Theorem nmhmcn 21476

Description: A linear operator over a normed complex module is bounded iff it is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmhmcn.j	|- J = ( TopOpen ` S )
nmhmcn.k	|- K = ( TopOpen ` T )
nmhmcn.g	|- G = (Scalar ` S )
nmhmcn.b	|- B = ( Base ` G )

Assertion

Ref	Expression
nmhmcn	|- ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) -> ( F e. ( S NMHom T ) <-> ( F e. ( S LMHom T ) /\ F e. ( J Cn K ) ) ) )

Proof of Theorem nmhmcn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss1 3703	. . . . 5 |- (NrmMod i^i CMod ) C_ NrmMod
2	1	sseli 3485	. . . 4 |- ( S e. (NrmMod i^i CMod ) -> S e. NrmMod )
3	1	sseli 3485	. . . 4 |- ( T e. (NrmMod i^i CMod ) -> T e. NrmMod )
4		isnmhm 21126	. . . . 5 |- ( F e. ( S NMHom T ) <-> ( ( S e. NrmMod /\ T e. NrmMod ) /\ ( F e. ( S LMHom T ) /\ F e. ( S NGHom T ) ) ) )
5	4	baib 903	. . . 4 |- ( ( S e. NrmMod /\ T e. NrmMod ) -> ( F e. ( S NMHom T ) <-> ( F e. ( S LMHom T ) /\ F e. ( S NGHom T ) ) ) )
6	2, 3, 5	syl2an 477	. . 3 |- ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) ) -> ( F e. ( S NMHom T ) <-> ( F e. ( S LMHom T ) /\ F e. ( S NGHom T ) ) ) )
7	6	3adant3 1017	. 2 |- ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) -> ( F e. ( S NMHom T ) <-> ( F e. ( S LMHom T ) /\ F e. ( S NGHom T ) ) ) )
8		nmhmcn.j	. . . . 5 |- J = ( TopOpen ` S )
9		nmhmcn.k	. . . . 5 |- K = ( TopOpen ` T )
10	8, 9	nghmcn 21125	. . . 4 |- ( F e. ( S NGHom T ) -> F e. ( J Cn K ) )
11		simpll1 1036	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> S e. (NrmMod i^i CMod ) )
12	1, 11	sseldi 3487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> S e. NrmMod )
13		nlmngp 21059	. . . . . . . . 9 |- ( S e. NrmMod -> S e. NrmGrp )
14		ngpms 20993	. . . . . . . . 9 |- ( S e. NrmGrp -> S e. MetSp )
15	12, 13, 14	3syl 20	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> S e. MetSp )
16		msxms 20830	. . . . . . . 8 |- ( S e. MetSp -> S e. *MetSp )
17		eqid 2443	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
18		eqid 2443	. . . . . . . . 9 |- ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) = ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) )
19	17, 18	xmsxmet 20832	. . . . . . . 8 |- ( S e. *MetSp -> ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) e. ( *Met ` ( Base ` S ) ) )
20	15, 16, 19	3syl 20	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) e. ( *Met ` ( Base ` S ) ) )
21		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> F e. ( J Cn K ) )
22		simpll2 1037	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> T e. (NrmMod i^i CMod ) )
23	1, 22	sseldi 3487	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> T e. NrmMod )
24		nlmngp 21059	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T e. NrmMod -> T e. NrmGrp )
25		ngpms 20993	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T e. NrmGrp -> T e. MetSp )
26	23, 24, 25	3syl 20	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> T e. MetSp )
27		msxms 20830	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T e. MetSp -> T e. *MetSp )
28		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Base ` T ) = ( Base ` T )
29		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) = ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) )
30	28, 29	xmsxmet 20832	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T e. *MetSp -> ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) e. ( *Met ` ( Base ` T ) ) )
31	26, 27, 30	3syl 20	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) e. ( *Met ` ( Base ` T ) ) )
32		nlmlmod 21060	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T e. NrmMod -> T e. LMod )
33		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0g ` T ) = ( 0g ` T )
34	28, 33	lmod0vcl 17415	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T e. LMod -> ( 0g ` T ) e. ( Base ` T ) )
35	23, 32, 34	3syl 20	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( 0g ` T ) e. ( Base ` T ) )
36		1rp 11233	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR+
37		rpxr 11236	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 e. RR+ -> 1 e. RR* )
38	36, 37	mp1i 12	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> 1 e. RR* )
39		eqid 2443	. . . . . . . . . . . 12 |- ( MetOpen ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) )
