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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > nmcvcn | Structured version Unicode version |
Description: The norm of a normed complex vector space is a continuous function. (Contributed by NM, 16-May-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Jan-2014.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
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nmcvcn.1 |
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nmcvcn.2 |
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nmcvcn.j |
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nmcvcn.k |
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Ref | Expression |
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nmcvcn |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | eqid 2454 |
. . 3
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2 | nmcvcn.1 |
. . 3
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3 | 1, 2 | nvf 24218 |
. 2
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4 | simprr 756 |
. . . 4
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5 | 1, 2 | nvcl 24219 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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6 | 5 | ex 434 |
. . . . . . . . . . . . 13
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7 | 1, 2 | nvcl 24219 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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8 | 7 | ex 434 |
. . . . . . . . . . . . 13
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9 | 6, 8 | anim12d 563 |
. . . . . . . . . . . 12
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10 | eqid 2454 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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11 | 10 | remet 20502 |
. . . . . . . . . . . . 13
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12 | metcl 20042 |
. . . . . . . . . . . . 13
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13 | 11, 12 | mp3an1 1302 |
. . . . . . . . . . . 12
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14 | 9, 13 | syl6 33 |
. . . . . . . . . . 11
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15 | 14 | 3impib 1186 |
. . . . . . . . . 10
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16 | nmcvcn.2 |
. . . . . . . . . . . 12
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17 | 1, 16 | imsmet 24254 |
. . . . . . . . . . 11
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18 | metcl 20042 |
. . . . . . . . . . 11
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19 | 17, 18 | syl3an1 1252 |
. . . . . . . . . 10
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20 | eqid 2454 |
. . . . . . . . . . . 12
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21 | eqid 2454 |
. . . . . . . . . . . 12
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22 | 1, 20, 21, 2 | nvabs 24233 |
. . . . . . . . . . 11
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23 | 9 | 3impib 1186 |
. . . . . . . . . . . 12
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24 | 10 | remetdval 20501 |
. . . . . . . . . . . 12
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25 | 23, 24 | syl 16 |
. . . . . . . . . . 11
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26 | 1, 20, 21, 2, 16 | imsdval2 24250 |
. . . . . . . . . . 11
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27 | 22, 25, 26 | 3brtr4d 4433 |
. . . . . . . . . 10
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28 | 15, 19, 27 | jca31 534 |
. . . . . . . . 9
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29 | 28 | 3expa 1188 |
. . . . . . . 8
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30 | rpre 11111 |
. . . . . . . 8
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31 | lelttr 9579 |
. . . . . . . . . . 11
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32 | 31 | 3expa 1188 |
. . . . . . . . . 10
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33 | 32 | expdimp 437 |
. . . . . . . . 9
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34 | 33 | an32s 802 |
. . . . . . . 8
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35 | 29, 30, 34 | syl2an 477 |
. . . . . . 7
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36 | 35 | ex 434 |
. . . . . 6
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37 | 36 | ralrimdva 2912 |
. . . . 5
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38 | 37 | impr 619 |
. . . 4
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39 | breq2 4407 |
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40 | 39 | imbi1d 317 |
. . . . . 6
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41 | 40 | ralbidv 2846 |
. . . . 5
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42 | 41 | rspcev 3179 |
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43 | 4, 38, 42 | syl2anc 661 |
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44 | 43 | ralrimivva 2914 |
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45 | 1, 16 | imsxmet 24255 |
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46 | 10 | rexmet 20503 |
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47 | nmcvcn.j |
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48 | nmcvcn.k |
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49 | eqid 2454 |
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50 | 10, 49 | tgioo 20508 |
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51 | 48, 50 | eqtri 2483 |
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52 | 47, 51 | metcn 20253 |
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53 | 45, 46, 52 | sylancl 662 |
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54 | 3, 44, 53 | mpbir2and 913 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1592 ax-4 1603 ax-5 1671 ax-6 1710 ax-7 1730 ax-8 1760 ax-9 1762 ax-10 1777 ax-11 1782 ax-12 1794 ax-13 1955 ax-ext 2432 ax-rep 4514 ax-sep 4524 ax-nul 4532 ax-pow 4581 ax-pr 4642 ax-un 6485 ax-cnex 9452 ax-resscn 9453 ax-1cn 9454 ax-icn 9455 ax-addcl 9456 ax-addrcl 9457 ax-mulcl 9458 ax-mulrcl 9459 ax-mulcom 9460 ax-addass 9461 ax-mulass 9462 ax-distr 9463 ax-i2m1 9464 ax-1ne0 9465 ax-1rid 9466 ax-rnegex 9467 ax-rrecex 9468 ax-cnre 9469 ax-pre-lttri 9470 ax-pre-lttrn 9471 ax-pre-ltadd 9472 ax-pre-mulgt0 9473 ax-pre-sup 9474 ax-addf 9475 ax-mulf 9476 |
This theorem depends on definitions: df-bi 185 df-or 370 df-an 371 df-3or 966 df-3an 967 df-tru 1373 df-ex 1588 df-nf 1591 df-sb 1703 df-eu 2266 df-mo 2267 df-clab 2440 df-cleq 2446 df-clel 2449 df-nfc 2604 df-ne 2650 df-nel 2651 df-ral 2804 df-rex 2805 df-reu 2806 df-rmo 2807 df-rab 2808 df-v 3080 df-sbc 3295 df-csb 3399 df-dif 3442 df-un 3444 df-in 3446 df-ss 3453 df-pss 3455 df-nul 3749 df-if 3903 df-pw 3973 df-sn 3989 df-pr 3991 df-tp 3993 df-op 3995 df-uni 4203 df-iun 4284 df-br 4404 df-opab 4462 df-mpt 4463 df-tr 4497 df-eprel 4743 df-id 4747 df-po 4752 df-so 4753 df-fr 4790 df-we 4792 df-ord 4833 df-on 4834 df-lim 4835 df-suc 4836 df-xp 4957 df-rel 4958 df-cnv 4959 df-co 4960 df-dm 4961 df-rn 4962 df-res 4963 df-ima 4964 df-iota 5492 df-fun 5531 df-fn 5532 df-f 5533 df-f1 5534 df-fo 5535 df-f1o 5536 df-fv 5537 df-riota 6164 df-ov 6206 df-oprab 6207 df-mpt2 6208 df-om 6590 df-1st 6690 df-2nd 6691 df-recs 6945 df-rdg 6979 df-er 7214 df-map 7329 df-en 7424 df-dom 7425 df-sdom 7426 df-sup 7805 df-pnf 9534 df-mnf 9535 df-xr 9536 df-ltxr 9537 df-le 9538 df-sub 9711 df-neg 9712 df-div 10108 df-nn 10437 df-2 10494 df-3 10495 df-n0 10694 df-z 10761 df-uz 10976 df-q 11068 df-rp 11106 df-xneg 11203 df-xadd 11204 df-xmul 11205 df-ioo 11418 df-seq 11927 df-exp 11986 df-cj 12709 df-re 12710 df-im 12711 df-sqr 12845 df-abs 12846 df-topgen 14504 df-psmet 17937 df-xmet 17938 df-met 17939 df-bl 17940 df-mopn 17941 df-top 18638 df-bases 18640 df-topon 18641 df-cn 18966 df-cnp 18967 df-grpo 23850 df-gid 23851 df-ginv 23852 df-gdiv 23853 df-ablo 23941 df-vc 24096 df-nv 24142 df-va 24145 df-ba 24146 df-sm 24147 df-0v 24148 df-vs 24149 df-nmcv 24150 df-ims 24151 |
This theorem is referenced by: nmcnc 24263 |
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