Theorem nmcexi 27727

Description: Lemma for nmcopexi 27728 and nmcfnexi 27752. The norm of a continuous linear Hilbert space operator or functional exists. Theorem 3.5(i) of [Beran] p. 99. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmcex.1	|- E. y e. RR+ A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 )
nmcex.2	|- ( S ` T ) = sup ( { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } , RR* , < )
nmcex.3	|- ( x e. ~H -> ( N ` ( T ` x ) ) e. RR )
nmcex.4	|- ( N ` ( T ` 0h ) ) = 0
nmcex.5	|- ( ( ( y / 2 ) e. RR+ /\ x e. ~H ) -> ( ( y / 2 ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) = ( N ` ( T ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
nmcexi	|- ( S ` T ) e. RR

Distinct variable groups:   x, m, y, z, N   T, m, x, y, z

Allowed substitution hints:   S( x, y, z, m)

Proof of Theorem nmcexi

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmcex.2	. . 3 |- ( S ` T ) = sup ( { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } , RR* , < )
2		nmcex.3	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ~H -> ( N ` ( T ` x ) ) e. RR )
3		eleq1 2527	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( N ` ( T ` x ) ) -> ( m e. RR <-> ( N ` ( T ` x ) ) e. RR ) )
4	2, 3	syl5ibrcom 230	. . . . . . . 8 |- ( x e. ~H -> ( m = ( N ` ( T ` x ) ) -> m e. RR ) )
5	4	imp 435	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ~H /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) -> m e. RR )
6	5	adantrl 727	. . . . . 6 |- ( ( x e. ~H /\ ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) ) -> m e. RR )
7	6	rexlimiva 2886	. . . . 5 |- ( E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) -> m e. RR )
8	7	abssi 3515	. . . 4 |- { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } C_ RR
9		ax-hv0cl 26704	. . . . . . 7 |- 0h e. ~H
10		norm0 26829	. . . . . . . . 9 |- ( normh ` 0h ) = 0
11		0le1 10164	. . . . . . . . 9 |- 0 <_ 1
12	10, 11	eqbrtri 4435	. . . . . . . 8 |- ( normh ` 0h ) <_ 1
13		nmcex.4	. . . . . . . . 9 |- ( N ` ( T ` 0h ) ) = 0
14	13	eqcomi 2470	. . . . . . . 8 |- 0 = ( N ` ( T ` 0h ) )
15	12, 14	pm3.2i 461	. . . . . . 7 |- ( ( normh ` 0h ) <_ 1 /\ 0 = ( N ` ( T ` 0h ) ) )
16		fveq2 5887	. . . . . . . . . 10 |- ( x = 0h -> ( normh ` x ) = ( normh ` 0h ) )
17	16	breq1d 4425	. . . . . . . . 9 |- ( x = 0h -> ( ( normh ` x ) <_ 1 <-> ( normh ` 0h ) <_ 1 ) )
18		fveq2 5887	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = 0h -> ( T ` x ) = ( T ` 0h ) )
19	18	fveq2d 5891	. . . . . . . . . 10 |- ( x = 0h -> ( N ` ( T ` x ) ) = ( N ` ( T ` 0h ) ) )
20	19	eqeq2d 2471	. . . . . . . . 9 |- ( x = 0h -> ( 0 = ( N ` ( T ` x ) ) <-> 0 = ( N ` ( T ` 0h ) ) ) )
21	17, 20	anbi12d 722	. . . . . . . 8 |- ( x = 0h -> ( ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ 0 = ( N ` ( T ` x ) ) ) <-> ( ( normh ` 0h ) <_ 1 /\ 0 = ( N ` ( T ` 0h ) ) ) ) )
22	21	rspcev 3161	. . . . . . 7 |- ( ( 0h e. ~H /\ ( ( normh ` 0h ) <_ 1 /\ 0 = ( N ` ( T ` 0h ) ) ) ) -> E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ 0 = ( N ` ( T ` x ) ) ) )
23	9, 15, 22	mp2an 683	. . . . . 6 |- E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ 0 = ( N ` ( T ` x ) ) )
24		c0ex 9662	. . . . . . 7 |- 0 e. _V
25		eqeq1 2465	. . . . . . . . 9 |- ( m = 0 -> ( m = ( N ` ( T ` x ) ) <-> 0 = ( N ` ( T ` x ) ) ) )
26	25	anbi2d 715	. . . . . . . 8 |- ( m = 0 -> ( ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) <-> ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ 0 = ( N ` ( T ` x ) ) ) ) )
27	26	rexbidv 2912	. . . . . . 7 |- ( m = 0 -> ( E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) <-> E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ 0 = ( N ` ( T ` x ) ) ) ) )
28	24, 27	elab 3196	. . . . . 6 |- ( 0 e. { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } <-> E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ 0 = ( N ` ( T ` x ) ) ) )
29	23, 28	mpbir 214	. . . . 5 |- 0 e. { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) }
30	29	ne0ii 3749	. . . 4 |- { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } =/= (/)
31		nmcex.1	. . . . 5 |- E. y e. RR+ A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 )
32		2rp 11335	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR+
33		rpdivcl 11353	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. RR+ /\ y e. RR+ ) -> ( 2 / y ) e. RR+ )
34	32, 33	mpan 681	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR+ -> ( 2 / y ) e. RR+ )
35	34	rpred 11369	. . . . . . . 8 |- ( y e. RR+ -> ( 2 / y ) e. RR )
36	35	adantr 471	. . . . . . 7 |- ( ( y e. RR+ /\ A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) ) -> ( 2 / y ) e. RR )
37		rpre 11336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y e. RR+ -> y e. RR )
38	37	adantr 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> y e. RR )
39	38	rehalfcld 10887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( y / 2 ) e. RR )
40	39	recnd 9694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( y / 2 ) e. CC )
41		simprl 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> x e. ~H )
42		hvmulcl 26714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( y / 2 ) e. CC /\ x e. ~H ) -> ( ( y / 2 ) .h x ) e. ~H )
43	40, 41, 42	syl2anc 671	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( ( y / 2 ) .h x ) e. ~H )
44		normcl 26826	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( y / 2 ) .h x ) e. ~H -> ( normh ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) e. RR )
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( normh ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) e. RR )
46		simprr 771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( normh ` x ) <_ 1 )
47		normcl 26826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. ~H -> ( normh ` x ) e. RR )
48	47	ad2antrl 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( normh ` x ) e. RR )
49		1red 9683	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> 1 e. RR )
50		rphalfcl 11355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. RR+ -> ( y / 2 ) e. RR+ )
51	50	adantr 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( y / 2 ) e. RR+ )
52	48, 49, 51	lemul2d 11410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( ( normh ` x ) <_ 1 <-> ( ( y / 2 ) x. ( normh ` x ) ) <_ ( ( y / 2 ) x. 1 ) ) )
