Theorem nmcvcn 25428

Description: The norm of a normed complex vector space is a continuous function. (Contributed by NM, 16-May-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmcvcn.1	|- N = ( normCV ` U )
nmcvcn.2	|- C = ( IndMet ` U )
nmcvcn.j	|- J = ( MetOpen ` C )
nmcvcn.k	|- K = ( topGen ` ran (,) )

Assertion

Ref	Expression
nmcvcn	|- ( U e. NrmCVec -> N e. ( J Cn K ) )

Proof of Theorem nmcvcn

Dummy variables e d x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2467	. . 3 |- ( BaseSet ` U ) = ( BaseSet ` U )
2		nmcvcn.1	. . 3 |- N = ( normCV ` U )
3	1, 2	nvf 25384	. 2 |- ( U e. NrmCVec -> N : ( BaseSet ` U ) --> RR )
4		simprr 756	. . . 4 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( x e. ( BaseSet ` U ) /\ e e. RR+ ) ) -> e e. RR+ )
5	1, 2	nvcl 25385	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( N ` x ) e. RR )
6	5	ex 434	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( U e. NrmCVec -> ( x e. ( BaseSet ` U ) -> ( N ` x ) e. RR ) )
7	1, 2	nvcl 25385	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( U e. NrmCVec /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( N ` y ) e. RR )
8	7	ex 434	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( U e. NrmCVec -> ( y e. ( BaseSet ` U ) -> ( N ` y ) e. RR ) )
9	6, 8	anim12d 563	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U e. NrmCVec -> ( ( x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( ( N ` x ) e. RR /\ ( N ` y ) e. RR ) ) )
10		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) = ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) )
11	10	remet 21163	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) e. ( Met ` RR )
12		metcl 20703	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) e. ( Met ` RR ) /\ ( N ` x ) e. RR /\ ( N ` y ) e. RR ) -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) e. RR )
13	11, 12	mp3an1 1311	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N ` x ) e. RR /\ ( N ` y ) e. RR ) -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) e. RR )
14	9, 13	syl6 33	. . . . . . . . . . 11 |- ( U e. NrmCVec -> ( ( x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) e. RR ) )
15	14	3impib 1194	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) e. RR )
16		nmcvcn.2	. . . . . . . . . . . 12 |- C = ( IndMet ` U )
17	1, 16	imsmet 25420	. . . . . . . . . . 11 |- ( U e. NrmCVec -> C e. ( Met ` ( BaseSet ` U ) ) )
18		metcl 20703	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ( Met ` ( BaseSet ` U ) ) /\ x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( x C y ) e. RR )
19	17, 18	syl3an1 1261	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( x C y ) e. RR )
20		eqid 2467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( +v ` U ) = ( +v ` U )
21		eqid 2467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( .sOLD ` U ) = ( .sOLD ` U )
22	1, 20, 21, 2	nvabs 25399	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( abs ` ( ( N ` x ) - ( N ` y ) ) ) <_ ( N ` ( x ( +v ` U ) ( -u 1 ( .sOLD ` U ) y ) ) ) )
23	9	3impib 1194	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( ( N ` x ) e. RR /\ ( N ` y ) e. RR ) )
24	10	remetdval 21162	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N ` x ) e. RR /\ ( N ` y ) e. RR ) -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) = ( abs ` ( ( N ` x ) - ( N ` y ) ) ) )
25	23, 24	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) = ( abs ` ( ( N ` x ) - ( N ` y ) ) ) )
26	1, 20, 21, 2, 16	imsdval2 25416	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( x C y ) = ( N ` ( x ( +v ` U ) ( -u 1 ( .sOLD ` U ) y ) ) ) )
27	22, 25, 26	3brtr4d 4483	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) <_ ( x C y ) )
28	15, 19, 27	jca31 534	. . . . . . . . 9 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( ( ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) e. RR /\ ( x C y ) e. RR ) /\ ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) <_ ( x C y ) ) )
29	28	3expa 1196	. . . . . . . 8 |- ( ( ( U e. NrmCVec /\ x e. ( BaseSet ` U ) ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( ( ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) e. RR /\ ( x C y ) e. RR ) /\ ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) <_ ( x C y ) ) )
30		rpre 11238	. . . . . . . 8 |- ( e e. RR+ -> e e. RR )
31		lelttr 9687	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) e. RR /\ ( x C y ) e. RR /\ e e. RR ) -> ( ( ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) <_ ( x C y ) /\ ( x C y ) < e ) -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) )
32	31	3expa 1196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) e. RR /\ ( x C y ) e. RR ) /\ e e. RR ) -> ( ( ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) <_ ( x C y ) /\ ( x C y ) < e ) -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) )
