Theorem nmhmcn 21769

Description: A linear operator over a normed complex module is bounded iff it is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmhmcn.j	|- J = ( TopOpen ` S )
nmhmcn.k	|- K = ( TopOpen ` T )
nmhmcn.g	|- G = (Scalar ` S )
nmhmcn.b	|- B = ( Base ` G )

Assertion

Ref	Expression
nmhmcn	|- ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) -> ( F e. ( S NMHom T ) <-> ( F e. ( S LMHom T ) /\ F e. ( J Cn K ) ) ) )

Proof of Theorem nmhmcn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss1 3704	. . . . 5 |- (NrmMod i^i CMod ) C_ NrmMod
2	1	sseli 3485	. . . 4 |- ( S e. (NrmMod i^i CMod ) -> S e. NrmMod )
3	1	sseli 3485	. . . 4 |- ( T e. (NrmMod i^i CMod ) -> T e. NrmMod )
4		isnmhm 21419	. . . . 5 |- ( F e. ( S NMHom T ) <-> ( ( S e. NrmMod /\ T e. NrmMod ) /\ ( F e. ( S LMHom T ) /\ F e. ( S NGHom T ) ) ) )
5	4	baib 901	. . . 4 |- ( ( S e. NrmMod /\ T e. NrmMod ) -> ( F e. ( S NMHom T ) <-> ( F e. ( S LMHom T ) /\ F e. ( S NGHom T ) ) ) )
6	2, 3, 5	syl2an 475	. . 3 |- ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) ) -> ( F e. ( S NMHom T ) <-> ( F e. ( S LMHom T ) /\ F e. ( S NGHom T ) ) ) )
7	6	3adant3 1014	. 2 |- ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) -> ( F e. ( S NMHom T ) <-> ( F e. ( S LMHom T ) /\ F e. ( S NGHom T ) ) ) )
8		nmhmcn.j	. . . . 5 |- J = ( TopOpen ` S )
9		nmhmcn.k	. . . . 5 |- K = ( TopOpen ` T )
10	8, 9	nghmcn 21418	. . . 4 |- ( F e. ( S NGHom T ) -> F e. ( J Cn K ) )
11		simpll1 1033	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> S e. (NrmMod i^i CMod ) )
12	1, 11	sseldi 3487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> S e. NrmMod )
13		nlmngp 21352	. . . . . . . . 9 |- ( S e. NrmMod -> S e. NrmGrp )
14		ngpms 21286	. . . . . . . . 9 |- ( S e. NrmGrp -> S e. MetSp )
15	12, 13, 14	3syl 20	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> S e. MetSp )
16		msxms 21123	. . . . . . . 8 |- ( S e. MetSp -> S e. *MetSp )
17		eqid 2454	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
18		eqid 2454	. . . . . . . . 9 |- ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) = ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) )
19	17, 18	xmsxmet 21125	. . . . . . . 8 |- ( S e. *MetSp -> ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) e. ( *Met ` ( Base ` S ) ) )
20	15, 16, 19	3syl 20	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) e. ( *Met ` ( Base ` S ) ) )
21		simpr 459	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> F e. ( J Cn K ) )
22		simpll2 1034	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> T e. (NrmMod i^i CMod ) )
23	1, 22	sseldi 3487	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> T e. NrmMod )
24		nlmngp 21352	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T e. NrmMod -> T e. NrmGrp )
25		ngpms 21286	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T e. NrmGrp -> T e. MetSp )
26	23, 24, 25	3syl 20	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> T e. MetSp )
27		msxms 21123	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T e. MetSp -> T e. *MetSp )
28		eqid 2454	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Base ` T ) = ( Base ` T )
29		eqid 2454	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) = ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) )
30	28, 29	xmsxmet 21125	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T e. *MetSp -> ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) e. ( *Met ` ( Base ` T ) ) )
31	26, 27, 30	3syl 20	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) e. ( *Met ` ( Base ` T ) ) )
32		nlmlmod 21353	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T e. NrmMod -> T e. LMod )
33		eqid 2454	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0g ` T ) = ( 0g ` T )
34	28, 33	lmod0vcl 17736	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T e. LMod -> ( 0g ` T ) e. ( Base ` T ) )
35	23, 32, 34	3syl 20	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( 0g ` T ) e. ( Base ` T ) )
36		1rp 11225	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR+
37		rpxr 11228	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 e. RR+ -> 1 e. RR* )
38	36, 37	mp1i 12	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> 1 e. RR* )
39		eqid 2454	. . . . . . . . . . . 12 |- ( MetOpen ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) )
40	39	blopn 21169	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) e. ( *Met ` ( Base ` T ) ) /\ ( 0g ` T ) e. ( Base ` T ) /\ 1 e. RR* ) -> ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) e. ( MetOpen ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) )
41	31, 35, 38, 40	syl3anc 1226	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) e. ( MetOpen ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) )
42	9, 28, 29	mstopn 21121	. . . . . . . . . . 11 |- ( T e. MetSp -> K = ( MetOpen ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) )
43	23, 24, 25, 42	4syl 21	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> K = ( MetOpen ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) )
44	41, 43	eleqtrrd 2545	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) e. K )
