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Theorem nmfnleub 26709
Description: An upper bound for the norm of a functional. (Contributed by NM, 24-May-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmfnleub  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  A  e.  RR* )  -> 
( ( normfn `  T
)  <_  A  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( abs `  ( T `  x )
)  <_  A )
) )
Distinct variable groups:    x, A    x, T

Proof of Theorem nmfnleub
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmfnval 26660 . . . 4  |-  ( T : ~H --> CC  ->  (
normfn `  T )  =  sup ( { y  |  E. x  e. 
~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x ) ) ) } ,  RR* ,  <  ) )
21adantr 465 . . 3  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  A  e.  RR* )  -> 
( normfn `  T )  =  sup ( { y  |  E. x  e. 
~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x ) ) ) } ,  RR* ,  <  ) )
32breq1d 4443 . 2  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  A  e.  RR* )  -> 
( ( normfn `  T
)  <_  A  <->  sup ( { y  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x )
) ) } ,  RR* ,  <  )  <_  A ) )
4 nmfnsetre 26661 . . . . 5  |-  ( T : ~H --> CC  ->  { y  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x ) ) ) }  C_  RR )
5 ressxr 9635 . . . . 5  |-  RR  C_  RR*
64, 5syl6ss 3498 . . . 4  |-  ( T : ~H --> CC  ->  { y  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x ) ) ) }  C_  RR* )
7 supxrleub 11522 . . . 4  |-  ( ( { y  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x )
) ) }  C_  RR* 
/\  A  e.  RR* )  ->  ( sup ( { y  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x )
) ) } ,  RR* ,  <  )  <_  A 
<-> 
A. z  e.  {
y  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x ) ) ) } z  <_  A
) )
86, 7sylan 471 . . 3  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  A  e.  RR* )  -> 
( sup ( { y  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  <_  A  <->  A. z  e.  { y  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x )
) ) } z  <_  A ) )
9 ancom 450 . . . . . . 7  |-  ( ( ( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x )
) )  <->  ( y  =  ( abs `  ( T `  x )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
) )
10 eqeq1 2445 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  (
y  =  ( abs `  ( T `  x
) )  <->  z  =  ( abs `  ( T `
 x ) ) ) )
1110anbi1d 704 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  (
( y  =  ( abs `  ( T `
 x ) )  /\  ( normh `  x
)  <_  1 )  <-> 
( z  =  ( abs `  ( T `
 x ) )  /\  ( normh `  x
)  <_  1 ) ) )
129, 11syl5bb 257 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  (
( ( normh `  x
)  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x
) ) )  <->  ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
) ) )
1312rexbidv 2952 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  ( E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x
) ) )  <->  E. x  e.  ~H  ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
) ) )
1413ralab 3244 . . . 4  |-  ( A. z  e.  { y  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x
) ) ) } z  <_  A  <->  A. z
( E. x  e. 
~H  ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
)  ->  z  <_  A ) )
15 ralcom4 3112 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ~H  A. z
( ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
)  ->  z  <_  A )  <->  A. z A. x  e.  ~H  ( ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
)  ->  z  <_  A ) )
16 impexp 446 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  =  ( abs `  ( T `
 x ) )  /\  ( normh `  x
)  <_  1 )  ->  z  <_  A
)  <->  ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  ->  ( ( normh `  x )  <_ 
1  ->  z  <_  A ) ) )
1716albii 1625 . . . . . . 7  |-  ( A. z ( ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
)  ->  z  <_  A )  <->  A. z ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  ->  ( ( normh `  x )  <_ 
1  ->  z  <_  A ) ) )
18 fvex 5862 . . . . . . . 8  |-  ( abs `  ( T `  x
) )  e.  _V
19 breq1 4436 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  ->  ( z  <_  A  <->  ( abs `  ( T `  x )
)  <_  A )
)
2019imbi2d 316 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  ->  ( (
( normh `  x )  <_  1  ->  z  <_  A )  <->  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( abs `  ( T `  x )
)  <_  A )
) )
2118, 20ceqsalv 3121 . . . . . . 7  |-  ( A. z ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  ->  ( ( normh `  x )  <_ 
1  ->  z  <_  A ) )  <->  ( ( normh `  x )  <_ 
1  ->  ( abs `  ( T `  x
) )  <_  A
) )
2217, 21bitri 249 . . . . . 6  |-  ( A. z ( ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
)  ->  z  <_  A )  <->  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( abs `  ( T `  x )
)  <_  A )
)
2322ralbii 2872 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ~H  A. z
( ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
)  ->  z  <_  A )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  ->  ( abs `  ( T `
 x ) )  <_  A ) )
24 r19.23v 2921 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ~H  (
( z  =  ( abs `  ( T `
 x ) )  /\  ( normh `  x
)  <_  1 )  ->  z  <_  A
)  <->  ( E. x  e.  ~H  ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
)  ->  z  <_  A ) )
2524albii 1625 . . . . 5  |-  ( A. z A. x  e.  ~H  ( ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
)  ->  z  <_  A )  <->  A. z ( E. x  e.  ~H  (
z  =  ( abs `  ( T `  x
) )  /\  ( normh `  x )  <_ 
1 )  ->  z  <_  A ) )
2615, 23, 253bitr3i 275 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  ->  ( abs `  ( T `  x
) )  <_  A
)  <->  A. z ( E. x  e.  ~H  (
z  =  ( abs `  ( T `  x
) )  /\  ( normh `  x )  <_ 
1 )  ->  z  <_  A ) )
2714, 26bitr4i 252 . . 3  |-  ( A. z  e.  { y  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x
) ) ) } z  <_  A  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( abs `  ( T `  x )
)  <_  A )
)
288, 27syl6bb 261 . 2  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  A  e.  RR* )  -> 
( sup ( { y  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  <_  A  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( abs `  ( T `  x )
)  <_  A )
) )
293, 28bitrd 253 1  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  A  e.  RR* )  -> 
( ( normfn `  T
)  <_  A  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( abs `  ( T `  x )
)  <_  A )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1379    = wceq 1381    e. wcel 1802   {cab 2426   A.wral 2791   E.wrex 2792    C_ wss 3458   class class class wbr 4433   -->wf 5570   ` cfv 5574   supcsup 7898   CCcc 9488   RRcr 9489   1c1 9491   RR*cxr 9625    < clt 9626    <_ cle 9627   abscabs 13041   ~Hchil 25701   normhcno 25705   normfncnmf 25733
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568  ax-hilex 25781
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-er 7309  df-map 7420  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-sup 7899  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11086  df-rp 11225  df-seq 12082  df-exp 12141  df-cj 12906  df-re 12907  df-im 12908  df-sqrt 13042  df-abs 13043  df-nmfn 26629
This theorem is referenced by:  nmfnleub2  26710
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