Theorem nmcvcn 24262

Description: The norm of a normed complex vector space is a continuous function. (Contributed by NM, 16-May-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmcvcn.1	|- N = ( normCV ` U )
nmcvcn.2	|- C = ( IndMet ` U )
nmcvcn.j	|- J = ( MetOpen ` C )
nmcvcn.k	|- K = ( topGen ` ran (,) )

Assertion

Ref	Expression
nmcvcn	|- ( U e. NrmCVec -> N e. ( J Cn K ) )

Proof of Theorem nmcvcn

Dummy variables e d x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2454	. . 3 |- ( BaseSet ` U ) = ( BaseSet ` U )
2		nmcvcn.1	. . 3 |- N = ( normCV ` U )
3	1, 2	nvf 24218	. 2 |- ( U e. NrmCVec -> N : ( BaseSet ` U ) --> RR )
4		simprr 756	. . . 4 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( x e. ( BaseSet ` U ) /\ e e. RR+ ) ) -> e e. RR+ )
5	1, 2	nvcl 24219	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( N ` x ) e. RR )
6	5	ex 434	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( U e. NrmCVec -> ( x e. ( BaseSet ` U ) -> ( N ` x ) e. RR ) )
7	1, 2	nvcl 24219	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( U e. NrmCVec /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( N ` y ) e. RR )
8	7	ex 434	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( U e. NrmCVec -> ( y e. ( BaseSet ` U ) -> ( N ` y ) e. RR ) )
9	6, 8	anim12d 563	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U e. NrmCVec -> ( ( x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( ( N ` x ) e. RR /\ ( N ` y ) e. RR ) ) )
10		eqid 2454	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) = ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) )
11	10	remet 20502	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) e. ( Met ` RR )
12		metcl 20042	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) e. ( Met ` RR ) /\ ( N ` x ) e. RR /\ ( N ` y ) e. RR ) -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) e. RR )
13	11, 12	mp3an1 1302	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N ` x ) e. RR /\ ( N ` y ) e. RR ) -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) e. RR )
14	9, 13	syl6 33	. . . . . . . . . . 11 |- ( U e. NrmCVec -> ( ( x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) e. RR ) )
15	14	3impib 1186	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) e. RR )
16		nmcvcn.2	. . . . . . . . . . . 12 |- C = ( IndMet ` U )
17	1, 16	imsmet 24254	. . . . . . . . . . 11 |- ( U e. NrmCVec -> C e. ( Met ` ( BaseSet ` U ) ) )
18		metcl 20042	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ( Met ` ( BaseSet ` U ) ) /\ x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( x C y ) e. RR )
19	17, 18	syl3an1 1252	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( x C y ) e. RR )
20		eqid 2454	. . . . . . . . . . . 12 |- ( +v ` U ) = ( +v ` U )
21		eqid 2454	. . . . . . . . . . . 12 |- ( .sOLD ` U ) = ( .sOLD ` U )
22	1, 20, 21, 2	nvabs 24233	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( abs ` ( ( N ` x ) - ( N ` y ) ) ) <_ ( N ` ( x ( +v ` U ) ( -u 1 ( .sOLD ` U ) y ) ) ) )
23	9	3impib 1186	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( ( N ` x ) e. RR /\ ( N ` y ) e. RR ) )
24	10	remetdval 20501	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N ` x ) e. RR /\ ( N ` y ) e. RR ) -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) = ( abs ` ( ( N ` x ) - ( N ` y ) ) ) )
25	23, 24	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) = ( abs ` ( ( N ` x ) - ( N ` y ) ) ) )
26	1, 20, 21, 2, 16	imsdval2 24250	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( x C y ) = ( N ` ( x ( +v ` U ) ( -u 1 ( .sOLD ` U ) y ) ) ) )
27	22, 25, 26	3brtr4d 4433	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) <_ ( x C y ) )
28	15, 19, 27	jca31 534	. . . . . . . . 9 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( ( ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) e. RR /\ ( x C y ) e. RR ) /\ ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) <_ ( x C y ) ) )
29	28	3expa 1188	. . . . . . . 8 |- ( ( ( U e. NrmCVec /\ x e. ( BaseSet ` U ) ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( ( ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) e. RR /\ ( x C y ) e. RR ) /\ ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) <_ ( x C y ) ) )
30		rpre 11111	. . . . . . . 8 |- ( e e. RR+ -> e e. RR )
31		lelttr 9579	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) e. RR /\ ( x C y ) e. RR /\ e e. RR ) -> ( ( ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) <_ ( x C y ) /\ ( x C y ) < e ) -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) )
32	31	3expa 1188	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) e. RR /\ ( x C y ) e. RR ) /\ e e. RR ) -> ( ( ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) <_ ( x C y ) /\ ( x C y ) < e ) -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) )
33	32	expdimp 437	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) e. RR /\ ( x C y ) e. RR ) /\ e e. RR ) /\ ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) <_ ( x C y ) ) -> ( ( x C y ) < e -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) )