53	46, 52	mpbid 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( ( y / 2 ) x. ( normh ` x ) ) <_ ( ( y / 2 ) x. 1 ) )
54		rpcn 11338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y / 2 ) e. RR+ -> ( y / 2 ) e. CC )
55		norm-iii 26841	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( y / 2 ) e. CC /\ x e. ~H ) -> ( normh ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) = ( ( abs ` ( y / 2 ) ) x. ( normh ` x ) ) )
56	54, 55	sylan 478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( y / 2 ) e. RR+ /\ x e. ~H ) -> ( normh ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) = ( ( abs ` ( y / 2 ) ) x. ( normh ` x ) ) )
57		rpre 11336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( y / 2 ) e. RR+ -> ( y / 2 ) e. RR )
58		rpge0 11342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( y / 2 ) e. RR+ -> 0 <_ ( y / 2 ) )
59	57, 58	absidd 13532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( y / 2 ) e. RR+ -> ( abs ` ( y / 2 ) ) = ( y / 2 ) )
60	59	oveq1d 6329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y / 2 ) e. RR+ -> ( ( abs ` ( y / 2 ) ) x. ( normh ` x ) ) = ( ( y / 2 ) x. ( normh ` x ) ) )
61	60	adantr 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( y / 2 ) e. RR+ /\ x e. ~H ) -> ( ( abs ` ( y / 2 ) ) x. ( normh ` x ) ) = ( ( y / 2 ) x. ( normh ` x ) ) )
62	56, 61	eqtr2d 2496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( y / 2 ) e. RR+ /\ x e. ~H ) -> ( ( y / 2 ) x. ( normh ` x ) ) = ( normh ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) )
63	51, 41, 62	syl2anc 671	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( ( y / 2 ) x. ( normh ` x ) ) = ( normh ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) )
64	40	mulid1d 9685	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( ( y / 2 ) x. 1 ) = ( y / 2 ) )
65	53, 63, 64	3brtr3d 4445	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( normh ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) <_ ( y / 2 ) )
66		rphalflt 11357	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. RR+ -> ( y / 2 ) < y )
67	66	adantr 471	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( y / 2 ) < y )
68	45, 39, 38, 65, 67	lelttrd 9818	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( normh ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) < y )
69		fveq2 5887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = ( ( y / 2 ) .h x ) -> ( normh ` z ) = ( normh ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) )
70	69	breq1d 4425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = ( ( y / 2 ) .h x ) -> ( ( normh ` z ) < y <-> ( normh ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) < y ) )
71		fveq2 5887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z = ( ( y / 2 ) .h x ) -> ( T ` z ) = ( T ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) )
72	71	fveq2d 5891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = ( ( y / 2 ) .h x ) -> ( N ` ( T ` z ) ) = ( N ` ( T ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) ) )
73	72	breq1d 4425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = ( ( y / 2 ) .h x ) -> ( ( N ` ( T ` z ) ) < 1 <-> ( N ` ( T ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) ) < 1 ) )
74	70, 73	imbi12d 326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = ( ( y / 2 ) .h x ) -> ( ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) <-> ( ( normh ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) < y -> ( N ` ( T ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) ) < 1 ) ) )
75	74	rspcv 3157	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( y / 2 ) .h x ) e. ~H -> ( A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) -> ( ( normh ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) < y -> ( N ` ( T ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) ) < 1 ) ) )
76	43, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) -> ( ( normh ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) < y -> ( N ` ( T ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) ) < 1 ) ) )
77	68, 76	mpid 42	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) -> ( N ` ( T ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) ) < 1 ) )
78	2	ad2antrl 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) e. RR )
79	78, 49, 51	ltmuldiv2d 11414	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( ( ( y / 2 ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) < 1 <-> ( N ` ( T ` x ) ) < ( 1 / ( y / 2 ) ) ) )
80	51	rprecred 11380	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( 1 / ( y / 2 ) ) e. RR )
81		ltle 9747	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR /\ ( 1 / ( y / 2 ) ) e. RR ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) < ( 1 / ( y / 2 ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ ( 1 / ( y / 2 ) ) ) )
82	78, 80, 81	syl2anc 671	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) < ( 1 / ( y / 2 ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ ( 1 / ( y / 2 ) ) ) )
83	79, 82	sylbid 223	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( ( ( y / 2 ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) < 1 -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ ( 1 / ( y / 2 ) ) ) )
84		nmcex.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( y / 2 ) e. RR+ /\ x e. ~H ) -> ( ( y / 2 ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) = ( N ` ( T ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) ) )
85	51, 41, 84	syl2anc 671	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( ( y / 2 ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) = ( N ` ( T ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) ) )
86	85	breq1d 4425	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( ( ( y / 2 ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) < 1 <-> ( N ` ( T ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) ) < 1 ) )
87		rpcn 11338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. RR+ -> y e. CC )
88		rpne0 11345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. RR+ -> y =/= 0 )
89		2cn 10707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 2 e. CC
90		2ne0 10729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 2 =/= 0