40	39	blopn 20876	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) e. ( *Met ` ( Base ` T ) ) /\ ( 0g ` T ) e. ( Base ` T ) /\ 1 e. RR* ) -> ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) e. ( MetOpen ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) )
41	31, 35, 38, 40	syl3anc 1229	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) e. ( MetOpen ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) )
42	9, 28, 29	mstopn 20828	. . . . . . . . . . 11 |- ( T e. MetSp -> K = ( MetOpen ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) )
43	23, 24, 25, 42	4syl 21	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> K = ( MetOpen ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) )
44	41, 43	eleqtrrd 2534	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) e. K )
45		cnima 19639	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) e. K ) -> ( `' F " ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) e. J )
46	21, 44, 45	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( `' F " ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) e. J )
47	8, 17, 18	mstopn 20828	. . . . . . . . 9 |- ( S e. MetSp -> J = ( MetOpen ` ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) ) )
48	12, 13, 14, 47	4syl 21	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> J = ( MetOpen ` ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) ) )
49	46, 48	eleqtrd 2533	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( `' F " ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) e. ( MetOpen ` ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) ) )
50		nlmlmod 21060	. . . . . . . . 9 |- ( S e. NrmMod -> S e. LMod )
51		eqid 2443	. . . . . . . . . 10 |- ( 0g ` S ) = ( 0g ` S )
52	17, 51	lmod0vcl 17415	. . . . . . . . 9 |- ( S e. LMod -> ( 0g ` S ) e. ( Base ` S ) )
53	12, 50, 52	3syl 20	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( 0g ` S ) e. ( Base ` S ) )
54		lmghm 17551	. . . . . . . . . . 11 |- ( F e. ( S LMHom T ) -> F e. ( S GrpHom T ) )
55	54	ad2antlr 726	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> F e. ( S GrpHom T ) )
56	51, 33	ghmid 16147	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> ( F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) )
57	55, 56	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) )
58	36	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> 1 e. RR+ )
59		blcntr 20789	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) e. ( *Met ` ( Base ` T ) ) /\ ( 0g ` T ) e. ( Base ` T ) /\ 1 e. RR+ ) -> ( 0g ` T ) e. ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) )
60	31, 35, 58, 59	syl3anc 1229	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( 0g ` T ) e. ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) )
61	57, 60	eqeltrd 2531	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( F ` ( 0g ` S ) ) e. ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) )
62	17, 28	lmhmf 17554	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( S LMHom T ) -> F : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) )
63	62	ad2antlr 726	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> F : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) )
64		ffn 5721	. . . . . . . . 9 |- ( F : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) -> F Fn ( Base ` S ) )
65		elpreima 5992	. . . . . . . . 9 |- ( F Fn ( Base ` S ) -> ( ( 0g ` S ) e. ( `' F " ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) <-> ( ( 0g ` S ) e. ( Base ` S ) /\ ( F ` ( 0g ` S ) ) e. ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) ) )
66	63, 64, 65	3syl 20	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( ( 0g ` S ) e. ( `' F " ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) <-> ( ( 0g ` S ) e. ( Base ` S ) /\ ( F ` ( 0g ` S ) ) e. ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) ) )
67	53, 61, 66	mpbir2and 922	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( 0g ` S ) e. ( `' F " ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) )
68		eqid 2443	. . . . . . . 8 |- ( MetOpen ` ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) )
69	68	mopni2 20869	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) e. ( *Met ` ( Base ` S ) ) /\ ( `' F " ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) e. ( MetOpen ` ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) ) /\ ( 0g ` S ) e. ( `' F " ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) ) -> E. x e. RR+ ( ( 0g ` S ) ( ball ` ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) ) x ) C_ ( `' F " ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) )