45		cnima 19933	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) e. K ) -> ( `' F " ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) e. J )
46	21, 44, 45	syl2anc 659	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( `' F " ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) e. J )
47	8, 17, 18	mstopn 21121	. . . . . . . . 9 |- ( S e. MetSp -> J = ( MetOpen ` ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) ) )
48	12, 13, 14, 47	4syl 21	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> J = ( MetOpen ` ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) ) )
49	46, 48	eleqtrd 2544	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( `' F " ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) e. ( MetOpen ` ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) ) )
50		nlmlmod 21353	. . . . . . . . 9 |- ( S e. NrmMod -> S e. LMod )
51		eqid 2454	. . . . . . . . . 10 |- ( 0g ` S ) = ( 0g ` S )
52	17, 51	lmod0vcl 17736	. . . . . . . . 9 |- ( S e. LMod -> ( 0g ` S ) e. ( Base ` S ) )
53	12, 50, 52	3syl 20	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( 0g ` S ) e. ( Base ` S ) )
54		lmghm 17872	. . . . . . . . . . 11 |- ( F e. ( S LMHom T ) -> F e. ( S GrpHom T ) )
55	54	ad2antlr 724	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> F e. ( S GrpHom T ) )
56	51, 33	ghmid 16472	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> ( F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) )
57	55, 56	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) )
58	36	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> 1 e. RR+ )
59		blcntr 21082	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) e. ( *Met ` ( Base ` T ) ) /\ ( 0g ` T ) e. ( Base ` T ) /\ 1 e. RR+ ) -> ( 0g ` T ) e. ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) )
60	31, 35, 58, 59	syl3anc 1226	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( 0g ` T ) e. ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) )
61	57, 60	eqeltrd 2542	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( F ` ( 0g ` S ) ) e. ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) )
62	17, 28	lmhmf 17875	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( S LMHom T ) -> F : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) )
63	62	ad2antlr 724	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> F : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) )
64		ffn 5713	. . . . . . . . 9 |- ( F : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) -> F Fn ( Base ` S ) )
65		elpreima 5983	. . . . . . . . 9 |- ( F Fn ( Base ` S ) -> ( ( 0g ` S ) e. ( `' F " ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) <-> ( ( 0g ` S ) e. ( Base ` S ) /\ ( F ` ( 0g ` S ) ) e. ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) ) )
66	63, 64, 65	3syl 20	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( ( 0g ` S ) e. ( `' F " ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) <-> ( ( 0g ` S ) e. ( Base ` S ) /\ ( F ` ( 0g ` S ) ) e. ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) ) )
67	53, 61, 66	mpbir2and 920	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( 0g ` S ) e. ( `' F " ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) )
68		eqid 2454	. . . . . . . 8 |- ( MetOpen ` ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) )
69	68	mopni2 21162	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) e. ( *Met ` ( Base ` S ) ) /\ ( `' F " ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) e. ( MetOpen ` ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) ) /\ ( 0g ` S ) e. ( `' F " ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) ) -> E. x e. RR+ ( ( 0g ` S ) ( ball ` ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) ) x ) C_ ( `' F " ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) )
70	20, 49, 67, 69	syl3anc 1226	. . . . . 6 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> E. x e. RR+ ( ( 0g ` S ) ( ball ` ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) ) x ) C_ ( `' F " ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) )
71		simpl1 997	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) -> S e. (NrmMod i^i CMod ) )
72	1, 71	sseldi 3487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) -> S e. NrmMod )
73	72, 13	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) -> S e. NrmGrp )
74	73	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> S e. NrmGrp )
75	74	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> S e. NrmGrp )
76		ngpgrp 21285	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( S e. NrmGrp -> S e. Grp )
77	75, 76	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> S e. Grp )
78		simpr 459	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> y e. ( Base ` S ) )
79		eqid 2454	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( norm ` S ) = ( norm ` S )
80		eqid 2454	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( dist ` S ) = ( dist ` S )
81	79, 17, 51, 80, 18	nmval2 21278	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( S e. Grp /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( norm ` S ) ` y ) = ( y ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) ( 0g ` S ) ) )
