MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmf Structured version   Unicode version

Theorem nmf 20204
Description: The norm on a normed group is a function into the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmf.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
nmf.n  |-  N  =  ( norm `  G
)
Assertion
Ref Expression
nmf  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  N : X --> RR )

Proof of Theorem nmf
StepHypRef Expression
1 ngpgrp 20189 . 2  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  G  e.  Grp )
2 ngpms 20190 . . 3  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  G  e.  MetSp )
3 nmf.x . . . 4  |-  X  =  ( Base `  G
)
4 eqid 2441 . . . 4  |-  ( (
dist `  G )  |`  ( X  X.  X
) )  =  ( ( dist `  G
)  |`  ( X  X.  X ) )
53, 4msmet 20030 . . 3  |-  ( G  e.  MetSp  ->  ( ( dist `  G )  |`  ( X  X.  X
) )  e.  ( Met `  X ) )
62, 5syl 16 . 2  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  ( ( dist `  G )  |`  ( X  X.  X ) )  e.  ( Met `  X
) )
7 nmf.n . . 3  |-  N  =  ( norm `  G
)
8 eqid 2441 . . 3  |-  ( dist `  G )  =  (
dist `  G )
97, 3, 8, 4nmf2 20183 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( dist `  G
)  |`  ( X  X.  X ) )  e.  ( Met `  X
) )  ->  N : X --> RR )
101, 6, 9syl2anc 661 1  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  N : X --> RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756    X. cxp 4836    |` cres 4840   -->wf 5412   ` cfv 5416   RRcr 9279   Basecbs 14172   distcds 14245   Grpcgrp 15408   Metcme 17800   MetSpcmt 19891   normcnm 20167  NrmGrpcngp 20168
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357  ax-pre-sup 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-er 7099  df-map 7214  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-sup 7689  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-div 9992  df-nn 10321  df-2 10378  df-n0 10578  df-z 10645  df-uz 10860  df-q 10952  df-rp 10990  df-xneg 11087  df-xadd 11088  df-xmul 11089  df-0g 14378  df-topgen 14380  df-mnd 15413  df-grp 15543  df-psmet 17807  df-xmet 17808  df-met 17809  df-bl 17810  df-mopn 17811  df-top 18501  df-bases 18503  df-topon 18504  df-topsp 18505  df-xms 19893  df-ms 19894  df-nm 20173  df-ngp 20174
This theorem is referenced by:  nmcl  20205
  Copyright terms: Public domain W3C validator