70	20, 49, 67, 69	syl3anc 1229	. . . . . 6 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> E. x e. RR+ ( ( 0g ` S ) ( ball ` ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) ) x ) C_ ( `' F " ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) )
71		simpl1 1000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) -> S e. (NrmMod i^i CMod ) )
72	1, 71	sseldi 3487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) -> S e. NrmMod )
73	72, 13	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) -> S e. NrmGrp )
74	73	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> S e. NrmGrp )
75	74	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> S e. NrmGrp )
76		ngpgrp 20992	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( S e. NrmGrp -> S e. Grp )
77	75, 76	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> S e. Grp )
78		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> y e. ( Base ` S ) )
79		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( norm ` S ) = ( norm ` S )
80		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( dist ` S ) = ( dist ` S )
81	79, 17, 51, 80, 18	nmval2 20985	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( S e. Grp /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( norm ` S ) ` y ) = ( y ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) ( 0g ` S ) ) )
82	77, 78, 81	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( norm ` S ) ` y ) = ( y ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) ( 0g ` S ) ) )
83	20	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) e. ( *Met ` ( Base ` S ) ) )
84	53	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( 0g ` S ) e. ( Base ` S ) )
85		xmetsym 20723	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) e. ( *Met ` ( Base ` S ) ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ ( 0g ` S ) e. ( Base ` S ) ) -> ( y ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) ( 0g ` S ) ) = ( ( 0g ` S ) ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) y ) )
86	83, 78, 84, 85	syl3anc 1229	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( y ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) ( 0g ` S ) ) = ( ( 0g ` S ) ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) y ) )
87	82, 86	eqtrd 2484	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( norm ` S ) ` y ) = ( ( 0g ` S ) ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) y ) )
88	87	breq1d 4447	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( ( norm ` S ) ` y ) < x <-> ( ( 0g ` S ) ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) y ) < x ) )
89	88	biimpd 207	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( ( norm ` S ) ` y ) < x -> ( ( 0g ` S ) ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) y ) < x ) )
90	63	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> F : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) )
91		elpreima 5992	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F Fn ( Base ` S ) -> ( y e. ( `' F " ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) <-> ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) e. ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) ) )
92	90, 64, 91	3syl 20	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( y e. ( `' F " ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) <-> ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) e. ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) ) )
93	31	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) e. ( *Met ` ( Base ` T ) ) )
94	35	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( 0g ` T ) e. ( Base ` T ) )
95	36, 37	mp1i 12	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> 1 e. RR* )
96		elbl 20764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) e. ( *Met ` ( Base ` T ) ) /\ ( 0g ` T ) e. ( Base ` T ) /\ 1 e. RR* ) -> ( ( F ` y ) e. ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) <-> ( ( F ` y ) e. ( Base ` T ) /\ ( ( 0g ` T ) ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ( F ` y ) ) < 1 ) ) )