82	77, 78, 81	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( norm ` S ) ` y ) = ( y ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) ( 0g ` S ) ) )
83	20	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) e. ( *Met ` ( Base ` S ) ) )
84	53	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( 0g ` S ) e. ( Base ` S ) )
85		xmetsym 21016	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) e. ( *Met ` ( Base ` S ) ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ ( 0g ` S ) e. ( Base ` S ) ) -> ( y ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) ( 0g ` S ) ) = ( ( 0g ` S ) ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) y ) )
86	83, 78, 84, 85	syl3anc 1226	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( y ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) ( 0g ` S ) ) = ( ( 0g ` S ) ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) y ) )
87	82, 86	eqtrd 2495	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( norm ` S ) ` y ) = ( ( 0g ` S ) ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) y ) )
88	87	breq1d 4449	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( ( norm ` S ) ` y ) < x <-> ( ( 0g ` S ) ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) y ) < x ) )
89	88	biimpd 207	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( ( norm ` S ) ` y ) < x -> ( ( 0g ` S ) ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) y ) < x ) )
90	63	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> F : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) )
91		elpreima 5983	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F Fn ( Base ` S ) -> ( y e. ( `' F " ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) <-> ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) e. ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) ) )
92	90, 64, 91	3syl 20	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( y e. ( `' F " ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) <-> ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) e. ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) ) )
93	31	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) e. ( *Met ` ( Base ` T ) ) )
94	35	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( 0g ` T ) e. ( Base ` T ) )
95	36, 37	mp1i 12	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> 1 e. RR* )
96		elbl 21057	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) e. ( *Met ` ( Base ` T ) ) /\ ( 0g ` T ) e. ( Base ` T ) /\ 1 e. RR* ) -> ( ( F ` y ) e. ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) <-> ( ( F ` y ) e. ( Base ` T ) /\ ( ( 0g ` T ) ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ( F ` y ) ) < 1 ) ) )
97	93, 94, 95, 96	syl3anc 1226	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( F ` y ) e. ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) <-> ( ( F ` y ) e. ( Base ` T ) /\ ( ( 0g ` T ) ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ( F ` y ) ) < 1 ) ) )
98		simpl2 998	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) -> T e. (NrmMod i^i CMod ) )
99	1, 98	sseldi 3487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) -> T e. NrmMod )
100	99, 24	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) -> T e. NrmGrp )
101	100	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> T e. NrmGrp )
102	101	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> T e. NrmGrp )
103		simplr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> F e. ( S LMHom T ) )
104	103	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) -> F e. ( S LMHom T ) )
105	104, 62	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) -> F : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) )
106	105	ffvelrnda 6007	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( F ` y ) e. ( Base ` T ) )
107		eqid 2454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( norm ` T ) = ( norm ` T )
108	28, 107	nmcl 21301	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( T e. NrmGrp /\ ( F ` y ) e. ( Base ` T ) ) -> ( ( norm ` T ) ` ( F ` y ) ) e. RR )
109	102, 106, 108	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( norm ` T ) ` ( F ` y ) ) e. RR )
110		1re 9584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. RR
111		ltle 9662	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( norm ` T ) ` ( F ` y ) ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( ( norm ` T ) ` ( F ` y ) ) < 1 -> ( ( norm ` T ) ` ( F ` y ) ) <_ 1 ) )
112	109, 110, 111	sylancl 660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( ( norm ` T ) ` ( F ` y ) ) < 1 -> ( ( norm ` T ) ` ( F ` y ) ) <_ 1 ) )
113		ngpgrp 21285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( T e. NrmGrp -> T e. Grp )
114	102, 113	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> T e. Grp )
115		eqid 2454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( dist ` T ) = ( dist ` T )
116	107, 28, 33, 115, 29	nmval2 21278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( T e. Grp /\ ( F ` y ) e. ( Base ` T ) ) -> ( ( norm ` T ) ` ( F ` y ) ) = ( ( F ` y ) ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ( 0g ` T ) ) )
