Theorem nmfnge0 11488

Description: The norm of any Hilbert space functional is nonnegative.

Assertion

Ref	Expression
nmfnge0	|- (T:~H-->CC -> 0 <_ (normfn` T))

Proof of Theorem nmfnge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hv0cl 10505	. . . 4 |- 0h e. ~H
2		ffvelrn 4787	. . . 4 |- ((T:~H-->CC /\ 0h e. ~H) -> (T` 0h) e. CC)
3	1, 2	mpan2 760	. . 3 |- (T:~H-->CC -> (T` 0h) e. CC)
4		absge0 8105	. . 3 |- ((T` 0h) e. CC -> 0 <_ (abs` (T` 0h)))
5	3, 4	syl 12	. 2 |- (T:~H-->CC -> 0 <_ (abs` (T` 0h)))
6		norm0 10628	. . . 4 |- (normh` 0h) = 0
7		0re 6603	. . . . 5 |- 0 e. RR
8		1re 6598	. . . . 5 |- 1 e. RR
9		lt01 6871	. . . . 5 |- 0 < 1
10	7, 8, 9	ltleii 6756	. . . 4 |- 0 <_ 1
11	6, 10	eqbrtri 3356	. . 3 |- (normh` 0h) <_ 1
12		nmfnlb 11485	. . 3 |- ((T:~H-->CC /\ 0h e. ~H /\ (normh` 0h) <_ 1) -> (abs` (T` 0h)) <_ (normfn` T))
13	1, 11, 12	mp3an23 1183	. 2 |- (T:~H-->CC -> (abs` (T` 0h)) <_ (normfn` T))
14		abscl 8084	. . . 4 |- ((T` 0h) e. CC -> (abs` (T` 0h)) e. RR)
15		rexr 6668	. . . 4 |- ((abs` (T` 0h)) e. RR -> (abs` (T` 0h)) e. RR*)
16	3, 14, 15	3syl 24	. . 3 |- (T:~H-->CC -> (abs` (T` 0h)) e. RR*)
17		nmfnxr 11443	. . 3 |- (T:~H-->CC -> (normfn` T) e. RR*)
18		rexr 6668	. . . . 5 |- (0 e. RR -> 0 e. RR*)
19	7, 18	ax-mp 7	. . . 4 |- 0 e. RR*
20		xrletr 6739	. . . 4 |- ((0 e. RR* /\ (abs` (T` 0h)) e. RR* /\ (normfn` T) e. RR*) -> ((0 <_ (abs` (T` 0h)) /\ (abs` (T` 0h)) <_ (normfn` T)) -> 0 <_ (normfn` T)))
21	19, 20	mp3an1 1178	. . 3 |- (((abs` (T` 0h)) e. RR* /\ (normfn` T) e. RR*) -> ((0 <_ (abs` (T` 0h)) /\ (abs` (T` 0h)) <_ (normfn` T)) -> 0 <_ (normfn` T)))
22	16, 17, 21	syl11anc 524	. 2 |- (T:~H-->CC -> ((0 <_ (abs` (T` 0h)) /\ (abs` (T` 0h)) <_ (normfn` T)) -> 0 <_ (normfn` T)))
23	5, 13, 22	mp2and 767	1 |- (T:~H-->CC -> 0 <_ (normfn` T))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   e. wcel 1300   class class class wbr 3338  -->wf 3994  ` cfv 3998  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   <_ cle 6448  RR*cxr 6652  abscabs 8000  ~Hchil 10420  0hc0v 10423  normhcno 10426  norm_fncnmf 10452

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731  ax-hilex 10501  ax-hv0cl 10505  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his3 10584

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-hnorm 10469  df-nmfn 11408

Copyright terms: Public domain