Theorem nmcfnexlem6 11622

Description: Lemma for nmcfnexi 11623. Combine lemmas to obtain the result (with hypotheses to be eliminated).

Hypotheses

Ref	Expression
nmcfnex.1	|- T e. LinFn
nmcfnex.2	|- T e. ConFn
nmcfnexlem4.3	|- A = {k e. NN | (1 / k) < y}
nmcfnexlem4.4	|- M = sup(A, RR, `' < )

Assertion

Ref	Expression
nmcfnexlem6	|- (normfn` T) e. RR

Distinct variable groups:   k,M   y,k,T

Proof of Theorem nmcfnexlem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmcfnex.1	. . 3 |- T e. LinFn
2		nmcfnex.2	. . 3 |- T e. ConFn
3	1, 2	nmcfnexlem2 11618	. 2 |- E.y e. RR (0 < y /\ A.z e. ~H ((normh` z) < y -> (abs` (T` z)) < 1))
4		nmcfnexlem4.3	. . . . . . . 8 |- A = {k e. NN | (1 / k) < y}
5		nmcfnexlem4.4	. . . . . . . 8 |- M = sup(A, RR, `' < )
6	1, 2, 4, 5	nmcfnexlem4 11620	. . . . . . 7 |- ((y e. RR /\ 0 < y) -> (M e. NN /\ (1 / M) < y))
7	6	simplld 348	. . . . . 6 |- ((y e. RR /\ 0 < y) -> M e. NN)
8	7	ex 402	. . . . 5 |- (y e. RR -> (0 < y -> M e. NN))
9	8	adantrd 427	. . . 4 |- (y e. RR -> ((0 < y /\ A.z e. ~H ((normh` z) < y -> (abs` (T` z)) < 1)) -> M e. NN))
10	1, 2, 4, 5	nmcfnexlem5 11621	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((y e. RR /\ 0 < y) /\ (k e. NN /\ M <_ k) /\ (x e. ~H /\ (normh` x) <_ 1)) -> (normh` ((1 / k) .h x)) < y)
11	10	3expb 1068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((y e. RR /\ 0 < y) /\ ((k e. NN /\ M <_ k) /\ (x e. ~H /\ (normh` x) <_ 1))) -> (normh` ((1 / k) .h x)) < y)
12		hvmulcl 10515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((1 / k) e. CC /\ x e. ~H) -> ((1 / k) .h x) e. ~H)
13		nnre 7112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (k e. NN -> k e. RR)
14		nnne0 7132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (k e. NN -> k =/= 0)
15		rereccl 6981	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((k e. RR /\ k =/= 0) -> (1 / k) e. RR)
16	13, 14, 15	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (k e. NN -> (1 / k) e. RR)
17	16	recnd 6468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (k e. NN -> (1 / k) e. CC)
18	12, 17	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((k e. NN /\ x e. ~H) -> ((1 / k) .h x) e. ~H)
19		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (z = ((1 / k) .h x) -> (normh` z) = (normh` ((1 / k) .h x)))
20	19	breq1d 3348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (z = ((1 / k) .h x) -> ((normh` z) < y <-> (normh` ((1 / k) .h x)) < y))
21		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (z = ((1 / k) .h x) -> (T` z) = (T` ((1 / k) .h x)))
22	21	fveq2d 4685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (z = ((1 / k) .h x) -> (abs` (T` z)) = (abs` (T` ((1 / k) .h x))))
23	22	breq1d 3348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (z = ((1 / k) .h x) -> ((abs` (T` z)) < 1 <-> (abs` (T` ((1 / k) .h x))) < 1))
24	20, 23	imbi12d 688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (z = ((1 / k) .h x) -> (((normh` z) < y -> (abs` (T` z)) < 1) <-> ((normh` ((1 / k) .h x)) < y -> (abs` (T` ((1 / k) .h x))) < 1)))
25	24	rcla4v 2376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((1 / k) .h x) e. ~H -> (A.z e. ~H ((normh` z) < y -> (abs` (T` z)) < 1) -> ((normh` ((1 / k) .h x)) < y -> (abs` (T` ((1 / k) .h x))) < 1)))
