MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmcnc Structured version   Unicode version

Theorem nmcnc 24091
Description: The norm of a normed complex vector space is a continuous function to  CC. (For  RR, see nmcvcn 24090.) (Contributed by NM, 12-Aug-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmcnc.1  |-  N  =  ( normCV `  U )
nmcnc.2  |-  C  =  ( IndMet `  U )
nmcnc.j  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
nmcnc.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
nmcnc  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  N  e.  ( J  Cn  K ) )

Proof of Theorem nmcnc
StepHypRef Expression
1 nmcnc.k . . . 4  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
21cnfldtop 20363 . . 3  |-  K  e. 
Top
3 cnrest2r 18891 . . 3  |-  ( K  e.  Top  ->  ( J  Cn  ( Kt  RR ) )  C_  ( J  Cn  K ) )
42, 3ax-mp 5 . 2  |-  ( J  Cn  ( Kt  RR ) )  C_  ( J  Cn  K )
5 nmcnc.1 . . 3  |-  N  =  ( normCV `  U )
6 nmcnc.2 . . 3  |-  C  =  ( IndMet `  U )
7 nmcnc.j . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
81tgioo2 20380 . . . 4  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( Kt  RR )
98eqcomi 2447 . . 3  |-  ( Kt  RR )  =  ( topGen ` 
ran  (,) )
105, 6, 7, 9nmcvcn 24090 . 2  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  N  e.  ( J  Cn  ( Kt  RR ) ) )
114, 10sseldi 3354 1  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  N  e.  ( J  Cn  K ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756    C_ wss 3328   ran crn 4841   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   RRcr 9281   (,)cioo 11300   ↾t crest 14359   TopOpenctopn 14360   topGenctg 14376   MetOpencmopn 17806  ℂfldccnfld 17818   Topctop 18498    Cn ccn 18828   NrmCVeccnv 23962   normCVcnmcv 23968   IndMetcims 23969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360  ax-addf 9361  ax-mulf 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fi 7661  df-sup 7691  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-xmul 11091  df-ioo 11304  df-fz 11438  df-seq 11807  df-exp 11866  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-starv 14253  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-unif 14261  df-rest 14361  df-topn 14362  df-topgen 14382  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-met 17811  df-bl 17812  df-mopn 17813  df-cnfld 17819  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-topsp 18507  df-cn 18831  df-cnp 18832  df-xms 19895  df-ms 19896  df-grpo 23678  df-gid 23679  df-ginv 23680  df-gdiv 23681  df-ablo 23769  df-vc 23924  df-nv 23970  df-va 23973  df-ba 23974  df-sm 23975  df-0v 23976  df-vs 23977  df-nmcv 23978  df-ims 23979
This theorem is referenced by:  dipcn  24118
  Copyright terms: Public domain W3C validator