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Theorem nmfnleub 25508
Description: An upper bound for the norm of a functional. (Contributed by NM, 24-May-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmfnleub  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  A  e.  RR* )  -> 
( ( normfn `  T
)  <_  A  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( abs `  ( T `  x )
)  <_  A )
) )
Distinct variable groups:    x, A    x, T

Proof of Theorem nmfnleub
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmfnval 25459 . . . 4  |-  ( T : ~H --> CC  ->  (
normfn `  T )  =  sup ( { y  |  E. x  e. 
~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x ) ) ) } ,  RR* ,  <  ) )
21adantr 465 . . 3  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  A  e.  RR* )  -> 
( normfn `  T )  =  sup ( { y  |  E. x  e. 
~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x ) ) ) } ,  RR* ,  <  ) )
32breq1d 4413 . 2  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  A  e.  RR* )  -> 
( ( normfn `  T
)  <_  A  <->  sup ( { y  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x )
) ) } ,  RR* ,  <  )  <_  A ) )
4 nmfnsetre 25460 . . . . 5  |-  ( T : ~H --> CC  ->  { y  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x ) ) ) }  C_  RR )
5 ressxr 9542 . . . . 5  |-  RR  C_  RR*
64, 5syl6ss 3479 . . . 4  |-  ( T : ~H --> CC  ->  { y  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x ) ) ) }  C_  RR* )
7 supxrleub 11404 . . . 4  |-  ( ( { y  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x )
) ) }  C_  RR* 
/\  A  e.  RR* )  ->  ( sup ( { y  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x )
) ) } ,  RR* ,  <  )  <_  A 
<-> 
A. z  e.  {
y  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x ) ) ) } z  <_  A
) )
86, 7sylan 471 . . 3  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  A  e.  RR* )  -> 
( sup ( { y  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  <_  A  <->  A. z  e.  { y  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x )
) ) } z  <_  A ) )
9 ancom 450 . . . . . . 7  |-  ( ( ( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x )
) )  <->  ( y  =  ( abs `  ( T `  x )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
) )
10 eqeq1 2458 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  (
y  =  ( abs `  ( T `  x
) )  <->  z  =  ( abs `  ( T `
 x ) ) ) )
1110anbi1d 704 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  (
( y  =  ( abs `  ( T `
 x ) )  /\  ( normh `  x
)  <_  1 )  <-> 
( z  =  ( abs `  ( T `
 x ) )  /\  ( normh `  x
)  <_  1 ) ) )
129, 11syl5bb 257 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  (
( ( normh `  x
)  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x
) ) )  <->  ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
) ) )
1312rexbidv 2868 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  ( E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x
) ) )  <->  E. x  e.  ~H  ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
) ) )
1413ralab 3227 . . . 4  |-  ( A. z  e.  { y  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x
) ) ) } z  <_  A  <->  A. z
( E. x  e. 
~H  ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
)  ->  z  <_  A ) )
15 ralcom4 3097 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ~H  A. z
( ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
)  ->  z  <_  A )  <->  A. z A. x  e.  ~H  ( ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
)  ->  z  <_  A ) )
16 impexp 446 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  =  ( abs `  ( T `
 x ) )  /\  ( normh `  x
)  <_  1 )  ->  z  <_  A
)  <->  ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  ->  ( ( normh `  x )  <_ 
1  ->  z  <_  A ) ) )
1716albii 1611 . . . . . . 7  |-  ( A. z ( ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
)  ->  z  <_  A )  <->  A. z ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  ->  ( ( normh `  x )  <_ 
1  ->  z  <_  A ) ) )
18 fvex 5812 . . . . . . . 8  |-  ( abs `  ( T `  x
) )  e.  _V
19 breq1 4406 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  ->  ( z  <_  A  <->  ( abs `  ( T `  x )
)  <_  A )
)
2019imbi2d 316 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  ->  ( (
( normh `  x )  <_  1  ->  z  <_  A )  <->  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( abs `  ( T `  x )
)  <_  A )
) )
2118, 20ceqsalv 3106 . . . . . . 7  |-  ( A. z ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  ->  ( ( normh `  x )  <_ 
1  ->  z  <_  A ) )  <->  ( ( normh `  x )  <_ 
1  ->  ( abs `  ( T `  x
) )  <_  A
) )
2217, 21bitri 249 . . . . . 6  |-  ( A. z ( ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
)  ->  z  <_  A )  <->  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( abs `  ( T `  x )
)  <_  A )
)
2322ralbii 2839 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ~H  A. z
( ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
)  ->  z  <_  A )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  ->  ( abs `  ( T `
 x ) )  <_  A ) )
24 r19.23v 2939 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ~H  (
( z  =  ( abs `  ( T `
 x ) )  /\  ( normh `  x
)  <_  1 )  ->  z  <_  A
)  <->  ( E. x  e.  ~H  ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
)  ->  z  <_  A ) )
2524albii 1611 . . . . 5  |-  ( A. z A. x  e.  ~H  ( ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
)  ->  z  <_  A )  <->  A. z ( E. x  e.  ~H  (
z  =  ( abs `  ( T `  x
) )  /\  ( normh `  x )  <_ 
1 )  ->  z  <_  A ) )
2615, 23, 253bitr3i 275 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  ->  ( abs `  ( T `  x
) )  <_  A
)  <->  A. z ( E. x  e.  ~H  (
z  =  ( abs `  ( T `  x
) )  /\  ( normh `  x )  <_ 
1 )  ->  z  <_  A ) )
2714, 26bitr4i 252 . . 3  |-  ( A. z  e.  { y  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x
) ) ) } z  <_  A  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( abs `  ( T `  x )
)  <_  A )
)
288, 27syl6bb 261 . 2  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  A  e.  RR* )  -> 
( sup ( { y  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  <_  A  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( abs `  ( T `  x )
)  <_  A )
) )
293, 28bitrd 253 1  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  A  e.  RR* )  -> 
( ( normfn `  T
)  <_  A  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( abs `  ( T `  x )
)  <_  A )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1368    = wceq 1370    e. wcel 1758   {cab 2439   A.wral 2799   E.wrex 2800    C_ wss 3439   class class class wbr 4403   -->wf 5525   ` cfv 5529   supcsup 7805   CCcc 9395   RRcr 9396   1c1 9398   RR*cxr 9532    < clt 9533    <_ cle 9534   abscabs 12845   ~Hchil 24500   normhcno 24504   normfncnmf 24532
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474  ax-pre-sup 9475  ax-hilex 24580
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-sup 7806  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-div 10109  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-n0 10695  df-z 10762  df-uz 10977  df-rp 11107  df-seq 11928  df-exp 11987  df-cj 12710  df-re 12711  df-im 12712  df-sqr 12846  df-abs 12847  df-nmfn 25428
This theorem is referenced by:  nmfnleub2  25509
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