Theorem nmcnc 9681

Description: The norm of a normed complex vector space is a continuous function to CC. (For RR, see nmcn 9678.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmcnc.6	|- N = (norm` U)
nmcnc.8	|- C = (IndMet` U)
nmcnc.7	|- D = (abs o. - )
nmcnc.j	|- J = (Open` C)
nmcnc.k	|- K = (Open` D)

Assertion

Ref	Expression
nmcnc	|- (U e. NrmCVec -> N e. (J Cn K))

Proof of Theorem nmcnc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmcnc.8	. . . . 5 |- C = (IndMet` U)
2	1	imsmet 9656	. . . 4 |- (U e. NrmCVec -> C e. Met)
3		eqid 1884	. . . . . 6 |- ((abs o. - ) |` (RR X. RR)) = ((abs o. - ) |` (RR X. RR))
4	3	remet 9188	. . . . 5 |- ((abs o. - ) |` (RR X. RR)) e. Met
5	4	a1i 8	. . . 4 |- (U e. NrmCVec -> ((abs o. - ) |` (RR X. RR)) e. Met)
6		nmcnc.7	. . . . . 6 |- D = (abs o. - )
7	6	cnmet 9182	. . . . 5 |- D e. Met
8	7	a1i 8	. . . 4 |- (U e. NrmCVec -> D e. Met)
9	2, 5, 8	3jca 1050	. . 3 |- (U e. NrmCVec -> (C e. Met /\ ((abs o. - ) |` (RR X. RR)) e. Met /\ D e. Met))
10		resss 4237	. . . 4 |- ((abs o. - ) |` (RR X. RR)) C_ (abs o. - )
11	10, 6	sseqtr4i 2650	. . 3 |- ((abs o. - ) |` (RR X. RR)) C_ D
12	9, 11	jctir 317	. 2 |- (U e. NrmCVec -> ((C e. Met /\ ((abs o. - ) |` (RR X. RR)) e. Met /\ D e. Met) /\ ((abs o. - ) |` (RR X. RR)) C_ D))
13		nmcnc.6	. . 3 |- N = (norm` U)
14		nmcnc.j	. . 3 |- J = (Open` C)
15		eqid 1884	. . 3 |- (Open` ((abs o. - ) |` (RR X. RR))) = (Open` ((abs o. - ) |` (RR X. RR)))
16	13, 1, 3, 14, 15	nmcn 9678	. 2 |- (U e. NrmCVec -> N e. (J Cn (Open` ((abs o. - ) |` (RR X. RR)))))
17		nmcnc.k	. . . 4 |- K = (Open` D)
18	14, 15, 17	metcnss 9176	. . 3 |- (((C e. Met /\ ((abs o. - ) |` (RR X. RR)) e. Met /\ D e. Met) /\ ((abs o. - ) |` (RR X. RR)) C_ D) -> (J Cn (Open` ((abs o. - ) |` (RR X. RR)))) C_ (J Cn K))
19	18	sseld 2619	. 2 |- (((C e. Met /\ ((abs o. - ) |` (RR X. RR)) e. Met /\ D e. Met) /\ ((abs o. - ) |` (RR X. RR)) C_ D) -> (N e. (J Cn (Open` ((abs o. - ) |` (RR X. RR)))) -> N e. (J Cn K)))
20	12, 16, 19	sylc 83	1 |- (U e. NrmCVec -> N e. (J Cn K))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   C_ wss 2593   X. cxp 3984   |` cres 3988   o. ccom 3990  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  RRcr 6385   - cmin 6445  abscabs 8000   Cn ccn 9028  Metcme 9066  Opencopn 9069  NrmCVeccnv 9535  normcnm 9541  IndMetcims 9542

This theorem is referenced by:  ip1cnilem2 9713

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-top 8861  df-cn 9030  df-cnp 9031  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551  df-ims 9552

Copyright terms: Public domain