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Theorem nmfnlb 26959
Description: A lower bound for a functional norm. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmfnlb  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  <_ 
1 )  ->  ( abs `  ( T `  A ) )  <_ 
( normfn `  T )
)

Proof of Theorem nmfnlb
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmfnsetre 26912 . . . . 5  |-  ( T : ~H --> CC  ->  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y ) ) ) }  C_  RR )
2 ressxr 9548 . . . . 5  |-  RR  C_  RR*
31, 2syl6ss 3429 . . . 4  |-  ( T : ~H --> CC  ->  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y ) ) ) }  C_  RR* )
433ad2ant1 1015 . . 3  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  <_ 
1 )  ->  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y
) ) ) } 
C_  RR* )
5 fveq2 5774 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  ( normh `  y )  =  ( normh `  A )
)
65breq1d 4377 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  (
( normh `  y )  <_  1  <->  ( normh `  A
)  <_  1 ) )
7 fveq2 5774 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  ( T `  y )  =  ( T `  A ) )
87fveq2d 5778 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  ( abs `  ( T `  y ) )  =  ( abs `  ( T `  A )
) )
98eqeq2d 2396 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  (
( abs `  ( T `  A )
)  =  ( abs `  ( T `  y
) )  <->  ( abs `  ( T `  A
) )  =  ( abs `  ( T `
 A ) ) ) )
106, 9anbi12d 708 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  ( abs `  ( T `
 A ) )  =  ( abs `  ( T `  y )
) )  <->  ( ( normh `  A )  <_ 
1  /\  ( abs `  ( T `  A
) )  =  ( abs `  ( T `
 A ) ) ) ) )
11 eqid 2382 . . . . . . . 8  |-  ( abs `  ( T `  A
) )  =  ( abs `  ( T `
 A ) )
1211biantru 503 . . . . . . 7  |-  ( (
normh `  A )  <_ 
1  <->  ( ( normh `  A )  <_  1  /\  ( abs `  ( T `  A )
)  =  ( abs `  ( T `  A
) ) ) )
1310, 12syl6bbr 263 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  ( abs `  ( T `
 A ) )  =  ( abs `  ( T `  y )
) )  <->  ( normh `  A )  <_  1
) )
1413rspcev 3135 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  <_  1 )  ->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  ( abs `  ( T `  A )
)  =  ( abs `  ( T `  y
) ) ) )
15 fvex 5784 . . . . . 6  |-  ( abs `  ( T `  A
) )  e.  _V
16 eqeq1 2386 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( abs `  ( T `  A )
)  ->  ( x  =  ( abs `  ( T `  y )
)  <->  ( abs `  ( T `  A )
)  =  ( abs `  ( T `  y
) ) ) )
1716anbi2d 701 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( abs `  ( T `  A )
)  ->  ( (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y )
) )  <->  ( ( normh `  y )  <_ 
1  /\  ( abs `  ( T `  A
) )  =  ( abs `  ( T `
 y ) ) ) ) )
1817rexbidv 2893 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( abs `  ( T `  A )
)  ->  ( E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y )
) )  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  ( abs `  ( T `  A )
)  =  ( abs `  ( T `  y
) ) ) ) )
1915, 18elab 3171 . . . . 5  |-  ( ( abs `  ( T `
 A ) )  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y
) ) ) }  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  ( abs `  ( T `
 A ) )  =  ( abs `  ( T `  y )
) ) )
2014, 19sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  <_  1 )  ->  ( abs `  ( T `  A ) )  e. 
{ x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y )
) ) } )
21203adant1 1012 . . 3  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  <_ 
1 )  ->  ( abs `  ( T `  A ) )  e. 
{ x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y )
) ) } )
22 supxrub 11437 . . 3  |-  ( ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y )
) ) }  C_  RR* 
/\  ( abs `  ( T `  A )
)  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y
) ) ) } )  ->  ( abs `  ( T `  A
) )  <_  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y )
) ) } ,  RR* ,  <  ) )
234, 21, 22syl2anc 659 . 2  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  <_ 
1 )  ->  ( abs `  ( T `  A ) )  <_  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
24 nmfnval 26911 . . 3  |-  ( T : ~H --> CC  ->  (
normfn `  T )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
25243ad2ant1 1015 . 2  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  <_ 
1 )  ->  ( normfn `
 T )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
2623, 25breqtrrd 4393 1  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  <_ 
1 )  ->  ( abs `  ( T `  A ) )  <_ 
( normfn `  T )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826   {cab 2367   E.wrex 2733    C_ wss 3389   class class class wbr 4367   -->wf 5492   ` cfv 5496   supcsup 7815   CCcc 9401   RRcr 9402   1c1 9404   RR*cxr 9538    < clt 9539    <_ cle 9540   abscabs 13069   ~Hchil 25953   normhcno 25957   normfncnmf 25985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481  ax-hilex 26033
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-er 7229  df-map 7340  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-sup 7816  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-rp 11140  df-seq 12011  df-exp 12070  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-nmfn 26880
This theorem is referenced by:  nmfnge0  26962  nmbdfnlbi  27084  nmcfnlbi  27087
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