Theorem nmcexi 27671

Description: Lemma for nmcopexi 27672 and nmcfnexi 27696. The norm of a continuous linear Hilbert space operator or functional exists. Theorem 3.5(i) of [Beran] p. 99. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmcex.1	|- E. y e. RR+ A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 )
nmcex.2	|- ( S ` T ) = sup ( { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } , RR* , < )
nmcex.3	|- ( x e. ~H -> ( N ` ( T ` x ) ) e. RR )
nmcex.4	|- ( N ` ( T ` 0h ) ) = 0
nmcex.5	|- ( ( ( y / 2 ) e. RR+ /\ x e. ~H ) -> ( ( y / 2 ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) = ( N ` ( T ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
nmcexi	|- ( S ` T ) e. RR

Distinct variable groups:   x, m, y, z, N   T, m, x, y, z

Allowed substitution hints:   S( x, y, z, m)

Proof of Theorem nmcexi

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmcex.2	. . 3 |- ( S ` T ) = sup ( { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } , RR* , < )
2		nmcex.3	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ~H -> ( N ` ( T ` x ) ) e. RR )
3		eleq1 2495	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( N ` ( T ` x ) ) -> ( m e. RR <-> ( N ` ( T ` x ) ) e. RR ) )
4	2, 3	syl5ibrcom 226	. . . . . . . 8 |- ( x e. ~H -> ( m = ( N ` ( T ` x ) ) -> m e. RR ) )
5	4	imp 431	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ~H /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) -> m e. RR )
6	5	adantrl 721	. . . . . 6 |- ( ( x e. ~H /\ ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) ) -> m e. RR )
7	6	rexlimiva 2914	. . . . 5 |- ( E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) -> m e. RR )
8	7	abssi 3537	. . . 4 |- { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } C_ RR
9		ax-hv0cl 26648	. . . . . . 7 |- 0h e. ~H
10		norm0 26773	. . . . . . . . 9 |- ( normh ` 0h ) = 0
11		0le1 10139	. . . . . . . . 9 |- 0 <_ 1
12	10, 11	eqbrtri 4441	. . . . . . . 8 |- ( normh ` 0h ) <_ 1
13		nmcex.4	. . . . . . . . 9 |- ( N ` ( T ` 0h ) ) = 0
14	13	eqcomi 2436	. . . . . . . 8 |- 0 = ( N ` ( T ` 0h ) )
15	12, 14	pm3.2i 457	. . . . . . 7 |- ( ( normh ` 0h ) <_ 1 /\ 0 = ( N ` ( T ` 0h ) ) )
16		fveq2 5879	. . . . . . . . . 10 |- ( x = 0h -> ( normh ` x ) = ( normh ` 0h ) )
17	16	breq1d 4431	. . . . . . . . 9 |- ( x = 0h -> ( ( normh ` x ) <_ 1 <-> ( normh ` 0h ) <_ 1 ) )
18		fveq2 5879	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = 0h -> ( T ` x ) = ( T ` 0h ) )
19	18	fveq2d 5883	. . . . . . . . . 10 |- ( x = 0h -> ( N ` ( T ` x ) ) = ( N ` ( T ` 0h ) ) )
20	19	eqeq2d 2437	. . . . . . . . 9 |- ( x = 0h -> ( 0 = ( N ` ( T ` x ) ) <-> 0 = ( N ` ( T ` 0h ) ) ) )
21	17, 20	anbi12d 716	. . . . . . . 8 |- ( x = 0h -> ( ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ 0 = ( N ` ( T ` x ) ) ) <-> ( ( normh ` 0h ) <_ 1 /\ 0 = ( N ` ( T ` 0h ) ) ) ) )
22	21	rspcev 3183	. . . . . . 7 |- ( ( 0h e. ~H /\ ( ( normh ` 0h ) <_ 1 /\ 0 = ( N ` ( T ` 0h ) ) ) ) -> E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ 0 = ( N ` ( T ` x ) ) ) )
23	9, 15, 22	mp2an 677	. . . . . 6 |- E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ 0 = ( N ` ( T ` x ) ) )
24		c0ex 9639	. . . . . . 7 |- 0 e. _V
25		eqeq1 2427	. . . . . . . . 9 |- ( m = 0 -> ( m = ( N ` ( T ` x ) ) <-> 0 = ( N ` ( T ` x ) ) ) )
26	25	anbi2d 709	. . . . . . . 8 |- ( m = 0 -> ( ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) <-> ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ 0 = ( N ` ( T ` x ) ) ) ) )
27	26	rexbidv 2940	. . . . . . 7 |- ( m = 0 -> ( E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) <-> E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ 0 = ( N ` ( T ` x ) ) ) ) )
28	24, 27	elab 3219	. . . . . 6 |- ( 0 e. { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } <-> E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ 0 = ( N ` ( T ` x ) ) ) )
29	23, 28	mpbir 213	. . . . 5 |- 0 e. { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) }
30	29	ne0ii 3769	. . . 4 |- { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } =/= (/)
31		nmcex.1	. . . . 5 |- E. y e. RR+ A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 )
32		2rp 11309	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR+
33		rpdivcl 11327	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. RR+ /\ y e. RR+ ) -> ( 2 / y ) e. RR+ )
34	32, 33	mpan 675	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR+ -> ( 2 / y ) e. RR+ )
35	34	rpred 11343	. . . . . . . 8 |- ( y e. RR+ -> ( 2 / y ) e. RR )
36	35	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( y e. RR+ /\ A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) ) -> ( 2 / y ) e. RR )
37		rpre 11310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y e. RR+ -> y e. RR )
38	37	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> y e. RR )
39	38	rehalfcld 10861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( y / 2 ) e. RR )
