Theorem nmcvcn 25732

Description: The norm of a normed complex vector space is a continuous function. (Contributed by NM, 16-May-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmcvcn.1	|- N = ( normCV ` U )
nmcvcn.2	|- C = ( IndMet ` U )
nmcvcn.j	|- J = ( MetOpen ` C )
nmcvcn.k	|- K = ( topGen ` ran (,) )

Assertion

Ref	Expression
nmcvcn	|- ( U e. NrmCVec -> N e. ( J Cn K ) )

Proof of Theorem nmcvcn

Dummy variables e d x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2457	. . 3 |- ( BaseSet ` U ) = ( BaseSet ` U )
2		nmcvcn.1	. . 3 |- N = ( normCV ` U )
3	1, 2	nvf 25688	. 2 |- ( U e. NrmCVec -> N : ( BaseSet ` U ) --> RR )
4		simprr 757	. . . 4 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( x e. ( BaseSet ` U ) /\ e e. RR+ ) ) -> e e. RR+ )
5	1, 2	nvcl 25689	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( N ` x ) e. RR )
6	5	ex 434	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( U e. NrmCVec -> ( x e. ( BaseSet ` U ) -> ( N ` x ) e. RR ) )
7	1, 2	nvcl 25689	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( U e. NrmCVec /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( N ` y ) e. RR )
8	7	ex 434	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( U e. NrmCVec -> ( y e. ( BaseSet ` U ) -> ( N ` y ) e. RR ) )
9	6, 8	anim12d 563	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U e. NrmCVec -> ( ( x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( ( N ` x ) e. RR /\ ( N ` y ) e. RR ) ) )
10		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) = ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) )
11	10	remet 21421	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) e. ( Met ` RR )
12		metcl 20961	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) e. ( Met ` RR ) /\ ( N ` x ) e. RR /\ ( N ` y ) e. RR ) -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) e. RR )
13	11, 12	mp3an1 1311	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N ` x ) e. RR /\ ( N ` y ) e. RR ) -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) e. RR )
14	9, 13	syl6 33	. . . . . . . . . . 11 |- ( U e. NrmCVec -> ( ( x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) e. RR ) )
15	14	3impib 1194	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) e. RR )
16		nmcvcn.2	. . . . . . . . . . . 12 |- C = ( IndMet ` U )
17	1, 16	imsmet 25724	. . . . . . . . . . 11 |- ( U e. NrmCVec -> C e. ( Met ` ( BaseSet ` U ) ) )
18		metcl 20961	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ( Met ` ( BaseSet ` U ) ) /\ x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( x C y ) e. RR )
19	17, 18	syl3an1 1261	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( x C y ) e. RR )
20		eqid 2457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( +v ` U ) = ( +v ` U )
21		eqid 2457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( .sOLD ` U ) = ( .sOLD ` U )
22	1, 20, 21, 2	nvabs 25703	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( abs ` ( ( N ` x ) - ( N ` y ) ) ) <_ ( N ` ( x ( +v ` U ) ( -u 1 ( .sOLD ` U ) y ) ) ) )
23	9	3impib 1194	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( ( N ` x ) e. RR /\ ( N ` y ) e. RR ) )
24	10	remetdval 21420	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N ` x ) e. RR /\ ( N ` y ) e. RR ) -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) = ( abs ` ( ( N ` x ) - ( N ` y ) ) ) )
25	23, 24	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) = ( abs ` ( ( N ` x ) - ( N ` y ) ) ) )
26	1, 20, 21, 2, 16	imsdval2 25720	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( x C y ) = ( N ` ( x ( +v ` U ) ( -u 1 ( .sOLD ` U ) y ) ) ) )
27	22, 25, 26	3brtr4d 4486	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) <_ ( x C y ) )
28	15, 19, 27	jca31 534	. . . . . . . . 9 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( ( ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) e. RR /\ ( x C y ) e. RR ) /\ ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) <_ ( x C y ) ) )
29	28	3expa 1196	. . . . . . . 8 |- ( ( ( U e. NrmCVec /\ x e. ( BaseSet ` U ) ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( ( ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) e. RR /\ ( x C y ) e. RR ) /\ ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) <_ ( x C y ) ) )
30		rpre 11251	. . . . . . . 8 |- ( e e. RR+ -> e e. RR )
31		lelttr 9692	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) e. RR /\ ( x C y ) e. RR /\ e e. RR ) -> ( ( ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) <_ ( x C y ) /\ ( x C y ) < e ) -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) )
32	31	3expa 1196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) e. RR /\ ( x C y ) e. RR ) /\ e e. RR ) -> ( ( ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) <_ ( x C y ) /\ ( x C y ) < e ) -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) )