97	93, 94, 95, 96	syl3anc 1229	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( F ` y ) e. ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) <-> ( ( F ` y ) e. ( Base ` T ) /\ ( ( 0g ` T ) ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ( F ` y ) ) < 1 ) ) )
98		simpl2 1001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) -> T e. (NrmMod i^i CMod ) )
99	1, 98	sseldi 3487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) -> T e. NrmMod )
100	99, 24	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) -> T e. NrmGrp )
101	100	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> T e. NrmGrp )
102	101	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> T e. NrmGrp )
103		simplr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> F e. ( S LMHom T ) )
104	103	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) -> F e. ( S LMHom T ) )
105	104, 62	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) -> F : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) )
106	105	ffvelrnda 6016	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( F ` y ) e. ( Base ` T ) )
107		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( norm ` T ) = ( norm ` T )
108	28, 107	nmcl 21008	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( T e. NrmGrp /\ ( F ` y ) e. ( Base ` T ) ) -> ( ( norm ` T ) ` ( F ` y ) ) e. RR )
109	102, 106, 108	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( norm ` T ) ` ( F ` y ) ) e. RR )
110		1re 9598	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. RR
111		ltle 9676	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( norm ` T ) ` ( F ` y ) ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( ( norm ` T ) ` ( F ` y ) ) < 1 -> ( ( norm ` T ) ` ( F ` y ) ) <_ 1 ) )
112	109, 110, 111	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( ( norm ` T ) ` ( F ` y ) ) < 1 -> ( ( norm ` T ) ` ( F ` y ) ) <_ 1 ) )
113		ngpgrp 20992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( T e. NrmGrp -> T e. Grp )
114	102, 113	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> T e. Grp )
115		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( dist ` T ) = ( dist ` T )
116	107, 28, 33, 115, 29	nmval2 20985	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( T e. Grp /\ ( F ` y ) e. ( Base ` T ) ) -> ( ( norm ` T ) ` ( F ` y ) ) = ( ( F ` y ) ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ( 0g ` T ) ) )
117	114, 106, 116	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( norm ` T ) ` ( F ` y ) ) = ( ( F ` y ) ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ( 0g ` T ) ) )
118		xmetsym 20723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) e. ( *Met ` ( Base ` T ) ) /\ ( F ` y ) e. ( Base ` T ) /\ ( 0g ` T ) e. ( Base ` T ) ) -> ( ( F ` y ) ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ( 0g ` T ) ) = ( ( 0g ` T ) ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ( F ` y ) ) )
119	93, 106, 94, 118	syl3anc 1229	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( F ` y ) ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ( 0g ` T ) ) = ( ( 0g ` T ) ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ( F ` y ) ) )
120	117, 119	eqtrd 2484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( norm ` T ) ` ( F ` y ) ) = ( ( 0g ` T ) ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ( F ` y ) ) )
121	120	breq1d 4447	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( ( norm ` T ) ` ( F ` y ) ) < 1 <-> ( ( 0g ` T ) ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ( F ` y ) ) < 1 ) )
122		1red 9614	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> 1 e. RR )
123		simplr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> x e. RR+ )
124	109, 122, 123	lediv1d 11307	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( ( norm ` T ) ` ( F ` y ) ) <_ 1 <-> ( ( ( norm ` T ) ` ( F ` y ) ) / x ) <_ ( 1 / x ) ) )
125	112, 121, 124	3imtr3d 267	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( ( 0g ` T ) ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ( F ` y ) ) < 1 -> ( ( ( norm ` T ) ` ( F ` y ) ) / x ) <_ ( 1 / x ) ) )
126	125	adantld 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( ( F ` y ) e. ( Base ` T ) /\ ( ( 0g ` T ) ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ( F ` y ) ) < 1 ) -> ( ( ( norm ` T ) ` ( F ` y ) ) / x ) <_ ( 1 / x ) ) )
