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Theorem nmhmcn 20697
Description: A linear operator over a normed complex module is bounded iff it is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmhmcn.j  |-  J  =  ( TopOpen `  S )
nmhmcn.k  |-  K  =  ( TopOpen `  T )
nmhmcn.g  |-  G  =  (Scalar `  S )
nmhmcn.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
nmhmcn  |-  ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  ->  ( F  e.  ( S NMHom  T )  <->  ( F  e.  ( S LMHom  T )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) ) ) )

Proof of Theorem nmhmcn
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3591 . . . . 5  |-  (NrmMod  i^i CMod ) 
C_ NrmMod
21sseli 3373 . . . 4  |-  ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  ->  S  e. NrmMod )
31sseli 3373 . . . 4  |-  ( T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  ->  T  e. NrmMod )
4 isnmhm 20347 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( S NMHom  T
)  <->  ( ( S  e. NrmMod  /\  T  e. NrmMod )  /\  ( F  e.  ( S LMHom  T )  /\  F  e.  ( S NGHom  T ) ) ) )
54baib 896 . . . 4  |-  ( ( S  e. NrmMod  /\  T  e. NrmMod
)  ->  ( F  e.  ( S NMHom  T )  <-> 
( F  e.  ( S LMHom  T )  /\  F  e.  ( S NGHom  T ) ) ) )
62, 3, 5syl2an 477 . . 3  |-  ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod ) )  ->  ( F  e.  ( S NMHom  T )  <->  ( F  e.  ( S LMHom  T )  /\  F  e.  ( S NGHom  T ) ) ) )
763adant3 1008 . 2  |-  ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  ->  ( F  e.  ( S NMHom  T )  <->  ( F  e.  ( S LMHom  T )  /\  F  e.  ( S NGHom  T ) ) ) )
8 nmhmcn.j . . . . 5  |-  J  =  ( TopOpen `  S )
9 nmhmcn.k . . . . 5  |-  K  =  ( TopOpen `  T )
108, 9nghmcn 20346 . . . 4  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
11 simpll1 1027 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  S  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
121, 11sseldi 3375 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  S  e. NrmMod )
13 nlmngp 20280 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e. NrmMod  ->  S  e. NrmGrp )
14 ngpms 20214 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  S  e.  MetSp )
1512, 13, 143syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  S  e.  MetSp )
16 msxms 20051 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  MetSp  ->  S  e.  *MetSp )
17 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
18 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( (
dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) )  =  ( ( dist `  S )  |`  (
( Base `  S )  X.  ( Base `  S
) ) )
1917, 18xmsxmet 20053 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  *MetSp  ->  (
( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) )  e.  ( *Met `  ( Base `  S
) ) )
2015, 16, 193syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  (
( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) )  e.  ( *Met `  ( Base `  S
) ) )
21 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
22 simpll2 1028 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  T  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
231, 22sseldi 3375 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  T  e. NrmMod )
24 nlmngp 20280 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e. NrmMod  ->  T  e. NrmGrp )
25 ngpms 20214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e. NrmGrp  ->  T  e.  MetSp )
2623, 24, 253syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  T  e.  MetSp )
27 msxms 20051 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  MetSp  ->  T  e.  *MetSp )
28 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  T )  =  (
Base `  T )
29 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) )  =  ( ( dist `  T )  |`  (
( Base `  T )  X.  ( Base `  T
) ) )
3028, 29xmsxmet 20053 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  *MetSp  ->  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) )  e.  ( *Met `  ( Base `  T
) ) )
3126, 27, 303syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) )  e.  ( *Met `  ( Base `  T
) ) )
32 nlmlmod 20281 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e. NrmMod  ->  T  e.  LMod )
33 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0g
`  T )  =  ( 0g `  T
)
3428, 33lmod0vcl 16999 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  LMod  ->  ( 0g
`  T )  e.  ( Base `  T
) )
3523, 32, 343syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( 0g `  T )  e.  ( Base `  T
) )
36 1rp 11016 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR+
37 rpxr 11019 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  RR+  ->  1  e. 
