HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmfnlb Structured version   Unicode version

Theorem nmfnlb 26505
Description: A lower bound for a functional norm. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmfnlb  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  <_ 
1 )  ->  ( abs `  ( T `  A ) )  <_ 
( normfn `  T )
)

Proof of Theorem nmfnlb
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmfnsetre 26458 . . . . 5  |-  ( T : ~H --> CC  ->  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y ) ) ) }  C_  RR )
2 ressxr 9626 . . . . 5  |-  RR  C_  RR*
31, 2syl6ss 3509 . . . 4  |-  ( T : ~H --> CC  ->  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y ) ) ) }  C_  RR* )
433ad2ant1 1012 . . 3  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  <_ 
1 )  ->  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y
) ) ) } 
C_  RR* )
5 fveq2 5857 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  ( normh `  y )  =  ( normh `  A )
)
65breq1d 4450 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  (
( normh `  y )  <_  1  <->  ( normh `  A
)  <_  1 ) )
7 fveq2 5857 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  ( T `  y )  =  ( T `  A ) )
87fveq2d 5861 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  ( abs `  ( T `  y ) )  =  ( abs `  ( T `  A )
) )
98eqeq2d 2474 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  (
( abs `  ( T `  A )
)  =  ( abs `  ( T `  y
) )  <->  ( abs `  ( T `  A
) )  =  ( abs `  ( T `
 A ) ) ) )
106, 9anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  ( abs `  ( T `
 A ) )  =  ( abs `  ( T `  y )
) )  <->  ( ( normh `  A )  <_ 
1  /\  ( abs `  ( T `  A
) )  =  ( abs `  ( T `
 A ) ) ) ) )
11 eqid 2460 . . . . . . . 8  |-  ( abs `  ( T `  A
) )  =  ( abs `  ( T `
 A ) )
1211biantru 505 . . . . . . 7  |-  ( (
normh `  A )  <_ 
1  <->  ( ( normh `  A )  <_  1  /\  ( abs `  ( T `  A )
)  =  ( abs `  ( T `  A
) ) ) )
1310, 12syl6bbr 263 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  ( abs `  ( T `
 A ) )  =  ( abs `  ( T `  y )
) )  <->  ( normh `  A )  <_  1
) )
1413rspcev 3207 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  <_  1 )  ->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  ( abs `  ( T `  A )
)  =  ( abs `  ( T `  y
) ) ) )
15 fvex 5867 . . . . . 6  |-  ( abs `  ( T `  A
) )  e.  _V
16 eqeq1 2464 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( abs `  ( T `  A )
)  ->  ( x  =  ( abs `  ( T `  y )
)  <->  ( abs `  ( T `  A )
)  =  ( abs `  ( T `  y
) ) ) )
1716anbi2d 703 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( abs `  ( T `  A )
)  ->  ( (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y )
) )  <->  ( ( normh `  y )  <_ 
1  /\  ( abs `  ( T `  A
) )  =  ( abs `  ( T `
 y ) ) ) ) )
1817rexbidv 2966 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( abs `  ( T `  A )
)  ->  ( E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y )
) )  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  ( abs `  ( T `  A )
)  =  ( abs `  ( T `  y
) ) ) ) )
1915, 18elab 3243 . . . . 5  |-  ( ( abs `  ( T `
 A ) )  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y
) ) ) }  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  ( abs `  ( T `
 A ) )  =  ( abs `  ( T `  y )
) ) )
2014, 19sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  <_  1 )  ->  ( abs `  ( T `  A ) )  e. 
{ x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y )
) ) } )
21203adant1 1009 . . 3  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  <_ 
1 )  ->  ( abs `  ( T `  A ) )  e. 
{ x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y )
) ) } )
22 supxrub 11505 . . 3  |-  ( ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y )
) ) }  C_  RR* 
/\  ( abs `  ( T `  A )
)  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y
) ) ) } )  ->  ( abs `  ( T `  A
) )  <_  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y )
) ) } ,  RR* ,  <  ) )
234, 21, 22syl2anc 661 . 2  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  <_ 
1 )  ->  ( abs `  ( T `  A ) )  <_  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
24 nmfnval 26457 . . 3  |-  ( T : ~H --> CC  ->  (
normfn `  T )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
25243ad2ant1 1012 . 2  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  <_ 
1 )  ->  ( normfn `
 T )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
2623, 25breqtrrd 4466 1  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  <_ 
1 )  ->  ( abs `  ( T `  A ) )  <_ 
( normfn `  T )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   {cab 2445   E.wrex 2808    C_ wss 3469   class class class wbr 4440   -->wf 5575   ` cfv 5579   supcsup 7889   CCcc 9479   RRcr 9480   1c1 9482   RR*cxr 9616    < clt 9617    <_ cle 9618   abscabs 13017   ~Hchil 25498   normhcno 25502   normfncnmf 25530
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-hilex 25578
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-map 7412  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-sup 7890  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-rp 11210  df-seq 12064  df-exp 12123  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-nmfn 26426
This theorem is referenced by:  nmfnge0  26508  nmbdfnlbi  26630  nmcfnlbi  26633
  Copyright terms: Public domain W3C validator