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Theorem nmcvcn 26176
Description: The norm of a normed complex vector space is a continuous function. (Contributed by NM, 16-May-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmcvcn.1  |-  N  =  ( normCV `  U )
nmcvcn.2  |-  C  =  ( IndMet `  U )
nmcvcn.j  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
nmcvcn.k  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
Assertion
Ref Expression
nmcvcn  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  N  e.  ( J  Cn  K ) )

Proof of Theorem nmcvcn
Dummy variables  e 
d  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2429 . . 3  |-  ( BaseSet `  U )  =  (
BaseSet `  U )
2 nmcvcn.1 . . 3  |-  N  =  ( normCV `  U )
31, 2nvf 26132 . 2  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  N : (
BaseSet `  U ) --> RR )
4 simprr 764 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  e  e.  RR+ ) )  -> 
e  e.  RR+ )
51, 2nvcl 26133 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( N `  x )  e.  RR )
65ex 435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  ->  ( N `  x
)  e.  RR ) )
71, 2nvcl 26133 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( N `  y )  e.  RR )
87ex 435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  ->  ( N `  y
)  e.  RR ) )
96, 8anim12d 565 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( ( x  e.  ( BaseSet `  U
)  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( ( N `  x )  e.  RR  /\  ( N `
 y )  e.  RR ) ) )
10 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )
1110remet 21719 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  e.  ( Met `  RR )
12 metcl 21278 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )  e.  ( Met `  RR )  /\  ( N `  x )  e.  RR  /\  ( N `  y
)  e.  RR )  ->  ( ( N `
 x ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( N `
 y ) )  e.  RR )
1311, 12mp3an1 1347 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N `  x
)  e.  RR  /\  ( N `  y )  e.  RR )  -> 
( ( N `  x ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( N `
 y ) )  e.  RR )
149, 13syl6 34 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( ( x  e.  ( BaseSet `  U
)  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( ( N `  x )
( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( N `  y
) )  e.  RR ) )
15143impib 1203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) )  ->  ( ( N `
 x ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( N `
 y ) )  e.  RR )
16 nmcvcn.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  C  =  ( IndMet `  U )
171, 16imsmet 26168 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  C  e.  ( Met `  ( BaseSet `  U ) ) )
18 metcl 21278 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( Met `  ( BaseSet `  U )
)  /\  x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) )  ->  ( x C y )  e.  RR )
1917, 18syl3an1 1297 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) )  ->  ( x C y )  e.  RR )
20 eqid 2429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( +v
`  U )  =  ( +v `  U
)
21 eqid 2429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( .sOLD `  U )  =  ( .sOLD `  U )
221, 20, 21, 2nvabs 26147 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) )  ->  ( abs `  (
( N `  x
)  -  ( N `
 y ) ) )  <_  ( N `  ( x ( +v
`  U ) (
-u 1 ( .sOLD `  U ) y ) ) ) )
2393impib 1203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) )  ->  ( ( N `
 x )  e.  RR  /\  ( N `
 y )  e.  RR ) )
2410remetdval 21718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N `  x
)  e.  RR  /\  ( N `  y )  e.  RR )  -> 
( ( N `  x ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( N `
 y ) )  =  ( abs `  (
( N `  x
)  -  ( N `
 y ) ) ) )
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) )  ->  ( ( N `
 x ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( N `
 y ) )  =  ( abs `  (
( N `  x
)  -  ( N `
 y ) ) ) )
261, 20, 21, 2, 16imsdval2 26164 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) )  ->  ( x C y )  =  ( N `  ( x ( +v `  U
) ( -u 1
( .sOLD `  U ) y ) ) ) )
2722, 25, 263brtr4d 4456 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) )  ->  ( ( N `
 x ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( N `
 y ) )  <_  ( x C y ) )
2815, 19, 27jca31 536 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) )  ->  ( ( ( ( N `  x
) ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( N `  y
) )  e.  RR  /\  ( x C y )  e.  RR )  /\  ( ( N `
 x ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( N `
 y ) )  <_  ( x C y ) ) )
29283expa 1205 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  ( BaseSet `  U ) )  /\  y  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
( ( ( ( N `  x ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( N `  y
) )  e.  RR  /\  ( x C y )  e.  RR )  /\  ( ( N `
 x ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( N `
 y ) )  <_  ( x C y ) ) )
30 rpre 11308 . . . . . . . 8  |-  ( e  e.  RR+  ->  e  e.  RR )
31 lelttr 9723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N `  x ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( N `
 y ) )  e.  RR  /\  (
x C y )  e.  RR  /\  e  e.  RR )  ->  (
( ( ( N `
 x ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( N `
 y ) )  <_  ( x C y )  /\  (
x C y )  <  e )  -> 
( ( N `  x ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( N `
 y ) )  <  e ) )
32313expa 1205 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( N `
 x ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( N `
 y ) )  e.  RR  /\  (
x C y )  e.  RR )  /\  e  e.  RR )  ->  ( ( ( ( N `  x ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( N `  y
) )  <_  (
x C y )  /\  ( x C y )  <  e
)  ->  ( ( N `  x )
( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( N `  y
) )  <  e
) )
3332expdimp 438 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( N `  x ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( N `  y