RR* )
3836, 37mp1i 12 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  1  e.  RR* )
39 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( MetOpen `  ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) )  =  (
MetOpen `  ( ( dist `  T )  |`  (
( Base `  T )  X.  ( Base `  T
) ) ) )
4039blopn 20097 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) )  e.  ( *Met `  ( Base `  T ) )  /\  ( 0g `  T )  e.  ( Base `  T
)  /\  1  e.  RR* )  ->  ( ( 0g `  T ) (
ball `  ( ( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 )  e.  ( MetOpen `  ( ( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) )
4131, 35, 38, 40syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  (
( 0g `  T
) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 )  e.  ( MetOpen `  ( ( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) )
429, 28, 29mstopn 20049 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  MetSp  ->  K  =  ( MetOpen `  ( ( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) )
4323, 24, 25, 424syl 21 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  K  =  ( MetOpen `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) )
4441, 43eleqtrrd 2520 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  (
( 0g `  T
) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 )  e.  K )
45 cnima 18891 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  ( ( 0g `  T ) ( ball `  ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 )  e.  K )  -> 
( `' F "
( ( 0g `  T ) ( ball `  ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )  e.  J )
4621, 44, 45syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( `' F " ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )  e.  J )
478, 17, 18mstopn 20049 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  MetSp  ->  J  =  ( MetOpen `  ( ( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) ) )
4812, 13, 14, 474syl 21 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  J  =  ( MetOpen `  (
( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) ) )
4946, 48eleqtrd 2519 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( `' F " ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )  e.  ( MetOpen `  (
( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) ) )
50 nlmlmod 20281 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e. NrmMod  ->  S  e.  LMod )
51 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
5217, 51lmod0vcl 16999 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  LMod  ->  ( 0g
`  S )  e.  ( Base `  S
) )
5312, 50, 523syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( 0g `  S )  e.  ( Base `  S
) )
54 lmghm 17134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )
5554ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )
5651, 33ghmid 15774 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  ( F `  ( 0g `  S
) )  =  ( 0g `  T ) )
5755, 56syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( F `  ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  T
) )
5836a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  1  e.  RR+ )
59 blcntr 20010 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) )  e.  ( *Met `  ( Base `  T ) )  /\  ( 0g `  T )  e.  ( Base `  T
)  /\  1  e.  RR+ )  ->  ( 0g `  T )  e.  ( ( 0g `  T
) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )
6031, 35, 58, 59syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( 0g `  T )  e.  ( ( 0g `  T ) ( ball `  ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )
6157, 60eqeltrd 2517 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( F `  ( 0g `  S ) )  e.  ( ( 0g `  T ) ( ball `  ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )
6217, 28lmhmf 17137 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  F :
( Base `  S ) --> ( Base `  T )
)
6362ad2antlr 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  F : ( Base `  S
) --> ( Base `  T
) )
64 ffn 5580 . . . . . . . . 9  |-  ( F : ( Base `  S
) --> ( Base `  T
)  ->  F  Fn  ( Base `  S )
)
65 elpreima 5844 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  ( Base `  S
)  ->  ( ( 0g `  S )  e.  ( `' F "
( ( 0g `  T ) ( ball `  ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )  <->  ( ( 0g
`  S )  e.  ( Base `  S
)  /\  ( F `  ( 0g `  S
) )  e.  ( ( 0g `  T
) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) ) ) )
6663, 64, 653syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  (
( 0g `  S
)  e.  ( `' F " ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )  <-> 
( ( 0g `  S )  e.  (
Base `  S )  /\  ( F `  ( 0g `  S ) )  e.  ( ( 0g
`  T ) (
ball `  ( ( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) ) ) )
6753, 61, 66mpbir2and 913 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( 0g `  S )  e.  ( `' F "
( ( 0g `  T ) ( ball `  ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) ) )
68 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( MetOpen `  ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) )  =  (
MetOpen `  ( ( dist `  S )  |`  (
( Base `  S )  X.  ( Base `  S
) ) ) )
6968mopni2 20090 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) )  e.  ( *Met `  ( Base `  S ) )  /\  ( `' F " ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )  e.  ( MetOpen `  (
( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) )  /\  ( 0g
`  S )  e.  ( `' F "
( ( 0g `  T ) ( ball `  ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  ( ( 0g