117	114, 106, 116	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( norm ` T ) ` ( F ` y ) ) = ( ( F ` y ) ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ( 0g ` T ) ) )
118		xmetsym 21016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) e. ( *Met ` ( Base ` T ) ) /\ ( F ` y ) e. ( Base ` T ) /\ ( 0g ` T ) e. ( Base ` T ) ) -> ( ( F ` y ) ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ( 0g ` T ) ) = ( ( 0g ` T ) ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ( F ` y ) ) )
119	93, 106, 94, 118	syl3anc 1226	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( F ` y ) ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ( 0g ` T ) ) = ( ( 0g ` T ) ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ( F ` y ) ) )
120	117, 119	eqtrd 2495	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( norm ` T ) ` ( F ` y ) ) = ( ( 0g ` T ) ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ( F ` y ) ) )
121	120	breq1d 4449	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( ( norm ` T ) ` ( F ` y ) ) < 1 <-> ( ( 0g ` T ) ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ( F ` y ) ) < 1 ) )
122		1red 9600	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> 1 e. RR )
123		simplr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> x e. RR+ )
124	109, 122, 123	lediv1d 11301	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( ( norm ` T ) ` ( F ` y ) ) <_ 1 <-> ( ( ( norm ` T ) ` ( F ` y ) ) / x ) <_ ( 1 / x ) ) )
125	112, 121, 124	3imtr3d 267	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( ( 0g ` T ) ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ( F ` y ) ) < 1 -> ( ( ( norm ` T ) ` ( F ` y ) ) / x ) <_ ( 1 / x ) ) )
126	125	adantld 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( ( F ` y ) e. ( Base ` T ) /\ ( ( 0g ` T ) ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ( F ` y ) ) < 1 ) -> ( ( ( norm ` T ) ` ( F ` y ) ) / x ) <_ ( 1 / x ) ) )
127	97, 126	sylbid 215	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( F ` y ) e. ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) -> ( ( ( norm ` T ) ` ( F ` y ) ) / x ) <_ ( 1 / x ) ) )
128	127	adantld 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) e. ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) -> ( ( ( norm ` T ) ` ( F ` y ) ) / x ) <_ ( 1 / x ) ) )
129	92, 128	sylbid 215	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( y e. ( `' F " ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) -> ( ( ( norm ` T ) ` ( F ` y ) ) / x ) <_ ( 1 / x ) ) )
130	89, 129	imim12d 74	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( ( ( 0g ` S ) ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) y ) < x -> y e. ( `' F " ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) ) -> ( ( ( norm ` S ) ` y ) < x -> ( ( ( norm ` T ) ` ( F ` y ) ) / x ) <_ ( 1 / x ) ) ) )
131	130	ralimdva 2862	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( A. y e. ( Base ` S ) ( ( ( 0g ` S ) ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) y ) < x -> y e. ( `' F " ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) ) -> A. y e. ( Base ` S ) ( ( ( norm ` S ) ` y ) < x -> ( ( ( norm ` T ) ` ( F ` y ) ) / x ) <_ ( 1 / x ) ) ) )
132	20	adantr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) e. ( *Met ` ( Base ` S ) ) )
133	53	adantr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( 0g ` S ) e. ( Base ` S ) )
134		rpxr 11228	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. RR+ -> x e. RR* )
135	134	adantl 464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) -> x e. RR* )
136		blval 21055	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) e. ( *Met ` ( Base ` S ) ) /\ ( 0g ` S ) e. ( Base ` S ) /\ x e. RR* ) -> ( ( 0g ` S ) ( ball ` ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) ) x ) = { y e. ( Base ` S ) | ( ( 0g ` S ) ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) y ) < x } )
137	132, 133, 135, 136	syl3anc 1226	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( ( 0g ` S ) ( ball ` ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) ) x ) = { y e. ( Base ` S ) | ( ( 0g ` S ) ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) y ) < x } )
138	137	sseq1d 3516	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( 0g ` S ) ( ball ` ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) ) x ) C_ ( `' F " ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) <-> { y e. ( Base ` S ) | ( ( 0g ` S ) ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) y ) < x } C_ ( `' F " ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) ) )
139		rabss 3563	. . . . . . . . . 10 |- ( { y e. ( Base ` S ) | ( ( 0g ` S ) ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) y ) < x } C_ ( `' F " ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) <-> A. y e. ( Base ` S ) ( ( ( 0g ` S ) ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) y ) < x -> y e. ( `' F " ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) ) )