33	32	expdimp 437	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) e. RR /\ ( x C y ) e. RR ) /\ e e. RR ) /\ ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) <_ ( x C y ) ) -> ( ( x C y ) < e -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) )
34	33	an32s 804	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) e. RR /\ ( x C y ) e. RR ) /\ ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) <_ ( x C y ) ) /\ e e. RR ) -> ( ( x C y ) < e -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) )
35	29, 30, 34	syl2an 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( U e. NrmCVec /\ x e. ( BaseSet ` U ) ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) /\ e e. RR+ ) -> ( ( x C y ) < e -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) )
36	35	ex 434	. . . . . 6 |- ( ( ( U e. NrmCVec /\ x e. ( BaseSet ` U ) ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( e e. RR+ -> ( ( x C y ) < e -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) ) )
37	36	ralrimdva 2875	. . . . 5 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( e e. RR+ -> A. y e. ( BaseSet ` U ) ( ( x C y ) < e -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) ) )
38	37	impr 619	. . . 4 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( x e. ( BaseSet ` U ) /\ e e. RR+ ) ) -> A. y e. ( BaseSet ` U ) ( ( x C y ) < e -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) )
39		breq2 4460	. . . . . . 7 |- ( d = e -> ( ( x C y ) < d <-> ( x C y ) < e ) )
40	39	imbi1d 317	. . . . . 6 |- ( d = e -> ( ( ( x C y ) < d -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) <-> ( ( x C y ) < e -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) ) )
41	40	ralbidv 2896	. . . . 5 |- ( d = e -> ( A. y e. ( BaseSet ` U ) ( ( x C y ) < d -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) <-> A. y e. ( BaseSet ` U ) ( ( x C y ) < e -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) ) )
42	41	rspcev 3210	. . . 4 |- ( ( e e. RR+ /\ A. y e. ( BaseSet ` U ) ( ( x C y ) < e -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) ) -> E. d e. RR+ A. y e. ( BaseSet ` U ) ( ( x C y ) < d -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) )
43	4, 38, 42	syl2anc 661	. . 3 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( x e. ( BaseSet ` U ) /\ e e. RR+ ) ) -> E. d e. RR+ A. y e. ( BaseSet ` U ) ( ( x C y ) < d -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) )
44	43	ralrimivva 2878	. 2 |- ( U e. NrmCVec -> A. x e. ( BaseSet ` U ) A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. y e. ( BaseSet ` U ) ( ( x C y ) < d -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) )
45	1, 16	imsxmet 25725	. . 3 |- ( U e. NrmCVec -> C e. ( *Met ` ( BaseSet ` U ) ) )
46	10	rexmet 21422	. . 3 |- ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) e. ( *Met ` RR )
47		nmcvcn.j	. . . 4 |- J = ( MetOpen ` C )
48		nmcvcn.k	. . . . 5 |- K = ( topGen ` ran (,) )
49		eqid 2457	. . . . . 6 |- ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) )
50	10, 49	tgioo 21427	. . . . 5 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) )
51	48, 50	eqtri 2486	. . . 4 |- K = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) )
52	47, 51	metcn 21172	. . 3 |- ( ( C e. ( *Met ` ( BaseSet ` U ) ) /\ ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) e. ( *Met ` RR ) ) -> ( N e. ( J Cn K ) <-> ( N : ( BaseSet ` U ) --> RR /\ A. x e. ( BaseSet ` U ) A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. y e. ( BaseSet ` U ) ( ( x C y ) < d -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) ) ) )
53	45, 46, 52	sylancl 662	. 2 |- ( U e. NrmCVec -> ( N e. ( J Cn K ) <-> ( N : ( BaseSet ` U ) --> RR /\ A. x e. ( BaseSet ` U ) A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. y e. ( BaseSet ` U ) ( ( x C y ) < d -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) ) ) )
54	3, 44, 53	mpbir2and 922	1 |- ( U e. NrmCVec -> N e. ( J Cn K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808   class class class wbr 4456   X. cxp 5006   ran crn 5009   |` cres 5010   o. ccom 5012   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   RRcr 9508   1c1 9510   < clt 9645   <_ cle 9646   - cmin 9824   -ucneg 9825   RR+crp 11245   (,)cioo 11554   abscabs 13079   topGenctg 14855   *Metcxmt 18530   Metcme 18531   MetOpencmopn 18535   Cn ccn 19852   NrmCVeccnv 25604   +vcpv 25605   BaseSetcba 25606   .sOLDcns 25607   norm_CVcnmcv 25610   IndMetcims 25611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-topgen 14861  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-grpo 25320  df-gid 25321  df-ginv 25322  df-gdiv 25323  df-ablo 25411  df-vc 25566  df-nv 25612  df-va 25615  df-ba 25616  df-sm 25617  df-0v 25618  df-vs 25619  df-nmcv 25620  df-ims 25621

This theorem is referenced by:  nmcnc  25733