127	97, 126	sylbid 215	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( F ` y ) e. ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) -> ( ( ( norm ` T ) ` ( F ` y ) ) / x ) <_ ( 1 / x ) ) )
128	127	adantld 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) e. ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) -> ( ( ( norm ` T ) ` ( F ` y ) ) / x ) <_ ( 1 / x ) ) )
129	92, 128	sylbid 215	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( y e. ( `' F " ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) -> ( ( ( norm ` T ) ` ( F ` y ) ) / x ) <_ ( 1 / x ) ) )
130	89, 129	imim12d 74	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( ( ( 0g ` S ) ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) y ) < x -> y e. ( `' F " ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) ) -> ( ( ( norm ` S ) ` y ) < x -> ( ( ( norm ` T ) ` ( F ` y ) ) / x ) <_ ( 1 / x ) ) ) )
131	130	ralimdva 2851	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( A. y e. ( Base ` S ) ( ( ( 0g ` S ) ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) y ) < x -> y e. ( `' F " ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) ) -> A. y e. ( Base ` S ) ( ( ( norm ` S ) ` y ) < x -> ( ( ( norm ` T ) ` ( F ` y ) ) / x ) <_ ( 1 / x ) ) ) )
132	20	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) e. ( *Met ` ( Base ` S ) ) )
133	53	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( 0g ` S ) e. ( Base ` S ) )
134		rpxr 11236	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. RR+ -> x e. RR* )
135	134	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) -> x e. RR* )
136		blval 20762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) e. ( *Met ` ( Base ` S ) ) /\ ( 0g ` S ) e. ( Base ` S ) /\ x e. RR* ) -> ( ( 0g ` S ) ( ball ` ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) ) x ) = { y e. ( Base ` S ) | ( ( 0g ` S ) ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) y ) < x } )
137	132, 133, 135, 136	syl3anc 1229	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( ( 0g ` S ) ( ball ` ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) ) x ) = { y e. ( Base ` S ) | ( ( 0g ` S ) ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) y ) < x } )
138	137	sseq1d 3516	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( 0g ` S ) ( ball ` ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) ) x ) C_ ( `' F " ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) <-> { y e. ( Base ` S ) | ( ( 0g ` S ) ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) y ) < x } C_ ( `' F " ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) ) )
139		rabss 3562	. . . . . . . . . 10 |- ( { y e. ( Base ` S ) | ( ( 0g ` S ) ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) y ) < x } C_ ( `' F " ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) <-> A. y e. ( Base ` S ) ( ( ( 0g ` S ) ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) y ) < x -> y e. ( `' F " ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) ) )
140	138, 139	syl6bb 261	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( 0g ` S ) ( ball ` ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) ) x ) C_ ( `' F " ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) <-> A. y e. ( Base ` S ) ( ( ( 0g ` S ) ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) y ) < x -> y e. ( `' F " ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) ) ) )
141		eqid 2443	. . . . . . . . . 10 |- ( S normOp T ) = ( S normOp T )
142		nmhmcn.g	. . . . . . . . . 10 |- G = (Scalar ` S )
143		nmhmcn.b	. . . . . . . . . 10 |- B = ( Base ` G )
144	11	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) -> S e. (NrmMod i^i CMod ) )
145	22	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) -> T e. (NrmMod i^i CMod ) )
146		rpreccl 11252	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR+ -> ( 1 / x ) e. RR+ )
147	146	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( 1 / x ) e. RR+ )
148	147	rpxrd 11266	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( 1 / x ) e. RR* )
149		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) -> x e. RR+ )
150		simpl3 1002	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) -> QQ C_ B )
151	150	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) -> QQ C_ B )