`  S ) (
ball `  ( ( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) ) x )  C_  ( `' F " ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) ) )
7020, 49, 67, 69syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  E. x  e.  RR+  ( ( 0g
`  S ) (
ball `  ( ( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) ) x )  C_  ( `' F " ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) ) )
71 simpl1 991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( S  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  ->  S  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
721, 71sseldi 3375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( S  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  ->  S  e. NrmMod )
7372, 13syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( S  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  ->  S  e. NrmGrp )
7473adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  S  e. NrmGrp )
7574ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  S  e. NrmGrp )
76 ngpgrp 20213 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  S  e.  Grp )
7775, 76syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  S  e.  Grp )
78 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  y  e.  ( Base `  S
) )
79 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( norm `  S )  =  (
norm `  S )
80 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( dist `  S )  =  (
dist `  S )
8179, 17, 51, 80, 18nmval2 20206 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  e.  Grp  /\  y  e.  ( Base `  S ) )  -> 
( ( norm `  S
) `  y )  =  ( y ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) ( 0g `  S ) ) )
8277, 78, 81syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( norm `  S ) `  y )  =  ( y ( ( dist `  S )  |`  (
( Base `  S )  X.  ( Base `  S
) ) ) ( 0g `  S ) ) )
8320ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) )  e.  ( *Met `  ( Base `  S
) ) )
8453ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  ( 0g `  S )  e.  ( Base `  S
) )
85 xmetsym 19944 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) )  e.  ( *Met `  ( Base `  S ) )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  ( 0g `  S )  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
y ( ( dist `  S )  |`  (
( Base `  S )  X.  ( Base `  S
) ) ) ( 0g `  S ) )  =  ( ( 0g `  S ) ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) y ) )
8683, 78, 84, 85syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
y ( ( dist `  S )  |`  (
( Base `  S )  X.  ( Base `  S
) ) ) ( 0g `  S ) )  =  ( ( 0g `  S ) ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) y ) )
8782, 86eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( norm `  S ) `  y )  =  ( ( 0g `  S
) ( ( dist `  S )  |`  (
( Base `  S )  X.  ( Base `  S
) ) ) y ) )
8887breq1d 4323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( ( norm `  S
) `  y )  <  x  <->  ( ( 0g
`  S ) ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) y )  < 
x ) )
8988biimpd 207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( ( norm `  S
) `  y )  <  x  ->  ( ( 0g `  S ) ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) y )  < 
x ) )
9063ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  F : ( Base `  S
) --> ( Base `  T
) )
91 elpreima 5844 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  Fn  ( Base `  S
)  ->  ( y  e.  ( `' F "
( ( 0g `  T ) ( ball `  ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )  <->  ( y  e.  ( Base `  S
)  /\  ( F `  y )  e.  ( ( 0g `  T
) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) ) ) )
9290, 64, 913syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
y  e.  ( `' F " ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )  <-> 
( y  e.  (
Base `  S )  /\  ( F `  y
)  e.  ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) ) ) )
9331ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) )  e.  ( *Met `  ( Base `  T
) ) )
9435ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  ( 0g `  T )  e.  ( Base `  T
) )
9536, 37mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  1  e.  RR* )
96 elbl 19985 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) )  e.  ( *Met `  ( Base `  T ) )  /\  ( 0g `  T )  e.  ( Base `  T
)  /\  1  e.  RR* )  ->  ( ( F `  y )  e.  ( ( 0g `  T ) ( ball `  ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 )  <-> 
( ( F `  y )  e.  (
Base `  T )  /\  ( ( 0g `  T ) ( (
dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y
) )  <  1
) ) )
9793, 94, 95, 96syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( F `  y
)  e.  ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 )  <->  ( ( F `  y )  e.  ( Base `  T
)  /\  ( ( 0g `  T ) ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y ) )  <  1 ) ) )
98 simpl2 992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( S  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  ->  T  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
991, 98sseldi 3375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( S  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  ->  T  e. NrmMod )
10099, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( S  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  ->  T  e. NrmGrp )
101100adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  T  e. NrmGrp )
102101ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  T  e. NrmGrp )
