MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmf Structured version   Unicode version

Theorem nmf 21259
Description: The norm on a normed group is a function into the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmf.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
nmf.n  |-  N  =  ( norm `  G
)
Assertion
Ref Expression
nmf  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  N : X --> RR )

Proof of Theorem nmf
StepHypRef Expression
1 ngpgrp 21244 . 2  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  G  e.  Grp )
2 ngpms 21245 . . 3  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  G  e.  MetSp )
3 nmf.x . . . 4  |-  X  =  ( Base `  G
)
4 eqid 2457 . . . 4  |-  ( (
dist `  G )  |`  ( X  X.  X
) )  =  ( ( dist `  G
)  |`  ( X  X.  X ) )
53, 4msmet 21085 . . 3  |-  ( G  e.  MetSp  ->  ( ( dist `  G )  |`  ( X  X.  X
) )  e.  ( Met `  X ) )
62, 5syl 16 . 2  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  ( ( dist `  G )  |`  ( X  X.  X ) )  e.  ( Met `  X
) )
7 nmf.n . . 3  |-  N  =  ( norm `  G
)
8 eqid 2457 . . 3  |-  ( dist `  G )  =  (
dist `  G )
97, 3, 8, 4nmf2 21238 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( dist `  G
)  |`  ( X  X.  X ) )  e.  ( Met `  X
) )  ->  N : X --> RR )
101, 6, 9syl2anc 661 1  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  N : X --> RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1395    e. wcel 1819    X. cxp 5006    |` cres 5010   -->wf 5590   ` cfv 5594   RRcr 9508   Basecbs 14643   distcds 14720   Grpcgrp 16179   Metcme 18530   MetSpcmt 20946   normcnm 21222  NrmGrpcngp 21223
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-0g 14858  df-topgen 14860  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-grp 16183  df-psmet 18537  df-xmet 18538  df-met 18539  df-bl 18540  df-mopn 18541  df-top 19525  df-bases 19527  df-topon 19528  df-topsp 19529  df-xms 20948  df-ms 20949  df-nm 21228  df-ngp 21229
This theorem is referenced by:  nmcl  21260
  Copyright terms: Public domain W3C validator