91		recdiv 10340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) ) -> ( 1 / ( y / 2 ) ) = ( 2 / y ) )
92	89, 90, 91	mpanr12 696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) -> ( 1 / ( y / 2 ) ) = ( 2 / y ) )
93	87, 88, 92	syl2anc 671	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. RR+ -> ( 1 / ( y / 2 ) ) = ( 2 / y ) )
94	93	adantr 471	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( 1 / ( y / 2 ) ) = ( 2 / y ) )
95	94	breq2d 4427	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) <_ ( 1 / ( y / 2 ) ) <-> ( N ` ( T ` x ) ) <_ ( 2 / y ) ) )
96	83, 86, 95	3imtr3d 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( ( N ` ( T ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) ) < 1 -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ ( 2 / y ) ) )
97	77, 96	syld 45	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ ( 2 / y ) ) )
98	97	imp 435	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) /\ A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ ( 2 / y ) )
99	98	an32s 818	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. RR+ /\ A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) ) /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ ( 2 / y ) )
100	99	anassrs 658	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( y e. RR+ /\ A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) ) /\ x e. ~H ) /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ ( 2 / y ) )
101		breq1 4418	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( N ` ( T ` x ) ) -> ( n <_ ( 2 / y ) <-> ( N ` ( T ` x ) ) <_ ( 2 / y ) ) )
102	100, 101	syl5ibrcom 230	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( y e. RR+ /\ A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) ) /\ x e. ~H ) /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) -> ( n = ( N ` ( T ` x ) ) -> n <_ ( 2 / y ) ) )
103	102	expimpd 612	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. RR+ /\ A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) ) /\ x e. ~H ) -> ( ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ n = ( N ` ( T ` x ) ) ) -> n <_ ( 2 / y ) ) )
104	103	rexlimdva 2890	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. RR+ /\ A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) ) -> ( E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ n = ( N ` ( T ` x ) ) ) -> n <_ ( 2 / y ) ) )
105	104	alrimiv 1783	. . . . . . 7 |- ( ( y e. RR+ /\ A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) ) -> A. n ( E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ n = ( N ` ( T ` x ) ) ) -> n <_ ( 2 / y ) ) )
106		eqeq1 2465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = n -> ( m = ( N ` ( T ` x ) ) <-> n = ( N ` ( T ` x ) ) ) )
107	106	anbi2d 715	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = n -> ( ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) <-> ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ n = ( N ` ( T ` x ) ) ) ) )
108	107	rexbidv 2912	. . . . . . . . . 10 |- ( m = n -> ( E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) <-> E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ n = ( N ` ( T ` x ) ) ) ) )
109	108	ralab 3210	. . . . . . . . 9 |- ( A. n e. { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } n <_ z <-> A. n ( E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ n = ( N ` ( T ` x ) ) ) -> n <_ z ) )
110		breq2 4419	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( 2 / y ) -> ( n <_ z <-> n <_ ( 2 / y ) ) )
111	110	imbi2d 322	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( 2 / y ) -> ( ( E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ n = ( N ` ( T ` x ) ) ) -> n <_ z ) <-> ( E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ n = ( N ` ( T ` x ) ) ) -> n <_ ( 2 / y ) ) ) )
112	111	albidv 1777	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( 2 / y ) -> ( A. n ( E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ n = ( N ` ( T ` x ) ) ) -> n <_ z ) <-> A. n ( E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ n = ( N ` ( T ` x ) ) ) -> n <_ ( 2 / y ) ) ) )
113	109, 112	syl5bb 265	. . . . . . . 8 |- ( z = ( 2 / y ) -> ( A. n e. { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } n <_ z <-> A. n ( E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ n = ( N ` ( T ` x ) ) ) -> n <_ ( 2 / y ) ) ) )
114	113	rspcev 3161	. . . . . . 7 |- ( ( ( 2 / y ) e. RR /\ A. n ( E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ n = ( N ` ( T ` x ) ) ) -> n <_ ( 2 / y ) ) ) -> E. z e. RR A. n e. { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } n <_ z )
115	36, 105, 114	syl2anc 671	. . . . . 6 |- ( ( y e. RR+ /\ A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) ) -> E. z e. RR A. n e. { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } n <_ z )
116	115	rexlimiva 2886	. . . . 5 |- ( E. y e. RR+ A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) -> E. z e. RR A. n e. { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } n <_ z )
117	31, 116	ax-mp 5	. . . 4 |- E. z e. RR A. n e. { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } n <_ z
118		supxrre 11641	. . . 4 |- ( ( { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } C_ RR /\ { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } =/= (/) /\ E. z e. RR A. n e. { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } n <_ z ) -> sup ( { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } , RR* , < ) = sup ( { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } , RR , < ) )
119	8, 30, 117, 118	mp3an 1373	. . 3 |- sup ( { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } , RR* , < ) = sup ( { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } , RR , < )
120	1, 119	eqtri 2483	. 2 |- ( S ` T ) = sup ( { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } , RR , < )
121		suprcl 10596	. . 3 |- ( ( { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } C_ RR /\ { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } =/= (/) /\ E. z e. RR A. n e. { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } n <_ z ) -> sup ( { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } , RR , < ) e. RR )
122	8, 30, 117, 121	mp3an 1373	. 2 |- sup ( { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } , RR , < ) e. RR
123	120, 122	eqeltri 2535	1 |- ( S ` T ) e. RR

