Theorem nmcvcn 26176

Description: The norm of a normed complex vector space is a continuous function. (Contributed by NM, 16-May-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmcvcn.1	|- N = ( normCV ` U )
nmcvcn.2	|- C = ( IndMet ` U )
nmcvcn.j	|- J = ( MetOpen ` C )
nmcvcn.k	|- K = ( topGen ` ran (,) )

Assertion

Ref	Expression
nmcvcn	|- ( U e. NrmCVec -> N e. ( J Cn K ) )

Proof of Theorem nmcvcn

Dummy variables e d x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2429	. . 3 |- ( BaseSet ` U ) = ( BaseSet ` U )
2		nmcvcn.1	. . 3 |- N = ( normCV ` U )
3	1, 2	nvf 26132	. 2 |- ( U e. NrmCVec -> N : ( BaseSet ` U ) --> RR )
4		simprr 764	. . . 4 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( x e. ( BaseSet ` U ) /\ e e. RR+ ) ) -> e e. RR+ )
5	1, 2	nvcl 26133	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( N ` x ) e. RR )
6	5	ex 435	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( U e. NrmCVec -> ( x e. ( BaseSet ` U ) -> ( N ` x ) e. RR ) )
7	1, 2	nvcl 26133	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( U e. NrmCVec /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( N ` y ) e. RR )
8	7	ex 435	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( U e. NrmCVec -> ( y e. ( BaseSet ` U ) -> ( N ` y ) e. RR ) )
9	6, 8	anim12d 565	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U e. NrmCVec -> ( ( x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( ( N ` x ) e. RR /\ ( N ` y ) e. RR ) ) )
10		eqid 2429	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) = ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) )
11	10	remet 21719	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) e. ( Met ` RR )
12		metcl 21278	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) e. ( Met ` RR ) /\ ( N ` x ) e. RR /\ ( N ` y ) e. RR ) -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) e. RR )
13	11, 12	mp3an1 1347	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N ` x ) e. RR /\ ( N ` y ) e. RR ) -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) e. RR )
14	9, 13	syl6 34	. . . . . . . . . . 11 |- ( U e. NrmCVec -> ( ( x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) e. RR ) )
15	14	3impib 1203	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) e. RR )
16		nmcvcn.2	. . . . . . . . . . . 12 |- C = ( IndMet ` U )
17	1, 16	imsmet 26168	. . . . . . . . . . 11 |- ( U e. NrmCVec -> C e. ( Met ` ( BaseSet ` U ) ) )
18		metcl 21278	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ( Met ` ( BaseSet ` U ) ) /\ x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( x C y ) e. RR )
19	17, 18	syl3an1 1297	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( x C y ) e. RR )
20		eqid 2429	. . . . . . . . . . . 12 |- ( +v ` U ) = ( +v ` U )
21		eqid 2429	. . . . . . . . . . . 12 |- ( .sOLD ` U ) = ( .sOLD ` U )
22	1, 20, 21, 2	nvabs 26147	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( abs ` ( ( N ` x ) - ( N ` y ) ) ) <_ ( N ` ( x ( +v ` U ) ( -u 1 ( .sOLD ` U ) y ) ) ) )
23	9	3impib 1203	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( ( N ` x ) e. RR /\ ( N ` y ) e. RR ) )
24	10	remetdval 21718	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N ` x ) e. RR /\ ( N ` y ) e. RR ) -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) = ( abs ` ( ( N ` x ) - ( N ` y ) ) ) )
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) = ( abs ` ( ( N ` x ) - ( N ` y ) ) ) )
26	1, 20, 21, 2, 16	imsdval2 26164	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( x C y ) = ( N ` ( x ( +v ` U ) ( -u 1 ( .sOLD ` U ) y ) ) ) )
27	22, 25, 26	3brtr4d 4456	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) <_ ( x C y ) )
28	15, 19, 27	jca31 536	. . . . . . . . 9 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( ( ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) e. RR /\ ( x C y ) e. RR ) /\ ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) <_ ( x C y ) ) )
29	28	3expa 1205	. . . . . . . 8 |- ( ( ( U e. NrmCVec /\ x e. ( BaseSet ` U ) ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( ( ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) e. RR /\ ( x C y ) e. RR ) /\ ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) <_ ( x C y ) ) )
30		rpre 11308	. . . . . . . 8 |- ( e e. RR+ -> e e. RR )
31		lelttr 9723	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) e. RR /\ ( x C y ) e. RR /\ e e. RR ) -> ( ( ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) <_ ( x C y ) /\ ( x C y ) < e ) -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) )
32	31	3expa 1205	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) e. RR /\ ( x C y ) e. RR ) /\ e e. RR ) -> ( ( ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) <_ ( x C y ) /\ ( x C y ) < e ) -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) )
