Theorem nmcnilem 9676

Description: Lemma for nmcni 9677.

Hypotheses

Ref	Expression
nmcnilem.1	|- X = (BaseSet` U)
nmcnilem.2	|- G = (+v` U)
nmcnilem.4	|- S = (.s` U)
nmcnilem.6	|- N = (norm` U)
nmcnilem.8	|- C = (IndMet` U)
nmcnilem.7	|- D = ((abs o. - ) |` (RR X. RR))
nmcnilem.j	|- J = (Open` C)
nmcnilem.k	|- K = (Open` D)
nmcnilem.9	|- U e. NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
nmcnilem	|- N e. (J Cn K)

Proof of Theorem nmcnilem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmcnilem.9	. . . 4 |- U e. NrmCVec
2		nmcnilem.8	. . . . 5 |- C = (IndMet` U)
3	2	imsmet 9656	. . . 4 |- (U e. NrmCVec -> C e. Met)
4	1, 3	ax-mp 7	. . 3 |- C e. Met
5		nmcnilem.7	. . . 4 |- D = ((abs o. - ) |` (RR X. RR))
6	5	remet 9188	. . 3 |- D e. Met
7		nmcnilem.1	. . . . 5 |- X = (BaseSet` U)
8	7, 2, 1	imsbai 9654	. . . 4 |- X = dom dom C
9		nmcnilem.j	. . . 4 |- J = (Open` C)
10	5	remetba 9187	. . . 4 |- RR = dom dom D
11		nmcnilem.k	. . . 4 |- K = (Open` D)
12	8, 9, 10, 11	metcn 9167	. . 3 |- ((C e. Met /\ D e. Met) -> (N e. (J Cn K) <-> (N:X-->RR /\ A.w e. X A.v e. RR (0 < v -> E.u e. RR (0 < u /\ A.t e. X ((wCt) < u -> ((N` w)D(N` t)) < v))))))
13	4, 6, 12	mp2an 761	. 2 |- (N e. (J Cn K) <-> (N:X-->RR /\ A.w e. X A.v e. RR (0 < v -> E.u e. RR (0 < u /\ A.t e. X ((wCt) < u -> ((N` w)D(N` t)) < v)))))
14		nmcnilem.6	. . . 4 |- N = (norm` U)
15	7, 14	nvf 9618	. . 3 |- (U e. NrmCVec -> N:X-->RR)
16	1, 15	ax-mp 7	. 2 |- N:X-->RR
17		simplr 449	. . . . 5 |- (((w e. X /\ v e. RR) /\ 0 < v) -> v e. RR)
18		simpr 350	. . . . 5 |- (((w e. X /\ v e. RR) /\ 0 < v) -> 0 < v)
19		nmcnilem.2	. . . . . . . . . . . 12 |- G = (+v` U)
20		nmcnilem.4	. . . . . . . . . . . 12 |- S = (.s` U)
21	7, 19, 20, 14	nvabs 9633	. . . . . . . . . . 11 |- ((U e. NrmCVec /\ w e. X /\ t e. X) -> (abs` ((N` w) - (N` t))) <_ (N` (wG(-u1St))))
22	1, 21	mp3an1 1178	. . . . . . . . . 10 |- ((w e. X /\ t e. X) -> (abs` ((N` w) - (N` t))) <_ (N` (wG(-u1St))))
23	22	adantlr 429	. . . . . . . . 9 |- (((w e. X /\ v e. RR) /\ t e. X) -> (abs` ((N` w) - (N` t))) <_ (N` (wG(-u1St))))
24	23	adantlr 429	. . . . . . . 8 |- ((((w e. X /\ v e. RR) /\ 0 < v) /\ t e. X) -> (abs` ((N` w) - (N` t))) <_ (N` (wG(-u1St))))
25		resubcl 6601	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((N` w) e. RR /\ (N` t) e. RR) -> ((N` w) - (N` t)) e. RR)
26	7, 14	nvcl 9619	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((U e. NrmCVec /\ w e. X) -> (N` w) e. RR)
27	1, 26	mpan 759	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (w e. X -> (N` w) e. RR)
28	7, 14	nvcl 9619	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((U e. NrmCVec /\ t e. X) -> (N` t) e. RR)
29	1, 28	mpan 759	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (t e. X -> (N` t) e. RR)
30	25, 27, 29	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((w e. X /\ t e. X) -> ((N` w) - (N` t)) e. RR)
