HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmfnsetre Structured version   Unicode version

Theorem nmfnsetre 27089
Description: The set in the supremum of the functional norm definition df-nmfn 27057 is a set of reals. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmfnsetre  |-  ( T : ~H --> CC  ->  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y ) ) ) }  C_  RR )
Distinct variable group:    x, y, T

Proof of Theorem nmfnsetre
StepHypRef Expression
1 ffvelrn 5963 . . . . . . . 8  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( T `  y
)  e.  CC )
21abscld 13323 . . . . . . 7  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( abs `  ( T `  y )
)  e.  RR )
3 eleq1 2474 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( abs `  ( T `  y )
)  ->  ( x  e.  RR  <->  ( abs `  ( T `  y )
)  e.  RR ) )
42, 3syl5ibr 221 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( abs `  ( T `  y )
)  ->  ( ( T : ~H --> CC  /\  y  e.  ~H )  ->  x  e.  RR ) )
54impcom 428 . . . . 5  |-  ( ( ( T : ~H --> CC  /\  y  e.  ~H )  /\  x  =  ( abs `  ( T `
 y ) ) )  ->  x  e.  RR )
65adantrl 714 . . . 4  |-  ( ( ( T : ~H --> CC  /\  y  e.  ~H )  /\  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y ) ) ) )  ->  x  e.  RR )
76exp31 602 . . 3  |-  ( T : ~H --> CC  ->  ( y  e.  ~H  ->  ( ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y
) ) )  ->  x  e.  RR )
) )
87rexlimdv 2893 . 2  |-  ( T : ~H --> CC  ->  ( E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y
) ) )  ->  x  e.  RR )
)
98abssdv 3512 1  |-  ( T : ~H --> CC  ->  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y ) ) ) }  C_  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   {cab 2387   E.wrex 2754    C_ wss 3413   class class class wbr 4394   -->wf 5521   ` cfv 5525   CCcc 9440   RRcr 9441   1c1 9443    <_ cle 9579   abscabs 13123   ~Hchil 26130   normhcno 26134
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519  ax-pre-sup 9520
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-2nd 6739  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-er 7268  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-sup 7855  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-div 10168  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-n0 10757  df-z 10826  df-uz 11046  df-rp 11184  df-seq 12062  df-exp 12121  df-cj 12988  df-re 12989  df-im 12990  df-sqrt 13124  df-abs 13125
This theorem is referenced by:  nmfnxr  27091  nmfnrepnf  27092  nmfnlb  27136  nmfnleub  27137  branmfn  27317
  Copyright terms: Public domain W3C validator