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Theorem nmcexi 25452
Description: Lemma for nmcopexi 25453 and nmcfnexi 25477. The norm of a continuous linear Hilbert space operator or functional exists. Theorem 3.5(i) of [Beran] p. 99. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmcex.1  |-  E. y  e.  RR+  A. z  e. 
~H  ( ( normh `  z )  <  y  ->  ( N `  ( T `  z )
)  <  1 )
nmcex.2  |-  ( S `
 T )  =  sup ( { m  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
nmcex.3  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( N `  ( T `  x ) )  e.  RR )
nmcex.4  |-  ( N `
 ( T `  0h ) )  =  0
nmcex.5  |-  ( ( ( y  /  2
)  e.  RR+  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( y  /  2
)  x.  ( N `
 ( T `  x ) ) )  =  ( N `  ( T `  ( ( y  /  2 )  .h  x ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
nmcexi  |-  ( S `
 T )  e.  RR
Distinct variable groups:    x, m, y, z, N    T, m, x, y, z
Allowed substitution hints:    S( x, y, z, m)

Proof of Theorem nmcexi
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmcex.2 . . 3  |-  ( S `
 T )  =  sup ( { m  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
2 nmcex.3 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( N `  ( T `  x ) )  e.  RR )
3 eleq1 2503 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( N `  ( T `  x ) )  ->  ( m  e.  RR  <->  ( N `  ( T `  x ) )  e.  RR ) )
42, 3syl5ibrcom 222 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
m  =  ( N `
 ( T `  x ) )  ->  m  e.  RR )
)
54imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) )  ->  m  e.  RR )
65adantrl 715 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) ) )  ->  m  e.  RR )
76rexlimiva 2857 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x )
) )  ->  m  e.  RR )
87abssi 3448 . . . 4  |-  { m  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) ) } 
C_  RR
9 ax-hv0cl 24427 . . . . . . 7  |-  0h  e.  ~H
10 norm0 24552 . . . . . . . . 9  |-  ( normh `  0h )  =  0
11 0le1 9884 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  1
1210, 11eqbrtri 4332 . . . . . . . 8  |-  ( normh `  0h )  <_  1
13 nmcex.4 . . . . . . . . 9  |-  ( N `
 ( T `  0h ) )  =  0
1413eqcomi 2447 . . . . . . . 8  |-  0  =  ( N `  ( T `  0h )
)
1512, 14pm3.2i 455 . . . . . . 7  |-  ( (
normh `  0h )  <_ 
1  /\  0  =  ( N `  ( T `
 0h ) ) )
16 fveq2 5712 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  0h  ->  ( normh `  x )  =  ( normh `  0h )
)
1716breq1d 4323 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0h  ->  (
( normh `  x )  <_  1  <->  ( normh `  0h )  <_  1 ) )
18 fveq2 5712 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  0h  ->  ( T `  x )  =  ( T `  0h ) )
1918fveq2d 5716 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  0h  ->  ( N `  ( T `  x ) )  =  ( N `  ( T `  0h )
) )
2019eqeq2d 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0h  ->  (
0  =  ( N `
 ( T `  x ) )  <->  0  =  ( N `  ( T `
 0h ) ) ) )
2117, 20anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  0h  ->  (
( ( normh `  x
)  <_  1  /\  0  =  ( N `  ( T `  x
) ) )  <->  ( ( normh `  0h )  <_ 
1  /\  0  =  ( N `  ( T `
 0h ) ) ) ) )
2221rspcev 3094 . . . . . . 7  |-  ( ( 0h  e.  ~H  /\  ( ( normh `  0h )  <_  1  /\  0  =  ( N `  ( T `  0h )
) ) )  ->  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  0  =  ( N `  ( T `  x
) ) ) )
239, 15, 22mp2an 672 . . . . . 6  |-  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  0  =  ( N `  ( T `  x ) ) )
24 c0ex 9401 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
25 eqeq1 2449 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  0  ->  (
m  =  ( N `
 ( T `  x ) )  <->  0  =  ( N `  ( T `
 x ) ) ) )
2625anbi2d 703 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  0  ->  (
( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) )  <->  ( ( normh `  x )  <_ 
1  /\  0  =  ( N `  ( T `
 x ) ) ) ) )
2726rexbidv 2757 . . . . . . 7  |-  ( m  =  0  ->  ( E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) )  <->  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  0  =  ( N `  ( T `  x ) ) ) ) )
2824, 27elab 3127 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  { m  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) ) }  <->  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  0  =  ( N `  ( T `  x
) ) ) )
2923, 28mpbir 209 . . . . 5  |-  0  e.  { m  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x )
) ) }
30 ne0i 3664 . . . . 5  |-  ( 0  e.  { m  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) ) }  ->  { m  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) ) }  =/=  (/) )
3129, 30ax-mp 5 . . . 4  |-  { m  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) ) }  =/=  (/)
32 nmcex.1 . . . . 5  |-  E. y  e.  RR+  A. z  e. 