31	30	recnd 6468	. . . . . . . . . . . 12 |- ((w e. X /\ t e. X) -> ((N` w) - (N` t)) e. CC)
32		abscl 8084	. . . . . . . . . . . 12 |- (((N` w) - (N` t)) e. CC -> (abs` ((N` w) - (N` t))) e. RR)
33	31, 32	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- ((w e. X /\ t e. X) -> (abs` ((N` w) - (N` t))) e. RR)
34	33	adantlr 429	. . . . . . . . . 10 |- (((w e. X /\ v e. RR) /\ t e. X) -> (abs` ((N` w) - (N` t))) e. RR)
35	7, 19	nvgcl 9571	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((U e. NrmCVec /\ w e. X /\ (-u1St) e. X) -> (wG(-u1St)) e. X)
36	1, 35	mp3an1 1178	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((w e. X /\ (-u1St) e. X) -> (wG(-u1St)) e. X)
37		ax1cn 6422	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. CC
38	37	negcli 6526	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -u1 e. CC
39	7, 20	nvscl 9579	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((U e. NrmCVec /\ -u1 e. CC /\ t e. X) -> (-u1St) e. X)
40	1, 38, 39	mp3an12 1181	. . . . . . . . . . . . 13 |- (t e. X -> (-u1St) e. X)
41	36, 40	sylan2 500	. . . . . . . . . . . 12 |- ((w e. X /\ t e. X) -> (wG(-u1St)) e. X)
42	7, 14	nvcl 9619	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((U e. NrmCVec /\ (wG(-u1St)) e. X) -> (N` (wG(-u1St))) e. RR)
43	1, 42	mpan 759	. . . . . . . . . . . 12 |- ((wG(-u1St)) e. X -> (N` (wG(-u1St))) e. RR)
44	41, 43	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- ((w e. X /\ t e. X) -> (N` (wG(-u1St))) e. RR)
45	44	adantlr 429	. . . . . . . . . 10 |- (((w e. X /\ v e. RR) /\ t e. X) -> (N` (wG(-u1St))) e. RR)
46		simplr 449	. . . . . . . . . 10 |- (((w e. X /\ v e. RR) /\ t e. X) -> v e. RR)
47		lelttr 6693	. . . . . . . . . 10 |- (((abs` ((N` w) - (N` t))) e. RR /\ (N` (wG(-u1St))) e. RR /\ v e. RR) -> (((abs` ((N` w) - (N` t))) <_ (N` (wG(-u1St))) /\ (N` (wG(-u1St))) < v) -> (abs` ((N` w) - (N` t))) < v))
48	34, 45, 46, 47	syl111anc 1100	. . . . . . . . 9 |- (((w e. X /\ v e. RR) /\ t e. X) -> (((abs` ((N` w) - (N` t))) <_ (N` (wG(-u1St))) /\ (N` (wG(-u1St))) < v) -> (abs` ((N` w) - (N` t))) < v))
49	48	adantlr 429	. . . . . . . 8 |- ((((w e. X /\ v e. RR) /\ 0 < v) /\ t e. X) -> (((abs` ((N` w) - (N` t))) <_ (N` (wG(-u1St))) /\ (N` (wG(-u1St))) < v) -> (abs` ((N` w) - (N` t))) < v))
50	24, 49	mpand 765	. . . . . . 7 |- ((((w e. X /\ v e. RR) /\ 0 < v) /\ t e. X) -> ((N` (wG(-u1St))) < v -> (abs` ((N` w) - (N` t))) < v))
51	7, 19, 20, 14, 2	imsdval2 9650	. . . . . . . . . . 11 |- ((U e. NrmCVec /\ w e. X /\ t e. X) -> (wCt) = (N` (wG(-u1St))))
52	51	breq1d 3348	. . . . . . . . . 10 |- ((U e. NrmCVec /\ w e. X /\ t e. X) -> ((wCt) < v <-> (N` (wG(-u1St))) < v))
53	1, 52	mp3an1 1178	. . . . . . . . 9 |- ((w e. X /\ t e. X) -> ((wCt) < v <-> (N` (wG(-u1St))) < v))