) )  e.  RR  /\  ( x C y )  e.  RR )  /\  e  e.  RR )  /\  ( ( N `
 x ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( N `
 y ) )  <_  ( x C y ) )  -> 
( ( x C y )  <  e  ->  ( ( N `  x ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( N `
 y ) )  <  e ) )
3433an32s 811 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( N `  x ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( N `  y
) )  e.  RR  /\  ( x C y )  e.  RR )  /\  ( ( N `
 x ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( N `
 y ) )  <_  ( x C y ) )  /\  e  e.  RR )  ->  ( ( x C y )  <  e  ->  ( ( N `  x ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( N `
 y ) )  <  e ) )
3529, 30, 34syl2an 479 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  x  e.  (
BaseSet `  U ) )  /\  y  e.  (
BaseSet `  U ) )  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( ( x C y )  < 
e  ->  ( ( N `  x )
( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( N `  y
) )  <  e
) )
3635ex 435 . . . . . 6  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  ( BaseSet `  U ) )  /\  y  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
( e  e.  RR+  ->  ( ( x C y )  <  e  ->  ( ( N `  x ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( N `
 y ) )  <  e ) ) )
3736ralrimdva 2850 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( e  e.  RR+  ->  A. y  e.  ( BaseSet `  U )
( ( x C y )  <  e  ->  ( ( N `  x ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( N `
 y ) )  <  e ) ) )
3837impr 623 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  e  e.  RR+ ) )  ->  A. y  e.  ( BaseSet
`  U ) ( ( x C y )  <  e  -> 
( ( N `  x ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( N `
 y ) )  <  e ) )
39 breq2 4430 . . . . . . 7  |-  ( d  =  e  ->  (
( x C y )  <  d  <->  ( x C y )  < 
e ) )
4039imbi1d 318 . . . . . 6  |-  ( d  =  e  ->  (
( ( x C y )  <  d  ->  ( ( N `  x ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( N `
 y ) )  <  e )  <->  ( (
x C y )  <  e  ->  (
( N `  x
) ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( N `  y
) )  <  e
) ) )
4140ralbidv 2871 . . . . 5  |-  ( d  =  e  ->  ( A. y  e.  ( BaseSet
`  U ) ( ( x C y )  <  d  -> 
( ( N `  x ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( N `
 y ) )  <  e )  <->  A. y  e.  ( BaseSet `  U )
( ( x C y )  <  e  ->  ( ( N `  x ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( N `
 y ) )  <  e ) ) )
4241rspcev 3188 . . . 4  |-  ( ( e  e.  RR+  /\  A. y  e.  ( BaseSet `  U ) ( ( x C y )  <  e  ->  (
( N `  x
) ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( N `  y
) )  <  e
) )  ->  E. d  e.  RR+  A. y  e.  ( BaseSet `  U )
( ( x C y )  <  d  ->  ( ( N `  x ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( N `
 y ) )  <  e ) )
434, 38, 42syl2anc 665 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  e  e.  RR+ ) )  ->  E. d  e.  RR+  A. y  e.  ( BaseSet `  U )
( ( x C y )  <  d  ->  ( ( N `  x ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( N `
 y ) )  <  e ) )
4443ralrimivva 2853 . 2  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  A. x  e.  (
BaseSet `  U ) A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. y  e.  ( BaseSet `  U )
( ( x C y )  <  d  ->  ( ( N `  x ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( N `
 y ) )  <  e ) )
451, 16imsxmet 26169 . . 3  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  C  e.  ( *Met `  ( BaseSet
`  U ) ) )
4610rexmet 21720 . . 3  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  e.  ( *Met `  RR )
47 nmcvcn.j . . . 4  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
48 nmcvcn.k . . . . 5  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
49 eqid 2429 . . . . . 6  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) )
5010, 49tgioo 21725 . . . . 5  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) )
5148, 50eqtri 2458 . . . 4  |-  K  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) )
5247, 51metcn 21489 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  ( BaseSet `  U ) )  /\  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )  e.  ( *Met `  RR ) )  -> 
( N  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
( N : (
BaseSet `  U ) --> RR 
/\  A. x  e.  (
BaseSet `  U ) A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. y  e.  ( BaseSet `  U )
( ( x C y )  <  d  ->  ( ( N `  x ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( N `
 y ) )  <  e ) ) ) )
5345, 46, 52sylancl 666 . 2  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( N  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( N :
( BaseSet `  U ) --> RR  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  U ) A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. y  e.  ( BaseSet `  U )
( ( x C y )  <  d  ->  ( ( N `  x ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( N `
 y ) )  <  e ) ) ) )
543, 44, 53mpbir2and 930 1  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  N  e.  ( J  Cn  K ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   E.wrex 2783   class class class wbr 4426    X. cxp 4852   ran crn 4855    |` cres 4856    o. ccom 4858   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   RRcr 9537   1c1 9539    < clt 9674    <_ cle 9675    - cmin 9859   -ucneg 9860   RR+crp 11302   (,)cioo 11635   abscabs 13276   topGenctg 15295   *Metcxmt 18890   Metcme 18891   MetOpencmopn 18895    Cn ccn 20171   NrmCVeccnv 26048   +vcpv 26049   BaseSetcba 26050   .sOLDcns 26051   normCVcnmcv 26054   IndMetcims 26055
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-sup 7962  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-topgen 15301  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-grpo 25764  df-gid 25765  df-ginv 25766  df-gdiv 25767  df-ablo 25855  df-vc 26010  df-nv 26056  df-va 26059  df-ba 26060  df-sm 26061  df-0v 26062  df-vs 26063  df-nmcv 26064  df-ims 26065
This theorem is referenced by:  nmcnc  26177
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