152	141, 17, 79, 107, 142, 143, 144, 145, 104, 148, 149, 151	nmoleub2b 21474	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( S normOp T ) ` F ) <_ ( 1 / x ) <-> A. y e. ( Base ` S ) ( ( ( norm ` S ) ` y ) < x -> ( ( ( norm ` T ) ` ( F ` y ) ) / x ) <_ ( 1 / x ) ) ) )
153	131, 140, 152	3imtr4d 268	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( 0g ` S ) ( ball ` ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) ) x ) C_ ( `' F " ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) -> ( ( S normOp T ) ` F ) <_ ( 1 / x ) ) )
154	74, 101, 55	3jca 1177	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) )
155	146	rpred 11265	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR+ -> ( 1 / x ) e. RR )
156	141	bddnghm 21106	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) /\ ( ( 1 / x ) e. RR /\ ( ( S normOp T ) ` F ) <_ ( 1 / x ) ) ) -> F e. ( S NGHom T ) )
157	156	expr 615	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) /\ ( 1 / x ) e. RR ) -> ( ( ( S normOp T ) ` F ) <_ ( 1 / x ) -> F e. ( S NGHom T ) ) )
158	154, 155, 157	syl2an 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( S normOp T ) ` F ) <_ ( 1 / x ) -> F e. ( S NGHom T ) ) )
159	153, 158	syld 44	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( 0g ` S ) ( ball ` ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) ) x ) C_ ( `' F " ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) -> F e. ( S NGHom T ) ) )
160	159	rexlimdva 2935	. . . . . 6 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( E. x e. RR+ ( ( 0g ` S ) ( ball ` ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) ) x ) C_ ( `' F " ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) -> F e. ( S NGHom T ) ) )
161	70, 160	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> F e. ( S NGHom T ) )
162	161	ex 434	. . . 4 |- ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) -> F e. ( S NGHom T ) ) )
163	10, 162	impbid2 204	. . 3 |- ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) -> ( F e. ( S NGHom T ) <-> F e. ( J Cn K ) ) )
164	163	pm5.32da 641	. 2 |- ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) -> ( ( F e. ( S LMHom T ) /\ F e. ( S NGHom T ) ) <-> ( F e. ( S LMHom T ) /\ F e. ( J Cn K ) ) ) )
165	7, 164	bitrd 253	1 |- ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) -> ( F e. ( S NMHom T ) <-> ( F e. ( S LMHom T ) /\ F e. ( J Cn K ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 974   = wceq 1383   e. wcel 1804   A.wral 2793   E.wrex 2794   {crab 2797   i^i cin 3460   C_ wss 3461   class class class wbr 4437   X. cxp 4987   `'ccnv 4988   |` cres 4991   "cima 4992   Fn wfn 5573   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   RRcr 9494   1c1 9496   RR*cxr 9630   < clt 9631   <_ cle 9632   / cdiv 10212   QQcq 11191   RR+crp 11229   Basecbs 14509  Scalarcsca 14577   distcds 14583   TopOpenctopn 14696   0gc0g 14714   Grpcgrp 15927   GrpHom cghm 16138   LModclmod 17386   LMHom clmhm 17539   *Metcxmt 18277   ballcbl 18279   MetOpencmopn 18282   Cn ccn 19598   *MetSpcxme 20693   MetSpcmt 20694   normcnm 20970  NrmGrpcngp 20971  NrmModcnlm 20974   normOpcnmo 21085   NGHom cnghm 21086   NMHom cnmhm 21087  CModcclm 21435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574  ax-mulf 9575

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-5 10603  df-6 10604  df-7 10605  df-8 10606  df-9 10607  df-10 10608  df-n0 10802  df-z 10871  df-dec 10985  df-uz 11091  df-q 11192  df-rp 11230  df-xneg 11327  df-xadd 11328  df-xmul 11329  df-ico 11544  df-fz 11682  df-seq 12087  df-exp 12146  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-struct 14511  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-ress 14516  df-plusg 14587  df-mulr 14588  df-starv 14589  df-tset 14593  df-ple 14594  df-ds 14596  df-unif 14597  df-0g 14716  df-topgen 14718  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15931  df-minusg 15932  df-sbg 15933  df-subg 16072  df-ghm 16139  df-cmn 16674  df-mgp 17016  df-ring 17074  df-cring 17075  df-subrg 17301  df-lmod 17388  df-lmhm 17542  df-psmet 18285  df-xmet 18286  df-met 18287  df-bl 18288  df-mopn 18289  df-cnfld 18295  df-top 19272  df-bases 19274  df-topon 19275  df-topsp 19276  df-cn 19601  df-cnp 19602  df-xms 20696  df-ms 20697  df-nm 20976  df-ngp 20977  df-nlm 20980  df-nmo 21088  df-nghm 21089  df-nmhm 21090  df-clm 21436

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