103 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  F  e.  ( S LMHom  T ) )
104103adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  F  e.  ( S LMHom  T ) )
105104, 62syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  F :
( Base `  S ) --> ( Base `  T )
)
106105ffvelrnda 5864 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  ( F `  y )  e.  ( Base `  T
) )
107 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( norm `  T )  =  (
norm `  T )
10828, 107nmcl 20229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( T  e. NrmGrp  /\  ( F `  y )  e.  ( Base `  T
) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( F `  y
) )  e.  RR )
109102, 106, 108syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( F `  y
) )  e.  RR )
110 1re 9406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  RR
111 ltle 9484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( norm `  T
) `  ( F `  y ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( ( norm `  T
) `  ( F `  y ) )  <  1  ->  ( ( norm `  T ) `  ( F `  y ) )  <_  1 ) )
112109, 110, 111sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( ( norm `  T
) `  ( F `  y ) )  <  1  ->  ( ( norm `  T ) `  ( F `  y ) )  <_  1 ) )
113 ngpgrp 20213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( T  e. NrmGrp  ->  T  e.  Grp )
114102, 113syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  T  e.  Grp )
115 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( dist `  T )  =  (
dist `  T )
116107, 28, 33, 115, 29nmval2 20206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( T  e.  Grp  /\  ( F `  y )  e.  ( Base `  T
) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( F `  y
) )  =  ( ( F `  y
) ( ( dist `  T )  |`  (
( Base `  T )  X.  ( Base `  T
) ) ) ( 0g `  T ) ) )
117114, 106, 116syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( F `  y
) )  =  ( ( F `  y
) ( ( dist `  T )  |`  (
( Base `  T )  X.  ( Base `  T
) ) ) ( 0g `  T ) ) )
118 xmetsym 19944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) )  e.  ( *Met `  ( Base `  T ) )  /\  ( F `  y )  e.  ( Base `  T
)  /\  ( 0g `  T )  e.  (
Base `  T )
)  ->  ( ( F `  y )
( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ( 0g `  T ) )  =  ( ( 0g `  T ) ( (
dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y
) ) )
11993, 106, 94, 118syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( F `  y
) ( ( dist `  T )  |`  (
( Base `  T )  X.  ( Base `  T
) ) ) ( 0g `  T ) )  =  ( ( 0g `  T ) ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y ) ) )
120117, 119eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( F `  y
) )  =  ( ( 0g `  T
) ( ( dist `  T )  |`  (
( Base `  T )  X.  ( Base `  T
) ) ) ( F `  y ) ) )
121120breq1d 4323 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( ( norm `  T
) `  ( F `  y ) )  <  1  <->  ( ( 0g
`  T ) ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y ) )  <  1 ) )
122 1red 9422 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  1  e.  RR )
123 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  x  e.  RR+ )
124109, 122, 123lediv1d 11090 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( ( norm `  T
) `  ( F `  y ) )  <_ 
1  <->  ( ( (
norm `  T ) `  ( F `  y
) )  /  x
)  <_  ( 1  /  x ) ) )
125112, 121, 1243imtr3d 267 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( ( 0g `  T ) ( (
dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y
) )  <  1  ->  ( ( ( norm `  T ) `  ( F `  y )
)  /  x )  <_  ( 1  /  x ) ) )
126125adantld 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( ( F `  y )  e.  (
Base `  T )  /\  ( ( 0g `  T ) ( (
dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y
) )  <  1
)  ->  ( (
( norm `  T ) `  ( F `  y
) )  /  x
)  <_  ( 1  /  x ) ) )
12797, 126sylbid 215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( F `  y
)  e.  ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 )  -> 
( ( ( norm `  T ) `  ( F `  y )
)  /  x )  <_  ( 1  /  x ) ) )
128127adantld 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( y  e.  (
Base `  S )  /\  ( F `  y
)  e.  ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )  ->  ( ( (
norm `  T ) `  ( F `  y
) )  /  x
)  <_  ( 1  /  x ) ) )
12992, 128sylbid 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
y  e.  ( `' F " ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )  ->  ( ( (
norm `  T ) `  ( F `  y
) )  /  x
)  <_  ( 1  /  x ) ) )
13089, 129imim12d 74 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( ( ( 0g
`  S ) ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) y )  < 
x  ->  y  e.  ( `' F " ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) ) )  ->  ( (
( norm `  S ) `  y )  <  x  ->  ( ( ( norm `  T ) `  ( F `  y )
)  /  x )  <_  ( 1  /  x ) ) ) )
131130ralimdva 2815 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A. y  e.  ( Base `  S ) ( ( ( 0g `  S
) ( ( dist `  S )  |`  (
( Base `  S )  X.  ( Base `  S
) ) ) y )  <  x  -> 
y  e.  ( `' F " ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) ) )  ->  A. y  e.  ( Base `  S
) ( ( (
norm `  S ) `  y )  <  x  ->  ( ( ( norm `  T ) `  ( F `  y )
)  /  x )  <_  ( 1  /  x ) ) ) )
13220adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) )  e.  ( *Met `  ( Base `  S
) ) )
13353adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 0g
`  S )  e.  ( Base `  S
) )
134 rpxr 11019 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e. 