54	53	adantlr 429	. . . . . . . 8 |- (((w e. X /\ v e. RR) /\ t e. X) -> ((wCt) < v <-> (N` (wG(-u1St))) < v))
55	54	adantlr 429	. . . . . . 7 |- ((((w e. X /\ v e. RR) /\ 0 < v) /\ t e. X) -> ((wCt) < v <-> (N` (wG(-u1St))) < v))
56	5	remetdval 9186	. . . . . . . . . . 11 |- (((N` w) e. RR /\ (N` t) e. RR) -> ((N` w)D(N` t)) = (abs` ((N` w) - (N` t))))
57	56, 27, 29	syl2an 503	. . . . . . . . . 10 |- ((w e. X /\ t e. X) -> ((N` w)D(N` t)) = (abs` ((N` w) - (N` t))))
58	57	breq1d 3348	. . . . . . . . 9 |- ((w e. X /\ t e. X) -> (((N` w)D(N` t)) < v <-> (abs` ((N` w) - (N` t))) < v))
59	58	adantlr 429	. . . . . . . 8 |- (((w e. X /\ v e. RR) /\ t e. X) -> (((N` w)D(N` t)) < v <-> (abs` ((N` w) - (N` t))) < v))
60	59	adantlr 429	. . . . . . 7 |- ((((w e. X /\ v e. RR) /\ 0 < v) /\ t e. X) -> (((N` w)D(N` t)) < v <-> (abs` ((N` w) - (N` t))) < v))
61	50, 55, 60	3imtr4d 602	. . . . . 6 |- ((((w e. X /\ v e. RR) /\ 0 < v) /\ t e. X) -> ((wCt) < v -> ((N` w)D(N` t)) < v))
62	61	r19.21aiva 2176	. . . . 5 |- (((w e. X /\ v e. RR) /\ 0 < v) -> A.t e. X ((wCt) < v -> ((N` w)D(N` t)) < v))
63		breq2 3342	. . . . . . 7 |- (u = v -> (0 < u <-> 0 < v))
64		breq2 3342	. . . . . . . . 9 |- (u = v -> ((wCt) < u <-> (wCt) < v))
65	64	imbi1d 675	. . . . . . . 8 |- (u = v -> (((wCt) < u -> ((N` w)D(N` t)) < v) <-> ((wCt) < v -> ((N` w)D(N` t)) < v)))
66	65	ralbidv 2123	. . . . . . 7 |- (u = v -> (A.t e. X ((wCt) < u -> ((N` w)D(N` t)) < v) <-> A.t e. X ((wCt) < v -> ((N` w)D(N` t)) < v)))
67	63, 66	anbi12d 690	. . . . . 6 |- (u = v -> ((0 < u /\ A.t e. X ((wCt) < u -> ((N` w)D(N` t)) < v)) <-> (0 < v /\ A.t e. X ((wCt) < v -> ((N` w)D(N` t)) < v))))
68	67	rcla4ev 2381	. . . . 5 |- ((v e. RR /\ (0 < v /\ A.t e. X ((wCt) < v -> ((N` w)D(N` t)) < v))) -> E.u e. RR (0 < u /\ A.t e. X ((wCt) < u -> ((N` w)D(N` t)) < v)))
69	17, 18, 62, 68	syl12anc 1098	. . . 4 |- (((w e. X /\ v e. RR) /\ 0 < v) -> E.u e. RR (0 < u /\ A.t e. X ((wCt) < u -> ((N` w)D(N` t)) < v)))
70	69	ex 402	. . 3 |- ((w e. X /\ v e. RR) -> (0 < v -> E.u e. RR (0 < u /\ A.t e. X ((wCt) < u -> ((N` w)D(N` t)) < v))))
71	70	rgen2 2186	. 2 |- A.w e. X A.v e. RR (0 < v -> E.u e. RR (0 < u /\ A.t e. X ((wCt) < u -> ((N` w)D(N` t)) < v)))
72	13, 16, 71	mpbir2an 800	1 |- N e. (J Cn K)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106   class class class wbr 3338   X. cxp 3984   |` cres 3988   o. ccom 3990  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   - cmin 6445  -ucneg 6446   <_ cle 6448   < clt 6653  abscabs 8000   Cn ccn 9028  Metcme 9066  Opencopn 9069  NrmCVeccnv 9535  +vcpv 9536  BaseSetcba 9537  .scns 9538  normcnm 9541  IndMetcims 9542

This theorem is referenced by:  nmcni 9677

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-top 8861  df-cn 9030  df-cnp 9031  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551  df-ims 9552

Copyright terms: Public domain