33	32	expdimp 437	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) e. RR /\ ( x C y ) e. RR ) /\ e e. RR ) /\ ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) <_ ( x C y ) ) -> ( ( x C y ) < e -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) )
34	33	an32s 802	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) e. RR /\ ( x C y ) e. RR ) /\ ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) <_ ( x C y ) ) /\ e e. RR ) -> ( ( x C y ) < e -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) )
35	29, 30, 34	syl2an 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( U e. NrmCVec /\ x e. ( BaseSet ` U ) ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) /\ e e. RR+ ) -> ( ( x C y ) < e -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) )
36	35	ex 434	. . . . . 6 |- ( ( ( U e. NrmCVec /\ x e. ( BaseSet ` U ) ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( e e. RR+ -> ( ( x C y ) < e -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) ) )
37	36	ralrimdva 2885	. . . . 5 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( e e. RR+ -> A. y e. ( BaseSet ` U ) ( ( x C y ) < e -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) ) )
38	37	impr 619	. . . 4 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( x e. ( BaseSet ` U ) /\ e e. RR+ ) ) -> A. y e. ( BaseSet ` U ) ( ( x C y ) < e -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) )
39		breq2 4457	. . . . . . 7 |- ( d = e -> ( ( x C y ) < d <-> ( x C y ) < e ) )
40	39	imbi1d 317	. . . . . 6 |- ( d = e -> ( ( ( x C y ) < d -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) <-> ( ( x C y ) < e -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) ) )
41	40	ralbidv 2906	. . . . 5 |- ( d = e -> ( A. y e. ( BaseSet ` U ) ( ( x C y ) < d -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) <-> A. y e. ( BaseSet ` U ) ( ( x C y ) < e -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) ) )
42	41	rspcev 3219	. . . 4 |- ( ( e e. RR+ /\ A. y e. ( BaseSet ` U ) ( ( x C y ) < e -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) ) -> E. d e. RR+ A. y e. ( BaseSet ` U ) ( ( x C y ) < d -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) )
43	4, 38, 42	syl2anc 661	. . 3 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( x e. ( BaseSet ` U ) /\ e e. RR+ ) ) -> E. d e. RR+ A. y e. ( BaseSet ` U ) ( ( x C y ) < d -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) )
44	43	ralrimivva 2888	. 2 |- ( U e. NrmCVec -> A. x e. ( BaseSet ` U ) A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. y e. ( BaseSet ` U ) ( ( x C y ) < d -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) )
45	1, 16	imsxmet 25421	. . 3 |- ( U e. NrmCVec -> C e. ( *Met ` ( BaseSet ` U ) ) )
46	10	rexmet 21164	. . 3 |- ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) e. ( *Met ` RR )
47		nmcvcn.j	. . . 4 |- J = ( MetOpen ` C )
48		nmcvcn.k	. . . . 5 |- K = ( topGen ` ran (,) )
49		eqid 2467	. . . . . 6 |- ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) )
50	10, 49	tgioo 21169	. . . . 5 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) )
51	48, 50	eqtri 2496	. . . 4 |- K = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) )
52	47, 51	metcn 20914	. . 3 |- ( ( C e. ( *Met ` ( BaseSet ` U ) ) /\ ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) e. ( *Met ` RR ) ) -> ( N e. ( J Cn K ) <-> ( N : ( BaseSet ` U ) --> RR /\ A. x e. ( BaseSet ` U ) A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. y e. ( BaseSet ` U ) ( ( x C y ) < d -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) ) ) )
53	45, 46, 52	sylancl 662	. 2 |- ( U e. NrmCVec -> ( N e. ( J Cn K ) <-> ( N : ( BaseSet ` U ) --> RR /\ A. x e. ( BaseSet ` U ) A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. y e. ( BaseSet ` U ) ( ( x C y ) < d -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) ) ) )
54	3, 44, 53	mpbir2and 920	1 |- ( U e. NrmCVec -> N e. ( J Cn K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2817   E.wrex 2818   class class class wbr 4453   X. cxp 5003   ran crn 5006   |` cres 5007   o. ccom 5009   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   RRcr 9503   1c1 9505   < clt 9640   <_ cle 9641   - cmin 9817   -ucneg 9818   RR+crp 11232   (,)cioo 11541   abscabs 13047   topGenctg 14710   *Metcxmt 18273   Metcme 18274   MetOpencmopn 18278   Cn ccn 19593   NrmCVeccnv 25300   +vcpv 25301   BaseSetcba 25302   .sOLDcns 25303   norm_CVcnmcv 25306   IndMetcims 25307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-seq 12088  df-exp 12147  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-topgen 14716  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-grpo 25016  df-gid 25017  df-ginv 25018  df-gdiv 25019  df-ablo 25107  df-vc 25262  df-nv 25308  df-va 25311  df-ba 25312  df-sm 25313  df-0v 25314  df-vs 25315  df-nmcv 25316  df-ims 25317

This theorem is referenced by:  nmcnc  25429