RR* )
135134adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e. 
RR* )
136 blval 19983 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) )  e.  ( *Met `  ( Base `  S ) )  /\  ( 0g `  S )  e.  ( Base `  S
)  /\  x  e.  RR* )  ->  ( ( 0g `  S ) (
ball `  ( ( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) ) x )  =  { y  e.  (
Base `  S )  |  ( ( 0g
`  S ) ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) y )  < 
x } )
137132, 133, 135, 136syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( 0g `  S ) ( ball `  (
( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) ) x )  =  { y  e.  (
Base `  S )  |  ( ( 0g
`  S ) ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) y )  < 
x } )
138137sseq1d 3404 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( 0g `  S
) ( ball `  (
( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) ) x )  C_  ( `' F " ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )  <->  { y  e.  (
Base `  S )  |  ( ( 0g
`  S ) ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) y )  < 
x }  C_  ( `' F " ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) ) ) )
139 rabss 3450 . . . . . . . . . 10  |-  ( { y  e.  ( Base `  S )  |  ( ( 0g `  S
) ( ( dist `  S )  |`  (
( Base `  S )  X.  ( Base `  S
) ) ) y )  <  x }  C_  ( `' F "
( ( 0g `  T ) ( ball `  ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )  <->  A. y  e.  (
Base `  S )
( ( ( 0g
`  S ) ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) y )  < 
x  ->  y  e.  ( `' F " ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) ) ) )
140138, 139syl6bb 261 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( 0g `  S
) ( ball `  (
( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) ) x )  C_  ( `' F " ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )  <->  A. y  e.  ( Base `  S ) ( ( ( 0g `  S ) ( (
dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) y )  <  x  ->  y  e.  ( `' F " ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) ) ) ) )
141 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( S
normOp T )  =  ( S normOp T )
142 nmhmcn.g . . . . . . . . . 10  |-  G  =  (Scalar `  S )
143 nmhmcn.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  G
)
14411adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  S  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
14522adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  T  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
146 rpreccl 11035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( 1  /  x )  e.  RR+ )
147146adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  x )  e.  RR+ )
148147rpxrd 11049 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  x )  e. 