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 375   A.wal 1452   = wceq 1454   e. wcel 1897   {cab 2447   =/= wne 2632   A.wral 2748   E.wrex 2749   C_ wss 3415   (/)c0 3742   class class class wbr 4415   ` cfv 5600  (class class class)co 6314   supcsup 7979   CCcc 9562   RRcr 9563   0cc0 9564   1c1 9565   x. cmul 9569   RR*cxr 9699   < clt 9700   <_ cle 9701   / cdiv 10296   2c2 10686   RR+crp 11330   abscabs 13345   ~Hchil 26620   .h csm 26622   normhcno 26624   0hc0v 26625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641  ax-pre-sup 9642  ax-hv0cl 26704  ax-hfvmul 26706  ax-hvmul0 26711  ax-hfi 26780  ax-his1 26783  ax-his3 26785  ax-his4 26786

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-2nd 6820  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-er 7388  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-sup 7981  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-div 10297  df-nn 10637  df-2 10695  df-3 10696  df-n0 10898  df-z 10966  df-uz 11188  df-rp 11331  df-seq 12245  df-exp 12304  df-cj 13210  df-re 13211  df-im 13212  df-sqrt 13346  df-abs 13347  df-hnorm 26669

This theorem is referenced by:  nmcopexi  27728  nmcfnexi  27752