Theorem nmcfnlb 11626

Description: A lower bound of the norm of a continuous linear Hilbert space functional. Theorem 3.5(ii) of [Beran] p. 99.

Assertion

Ref	Expression
nmcfnlb	|- ((T e. LinFn /\ T e. ConFn /\ A e. ~H) -> (abs` (T` A)) <_ ((normfn` T) x. (normh` A)))

Proof of Theorem nmcfnlb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 4680	. . . . . . . 8 |- (T = if(T e. (LinFn i^i ConFn), T, (~H X. {0})) -> (T` A) = (if(T e. (LinFn i^i ConFn), T, (~H X. {0}))` A))
2	1	fveq2d 4685	. . . . . . 7 |- (T = if(T e. (LinFn i^i ConFn), T, (~H X. {0})) -> (abs` (T` A)) = (abs` (if(T e. (LinFn i^i ConFn), T, (~H X. {0}))` A)))
3		fveq2 4681	. . . . . . . 8 |- (T = if(T e. (LinFn i^i ConFn), T, (~H X. {0})) -> (normfn` T) = (normfn` if(T e. (LinFn i^i ConFn), T, (~H X. {0}))))
4	3	opreq1d 4897	. . . . . . 7 |- (T = if(T e. (LinFn i^i ConFn), T, (~H X. {0})) -> ((normfn` T) x. (normh` A)) = ((normfn` if(T e. (LinFn i^i ConFn), T, (~H X. {0}))) x. (normh` A)))
5	2, 4	breq12d 3351	. . . . . 6 |- (T = if(T e. (LinFn i^i ConFn), T, (~H X. {0})) -> ((abs` (T` A)) <_ ((normfn` T) x. (normh` A)) <-> (abs` (if(T e. (LinFn i^i ConFn), T, (~H X. {0}))` A)) <_ ((normfn` if(T e. (LinFn i^i ConFn), T, (~H X. {0}))) x. (normh` A))))
6	5	imbi2d 674	. . . . 5 |- (T = if(T e. (LinFn i^i ConFn), T, (~H X. {0})) -> ((A e. ~H -> (abs` (T` A)) <_ ((normfn` T) x. (normh` A))) <-> (A e. ~H -> (abs` (if(T e. (LinFn i^i ConFn), T, (~H X. {0}))` A)) <_ ((normfn` if(T e. (LinFn i^i ConFn), T, (~H X. {0}))) x. (normh` A)))))
7		elin 2786	. . . . . . . . . 10 |- ((~H X. {0}) e. (LinFn i^i ConFn) <-> ((~H X. {0}) e. LinFn /\ (~H X. {0}) e. ConFn))
8		0lnfn 11546	. . . . . . . . . 10 |- (~H X. {0}) e. LinFn
9		0cnfn 11541	. . . . . . . . . 10 |- (~H X. {0}) e. ConFn
10	7, 8, 9	mpbir2an 800	. . . . . . . . 9 |- (~H X. {0}) e. (LinFn i^i ConFn)
11	10	elimel 3025	. . . . . . . 8 |- if(T e. (LinFn i^i ConFn), T, (~H X. {0})) e. (LinFn i^i ConFn)
12		elin 2786	. . . . . . . 8 |- (if(T e. (LinFn i^i ConFn), T, (~H X. {0})) e. (LinFn i^i ConFn) <-> (if(T e. (LinFn i^i ConFn), T, (~H X. {0})) e. LinFn /\ if(T e. (LinFn i^i ConFn), T, (~H X. {0})) e. ConFn))
13	11, 12	mpbi 206	. . . . . . 7 |- (if(T e. (LinFn i^i ConFn), T, (~H X. {0})) e. LinFn /\ if(T e. (LinFn i^i ConFn), T, (~H X. {0})) e. ConFn)
14	13	simpli 347	. . . . . 6 |- if(T e. (LinFn i^i ConFn), T, (~H X. {0})) e. LinFn
15	13	simpri 351	. . . . . 6 |- if(T e. (LinFn i^i ConFn), T, (~H X. {0})) e. ConFn
16	14, 15	nmcfnlbi 11624	. . . . 5 |- (A e. ~H -> (abs` (if(T e. (LinFn i^i ConFn), T, (~H X. {0}))` A)) <_ ((normfn` if(T e. (LinFn i^i ConFn), T, (~H X. {0}))) x. (normh` A)))
17	6, 16	dedth 3011	. . . 4 |- (T e. (LinFn i^i ConFn) -> (A e. ~H -> (abs` (T` A)) <_ ((normfn` T) x. (normh` A))))
18	17	imp 377	. . 3 |- ((T e. (LinFn i^i ConFn) /\ A e. ~H) -> (abs` (T` A)) <_ ((normfn` T) x. (normh` A)))
19		elin 2786	. . 3 |- (T e. (LinFn i^i ConFn) <-> (T e. LinFn /\ T e. ConFn))
20	18, 19	sylanbr 499	. 2 |- (((T e. LinFn /\ T e. ConFn) /\ A e. ~H) -> (abs` (T` A)) <_ ((normfn` T) x. (normh` A)))
21	20	3impa 1062	1 |- ((T e. LinFn /\ T e. ConFn /\ A e. ~H) -> (abs` (T` A)) <_ ((normfn` T) x. (normh` A)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   i^i cin 2592  ifcif 2982  {csn 3044   class class class wbr 3338   X. cxp 3984  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  0cc0 6386   x. cmul 6391   <_ cle 6448  abscabs 8000  ~Hchil 10420  normhcno 10426  norm_fncnmf 10452  ConFnccnf 10454  LinFnclf 10455

This theorem is referenced by:  lnfnconi 11627

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his3 10584  ax-his4 10585

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-hnorm 10469  df-hvsub 10472  df-nmfn 11408  df-cnfn 11410  df-lnfn 11411

Copyright terms: Public domain