~H  ( ( normh `  z )  <  y  ->  ( N `  ( T `  z )
)  <  1 )
33 2rp 11017 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR+
34 rpdivcl 11034 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )  ->  (
2  /  y )  e.  RR+ )
3533, 34mpan 670 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( 2  /  y )  e.  RR+ )
3635rpred 11048 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( 2  /  y )  e.  RR )
3736adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  A. z  e.  ~H  (
( normh `  z )  <  y  ->  ( N `  ( T `  z
) )  <  1
) )  ->  (
2  /  y )  e.  RR )
38 rpre 11018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  e.  RR )
3938adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
y  e.  RR )
4039rehalfcld 10592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( y  /  2
)  e.  RR )
4140recnd 9433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( y  /  2
)  e.  CC )
42 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  ->  x  e.  ~H )
43 hvmulcl 24437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( y  /  2
)  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( y  / 
2 )  .h  x
)  e.  ~H )
4441, 42, 43syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( ( y  / 
2 )  .h  x
)  e.  ~H )
45 normcl 24549 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  /  2
)  .h  x )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( y  /  2 )  .h  x ) )  e.  RR )
4644, 45syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( normh `  ( (
y  /  2 )  .h  x ) )  e.  RR )
47 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( normh `  x )  <_  1 )
48 normcl 24549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  x )  e.  RR )
4948ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( normh `  x )  e.  RR )
50 1red 9422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
1  e.  RR )
51 rphalfcl 11036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( y  /  2 )  e.  RR+ )
5251adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( y  /  2
)  e.  RR+ )
5349, 50, 52lemul2d 11088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( ( normh `  x
)  <_  1  <->  ( (
y  /  2 )  x.  ( normh `  x
) )  <_  (
( y  /  2
)  x.  1 ) ) )
5447, 53mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( ( y  / 
2 )  x.  ( normh `  x ) )  <_  ( ( y  /  2 )  x.  1 ) )
55 rpcn 11020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  /  2 )  e.  RR+  ->  ( y  /  2 )  e.  CC )
56 norm-iii 24564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( y  /  2
)  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( (
y  /  2 )  .h  x ) )  =  ( ( abs `  ( y  /  2
) )  x.  ( normh `  x ) ) )
5755, 56sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( y  /  2
)  e.  RR+  /\  x  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( ( y  /  2 )  .h  x ) )  =  ( ( abs `  (
y  /  2 ) )  x.  ( normh `  x ) ) )
58 rpre 11018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  /  2 )  e.  RR+  ->  ( y  /  2 )  e.  RR )
59 rpge0 11024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  /  2 )  e.  RR+  ->  0  <_ 
( y  /  2
) )
6058, 59absidd 12930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  /  2 )  e.  RR+  ->  ( abs `  ( y  /  2
) )  =  ( y  /  2 ) )
6160oveq1d 6127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  /  2 )  e.  RR+  ->  ( ( abs `  ( y  /  2 ) )  x.  ( normh `  x
) )  =  ( ( y  /  2
)  x.  ( normh `  x ) ) )
6261adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( y  /  2
)  e.  RR+  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( abs `  (
y  /  2 ) )  x.  ( normh `  x ) )  =  ( ( y  / 
2 )  x.  ( normh `  x ) ) )
6357, 62eqtr2d 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( y  /  2
)  e.  RR+  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( y  /  2
)  x.  ( normh `  x ) )  =  ( normh `  ( (
y  /  2 )  .h  x ) ) )
