HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmcfnlb Structured version   Unicode version

Theorem nmcfnlb 27089
Description: A lower bound of the norm of a continuous linear Hilbert space functional. Theorem 3.5(ii) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmcfnlb  |-  ( ( T  e.  LinFn  /\  T  e.  ConFn  /\  A  e.  ~H )  ->  ( abs `  ( T `  A
) )  <_  (
( normfn `  T )  x.  ( normh `  A )
) )

Proof of Theorem nmcfnlb
StepHypRef Expression
1 elin 3601 . . 3  |-  ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn )  <-> 
( T  e.  LinFn  /\  T  e.  ConFn ) )
2 fveq1 5773 . . . . . . . 8  |-  ( T  =  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) )  -> 
( T `  A
)  =  ( if ( T  e.  (
LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) ) `  A ) )
32fveq2d 5778 . . . . . . 7  |-  ( T  =  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) )  -> 
( abs `  ( T `  A )
)  =  ( abs `  ( if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) ) `  A ) ) )
4 fveq2 5774 . . . . . . . 8  |-  ( T  =  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) )  -> 
( normfn `  T )  =  ( normfn `  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) ) ) )
54oveq1d 6211 . . . . . . 7  |-  ( T  =  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) )  -> 
( ( normfn `  T
)  x.  ( normh `  A ) )  =  ( ( normfn `  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) ) )  x.  ( normh `  A ) ) )
63, 5breq12d 4380 . . . . . 6  |-  ( T  =  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) )  -> 
( ( abs `  ( T `  A )
)  <_  ( ( normfn `
 T )  x.  ( normh `  A )
)  <->  ( abs `  ( if ( T  e.  (
LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) ) `  A ) )  <_  ( ( normfn `
 if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) ) )  x.  ( normh `  A
) ) ) )
76imbi2d 314 . . . . 5  |-  ( T  =  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) )  -> 
( ( A  e. 
~H  ->  ( abs `  ( T `  A )
)  <_  ( ( normfn `
 T )  x.  ( normh `  A )
) )  <->  ( A  e.  ~H  ->  ( abs `  ( if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) ) `  A ) )  <_ 
( ( normfn `  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) ) )  x.  ( normh `  A ) ) ) ) )
8 0lnfn 27020 . . . . . . . . . 10  |-  ( ~H 
X.  { 0 } )  e.  LinFn
9 0cnfn 27015 . . . . . . . . . 10  |-  ( ~H 
X.  { 0 } )  e.  ConFn
10 elin 3601 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ~H  X.  { 0 } )  e.  (
LinFn  i^i  ConFn )  <->  ( ( ~H  X.  { 0 } )  e.  LinFn  /\  ( ~H  X.  { 0 } )  e.  ConFn ) )
118, 9, 10mpbir2an 918 . . . . . . . . 9  |-  ( ~H 
X.  { 0 } )  e.  ( LinFn  i^i  ConFn )
1211elimel 3919 . . . . . . . 8  |-  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) )  e.  ( LinFn  i^i  ConFn )
13 elin 3601 . . . . . . . 8  |-  ( if ( T  e.  (
LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) )  e.  ( LinFn  i^i  ConFn )  <->  ( if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) )  e.  LinFn  /\  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) )  e.  ConFn ) )
1412, 13mpbi 208 . . . . . . 7  |-  ( if ( T  e.  (
LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) )  e.  LinFn  /\  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) )  e.  ConFn )
1514simpli 456 . . . . . 6  |-  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) )  e.  LinFn
1614simpri 460 . . . . . 6  |-  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) )  e.  ConFn
1715, 16nmcfnlbi 27087 . . . . 5  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( abs `  ( if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) ) `
 A ) )  <_  ( ( normfn `  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H 
X.  { 0 } ) ) )  x.  ( normh `  A )
) )
187, 17dedth 3908 . . . 4  |-  ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn )  ->  ( A  e. 
~H  ->  ( abs `  ( T `  A )
)  <_  ( ( normfn `
 T )  x.  ( normh `  A )
) ) )
1918imp 427 . . 3  |-  ( ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn )  /\  A  e. 
~H )  ->  ( abs `  ( T `  A ) )  <_ 
( ( normfn `  T
)  x.  ( normh `  A ) ) )
201, 19sylanbr 471 . 2  |-  ( ( ( T  e.  LinFn  /\  T  e.  ConFn )  /\  A  e.  ~H )  ->  ( abs `  ( T `  A )
)  <_  ( ( normfn `
 T )  x.  ( normh `  A )
) )
21203impa 1189 1  |-  ( ( T  e.  LinFn  /\  T  e.  ConFn  /\  A  e.  ~H )  ->  ( abs `  ( T `  A
) )  <_  (
( normfn `  T )  x.  ( normh `  A )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826    i^i cin 3388   ifcif 3857   {csn 3944   class class class wbr 4367    X. cxp 4911   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   0cc0 9403    x. cmul 9408    <_ cle 9540   abscabs 13069   ~Hchil 25953   normhcno 25957   normfncnmf 25985   ConFnccnfn 25987   LinFnclf 25988
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481  ax-hilex 26033  ax-hfvadd 26034  ax-hv0cl 26037  ax-hvaddid 26038  ax-hfvmul 26039  ax-hvmulid 26040  ax-hvmulass 26041  ax-hvmul0 26044  ax-hfi 26113  ax-his1 26116  ax-his3 26118  ax-his4 26119
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-er 7229  df-map 7340  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-sup 7816  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-rp 11140  df-seq 12011  df-exp 12070  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-hnorm 26002  df-hvsub 26005  df-nmfn 26880  df-cnfn 26882  df-lnfn 26883
This theorem is referenced by:  lnfnconi  27090
  Copyright terms: Public domain W3C validator