33	32	expdimp 438	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) e. RR /\ ( x C y ) e. RR ) /\ e e. RR ) /\ ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) <_ ( x C y ) ) -> ( ( x C y ) < e -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) )
34	33	an32s 811	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) e. RR /\ ( x C y ) e. RR ) /\ ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) <_ ( x C y ) ) /\ e e. RR ) -> ( ( x C y ) < e -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) )
35	29, 30, 34	syl2an 479	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( U e. NrmCVec /\ x e. ( BaseSet ` U ) ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) /\ e e. RR+ ) -> ( ( x C y ) < e -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) )
36	35	ex 435	. . . . . 6 |- ( ( ( U e. NrmCVec /\ x e. ( BaseSet ` U ) ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( e e. RR+ -> ( ( x C y ) < e -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) ) )
37	36	ralrimdva 2850	. . . . 5 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( e e. RR+ -> A. y e. ( BaseSet ` U ) ( ( x C y ) < e -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) ) )
38	37	impr 623	. . . 4 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( x e. ( BaseSet ` U ) /\ e e. RR+ ) ) -> A. y e. ( BaseSet ` U ) ( ( x C y ) < e -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) )
39		breq2 4430	. . . . . . 7 |- ( d = e -> ( ( x C y ) < d <-> ( x C y ) < e ) )
40	39	imbi1d 318	. . . . . 6 |- ( d = e -> ( ( ( x C y ) < d -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) <-> ( ( x C y ) < e -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) ) )
41	40	ralbidv 2871	. . . . 5 |- ( d = e -> ( A. y e. ( BaseSet ` U ) ( ( x C y ) < d -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) <-> A. y e. ( BaseSet ` U ) ( ( x C y ) < e -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) ) )
42	41	rspcev 3188	. . . 4 |- ( ( e e. RR+ /\ A. y e. ( BaseSet ` U ) ( ( x C y ) < e -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) ) -> E. d e. RR+ A. y e. ( BaseSet ` U ) ( ( x C y ) < d -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) )
43	4, 38, 42	syl2anc 665	. . 3 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( x e. ( BaseSet ` U ) /\ e e. RR+ ) ) -> E. d e. RR+ A. y e. ( BaseSet ` U ) ( ( x C y ) < d -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) )
44	43	ralrimivva 2853	. 2 |- ( U e. NrmCVec -> A. x e. ( BaseSet ` U ) A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. y e. ( BaseSet ` U ) ( ( x C y ) < d -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) )
45	1, 16	imsxmet 26169	. . 3 |- ( U e. NrmCVec -> C e. ( *Met ` ( BaseSet ` U ) ) )
46	10	rexmet 21720	. . 3 |- ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) e. ( *Met ` RR )
47		nmcvcn.j	. . . 4 |- J = ( MetOpen ` C )
48		nmcvcn.k	. . . . 5 |- K = ( topGen ` ran (,) )
49		eqid 2429	. . . . . 6 |- ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) )
50	10, 49	tgioo 21725	. . . . 5 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) )
51	48, 50	eqtri 2458	. . . 4 |- K = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) )
52	47, 51	metcn 21489	. . 3 |- ( ( C e. ( *Met ` ( BaseSet ` U ) ) /\ ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) e. ( *Met ` RR ) ) -> ( N e. ( J Cn K ) <-> ( N : ( BaseSet ` U ) --> RR /\ A. x e. ( BaseSet ` U ) A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. y e. ( BaseSet ` U ) ( ( x C y ) < d -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) ) ) )
53	45, 46, 52	sylancl 666	. 2 |- ( U e. NrmCVec -> ( N e. ( J Cn K ) <-> ( N : ( BaseSet ` U ) --> RR /\ A. x e. ( BaseSet ` U ) A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. y e. ( BaseSet ` U ) ( ( x C y ) < d -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) ) ) )
54	3, 44, 53	mpbir2and 930	1 |- ( U e. NrmCVec -> N e. ( J Cn K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1870   A.wral 2782   E.wrex 2783   class class class wbr 4426   X. cxp 4852   ran crn 4855   |` cres 4856   o. ccom 4858   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   RRcr 9537   1c1 9539   < clt 9674   <_ cle 9675   - cmin 9859   -ucneg 9860   RR+crp 11302   (,)cioo 11635   abscabs 13276   topGenctg 15295   *Metcxmt 18890   Metcme 18891   MetOpencmopn 18895   Cn ccn 20171   NrmCVeccnv 26048   +vcpv 26049   BaseSetcba 26050   .sOLDcns 26051   norm_CVcnmcv 26054   IndMetcims 26055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-sup 7962  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-topgen 15301  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-grpo 25764  df-gid 25765  df-ginv 25766  df-gdiv 25767  df-ablo 25855  df-vc 26010  df-nv 26056  df-va 26059  df-ba 26060  df-sm 26061  df-0v 26062  df-vs 26063  df-nmcv 26064  df-ims 26065

This theorem is referenced by:  nmcnc  26177