6452, 42, 63syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( ( y  / 
2 )  x.  ( normh `  x ) )  =  ( normh `  (
( y  /  2
)  .h  x ) ) )
6541mulid1d 9424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( ( y  / 
2 )  x.  1 )  =  ( y  /  2 ) )
6654, 64, 653brtr3d 4342 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( normh `  ( (
y  /  2 )  .h  x ) )  <_  ( y  / 
2 ) )
67 rphalflt 11038 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( y  /  2 )  < 
y )
6867adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( y  /  2
)  <  y )
6946, 40, 39, 66, 68lelttrd 9550 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( normh `  ( (
y  /  2 )  .h  x ) )  <  y )
70 fveq2 5712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  ( ( y  /  2 )  .h  x )  ->  ( normh `  z )  =  ( normh `  ( (
y  /  2 )  .h  x ) ) )
7170breq1d 4323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  ( ( y  /  2 )  .h  x )  ->  (
( normh `  z )  <  y  <->  ( normh `  (
( y  /  2
)  .h  x ) )  <  y ) )
72 fveq2 5712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  ( ( y  /  2 )  .h  x )  ->  ( T `  z )  =  ( T `  ( ( y  / 
2 )  .h  x
) ) )
7372fveq2d 5716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  ( ( y  /  2 )  .h  x )  ->  ( N `  ( T `  z ) )  =  ( N `  ( T `  ( (
y  /  2 )  .h  x ) ) ) )
7473breq1d 4323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  ( ( y  /  2 )  .h  x )  ->  (
( N `  ( T `  z )
)  <  1  <->  ( N `  ( T `  (
( y  /  2
)  .h  x ) ) )  <  1
) )
7571, 74imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( ( y  /  2 )  .h  x )  ->  (
( ( normh `  z
)  <  y  ->  ( N `  ( T `
 z ) )  <  1 )  <->  ( ( normh `  ( ( y  /  2 )  .h  x ) )  < 
y  ->  ( N `  ( T `  (
( y  /  2
)  .h  x ) ) )  <  1
) ) )
7675rspcv 3090 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  /  2
)  .h  x )  e.  ~H  ->  ( A. z  e.  ~H  ( ( normh `  z
)  <  y  ->  ( N `  ( T `
 z ) )  <  1 )  -> 
( ( normh `  (
( y  /  2
)  .h  x ) )  <  y  -> 
( N `  ( T `  ( (
y  /  2 )  .h  x ) ) )  <  1 ) ) )
7744, 76syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( A. z  e. 
~H  ( ( normh `  z )  <  y  ->  ( N `  ( T `  z )
)  <  1 )  ->  ( ( normh `  ( ( y  / 
2 )  .h  x
) )  <  y  ->  ( N `  ( T `  ( (
y  /  2 )  .h  x ) ) )  <  1 ) ) )
7869, 77mpid 41 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( A. z  e. 
~H  ( ( normh `  z )  <  y  ->  ( N `  ( T `  z )
)  <  1 )  ->  ( N `  ( T `  ( ( y  /  2 )  .h  x ) ) )  <  1 ) )
792ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( N `  ( T `  x )
)  e.  RR )
8079, 50, 52ltmuldiv2d 11092 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( ( ( y  /  2 )  x.  ( N `  ( T `  x )
) )  <  1  <->  ( N `  ( T `
 x ) )  <  ( 1  / 
( y  /  2
) ) ) )
8152rprecred 11059 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( 1  /  (
y  /  2 ) )  e.  RR )
82 ltle 9484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N `  ( T `  x )
)  e.  RR  /\  ( 1  /  (
y  /  2 ) )  e.  RR )  ->  ( ( N `
 ( T `  x ) )  < 
( 1  /  (
y  /  2 ) )  ->  ( N `  ( T `  x
) )  <_  (
1  /  ( y  /  2 ) ) ) )
8379, 81, 82syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( ( N `  ( T `  x ) )  <  ( 1  /  ( y  / 
2 ) )  -> 
( N `  ( T `  x )
)  <_  ( 1  /  ( y  / 
2 ) ) ) )
8480, 83sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( ( ( y  /  2 )  x.  ( N `  ( T `  x )
) )  <  1  ->  ( N `  ( T `  x )
)  <_  ( 1  /  ( y  / 
2 ) ) ) )
85 nmcex.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  /  2
)  e.  RR+  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( y  /  2
)  x.  ( N `
 ( T `  x ) ) )  =  ( N `  ( T `  ( ( y  /  2 )  .h  x ) ) ) )
8652, 42, 85syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( ( y  / 
2 )  x.  ( N `  ( T `  x ) ) )  =  ( N `  ( T `  ( ( y  /  2 )  .h  x ) ) ) )
8786breq1d 4323 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( ( ( y  /  2 )  x.  ( N `  ( T `  x )