34	33	an32s 802	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) e. RR /\ ( x C y ) e. RR ) /\ ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) <_ ( x C y ) ) /\ e e. RR ) -> ( ( x C y ) < e -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) )
35	29, 30, 34	syl2an 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( U e. NrmCVec /\ x e. ( BaseSet ` U ) ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) /\ e e. RR+ ) -> ( ( x C y ) < e -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) )
36	35	ex 434	. . . . . 6 |- ( ( ( U e. NrmCVec /\ x e. ( BaseSet ` U ) ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( e e. RR+ -> ( ( x C y ) < e -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) ) )
37	36	ralrimdva 2912	. . . . 5 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( e e. RR+ -> A. y e. ( BaseSet ` U ) ( ( x C y ) < e -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) ) )
38	37	impr 619	. . . 4 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( x e. ( BaseSet ` U ) /\ e e. RR+ ) ) -> A. y e. ( BaseSet ` U ) ( ( x C y ) < e -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) )
39		breq2 4407	. . . . . . 7 |- ( d = e -> ( ( x C y ) < d <-> ( x C y ) < e ) )
40	39	imbi1d 317	. . . . . 6 |- ( d = e -> ( ( ( x C y ) < d -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) <-> ( ( x C y ) < e -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) ) )
41	40	ralbidv 2846	. . . . 5 |- ( d = e -> ( A. y e. ( BaseSet ` U ) ( ( x C y ) < d -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) <-> A. y e. ( BaseSet ` U ) ( ( x C y ) < e -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) ) )
42	41	rspcev 3179	. . . 4 |- ( ( e e. RR+ /\ A. y e. ( BaseSet ` U ) ( ( x C y ) < e -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) ) -> E. d e. RR+ A. y e. ( BaseSet ` U ) ( ( x C y ) < d -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) )
43	4, 38, 42	syl2anc 661	. . 3 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( x e. ( BaseSet ` U ) /\ e e. RR+ ) ) -> E. d e. RR+ A. y e. ( BaseSet ` U ) ( ( x C y ) < d -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) )
44	43	ralrimivva 2914	. 2 |- ( U e. NrmCVec -> A. x e. ( BaseSet ` U ) A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. y e. ( BaseSet ` U ) ( ( x C y ) < d -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) )
45	1, 16	imsxmet 24255	. . 3 |- ( U e. NrmCVec -> C e. ( *Met ` ( BaseSet ` U ) ) )
46	10	rexmet 20503	. . 3 |- ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) e. ( *Met ` RR )
47		nmcvcn.j	. . . 4 |- J = ( MetOpen ` C )
48		nmcvcn.k	. . . . 5 |- K = ( topGen ` ran (,) )
49		eqid 2454	. . . . . 6 |- ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) )
50	10, 49	tgioo 20508	. . . . 5 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) )
51	48, 50	eqtri 2483	. . . 4 |- K = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) )
52	47, 51	metcn 20253	. . 3 |- ( ( C e. ( *Met ` ( BaseSet ` U ) ) /\ ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) e. ( *Met ` RR ) ) -> ( N e. ( J Cn K ) <-> ( N : ( BaseSet ` U ) --> RR /\ A. x e. ( BaseSet ` U ) A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. y e. ( BaseSet ` U ) ( ( x C y ) < d -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) ) ) )
53	45, 46, 52	sylancl 662	. 2 |- ( U e. NrmCVec -> ( N e. ( J Cn K ) <-> ( N : ( BaseSet ` U ) --> RR /\ A. x e. ( BaseSet ` U ) A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. y e. ( BaseSet ` U ) ( ( x C y ) < d -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) ) ) )
54	3, 44, 53	mpbir2and 913	1 |- ( U e. NrmCVec -> N e. ( J Cn K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   A.wral 2799   E.wrex 2800   class class class wbr 4403   X. cxp 4949   ran crn 4952   |` cres 4953   o. ccom 4955   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   RRcr 9395   1c1 9397   < clt 9532   <_ cle 9533   - cmin 9709   -ucneg 9710   RR+crp 11105   (,)cioo 11414   abscabs 12844   topGenctg 14498   *Metcxmt 17929   Metcme 17930   MetOpencmopn 17934   Cn ccn 18963   NrmCVeccnv 24134   +vcpv 24135   BaseSetcba 24136   .sOLDcns 24137   norm_CVcnmcv 24140   IndMetcims 24141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-pre-sup 9474  ax-addf 9475  ax-mulf 9476

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-sup 7805  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-q 11068  df-rp 11106  df-xneg 11203  df-xadd 11204  df-xmul 11205  df-ioo 11418  df-seq 11927  df-exp 11986  df-cj 12709  df-re 12710  df-im 12711  df-sqr 12845  df-abs 12846  df-topgen 14504  df-psmet 17937  df-xmet 17938  df-met 17939  df-bl 17940  df-mopn 17941  df-top 18638  df-bases 18640  df-topon 18641  df-cn 18966  df-cnp 18967  df-grpo 23850  df-gid 23851  df-ginv 23852  df-gdiv 23853  df-ablo 23941  df-vc 24096  df-nv 24142  df-va 24145  df-ba 24146  df-sm 24147  df-0v 24148  df-vs 24149  df-nmcv 24150  df-ims 24151

This theorem is referenced by:  nmcnc  24263