40	39	recnd 9671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( y / 2 ) e. CC )
41		simprl 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> x e. ~H )
42		hvmulcl 26658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( y / 2 ) e. CC /\ x e. ~H ) -> ( ( y / 2 ) .h x ) e. ~H )
43	40, 41, 42	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( ( y / 2 ) .h x ) e. ~H )
44		normcl 26770	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( y / 2 ) .h x ) e. ~H -> ( normh ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) e. RR )
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( normh ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) e. RR )
46		simprr 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( normh ` x ) <_ 1 )
47		normcl 26770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. ~H -> ( normh ` x ) e. RR )
48	47	ad2antrl 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( normh ` x ) e. RR )
49		1red 9660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> 1 e. RR )
50		rphalfcl 11329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. RR+ -> ( y / 2 ) e. RR+ )
51	50	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( y / 2 ) e. RR+ )
52	48, 49, 51	lemul2d 11384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( ( normh ` x ) <_ 1 <-> ( ( y / 2 ) x. ( normh ` x ) ) <_ ( ( y / 2 ) x. 1 ) ) )
53	46, 52	mpbid 214	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( ( y / 2 ) x. ( normh ` x ) ) <_ ( ( y / 2 ) x. 1 ) )
54		rpcn 11312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y / 2 ) e. RR+ -> ( y / 2 ) e. CC )
55		norm-iii 26785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( y / 2 ) e. CC /\ x e. ~H ) -> ( normh ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) = ( ( abs ` ( y / 2 ) ) x. ( normh ` x ) ) )
56	54, 55	sylan 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( y / 2 ) e. RR+ /\ x e. ~H ) -> ( normh ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) = ( ( abs ` ( y / 2 ) ) x. ( normh ` x ) ) )
57		rpre 11310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( y / 2 ) e. RR+ -> ( y / 2 ) e. RR )
58		rpge0 11316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( y / 2 ) e. RR+ -> 0 <_ ( y / 2 ) )
59	57, 58	absidd 13478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( y / 2 ) e. RR+ -> ( abs ` ( y / 2 ) ) = ( y / 2 ) )
60	59	oveq1d 6318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y / 2 ) e. RR+ -> ( ( abs ` ( y / 2 ) ) x. ( normh ` x ) ) = ( ( y / 2 ) x. ( normh ` x ) ) )
61	60	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( y / 2 ) e. RR+ /\ x e. ~H ) -> ( ( abs ` ( y / 2 ) ) x. ( normh ` x ) ) = ( ( y / 2 ) x. ( normh ` x ) ) )
62	56, 61	eqtr2d 2465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( y / 2 ) e. RR+ /\ x e. ~H ) -> ( ( y / 2 ) x. ( normh ` x ) ) = ( normh ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) )
63	51, 41, 62	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( ( y / 2 ) x. ( normh ` x ) ) = ( normh ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) )
64	40	mulid1d 9662	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( ( y / 2 ) x. 1 ) = ( y / 2 ) )
65	53, 63, 64	3brtr3d 4451	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( normh ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) <_ ( y / 2 ) )
66		rphalflt 11331	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. RR+ -> ( y / 2 ) < y )
67	66	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( y / 2 ) < y )
68	45, 39, 38, 65, 67	lelttrd 9795	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( normh ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) < y )
69		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = ( ( y / 2 ) .h x ) -> ( normh ` z ) = ( normh ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) )
70	69	breq1d 4431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = ( ( y / 2 ) .h x ) -> ( ( normh ` z ) < y <-> ( normh ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) < y ) )
71		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z = ( ( y / 2 ) .h x ) -> ( T ` z ) = ( T ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) )
72	71	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = ( ( y / 2 ) .h x ) -> ( N ` ( T ` z ) ) = ( N ` ( T ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) ) )
73	72	breq1d 4431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = ( ( y / 2 ) .h x ) -> ( ( N ` ( T ` z ) ) < 1 <-> ( N ` ( T ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) ) < 1 ) )
74	70, 73	imbi12d 322	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = ( ( y / 2 ) .h x ) -> ( ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) <-> ( ( normh ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) < y -> ( N ` ( T ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) ) < 1 ) ) )
