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Theorem nmfnlb 25350
Description: A lower bound for a functional norm. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmfnlb  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  <_ 
1 )  ->  ( abs `  ( T `  A ) )  <_ 
( normfn `  T )
)

Proof of Theorem nmfnlb
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmfnsetre 25303 . . . . 5  |-  ( T : ~H --> CC  ->  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y ) ) ) }  C_  RR )
2 ressxr 9448 . . . . 5  |-  RR  C_  RR*
31, 2syl6ss 3389 . . . 4  |-  ( T : ~H --> CC  ->  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y ) ) ) }  C_  RR* )
433ad2ant1 1009 . . 3  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  <_ 
1 )  ->  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y
) ) ) } 
C_  RR* )
5 fveq2 5712 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  ( normh `  y )  =  ( normh `  A )
)
65breq1d 4323 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  (
( normh `  y )  <_  1  <->  ( normh `  A
)  <_  1 ) )
7 fveq2 5712 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  ( T `  y )  =  ( T `  A ) )
87fveq2d 5716 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  ( abs `  ( T `  y ) )  =  ( abs `  ( T `  A )
) )
98eqeq2d 2454 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  (
( abs `  ( T `  A )
)  =  ( abs `  ( T `  y
) )  <->  ( abs `  ( T `  A
) )  =  ( abs `  ( T `
 A ) ) ) )
106, 9anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  ( abs `  ( T `
 A ) )  =  ( abs `  ( T `  y )
) )  <->  ( ( normh `  A )  <_ 
1  /\  ( abs `  ( T `  A
) )  =  ( abs `  ( T `
 A ) ) ) ) )
11 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( abs `  ( T `  A
) )  =  ( abs `  ( T `
 A ) )
1211biantru 505 . . . . . . 7  |-  ( (
normh `  A )  <_ 
1  <->  ( ( normh `  A )  <_  1  /\  ( abs `  ( T `  A )
)  =  ( abs `  ( T `  A
) ) ) )
1310, 12syl6bbr 263 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  ( abs `  ( T `
 A ) )  =  ( abs `  ( T `  y )
) )  <->  ( normh `  A )  <_  1
) )
1413rspcev 3094 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  <_  1 )  ->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  ( abs `  ( T `  A )
)  =  ( abs `  ( T `  y
) ) ) )
15 fvex 5722 . . . . . 6  |-  ( abs `  ( T `  A
) )  e.  _V
16 eqeq1 2449 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( abs `  ( T `  A )
)  ->  ( x  =  ( abs `  ( T `  y )
)  <->  ( abs `  ( T `  A )
)  =  ( abs `  ( T `  y
) ) ) )
1716anbi2d 703 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( abs `  ( T `  A )
)  ->  ( (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y )
) )  <->  ( ( normh `  y )  <_ 
1  /\  ( abs `  ( T `  A
) )  =  ( abs `  ( T `
 y ) ) ) ) )
1817rexbidv 2757 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( abs `  ( T `  A )
)  ->  ( E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y )
) )  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  ( abs `  ( T `  A )
)  =  ( abs `  ( T `  y
) ) ) ) )
1915, 18elab 3127 . . . . 5  |-  ( ( abs `  ( T `
 A ) )  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y
) ) ) }  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  ( abs `  ( T `
 A ) )  =  ( abs `  ( T `  y )
) ) )
2014, 19sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  <_  1 )  ->  ( abs `  ( T `  A ) )  e. 
{ x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y )
) ) } )
21203adant1 1006 . . 3  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  <_ 
1 )  ->  ( abs `  ( T `  A ) )  e. 
{ x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y )
) ) } )
22 supxrub 11308 . . 3  |-  ( ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y )
) ) }  C_  RR* 
/\  ( abs `  ( T `  A )
)  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y
) ) ) } )  ->  ( abs `  ( T `  A
) )  <_  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y )
) ) } ,  RR* ,  <  ) )
234, 21, 22syl2anc 661 . 2  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  <_ 
1 )  ->  ( abs `  ( T `  A ) )  <_  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
24 nmfnval 25302 . . 3  |-  ( T : ~H --> CC  ->  (
normfn `  T )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
25243ad2ant1 1009 . 2  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  <_ 
1 )  ->  ( normfn `
 T )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
2623, 25breqtrrd 4339 1  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  <_ 
1 )  ->  ( abs `  ( T `  A ) )  <_ 
( normfn `  T )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2429   E.wrex 2737    C_ wss 3349   class class class wbr 4313   -->wf 5435   ` cfv 5439   supcsup 7711   CCcc 9301   RRcr 9302   1c1 9304   RR*cxr 9438    < clt 9439    <_ cle 9440   abscabs 12744   ~Hchil 24343   normhcno 24347   normfncnmf 24375
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381  ax-hilex 24423
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-er 7122  df-map 7237  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-sup 7712  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-rp 11013  df-seq 11828  df-exp 11887  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-nmfn 25271
This theorem is referenced by:  nmfnge0  25353  nmbdfnlbi  25475  nmcfnlbi  25478
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