Theorem nmfnval 11440

Description: Value of the norm of a Hilbert space functional.

Assertion

Ref	Expression
nmfnval	|- (T:~H-->CC -> (normfn` T) = sup({x | E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` (T` y)))}, RR*, < ))

Distinct variable group:   x,y,T

Proof of Theorem nmfnval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltso 6729	. . 3 |- < Or RR*
2	1	supex 5667	. 2 |- sup({x | E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` (T` y)))}, RR*, < ) e. _V
3		ax-hilex 10501	. 2 |- ~H e. _V
4		axcnex 6419	. 2 |- CC e. _V
5		fveq1 4680	. . . . . . . 8 |- (t = T -> (t` y) = (T` y))
6	5	fveq2d 4685	. . . . . . 7 |- (t = T -> (abs` (t` y)) = (abs` (T` y)))
7	6	eqeq2d 1895	. . . . . 6 |- (t = T -> (x = (abs` (t` y)) <-> x = (abs` (T` y))))
8	7	anbi2d 678	. . . . 5 |- (t = T -> (((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` (t` y))) <-> ((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` (T` y)))))
9	8	rexbidv 2124	. . . 4 |- (t = T -> (E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` (t` y))) <-> E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` (T` y)))))
10	9	abbidv 2008	. . 3 |- (t = T -> {x | E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` (t` y)))} = {x | E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` (T` y)))})
11		supeq1 5665	. . 3 |- ({x | E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` (t` y)))} = {x | E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` (T` y)))} -> sup({x | E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` (t` y)))}, RR*, < ) = sup({x | E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` (T` y)))}, RR*, < ))
12	10, 11	syl 12	. 2 |- (t = T -> sup({x | E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` (t` y)))}, RR*, < ) = sup({x | E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` (T` y)))}, RR*, < ))
13		df-nmfn 11408	. 2 |- normfn = {<.t, z>. | (t:~H-->CC /\ z = sup({x | E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` (t` y)))}, RR*, < ))}
14	2, 3, 4, 12, 13	fvopabf4 5399	1 |- (T:~H-->CC -> (normfn` T) = sup({x | E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` (T` y)))}, RR*, < ))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298  {cab 1871  E.wrex 2106   class class class wbr 3338  -->wf 3994  ` cfv 3998  supcsup 5663  CCcc 6384  1c1 6387   <_ cle 6448  RR*cxr 6652   < clt 6653  abscabs 8000  ~Hchil 10420  normhcno 10426  norm_fncnmf 10452

This theorem is referenced by:  nmfnxr 11443  nmfnrepnf 11444  nmfnlb 11485  nmfnleub 11486  nmfn0 11548  nmcfnexlem1 11617  branmfn 11675  branmfnOLD 11676

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731  ax-hilex 10501

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-ltp 6242  df-enr 6318  df-nr 6319  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-c 6392  df-r 6396  df-lt 6399  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-nmfn 11408

Copyright terms: Public domain