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Theorem nmfnleub 26635
Description: An upper bound for the norm of a functional. (Contributed by NM, 24-May-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmfnleub  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  A  e.  RR* )  -> 
( ( normfn `  T
)  <_  A  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( abs `  ( T `  x )
)  <_  A )
) )
Distinct variable groups:    x, A    x, T

Proof of Theorem nmfnleub
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmfnval 26586 . . . 4  |-  ( T : ~H --> CC  ->  (
normfn `  T )  =  sup ( { y  |  E. x  e. 
~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x ) ) ) } ,  RR* ,  <  ) )
21adantr 465 . . 3  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  A  e.  RR* )  -> 
( normfn `  T )  =  sup ( { y  |  E. x  e. 
~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x ) ) ) } ,  RR* ,  <  ) )
32breq1d 4462 . 2  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  A  e.  RR* )  -> 
( ( normfn `  T
)  <_  A  <->  sup ( { y  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x )
) ) } ,  RR* ,  <  )  <_  A ) )
4 nmfnsetre 26587 . . . . 5  |-  ( T : ~H --> CC  ->  { y  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x ) ) ) }  C_  RR )
5 ressxr 9647 . . . . 5  |-  RR  C_  RR*
64, 5syl6ss 3521 . . . 4  |-  ( T : ~H --> CC  ->  { y  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x ) ) ) }  C_  RR* )
7 supxrleub 11528 . . . 4  |-  ( ( { y  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x )
) ) }  C_  RR* 
/\  A  e.  RR* )  ->  ( sup ( { y  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x )
) ) } ,  RR* ,  <  )  <_  A 
<-> 
A. z  e.  {
y  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x ) ) ) } z  <_  A
) )
86, 7sylan 471 . . 3  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  A  e.  RR* )  -> 
( sup ( { y  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  <_  A  <->  A. z  e.  { y  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x )
) ) } z  <_  A ) )
9 ancom 450 . . . . . . 7  |-  ( ( ( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x )
) )  <->  ( y  =  ( abs `  ( T `  x )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
) )
10 eqeq1 2471 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  (
y  =  ( abs `  ( T `  x
) )  <->  z  =  ( abs `  ( T `
 x ) ) ) )
1110anbi1d 704 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  (
( y  =  ( abs `  ( T `
 x ) )  /\  ( normh `  x
)  <_  1 )  <-> 
( z  =  ( abs `  ( T `
 x ) )  /\  ( normh `  x
)  <_  1 ) ) )
129, 11syl5bb 257 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  (
( ( normh `  x
)  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x
) ) )  <->  ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
) ) )
1312rexbidv 2978 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  ( E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x
) ) )  <->  E. x  e.  ~H  ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
) ) )
1413ralab 3269 . . . 4  |-  ( A. z  e.  { y  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x
) ) ) } z  <_  A  <->  A. z
( E. x  e. 
~H  ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
)  ->  z  <_  A ) )
15 ralcom4 3137 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ~H  A. z
( ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
)  ->  z  <_  A )  <->  A. z A. x  e.  ~H  ( ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
)  ->  z  <_  A ) )
16 impexp 446 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  =  ( abs `  ( T `
 x ) )  /\  ( normh `  x
)  <_  1 )  ->  z  <_  A
)  <->  ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  ->  ( ( normh `  x )  <_ 
1  ->  z  <_  A ) ) )
1716albii 1620 . . . . . . 7  |-  ( A. z ( ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
)  ->  z  <_  A )  <->  A. z ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  ->  ( ( normh `  x )  <_ 
1  ->  z  <_  A ) ) )
18 fvex 5881 . . . . . . . 8  |-  ( abs `  ( T `  x
) )  e.  _V
19 breq1 4455 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  ->  ( z  <_  A  <->  ( abs `  ( T `  x )
)  <_  A )
)
2019imbi2d 316 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  ->  ( (
( normh `  x )  <_  1  ->  z  <_  A )  <->  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( abs `  ( T `  x )
)  <_  A )
) )
2118, 20ceqsalv 3146 . . . . . . 7  |-  ( A. z ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  ->  ( ( normh `  x )  <_ 
1  ->  z  <_  A ) )  <->  ( ( normh `  x )  <_ 
1  ->  ( abs `  ( T `  x
) )  <_  A
) )
2217, 21bitri 249 . . . . . 6  |-  ( A. z ( ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
)  ->  z  <_  A )  <->  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( abs `  ( T `  x )
)  <_  A )
)
2322ralbii 2898 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ~H  A. z
( ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
)  ->  z  <_  A )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  ->  ( abs `  ( T `
 x ) )  <_  A ) )
24 r19.23v 2947 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ~H  (
( z  =  ( abs `  ( T `
 x ) )  /\  ( normh `  x
)  <_  1 )  ->  z  <_  A
)  <->  ( E. x  e.  ~H  ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
)  ->  z  <_  A ) )
2524albii 1620 . . . . 5  |-  ( A. z A. x  e.  ~H  ( ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
)  ->  z  <_  A )  <->  A. z ( E. x  e.  ~H  (
z  =  ( abs `  ( T `  x
) )  /\  ( normh `  x )  <_ 
1 )  ->  z  <_  A ) )
2615, 23, 253bitr3i 275 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  ->  ( abs `  ( T `  x
) )  <_  A
)  <->  A. z ( E. x  e.  ~H  (
z  =  ( abs `  ( T `  x
) )  /\  ( normh `  x )  <_ 
1 )  ->  z  <_  A ) )
2714, 26bitr4i 252 . . 3  |-  ( A. z  e.  { y  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x
) ) ) } z  <_  A  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( abs `  ( T `  x )
)  <_  A )
)
288, 27syl6bb 261 . 2  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  A  e.  RR* )  -> 
( sup ( { y  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  <_  A  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( abs `  ( T `  x )
)  <_  A )
) )
293, 28bitrd 253 1  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  A  e.  RR* )  -> 
( ( normfn `  T
)  <_  A  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( abs `  ( T `  x )
)  <_  A )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1377    = wceq 1379    e. wcel 1767   {cab 2452   A.wral 2817   E.wrex 2818    C_ wss 3481   class class class wbr 4452   -->wf 5589   ` cfv 5593   supcsup 7910   CCcc 9500   RRcr 9501   1c1 9503   RR*cxr 9637    < clt 9638    <_ cle 9639   abscabs 13042   ~Hchil 25627   normhcno 25631   normfncnmf 25659
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579  ax-pre-sup 9580  ax-hilex 25707
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-om 6695  df-2nd 6795  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-er 7321  df-map 7432  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-sup 7911  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-div 10217  df-nn 10547  df-2 10604  df-3 10605  df-n0 10806  df-z 10875  df-uz 11093  df-rp 11231  df-seq 12086  df-exp 12145  df-cj 12907  df-re 12908  df-im 12909  df-sqrt 13043  df-abs 13044  df-nmfn 26555
This theorem is referenced by:  nmfnleub2  26636
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