75	74	rspcv 3179	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( y / 2 ) .h x ) e. ~H -> ( A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) -> ( ( normh ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) < y -> ( N ` ( T ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) ) < 1 ) ) )
76	43, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) -> ( ( normh ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) < y -> ( N ` ( T ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) ) < 1 ) ) )
77	68, 76	mpid 43	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) -> ( N ` ( T ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) ) < 1 ) )
78	2	ad2antrl 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) e. RR )
79	78, 49, 51	ltmuldiv2d 11388	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( ( ( y / 2 ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) < 1 <-> ( N ` ( T ` x ) ) < ( 1 / ( y / 2 ) ) ) )
80	51	rprecred 11354	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( 1 / ( y / 2 ) ) e. RR )
81		ltle 9724	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR /\ ( 1 / ( y / 2 ) ) e. RR ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) < ( 1 / ( y / 2 ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ ( 1 / ( y / 2 ) ) ) )
82	78, 80, 81	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) < ( 1 / ( y / 2 ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ ( 1 / ( y / 2 ) ) ) )
83	79, 82	sylbid 219	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( ( ( y / 2 ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) < 1 -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ ( 1 / ( y / 2 ) ) ) )
84		nmcex.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( y / 2 ) e. RR+ /\ x e. ~H ) -> ( ( y / 2 ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) = ( N ` ( T ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) ) )
85	51, 41, 84	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( ( y / 2 ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) = ( N ` ( T ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) ) )
86	85	breq1d 4431	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( ( ( y / 2 ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) < 1 <-> ( N ` ( T ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) ) < 1 ) )
87		rpcn 11312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. RR+ -> y e. CC )
88		rpne0 11319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. RR+ -> y =/= 0 )
89		2cn 10682	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 2 e. CC
90		2ne0 10704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 2 =/= 0
91		recdiv 10315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) ) -> ( 1 / ( y / 2 ) ) = ( 2 / y ) )
92	89, 90, 91	mpanr12 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) -> ( 1 / ( y / 2 ) ) = ( 2 / y ) )
93	87, 88, 92	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. RR+ -> ( 1 / ( y / 2 ) ) = ( 2 / y ) )
94	93	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( 1 / ( y / 2 ) ) = ( 2 / y ) )
95	94	breq2d 4433	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) <_ ( 1 / ( y / 2 ) ) <-> ( N ` ( T ` x ) ) <_ ( 2 / y ) ) )
96	83, 86, 95	3imtr3d 271	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( ( N ` ( T ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) ) < 1 -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ ( 2 / y ) ) )
97	77, 96	syld 46	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ ( 2 / y ) ) )
98	97	imp 431	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) /\ A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ ( 2 / y ) )
99	98	an32s 812	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. RR+ /\ A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) ) /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ ( 2 / y ) )
100	99	anassrs 653	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( y e. RR+ /\ A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) ) /\ x e. ~H ) /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ ( 2 / y ) )
101		breq1 4424	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( N ` ( T ` x ) ) -> ( n <_ ( 2 / y ) <-> ( N ` ( T ` x ) ) <_ ( 2 / y ) ) )
102	100, 101	syl5ibrcom 226	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( y e. RR+ /\ A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) ) /\ x e. ~H ) /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) -> ( n = ( N ` ( T ` x ) ) -> n <_ ( 2 / y ) ) )
103	102	expimpd 607	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. RR+ /\ A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) ) /\ x e. ~H ) -> ( ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ n = ( N ` ( T ` x ) ) ) -> n <_ ( 2 / y ) ) )
104	103	rexlimdva 2918	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. RR+ /\ A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) ) -> ( E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ n = ( N ` ( T ` x ) ) ) -> n <_ ( 2 / y ) ) )
105	104	alrimiv 1764	. . . . . . 7 |- ( ( y e. RR+ /\ A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) ) -> A. n ( E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ n = ( N ` ( T ` x ) ) ) -> n <_ ( 2 / y ) ) )
106		eqeq1 2427	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = n -> ( m = ( N ` ( T ` x ) ) <-> n = ( N ` ( T ` x ) ) ) )
107	106	anbi2d 709	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = n -> ( ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) <-> ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ n = ( N ` ( T ` x ) ) ) ) )
108	107	rexbidv 2940	. . . . . . . . . 10 |- ( m = n -> ( E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) <-> E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ n = ( N ` ( T ` x ) ) ) ) )
109	108	ralab 3233	. . . . . . . . 9 |- ( A. n e. { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } n <_ z <-> A. n ( E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ n = ( N ` ( T ` x ) ) ) -> n <_ z ) )
110		breq2 4425	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( 2 / y ) -> ( n <_ z <-> n <_ ( 2 / y ) ) )
111	110	imbi2d 318	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( 2 / y ) -> ( ( E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ n = ( N ` ( T ` x ) ) ) -> n <_ z ) <-> ( E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ n = ( N ` ( T ` x ) ) ) -> n <_ ( 2 / y ) ) ) )
112	111	albidv 1758	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( 2 / y ) -> ( A. n ( E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ n = ( N ` ( T ` x ) ) ) -> n <_ z ) <-> A. n ( E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ n = ( N ` ( T ` x ) ) ) -> n <_ ( 2 / y ) ) ) )
113	109, 112	syl5bb 261	. . . . . . . 8 |- ( z = ( 2 / y ) -> ( A. n e. { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } n <_ z <-> A. n ( E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ n = ( N ` ( T ` x ) ) ) -> n <_ ( 2 / y ) ) ) )
114	113	rspcev 3183	. . . . . . 7 |- ( ( ( 2 / y ) e. RR /\ A. n ( E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ n = ( N ` ( T ` x ) ) ) -> n <_ ( 2 / y ) ) ) -> E. z e. RR A. n e. { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } n <_ z )
115	36, 105, 114	syl2anc 666	. . . . . 6 |- ( ( y e. RR+ /\ A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) ) -> E. z e. RR A. n e. { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } n <_ z )
116	115	rexlimiva 2914	. . . . 5 |- ( E. y e. RR+ A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) -> E. z e. RR A. n e. { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } n <_ z )
117	31, 116	ax-mp 5	. . . 4 |- E. z e. RR A. n e. { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } n <_ z
118		supxrre 11615	. . . 4 |- ( ( { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } C_ RR /\ { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } =/= (/) /\ E. z e. RR A. n e. { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } n <_ z ) -> sup ( { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } , RR* , < ) = sup ( { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } , RR , < ) )
119	8, 30, 117, 118	mp3an 1361	. . 3 |- sup ( { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } , RR* , < ) = sup ( { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } , RR , < )
120	1, 119	eqtri 2452	. 2 |- ( S ` T ) = sup ( { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } , RR , < )
121		suprcl 10571	. . 3 |- ( ( { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } C_ RR /\ { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } =/= (/) /\ E. z e. RR A. n e. { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } n <_ z ) -> sup ( { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } , RR , < ) e. RR )
122	8, 30, 117, 121	mp3an 1361	. 2 |- sup ( { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } , RR , < ) e. RR
123	120, 122	eqeltri 2507	1 |- ( S ` T ) e. RR

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   A.wal 1436   = wceq 1438   e. wcel 1869   {cab 2408   =/= wne 2619   A.wral 2776   E.wrex 2777   C_ wss 3437   (/)c0 3762   class class class wbr 4421   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   supcsup 7958   CCcc 9539   RRcr 9540   0cc0 9541   1c1 9542   x. cmul 9546   RR*cxr 9676   < clt 9677   <_ cle 9678   / cdiv 10271   2c2 10661   RR+crp 11304   abscabs 13291   ~Hchil 26564   .h csm 26566   normhcno 26568   0hc0v 26569

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619  ax-hv0cl 26648  ax-hfvmul 26650  ax-hvmul0 26655  ax-hfi 26724  ax-his1 26727  ax-his3 26729  ax-his4 26730

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-er 7369  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-sup 7960  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-rp 11305  df-seq 12215  df-exp 12274  df-cj 13156  df-re 13157  df-im 13158  df-sqrt 13292  df-abs 13293  df-hnorm 26613

This theorem is referenced by:  nmcopexi  27672  nmcfnexi  27696