HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmcfnex Structured version   Unicode version

Theorem nmcfnex 26763
Description: The norm of a continuous linear Hilbert space functional exists. Theorem 3.5(i) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmcfnex  |-  ( ( T  e.  LinFn  /\  T  e.  ConFn )  ->  ( normfn `
 T )  e.  RR )

Proof of Theorem nmcfnex
StepHypRef Expression
1 elin 3692 . 2  |-  ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn )  <-> 
( T  e.  LinFn  /\  T  e.  ConFn ) )
2 fveq2 5871 . . . 4  |-  ( T  =  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) )  -> 
( normfn `  T )  =  ( normfn `  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) ) ) )
32eleq1d 2536 . . 3  |-  ( T  =  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) )  -> 
( ( normfn `  T
)  e.  RR  <->  ( normfn `  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H 
X.  { 0 } ) ) )  e.  RR ) )
4 0lnfn 26695 . . . . . . . 8  |-  ( ~H 
X.  { 0 } )  e.  LinFn
5 0cnfn 26690 . . . . . . . 8  |-  ( ~H 
X.  { 0 } )  e.  ConFn
6 elin 3692 . . . . . . . 8  |-  ( ( ~H  X.  { 0 } )  e.  (
LinFn  i^i  ConFn )  <->  ( ( ~H  X.  { 0 } )  e.  LinFn  /\  ( ~H  X.  { 0 } )  e.  ConFn ) )
74, 5, 6mpbir2an 918 . . . . . . 7  |-  ( ~H 
X.  { 0 } )  e.  ( LinFn  i^i  ConFn )
87elimel 4007 . . . . . 6  |-  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) )  e.  ( LinFn  i^i  ConFn )
9 elin 3692 . . . . . 6  |-  ( if ( T  e.  (
LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) )  e.  ( LinFn  i^i  ConFn )  <->  ( if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) )  e.  LinFn  /\  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) )  e.  ConFn ) )
108, 9mpbi 208 . . . . 5  |-  ( if ( T  e.  (
LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) )  e.  LinFn  /\  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) )  e.  ConFn )
1110simpli 458 . . . 4  |-  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) )  e.  LinFn
1210simpri 462 . . . 4  |-  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) )  e.  ConFn
1311, 12nmcfnexi 26761 . . 3  |-  ( normfn `  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H 
X.  { 0 } ) ) )  e.  RR
143, 13dedth 3996 . 2  |-  ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn )  ->  ( normfn `  T
)  e.  RR )
151, 14sylbir 213 1  |-  ( ( T  e.  LinFn  /\  T  e.  ConFn )  ->  ( normfn `
 T )  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    i^i cin 3480   ifcif 3944   {csn 4032    X. cxp 5002   ` cfv 5593   RRcr 9501   0cc0 9502   ~Hchil 25627   normfncnmf 25659   ConFnccnfn 25661   LinFnclf 25662
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579  ax-pre-sup 9580  ax-hilex 25707  ax-hfvadd 25708  ax-hv0cl 25711  ax-hvaddid 25712  ax-hfvmul 25713  ax-hvmulid 25714  ax-hvmulass 25715  ax-hvmul0 25718  ax-hfi 25787  ax-his1 25790  ax-his3 25792  ax-his4 25793
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-om 6695  df-2nd 6795  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-er 7321  df-map 7432  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-sup 7911  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-div 10217  df-nn 10547  df-2 10604  df-3 10605  df-n0 10806  df-z 10875  df-uz 11093  df-rp 11231  df-seq 12086  df-exp 12145  df-cj 12907  df-re 12908  df-im 12909  df-sqrt 13043  df-abs 13044  df-hnorm 25676  df-hvsub 25679  df-nmfn 26555  df-cnfn 26557  df-lnfn 26558
This theorem is referenced by:  lnfnconi  26765  lnfncnbd  26767
  Copyright terms: Public domain W3C validator