) )  <  1  <->  ( N `  ( T `
 ( ( y  /  2 )  .h  x ) ) )  <  1 ) )
88 rpcn 11020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  e.  CC )
89 rpne0 11027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  =/=  0 )
90 2cn 10413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  e.  CC
91 2ne0 10435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  =/=  0
92 recdiv 10058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( 1  /  (
y  /  2 ) )  =  ( 2  /  y ) )
9390, 91, 92mpanr12 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  -> 
( 1  /  (
y  /  2 ) )  =  ( 2  /  y ) )
9488, 89, 93syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( 1  /  ( y  / 
2 ) )  =  ( 2  /  y
) )
9594adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( 1  /  (
y  /  2 ) )  =  ( 2  /  y ) )
9695breq2d 4325 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( ( N `  ( T `  x ) )  <_  ( 1  /  ( y  / 
2 ) )  <->  ( N `  ( T `  x
) )  <_  (
2  /  y ) ) )
9784, 87, 963imtr3d 267 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( ( N `  ( T `  ( ( y  /  2 )  .h  x ) ) )  <  1  -> 
( N `  ( T `  x )
)  <_  ( 2  /  y ) ) )
9878, 97syld 44 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( A. z  e. 
~H  ( ( normh `  z )  <  y  ->  ( N `  ( T `  z )
)  <  1 )  ->  ( N `  ( T `  x ) )  <_  ( 2  /  y ) ) )
9998imp 429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  /\  A. z  e.  ~H  (
( normh `  z )  <  y  ->  ( N `  ( T `  z
) )  <  1
) )  ->  ( N `  ( T `  x ) )  <_ 
( 2  /  y
) )
10099an32s 802 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\ 
A. z  e.  ~H  ( ( normh `  z
)  <  y  ->  ( N `  ( T `
 z ) )  <  1 ) )  /\  ( x  e. 
~H  /\  ( normh `  x )  <_  1
) )  ->  ( N `  ( T `  x ) )  <_ 
( 2  /  y
) )
101100anassrs 648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e.  RR+  /\  A. z  e. 
~H  ( ( normh `  z )  <  y  ->  ( N `  ( T `  z )
)  <  1 ) )  /\  x  e. 
~H )  /\  ( normh `  x )  <_ 
1 )  ->  ( N `  ( T `  x ) )  <_ 
( 2  /  y
) )
102 breq1 4316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( N `  ( T `  x ) )  ->  ( n  <_  ( 2  /  y
)  <->  ( N `  ( T `  x ) )  <_  ( 2  /  y ) ) )
103101, 102syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  e.  RR+  /\  A. z  e. 
~H  ( ( normh `  z )  <  y  ->  ( N `  ( T `  z )
)  <  1 ) )  /\  x  e. 
~H )  /\  ( normh `  x )  <_ 
1 )  ->  (
n  =  ( N `
 ( T `  x ) )  ->  n  <_  ( 2  / 
y ) ) )
104103expimpd 603 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\ 
A. z  e.  ~H  ( ( normh `  z
)  <  y  ->  ( N `  ( T `
 z ) )  <  1 ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( (
normh `  x )  <_ 
1  /\  n  =  ( N `  ( T `
 x ) ) )  ->  n  <_  ( 2  /  y ) ) )
105104rexlimdva 2862 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  A. z  e.  ~H  (
( normh `  z )  <  y  ->  ( N `  ( T `  z
) )  <  1
) )  ->  ( E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  n  =  ( N `  ( T `  x
) ) )  ->  n  <_  ( 2  / 
y ) ) )
106105alrimiv 1685 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  A. z  e.  ~H  (
( normh `  z )  <  y  ->  ( N `  ( T `  z
) )  <  1
) )  ->  A. n
( E. x  e. 
~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  n  =  ( N `  ( T `  x ) ) )  ->  n  <_  (
2  /  y ) ) )
107 eqeq1 2449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  (
m  =  ( N `
 ( T `  x ) )  <->  n  =  ( N `  ( T `
 x ) ) ) )
108107anbi2d 703 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) )  <->  ( ( normh `  x )  <_ 
1  /\  n  =  ( N `  ( T `
 x ) ) ) ) )
109108rexbidv 2757 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  ( E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) )  <->  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  n  =  ( N `  ( T `  x ) ) ) ) )
110109ralab 3141 . . . . . . . . 9  |-  ( A. n  e.  { m  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) ) } n  <_  z  <->  A. n
( E. x  e. 
