HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmfnrepnf Structured version   Unicode version

Theorem nmfnrepnf 26936
Description: The norm of a Hilbert space functional is either real or plus infinity. (Contributed by NM, 8-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmfnrepnf  |-  ( T : ~H --> CC  ->  ( ( normfn `  T )  e.  RR  <->  ( normfn `  T
)  =/= +oo )
)

Proof of Theorem nmfnrepnf
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmfnsetre 26933 . . 3  |-  ( T : ~H --> CC  ->  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y ) ) ) }  C_  RR )
2 nmfnsetn0 26934 . . . 4  |-  ( abs `  ( T `  0h ) )  e.  {
x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y ) ) ) }
32ne0ii 3731 . . 3  |-  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y
) ) ) }  =/=  (/)
4 supxrre2 11462 . . 3  |-  ( ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y )
) ) }  C_  RR  /\  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y
) ) ) }  =/=  (/) )  ->  ( sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )  e.  RR  <->  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )  =/= +oo ) )
51, 3, 4sylancl 660 . 2  |-  ( T : ~H --> CC  ->  ( sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )  e.  RR  <->  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )  =/= +oo ) )
6 nmfnval 26932 . . 3  |-  ( T : ~H --> CC  ->  (
normfn `  T )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
76eleq1d 2461 . 2  |-  ( T : ~H --> CC  ->  ( ( normfn `  T )  e.  RR  <->  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )  e.  RR ) )
86neeq1d 2669 . 2  |-  ( T : ~H --> CC  ->  ( ( normfn `  T )  =/= +oo  <->  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )  =/= +oo ) )
95, 7, 83bitr4d 285 1  |-  ( T : ~H --> CC  ->  ( ( normfn `  T )  e.  RR  <->  ( normfn `  T
)  =/= +oo )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1836   {cab 2377    =/= wne 2587   E.wrex 2743    C_ wss 3402   (/)c0 3724   class class class wbr 4380   -->wf 5505   ` cfv 5509   supcsup 7833   CCcc 9419   RRcr 9420   1c1 9422   +oocpnf 9554   RR*cxr 9556    < clt 9557    <_ cle 9558   abscabs 13088   ~Hchil 25974   normhcno 25978   0hc0v 25979   normfncnmf 26006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2016  ax-ext 2370  ax-sep 4501  ax-nul 4509  ax-pow 4556  ax-pr 4614  ax-un 6509  ax-cnex 9477  ax-resscn 9478  ax-1cn 9479  ax-icn 9480  ax-addcl 9481  ax-addrcl 9482  ax-mulcl 9483  ax-mulrcl 9484  ax-mulcom 9485  ax-addass 9486  ax-mulass 9487  ax-distr 9488  ax-i2m1 9489  ax-1ne0 9490  ax-1rid 9491  ax-rnegex 9492  ax-rrecex 9493  ax-cnre 9494  ax-pre-lttri 9495  ax-pre-lttrn 9496  ax-pre-ltadd 9497  ax-pre-mulgt0 9498  ax-pre-sup 9499  ax-hilex 26054  ax-hv0cl 26058  ax-hvmul0 26065  ax-hfi 26134  ax-his3 26139
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2232  df-mo 2233  df-clab 2378  df-cleq 2384  df-clel 2387  df-nfc 2542  df-ne 2589  df-nel 2590  df-ral 2747  df-rex 2748  df-reu 2749  df-rmo 2750  df-rab 2751  df-v 3049  df-sbc 3266  df-csb 3362  df-dif 3405  df-un 3407  df-in 3409  df-ss 3416  df-pss 3418  df-nul 3725  df-if 3871  df-pw 3942  df-sn 3958  df-pr 3960  df-tp 3962  df-op 3964  df-uni 4177  df-iun 4258  df-br 4381  df-opab 4439  df-mpt 4440  df-tr 4474  df-eprel 4718  df-id 4722  df-po 4727  df-so 4728  df-fr 4765  df-we 4767  df-ord 4808  df-on 4809  df-lim 4810  df-suc 4811  df-xp 4932  df-rel 4933  df-cnv 4934  df-co 4935  df-dm 4936  df-rn 4937  df-res 4938  df-ima 4939  df-iota 5473  df-fun 5511  df-fn 5512  df-f 5513  df-f1 5514  df-fo 5515  df-f1o 5516  df-fv 5517  df-riota 6176  df-ov 6217  df-oprab 6218  df-mpt2 6219  df-om 6618  df-2nd 6718  df-recs 6978  df-rdg 7012  df-er 7247  df-map 7358  df-en 7454  df-dom 7455  df-sdom 7456  df-sup 7834  df-pnf 9559  df-mnf 9560  df-xr 9561  df-ltxr 9562  df-le 9563  df-sub 9738  df-neg 9739  df-div 10142  df-nn 10471  df-2 10529  df-3 10530  df-n0 10731  df-z 10800  df-uz 11020  df-rp 11158  df-seq 12030  df-exp 12089  df-cj 12953  df-re 12954  df-im 12955  df-sqrt 13089  df-abs 13090  df-hnorm 26023  df-nmfn 26901
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator