HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmfnleub2 Structured version   Unicode version

Theorem nmfnleub2 26821
Description: An upper bound for the norm of a functional. (Contributed by NM, 24-May-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmfnleub2  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  A. x  e.  ~H  ( abs `  ( T `
 x ) )  <_  ( A  x.  ( normh `  x )
) )  ->  ( normfn `
 T )  <_  A )
Distinct variable groups:    x, A    x, T

Proof of Theorem nmfnleub2
StepHypRef Expression
1 normcl 26018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  x )  e.  RR )
21ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( T : ~H
--> CC  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  x )  e.  RR )
3 simpllr 760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( T : ~H
--> CC  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
4 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( T : ~H
--> CC  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  x )  <_ 
1 )
5 1re 9598 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
6 lemul2a 10404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( normh `  x
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( A  x.  ( normh `  x ) )  <_ 
( A  x.  1 ) )
75, 6mp3anl2 1320 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( normh `  x
)  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
)  ->  ( A  x.  ( normh `  x )
)  <_  ( A  x.  1 ) )
82, 3, 4, 7syl21anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( T : ~H
--> CC  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( A  x.  ( normh `  x ) )  <_ 
( A  x.  1 ) )
9 ax-1rid 9565 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  x.  1 )  =  A )
109ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )
)  ->  ( A  x.  1 )  =  A )
1110ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( T : ~H
--> CC  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( A  x.  1 )  =  A )
128, 11breqtrd 4461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T : ~H
--> CC  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( A  x.  ( normh `  x ) )  <_  A )
13 ffvelrn 6014 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  x  e.  ~H )  ->  ( T `  x
)  e.  CC )
1413abscld 13248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  x  e.  ~H )  ->  ( abs `  ( T `  x )
)  e.  RR )
1514adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T : ~H --> CC  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( abs `  ( T `  x )
)  e.  RR )
16 remulcl 9580 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( normh `  x )  e.  RR )  ->  ( A  x.  ( normh `  x ) )  e.  RR )
171, 16sylan2 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  ~H )  ->  ( A  x.  ( normh `  x ) )  e.  RR )
1817adantlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( A  x.  ( normh `  x )
)  e.  RR )
1918adantll 713 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T : ~H --> CC  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( A  x.  ( normh `  x ) )  e.  RR )
20 simplrl 761 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T : ~H --> CC  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  A  e.  RR )
21 letr 9681 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs `  ( T `  x )
)  e.  RR  /\  ( A  x.  ( normh `  x ) )  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  ( T `  x )
)  <_  ( A  x.  ( normh `  x )
)  /\  ( A  x.  ( normh `  x )
)  <_  A )  ->  ( abs `  ( T `  x )
)  <_  A )
)
2215, 19, 20, 21syl3anc 1229 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T : ~H --> CC  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( abs `  ( T `  x
) )  <_  ( A  x.  ( normh `  x ) )  /\  ( A  x.  ( normh `  x ) )  <_  A )  -> 
( abs `  ( T `  x )
)  <_  A )
)
2322adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T : ~H
--> CC  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( ( abs `  ( T `  x )
)  <_  ( A  x.  ( normh `  x )
)  /\  ( A  x.  ( normh `  x )
)  <_  A )  ->  ( abs `  ( T `  x )
)  <_  A )
)
2412, 23mpan2d 674 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( T : ~H
--> CC  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( abs `  ( T `  x )
)  <_  ( A  x.  ( normh `  x )
)  ->  ( abs `  ( T `  x
) )  <_  A
) )
2524ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( ( T : ~H --> CC  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( normh `  x
)  <_  1  ->  ( ( abs `  ( T `  x )
)  <_  ( A  x.  ( normh `  x )
)  ->  ( abs `  ( T `  x
) )  <_  A
) ) )
2625com23 78 . . . . 5  |-  ( ( ( T : ~H --> CC  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( abs `  ( T `  x )
)  <_  ( A  x.  ( normh `  x )
)  ->  ( ( normh `  x )  <_ 
1  ->  ( abs `  ( T `  x
) )  <_  A
) ) )
2726ralimdva 2851 . . . 4  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )
)  ->  ( A. x  e.  ~H  ( abs `  ( T `  x ) )  <_ 
( A  x.  ( normh `  x ) )  ->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  ->  ( abs `  ( T `
 x ) )  <_  A ) ) )
2827imp 429 . . 3  |-  ( ( ( T : ~H --> CC  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  A. x  e.  ~H  ( abs `  ( T `  x ) )  <_ 
( A  x.  ( normh `  x ) ) )  ->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( abs `  ( T `  x )
)  <_  A )
)
29 rexr 9642 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
3029adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  A  e.  RR* )
31 nmfnleub 26820 . . . . 5  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  A  e.  RR* )  -> 
( ( normfn `  T
)  <_  A  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( abs `  ( T `  x )
)  <_  A )
) )
3230, 31sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )
)  ->  ( ( normfn `
 T )  <_  A 
<-> 
A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  ->  ( abs `  ( T `
 x ) )  <_  A ) ) )
3332biimpar 485 . . 3  |-  ( ( ( T : ~H --> CC  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  A. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  ->  ( abs `  ( T `  x
) )  <_  A
) )  ->  ( normfn `
 T )  <_  A )
3428, 33syldan 470 . 2  |-  ( ( ( T : ~H --> CC  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  A. x  e.  ~H  ( abs `  ( T `  x ) )  <_ 
( A  x.  ( normh `  x ) ) )  ->  ( normfn `  T )  <_  A
)
35343impa 1192 1  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  A. x  e.  ~H  ( abs `  ( T `
 x ) )  <_  ( A  x.  ( normh `  x )
) )  ->  ( normfn `
 T )  <_  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793   class class class wbr 4437   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   CCcc 9493   RRcr 9494   0cc0 9495   1c1 9496    x. cmul 9500   RR*cxr 9630    <_ cle 9632   abscabs 13048   ~Hchil 25812   normhcno 25816   normfncnmf 25844
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-hilex 25892  ax-hv0cl 25896  ax-hvmul0 25903  ax-hfi 25972  ax-his1 25975  ax-his3 25977  ax-his4 25978
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11092  df-rp 11231  df-seq 12089  df-exp 12148  df-cj 12913  df-re 12914  df-im 12915  df-sqrt 13049  df-abs 13050  df-hnorm 25861  df-nmfn 26740
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator