn 18207    Cn ccn 19519   *MetSpcxme 20583   MetSpcmt 20584   normcnm 20860  NrmGrpcngp 20861  NrmModcnlm 20864   normOpcnmo 20975   NGHom cnghm 20976   NMHom cnmhm 20977  CModcclm 21325
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-sup 7901  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-ico 11535  df-fz 11673  df-seq 12076  df-exp 12135  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-0g 14697  df-topgen 14699  df-mnd 15732  df-grp 15867  df-minusg 15868  df-sbg 15869  df-subg 16003  df-ghm 16070  df-cmn 16606  df-mgp 16944  df-rng 17002  df-cring 17003  df-subrg 17227  df-lmod 17314  df-lmhm 17468  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-cnfld 18220  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-topsp 19198  df-cn 19522  df-cnp 19523  df-xms 20586  df-ms 20587  df-nm 20866  df-ngp 20867  df-nlm 20870  df-nmo 20978  df-nghm 20979  df-nmhm 20980  df-clm 21326
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