140	138, 139	syl6bb 261	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( 0g ` S ) ( ball ` ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) ) x ) C_ ( `' F " ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) <-> A. y e. ( Base ` S ) ( ( ( 0g ` S ) ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) y ) < x -> y e. ( `' F " ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) ) ) )
141		eqid 2454	. . . . . . . . . 10 |- ( S normOp T ) = ( S normOp T )
142		nmhmcn.g	. . . . . . . . . 10 |- G = (Scalar ` S )
143		nmhmcn.b	. . . . . . . . . 10 |- B = ( Base ` G )
144	11	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) -> S e. (NrmMod i^i CMod ) )
145	22	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) -> T e. (NrmMod i^i CMod ) )
146		rpreccl 11245	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR+ -> ( 1 / x ) e. RR+ )
147	146	adantl 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( 1 / x ) e. RR+ )
148	147	rpxrd 11260	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( 1 / x ) e. RR* )
149		simpr 459	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) -> x e. RR+ )
150		simpl3 999	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) -> QQ C_ B )
151	150	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) -> QQ C_ B )
152	141, 17, 79, 107, 142, 143, 144, 145, 104, 148, 149, 151	nmoleub2b 21767	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( S normOp T ) ` F ) <_ ( 1 / x ) <-> A. y e. ( Base ` S ) ( ( ( norm ` S ) ` y ) < x -> ( ( ( norm ` T ) ` ( F ` y ) ) / x ) <_ ( 1 / x ) ) ) )
153	131, 140, 152	3imtr4d 268	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( 0g ` S ) ( ball ` ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) ) x ) C_ ( `' F " ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) -> ( ( S normOp T ) ` F ) <_ ( 1 / x ) ) )
154	74, 101, 55	3jca 1174	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) )
155	146	rpred 11259	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR+ -> ( 1 / x ) e. RR )
156	141	bddnghm 21399	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) /\ ( ( 1 / x ) e. RR /\ ( ( S normOp T ) ` F ) <_ ( 1 / x ) ) ) -> F e. ( S NGHom T ) )
157	156	expr 613	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) /\ ( 1 / x ) e. RR ) -> ( ( ( S normOp T ) ` F ) <_ ( 1 / x ) -> F e. ( S NGHom T ) ) )
158	154, 155, 157	syl2an 475	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( S normOp T ) ` F ) <_ ( 1 / x ) -> F e. ( S NGHom T ) ) )
159	153, 158	syld 44	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( 0g ` S ) ( ball ` ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) ) x ) C_ ( `' F " ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) -> F e. ( S NGHom T ) ) )
160	159	rexlimdva 2946	. . . . . 6 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( E. x e. RR+ ( ( 0g ` S ) ( ball ` ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) ) x ) C_ ( `' F " ( ( 0g ` T ) ( ball ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) 1 ) ) -> F e. ( S NGHom T ) ) )
161	70, 160	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> F e. ( S NGHom T ) )
162	161	ex 432	. . . 4 |- ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) -> F e. ( S NGHom T ) ) )
163	10, 162	impbid2 204	. . 3 |- ( ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) -> ( F e. ( S NGHom T ) <-> F e. ( J Cn K ) ) )
164	163	pm5.32da 639	. 2 |- ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) -> ( ( F e. ( S LMHom T ) /\ F e. ( S NGHom T ) ) <-> ( F e. ( S LMHom T ) /\ F e. ( J Cn K ) ) ) )
165	7, 164	bitrd 253	1 |- ( ( S e. (NrmMod i^i CMod ) /\ T e. (NrmMod i^i CMod ) /\ QQ C_ B ) -> ( F e. ( S NMHom T ) <-> ( F e. ( S LMHom T ) /\ F e. ( J Cn K ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   /\ w3a 971   = wceq 1398   e. wcel 1823   A.wral 2804   E.wrex 2805   {crab 2808   i^i cin 3460   C_ wss 3461   class class class wbr 4439   X. cxp 4986   `'ccnv 4987   |` cres 4990   "cima 4991   Fn wfn 5565   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   RRcr 9480   1c1 9482   RR*cxr 9616   < clt 9617   <_ cle 9618   / cdiv 10202   QQcq 11183   RR+crp 11221   Basecbs 14716  Scalarcsca 14787   distcds 14793   TopOpenctopn 14911   0gc0g 14929   Grpcgrp 16252   GrpHom cghm 16463   LModclmod 17707   LMHom clmhm 17860   *Metcxmt 18598   ballcbl 18600   MetOpencmopn 18603   Cn ccn 19892   *MetSpcxme 20986   MetSpcmt 20987   normcnm 21263  NrmGrpcngp 21264  NrmModcnlm 21267   normOpcnmo 21378   NGHom cnghm 21379   NMHom cnmhm 21380  CModcclm 21728

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ico 11538  df-fz 11676  df-seq 12090  df-exp 12149  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-0g 14931  df-topgen 14933  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-sbg 16258  df-subg 16397  df-ghm 16464  df-cmn 16999  df-mgp 17337  df-ring 17395  df-cring 17396  df-subrg 17622  df-lmod 17709  df-lmhm 17863  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-cnfld 18616  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-cn 19895  df-cnp 19896  df-xms 20989  df-ms 20990  df-nm 21269  df-ngp 21270  df-nlm 21273  df-nmo 21381  df-nghm 21382  df-nmhm 21383  df-clm 21729

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