26	18, 25	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((k e. NN /\ x e. ~H) -> (A.z e. ~H ((normh` z) < y -> (abs` (T` z)) < 1) -> ((normh` ((1 / k) .h x)) < y -> (abs` (T` ((1 / k) .h x))) < 1)))
27	1, 2	nmcfnexlem3 11619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((k e. NN /\ x e. ~H) -> ((abs` (T` x)) < k <-> (abs` (T` ((1 / k) .h x))) < 1))
28		ltnsym 6702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (((abs` (T` x)) e. RR /\ k e. RR) -> ((abs` (T` x)) < k -> -. k < (abs` (T` x))))
29	1	lnfnfi 11607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- T:~H-->CC
30	29	ffvelrni 4788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (x e. ~H -> (T` x) e. CC)
31		abscl 8084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((T` x) e. CC -> (abs` (T` x)) e. RR)
32	30, 31	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (x e. ~H -> (abs` (T` x)) e. RR)
33	28, 32, 13	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((x e. ~H /\ k e. NN) -> ((abs` (T` x)) < k -> -. k < (abs` (T` x))))
34	33	ancoms 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((k e. NN /\ x e. ~H) -> ((abs` (T` x)) < k -> -. k < (abs` (T` x))))
35	27, 34	sylbird 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((k e. NN /\ x e. ~H) -> ((abs` (T` ((1 / k) .h x))) < 1 -> -. k < (abs` (T` x))))
36	26, 35	syl6d 67	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((k e. NN /\ x e. ~H) -> (A.z e. ~H ((normh` z) < y -> (abs` (T` z)) < 1) -> ((normh` ((1 / k) .h x)) < y -> -. k < (abs` (T` x)))))
37	36	ad2ant2r 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((k e. NN /\ M <_ k) /\ (x e. ~H /\ (normh` x) <_ 1)) -> (A.z e. ~H ((normh` z) < y -> (abs` (T` z)) < 1) -> ((normh` ((1 / k) .h x)) < y -> -. k < (abs` (T` x)))))
38	37	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((y e. RR /\ 0 < y) /\ ((k e. NN /\ M <_ k) /\ (x e. ~H /\ (normh` x) <_ 1))) -> (A.z e. ~H ((normh` z) < y -> (abs` (T` z)) < 1) -> ((normh` ((1 / k) .h x)) < y -> -. k < (abs` (T` x)))))
39	11, 38	mpid 58	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((y e. RR /\ 0 < y) /\ ((k e. NN /\ M <_ k) /\ (x e. ~H /\ (normh` x) <_ 1))) -> (A.z e. ~H ((normh` z) < y -> (abs` (T` z)) < 1) -> -. k < (abs` (T` x))))
40	39	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((y e. RR /\ 0 < y) -> (((k e. NN /\ M <_ k) /\ (x e. ~H /\ (normh` x) <_ 1)) -> (A.z e. ~H ((normh` z) < y -> (abs` (T` z)) < 1) -> -. k < (abs` (T` x)))))
41	40	com23 36	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((y e. RR /\ 0 < y) -> (A.z e. ~H ((normh` z) < y -> (abs` (T` z)) < 1) -> (((k e. NN /\ M <_ k) /\ (x e. ~H /\ (normh` x) <_ 1)) -> -. k < (abs` (T` x)))))
42	41	imp 377	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((y e. RR /\ 0 < y) /\ A.z e. ~H ((normh` z) < y -> (abs` (T` z)) < 1)) -> (((k e. NN /\ M <_ k) /\ (x e. ~H /\ (normh` x) <_ 1)) -> -. k < (abs` (T` x))))
43	42	exp4d 412	. . . . . . . . . . . 12 |- (((y e. RR /\ 0 < y) /\ A.z e. ~H ((normh` z) < y -> (abs` (T` z)) < 1)) -> ((k e. NN /\ M <_ k) -> (x e. ~H -> ((normh` x) <_ 1 -> -. k < (abs` (T` x))))))
44	43	anasss 488	. . . . . . . . . . 11 |- ((y e. RR /\ (0 < y /\ A.z e. ~H ((normh` z) < y -> (abs` (T` z)) < 1))) -> ((k e. NN /\ M <_ k) -> (x e. ~H -> ((normh` x) <_ 1 -> -. k < (abs` (T` x))))))
45	44	imp 377	. . . . . . . . . 10 |- (((y e. RR /\ (0 < y /\ A.z e. ~H ((normh` z) < y -> (abs` (T` z)) < 1))) /\ (k e. NN /\ M <_ k)) -> (x e. ~H -> ((normh` x) <_ 1 -> -. k < (abs` (T` x)))))
46	45	r19.21aiv 2175	. . . . . . . . 9 |- (((y e. RR /\ (0 < y /\ A.z e. ~H ((normh` z) < y -> (abs` (T` z)) < 1))) /\ (k e. NN /\ M <_ k)) -> A.x e. ~H ((normh` x) <_ 1 -> -. k < (abs` (T` x))))
47	1, 2	nmcfnexlem1 11617	. . . . . . . . . . 11 |- ((k e. NN /\ A.x e. ~H ((normh` x) <_ 1 -> -. k < (abs` (T` x)))) -> (normfn` T) e. RR)
48	47	adantlr 429	. . . . . . . . . 10 |- (((k e. NN /\ M <_ k) /\ A.x e. ~H ((normh` x) <_ 1 -> -. k < (abs` (T` x)))) -> (normfn` T) e. RR)
49	48	adantll 428	. . . . . . . . 9 |- ((((y e. RR /\ (0 < y /\ A.z e. ~H ((normh` z) < y -> (abs` (T` z)) < 1))) /\ (k e. NN /\ M <_ k)) /\ A.x e. ~H ((normh` x) <_ 1 -> -. k < (abs` (T` x)))) -> (normfn` T) e. RR)
50	46, 49	mpdan 768	. . . . . . . 8 |- (((y e. RR /\ (0 < y /\ A.z e. ~H ((normh` z) < y -> (abs` (T` z)) < 1))) /\ (k e. NN /\ M <_ k)) -> (normfn` T) e. RR)
51	50	exp32 408	. . . . . . 7 |- ((y e. RR /\ (0 < y /\ A.z e. ~H ((normh` z) < y -> (abs` (T` z)) < 1))) -> (k e. NN -> (M <_ k -> (normfn` T) e. RR)))
52	51	r19.23adv 2215	. . . . . 6 |- ((y e. RR /\ (0 < y /\ A.z e. ~H ((normh` z) < y -> (abs` (T` z)) < 1))) -> (E.k e. NN M <_ k -> (normfn` T) e. RR))
53		nnre 7112	. . . . . . . 8 |- (M e. NN -> M e. RR)
54		leid 6701	. . . . . . . 8 |- (M e. RR -> M <_ M)
55	53, 54	syl 12	. . . . . . 7 |- (M e. NN -> M <_ M)
56		breq2 3342	. . . . . . . 8 |- (k = M -> (M <_ k <-> M <_ M))
57	56	rcla4ev 2381	. . . . . . 7 |- ((M e. NN /\ M <_ M) -> E.k e. NN M <_ k)
58	55, 57	mpdan 768	. . . . . 6 |- (M e. NN -> E.k e. NN M <_ k)
59	52, 58	syl5 20	. . . . 5 |- ((y e. RR /\ (0 < y /\ A.z e. ~H ((normh` z) < y -> (abs` (T` z)) < 1))) -> (M e. NN -> (normfn` T) e. RR))
60	59	ex 402	. . . 4 |- (y e. RR -> ((0 < y /\ A.z e. ~H ((normh` z) < y -> (abs` (T` z)) < 1)) -> (M e. NN -> (normfn` T) e. RR)))
61	9, 60	mpdd 57	. . 3 |- (y e. RR -> ((0 < y /\ A.z e. ~H ((normh` z) < y -> (abs` (T` z)) < 1)) -> (normfn` T) e. RR))
62	61	r19.23aiv 2211	. 2 |- (E.y e. RR (0 < y /\ A.z e. ~H ((normh` z) < y -> (abs` (T` z)) < 1)) -> (normfn` T) e. RR)
63	3, 62	ax-mp 7	1 |- (normfn` T) e. RR

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  A.wral 2105  E.wrex 2106  {crab 2108   class class class wbr 3338  `'ccnv 3985  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  supcsup 5663  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   / cdiv 6447   <_ cle 6448  NNcn 6449   < clt 6653  abscabs 8000  ~Hchil 10420   .h csm 10422  normhcno 10426  norm_fncnmf 10452  ConFnccnf 10454  LinFnclf 10455

This theorem is referenced by:  nmcfnexi 11623

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731  ax-hilex 10501  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his3 10584  ax-his4 10585

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-hnorm 10469  df-hvsub 10472  df-nmfn 11408  df-cnfn 11410  df-lnfn 11411

Copyright terms: Public domain