RR* )
149 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
150 simpl3 993 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  ->  QQ  C_  B
)
151150ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  QQ  C_  B )
152141, 17, 79, 107, 142, 143, 144, 145, 104, 148, 149, 151nmoleub2b 20695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( S normOp T ) `
 F )  <_ 
( 1  /  x
)  <->  A. y  e.  (
Base `  S )
( ( ( norm `  S ) `  y
)  <  x  ->  ( ( ( norm `  T
) `  ( F `  y ) )  /  x )  <_  (
1  /  x ) ) ) )
153131, 140, 1523imtr4d 268 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( 0g `  S
) ( ball `  (
( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) ) x )  C_  ( `' F " ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )  ->  ( ( S
normOp T ) `  F
)  <_  ( 1  /  x ) ) )
15474, 101, 553jca 1168 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) ) )
155146rpred 11048 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( 1  /  x )  e.  RR )
156141bddnghm 20327 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  ( ( 1  /  x )  e.  RR  /\  ( ( S normOp T ) `  F )  <_  (
1  /  x ) ) )  ->  F  e.  ( S NGHom  T ) )
157156expr 615 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  ( 1  /  x )  e.  RR )  ->  ( ( ( S normOp T ) `  F )  <_  (
1  /  x )  ->  F  e.  ( S NGHom  T ) ) )
158154, 155, 157syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( S normOp T ) `
 F )  <_ 
( 1  /  x
)  ->  F  e.  ( S NGHom  T ) ) )
159153, 158syld 44 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( 0g `  S
) ( ball `  (
( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) ) x )  C_  ( `' F " ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )  ->  F  e.  ( S NGHom  T ) ) )
160159rexlimdva 2862 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( E. x  e.  RR+  (
( 0g `  S
) ( ball `  (
( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) ) x )  C_  ( `' F " ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )  ->  F  e.  ( S NGHom  T ) ) )
16170, 160mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  F  e.  ( S NGHom  T ) )
162161ex 434 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  ->  F  e.  ( S NGHom  T ) ) )
16310, 162impbid2 204 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  ->  ( F  e.  ( S NGHom  T )  <-> 
F  e.  ( J  Cn  K ) ) )
164163pm5.32da 641 . 2  |-  ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  ->  (
( F  e.  ( S LMHom  T )  /\  F  e.  ( S NGHom  T ) )  <->  ( F  e.  ( S LMHom  T )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) ) ) )
1657, 164bitrd 253 1  |-  ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  ->  ( F  e.  ( S NMHom  T )  <->  ( F  e.  ( S LMHom  T )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2736   E.wrex 2737   {crab 2740    i^i cin 3348    C_ wss 3349   class class class wbr 4313    X. cxp 4859   `'ccnv 4860    |` cres 4863   "cima 4864    Fn wfn 5434   -->wf 5435   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   RRcr 9302   1c1 9304   RR*cxr 9438    < clt 9439    <_ cle 9440    / cdiv 10014   QQcq 10974   RR+crp 11012   Basecbs 14195  Scalarcsca 14262   distcds 14268   TopOpenctopn 14381   0gc0g 14399   Grpcgrp 15431    GrpHom cghm 15765   LModclmod 16970   LMHom clmhm 17122   *Metcxmt 17823   ballcbl 17825   MetOpencmopn 17828    Cn ccn 18850   *MetSpcxme 19914   MetSpcmt 19915   normcnm 20191  NrmGrpcngp 20192  NrmModcnlm 20195   normOpcnmo 20306   NGHom cnghm 20307   NMHom cnmhm 20308  CModcclm 20656
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381  ax-addf 9382  ax-mulf 9383
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-oadd 6945  df-er 7122  df-map 7237  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-sup 7712  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-4 10403  df-5 10404  df-6 10405  df-7 10406  df-8 10407  df-9 10408  df-10 10409  df-n0 10601  df-z 10668  df-dec 10777  df-uz 10883  df-q 10975  df-rp 11013  df-xneg 11110  df-xadd 11111  df-xmul 11112  df-ico 11327  df-fz 11459  df-seq 11828  df-exp 11887  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-struct 14197  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-ress 14202  df-plusg 14272  df-mulr 14273  df-starv 14274  df-tset 14278  df-ple 14279  df-ds 14281  df-unif 14282  df-0g 14401  df-topgen 14403  df-mnd 15436  df-grp 15566  df-minusg 15567  df-sbg 15568  df-subg 15699  df-ghm 15766  df-cmn 16300  df-mgp 16614  df-rng 16669  df-cring 16670  df-subrg 16885  df-lmod 16972  df-lmhm 17125  df-psmet 17831  df-xmet 17832  df-met 17833  df-bl 17834  df-mopn 17835  df-cnfld 17841  df-top 18525  df-bases 18527  df-topon 18528  df-topsp 18529  df-cn 18853  df-cnp 18854  df-xms 19917  df-ms 19918  df-nm 20197  df-ngp 20198  df-nlm 20201  df-nmo 20309  df-nghm 20310  df-nmhm 20311  df-clm 20657
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