Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmdvr Structured version   Unicode version

Theorem nmdvr 20231
 Description: The norm of a division in a nonzero normed ring. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmdvr.x
nmdvr.n
nmdvr.u Unit
nmdvr.d /r
Assertion
Ref Expression
nmdvr NrmRing NzRing

Proof of Theorem nmdvr
StepHypRef Expression
1 simpll 753 . . . 4 NrmRing NzRing NrmRing
2 simprl 755 . . . 4 NrmRing NzRing
3 nrgrng 20224 . . . . . 6 NrmRing
43ad2antrr 725 . . . . 5 NrmRing NzRing
5 simprr 756 . . . . 5 NrmRing NzRing
6 nmdvr.u . . . . . 6 Unit
7 eqid 2438 . . . . . 6
8 nmdvr.x . . . . . 6
96, 7, 8rnginvcl 16758 . . . . 5
104, 5, 9syl2anc 661 . . . 4 NrmRing NzRing
11 nmdvr.n . . . . 5
12 eqid 2438 . . . . 5
138, 11, 12nmmul 20225 . . . 4 NrmRing
141, 2, 10, 13syl3anc 1218 . . 3 NrmRing NzRing
15 simplr 754 . . . . 5 NrmRing NzRing NzRing
1611, 6, 7nminvr 20230 . . . . 5 NrmRing NzRing
171, 15, 5, 16syl3anc 1218 . . . 4 NrmRing NzRing
1817oveq2d 6102 . . 3 NrmRing NzRing
1914, 18eqtrd 2470 . 2 NrmRing NzRing
20 nmdvr.d . . . . 5 /r
218, 12, 6, 7, 20dvrval 16767 . . . 4
2221adantl 466 . . 3 NrmRing NzRing
2322fveq2d 5690 . 2 NrmRing NzRing
24 nrgngp 20223 . . . . . 6 NrmRing NrmGrp
2524ad2antrr 725 . . . . 5 NrmRing NzRing NrmGrp
268, 11nmcl 20187 . . . . 5 NrmGrp
2725, 2, 26syl2anc 661 . . . 4 NrmRing NzRing
2827recnd 9404 . . 3 NrmRing NzRing
298, 6unitss 16742 . . . . . 6
3029, 5sseldi 3349 . . . . 5 NrmRing NzRing
318, 11nmcl 20187 . . . . 5 NrmGrp
3225, 30, 31syl2anc 661 . . . 4 NrmRing NzRing
3332recnd 9404 . . 3 NrmRing NzRing
3411, 6unitnmn0 20229 . . . . 5 NrmRing NzRing
35343expa 1187 . . . 4 NrmRing NzRing
3635adantrl 715 . . 3 NrmRing NzRing
3728, 33, 36divrecd 10102 . 2 NrmRing NzRing
3819, 23, 373eqtr4d 2480 1 NrmRing NzRing
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1369   wcel 1756   wne 2601  cfv 5413  (class class class)co 6086  cr 9273  cc0 9274  c1 9275   cmul 9279   cdiv 9985  cbs 14166  cmulr 14231  crg 16635  Unitcui 16721  cinvr 16753  /rcdvr 16764  NzRingcnzr 17319  cnm 20149  NrmGrpcngp 20150  NrmRingcnrg 20152 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-tpos 6740  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-sup 7683  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ico 11298  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-0g 14372  df-topgen 14374  df-mnd 15407  df-grp 15536  df-minusg 15537  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-oppr 16705  df-dvdsr 16723  df-unit 16724  df-invr 16754  df-dvr 16765  df-abv 16882  df-nzr 17320  df-psmet 17789  df-xmet 17790  df-met 17791  df-bl 17792  df-mopn 17793  df-top 18483  df-bases 18485  df-topon 18486  df-topsp 18487  df-xms 19875  df-ms 19876  df-nm 20155  df-ngp 20156  df-nrg 20158 This theorem is referenced by:  qqhnm  26388
 Copyright terms: Public domain W3C validator