~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  n  =  ( N `  ( T `  x ) ) )  ->  n  <_  z
) )
111 breq2 4317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( 2  / 
y )  ->  (
n  <_  z  <->  n  <_  ( 2  /  y ) ) )
112111imbi2d 316 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( 2  / 
y )  ->  (
( E. x  e. 
~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  n  =  ( N `  ( T `  x ) ) )  ->  n  <_  z
)  <->  ( E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  n  =  ( N `  ( T `  x ) ) )  ->  n  <_  (
2  /  y ) ) ) )
113112albidv 1679 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( 2  / 
y )  ->  ( A. n ( E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  n  =  ( N `  ( T `  x ) ) )  ->  n  <_  z
)  <->  A. n ( E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  n  =  ( N `  ( T `  x )
) )  ->  n  <_  ( 2  /  y
) ) ) )
114110, 113syl5bb 257 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( 2  / 
y )  ->  ( A. n  e.  { m  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) ) } n  <_  z  <->  A. n
( E. x  e. 
~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  n  =  ( N `  ( T `  x ) ) )  ->  n  <_  (
2  /  y ) ) ) )
115114rspcev 3094 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  /  y
)  e.  RR  /\  A. n ( E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  n  =  ( N `  ( T `  x ) ) )  ->  n  <_  (
2  /  y ) ) )  ->  E. z  e.  RR  A. n  e. 
{ m  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x )
) ) } n  <_  z )
11637, 106, 115syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  A. z  e.  ~H  (
( normh `  z )  <  y  ->  ( N `  ( T `  z
) )  <  1
) )  ->  E. z  e.  RR  A. n  e. 
{ m  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x )
) ) } n  <_  z )
117116rexlimiva 2857 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ~H  ( ( normh `  z )  <  y  ->  ( N `  ( T `  z )
)  <  1 )  ->  E. z  e.  RR  A. n  e.  { m  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) ) } n  <_  z )
11832, 117ax-mp 5 . . . 4  |-  E. z  e.  RR  A. n  e. 
{ m  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x )
) ) } n  <_  z
119 supxrre 11311 . . . 4  |-  ( ( { m  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x )
) ) }  C_  RR  /\  { m  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) ) }  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. n  e. 
{ m  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x )
) ) } n  <_  z )  ->  sup ( { m  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x )
) ) } ,  RR* ,  <  )  =  sup ( { m  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) ) } ,  RR ,  <  ) )
1208, 31, 118, 119mp3an 1314 . . 3  |-  sup ( { m  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x )
) ) } ,  RR* ,  <  )  =  sup ( { m  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) ) } ,  RR ,  <  )
1211, 120eqtri 2463 . 2  |-  ( S `
 T )  =  sup ( { m  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) ) } ,  RR ,  <  )
122 suprcl 10311 . . 3  |-  ( ( { m  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x )
) ) }  C_  RR  /\  { m  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) ) }  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. n  e. 
{ m  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x )
) ) } n  <_  z )  ->  sup ( { m  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x )
) ) } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
1238, 31, 118, 122mp3an 1314 . 2  |-  sup ( { m  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x )
) ) } ,  RR ,  <  )  e.  RR
124121, 123eqeltri 2513 1  |-  ( S `
 T )  e.  RR
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369   A.wal 1367    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2429    =/= wne 2620   A.wral 2736   E.wrex 2737    C_ wss 3349   (/)c0 3658   class class class wbr 4313   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   supcsup 7711   CCcc 9301   RRcr 9302   0cc0 9303   1c1 9304    x. cmul 9308   RR*cxr 9438    < clt 9439    <_ cle 9440    / cdiv 10014   2c2 10392   RR+crp 11012   abscabs 12744   ~Hchil 24343    .h csm 24345   normhcno 24347   0hc0v 24348
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381  ax-hv0cl 24427  ax-hfvmul 24429  ax-hvmul0 24434  ax-hfi 24503  ax-his1 24506  ax-his3 24508  ax-his4 24509
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-sup 7712  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-rp 11013  df-seq 11828  df-exp 11887  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-hnorm 24392
This theorem is referenced by:  nmcopexi  25453  nmcfnexi  25477
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