HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmfn0 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem nmfn0 27633
Description: The norm of the identically zero functional is zero. (Contributed by NM, 25-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmfn0  |-  ( normfn `  ( ~H  X.  {
0 } ) )  =  0

Proof of Theorem nmfn0
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0lnfn 27631 . . 3  |-  ( ~H 
X.  { 0 } )  e.  LinFn
2 lnfnf 27530 . . 3  |-  ( ( ~H  X.  { 0 } )  e.  LinFn  -> 
( ~H  X.  {
0 } ) : ~H --> CC )
3 nmfnval 27522 . . 3  |-  ( ( ~H  X.  { 0 } ) : ~H --> CC  ->  ( normfn `  ( ~H  X.  { 0 } ) )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  (
( ~H  X.  {
0 } ) `  y ) ) ) } ,  RR* ,  <  ) )
41, 2, 3mp2b 10 . 2  |-  ( normfn `  ( ~H  X.  {
0 } ) )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( ~H 
X.  { 0 } ) `  y ) ) ) } ,  RR* ,  <  )
5 c0ex 9634 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  _V
65fvconst2 6118 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( ~H  X.  {
0 } ) `  y )  =  0 )
76fveq2d 5867 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( abs `  ( ( ~H 
X.  { 0 } ) `  y ) )  =  ( abs `  0 ) )
8 abs0 13341 . . . . . . . . . 10  |-  ( abs `  0 )  =  0
97, 8syl6eq 2500 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( abs `  ( ( ~H 
X.  { 0 } ) `  y ) )  =  0 )
109eqeq2d 2460 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
x  =  ( abs `  ( ( ~H  X.  { 0 } ) `
 y ) )  <-> 
x  =  0 ) )
1110anbi2d 709 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( ~H  X.  { 0 } ) `
 y ) ) )  <->  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  0
) ) )
1211rexbiia 2887 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  (
( ~H  X.  {
0 } ) `  y ) ) )  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  0 ) )
13 ax-hv0cl 26649 . . . . . . . 8  |-  0h  e.  ~H
14 0le1 10134 . . . . . . . 8  |-  0  <_  1
15 fveq2 5863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  0h  ->  ( normh `  y )  =  ( normh `  0h )
)
16 norm0 26774 . . . . . . . . . . 11  |-  ( normh `  0h )  =  0
1715, 16syl6eq 2500 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  0h  ->  ( normh `  y )  =  0 )
1817breq1d 4411 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  0h  ->  (
( normh `  y )  <_  1  <->  0  <_  1
) )
1918rspcev 3149 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0h  e.  ~H  /\  0  <_  1 )  ->  E. y  e.  ~H  ( normh `  y )  <_  1 )
2013, 14, 19mp2an 677 . . . . . . 7  |-  E. y  e.  ~H  ( normh `  y
)  <_  1
21 r19.41v 2941 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  0 )  <->  ( E. y  e.  ~H  ( normh `  y )  <_ 
1  /\  x  = 
0 ) )
2220, 21mpbiran 928 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  0 )  <->  x  = 
0 )
2312, 22bitri 253 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  (
( ~H  X.  {
0 } ) `  y ) ) )  <-> 
x  =  0 )
2423abbii 2566 . . . 4  |-  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( ~H  X.  { 0 } ) `
 y ) ) ) }  =  {
x  |  x  =  0 }
25 df-sn 3968 . . . 4  |-  { 0 }  =  { x  |  x  =  0 }
2624, 25eqtr4i 2475 . . 3  |-  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( ~H  X.  { 0 } ) `
 y ) ) ) }  =  {
0 }
2726supeq1i 7958 . 2  |-  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  (
( ~H  X.  {
0 } ) `  y ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  =  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )
28 xrltso 11437 . . 3  |-  <  Or  RR*
29 0xr 9684 . . 3  |-  0  e.  RR*
30 supsn 7985 . . 3  |-  ( (  <  Or  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )  =  0 )
3128, 29, 30mp2an 677 . 2  |-  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )  =  0
324, 27, 313eqtri 2476 1  |-  ( normfn `  ( ~H  X.  {
0 } ) )  =  0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 371    = wceq 1443    e. wcel 1886   {cab 2436   E.wrex 2737   {csn 3967   class class class wbr 4401    Or wor 4753    X. cxp 4831   -->wf 5577   ` cfv 5581   supcsup 7951   CCcc 9534   0cc0 9536   1c1 9537   RR*cxr 9671    < clt 9672    <_ cle 9673   abscabs 13290   ~Hchil 26565   normhcno 26569   0hc0v 26570   normfncnmf 26597   LinFnclf 26600
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-hilex 26645  ax-hfvadd 26646  ax-hv0cl 26649  ax-hfvmul 26651  ax-hvmul0 26656  ax-hfi 26725  ax-his3 26730
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-er 7360  df-map 7471  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-sup 7953  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-rp 11300  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-hnorm 26614  df-nmfn 27491  df-lnfn 27494
This theorem is referenced by:  nmbdfnlb  27696  branmfn  27751
  Copyright terms: Public domain W3C validator