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Theorem nmcexi 27671
Description: Lemma for nmcopexi 27672 and nmcfnexi 27696. The norm of a continuous linear Hilbert space operator or functional exists. Theorem 3.5(i) of [Beran] p. 99. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmcex.1  |-  E. y  e.  RR+  A. z  e. 
~H  ( ( normh `  z )  <  y  ->  ( N `  ( T `  z )
)  <  1 )
nmcex.2  |-  ( S `
 T )  =  sup ( { m  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
nmcex.3  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( N `  ( T `  x ) )  e.  RR )
nmcex.4  |-  ( N `
 ( T `  0h ) )  =  0
nmcex.5  |-  ( ( ( y  /  2
)  e.  RR+  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( y  /  2
)  x.  ( N `
 ( T `  x ) ) )  =  ( N `  ( T `  ( ( y  /  2 )  .h  x ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
nmcexi  |-  ( S `
 T )  e.  RR
Distinct variable groups:    x, m, y, z, N    T, m, x, y, z
Allowed substitution hints:    S( x, y, z, m)

Proof of Theorem nmcexi
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmcex.2 . . 3  |-  ( S `
 T )  =  sup ( { m  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
2 nmcex.3 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( N `  ( T `  x ) )  e.  RR )
3 eleq1 2495 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( N `  ( T `  x ) )  ->  ( m  e.  RR  <->  ( N `  ( T `  x ) )  e.  RR ) )
42, 3syl5ibrcom 226 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
m  =  ( N `
 ( T `  x ) )  ->  m  e.  RR )
)
54imp 431 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) )  ->  m  e.  RR )
65adantrl 721 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) ) )  ->  m  e.  RR )
76rexlimiva 2914 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x )
) )  ->  m  e.  RR )
87abssi 3537 . . . 4  |-  { m  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) ) } 
C_  RR
9 ax-hv0cl 26648 . . . . . . 7  |-  0h  e.  ~H
10 norm0 26773 . . . . . . . . 9  |-  ( normh `  0h )  =  0
11 0le1 10139 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  1
1210, 11eqbrtri 4441 . . . . . . . 8  |-  ( normh `  0h )  <_  1
13 nmcex.4 . . . . . . . . 9  |-  ( N `
 ( T `  0h ) )  =  0
1413eqcomi 2436 . . . . . . . 8  |-  0  =  ( N `  ( T `  0h )
)
1512, 14pm3.2i 457 . . . . . . 7  |-  ( (
normh `  0h )  <_ 
1  /\  0  =  ( N `  ( T `
 0h ) ) )
16 fveq2 5879 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  0h  ->  ( normh `  x )  =  ( normh `  0h )
)
1716breq1d 4431 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0h  ->  (
( normh `  x )  <_  1  <->  ( normh `  0h )  <_  1 ) )
18 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  0h  ->  ( T `  x )  =  ( T `  0h ) )
1918fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  0h  ->  ( N `  ( T `  x ) )  =  ( N `  ( T `  0h )
) )
2019eqeq2d 2437 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0h  ->  (
0  =  ( N `
 ( T `  x ) )  <->  0  =  ( N `  ( T `
 0h ) ) ) )
2117, 20anbi12d 716 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  0h  ->  (
( ( normh `  x
)  <_  1  /\  0  =  ( N `  ( T `  x
) ) )  <->  ( ( normh `  0h )  <_ 
1  /\  0  =  ( N `  ( T `
 0h ) ) ) ) )
2221rspcev 3183 . . . . . . 7  |-  ( ( 0h  e.  ~H  /\  ( ( normh `  0h )  <_  1  /\  0  =  ( N `  ( T `  0h )
) ) )  ->  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  0  =  ( N `  ( T `  x
) ) ) )
239, 15, 22mp2an 677 . . . . . 6  |-  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  0  =  ( N `  ( T `  x ) ) )
24 c0ex 9639 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
25 eqeq1 2427 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  0  ->  (
m  =  ( N `
 ( T `  x ) )  <->  0  =  ( N `  ( T `
 x ) ) ) )
2625anbi2d 709 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  0  ->  (
( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) )  <->  ( ( normh `  x )  <_ 
1  /\  0  =  ( N `  ( T `
 x ) ) ) ) )
2726rexbidv 2940 . . . . . . 7  |-  ( m  =  0  ->  ( E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) )  <->  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  0  =  ( N `  ( T `  x ) ) ) ) )
2824, 27elab 3219 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  { m  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) ) }  <->  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  0  =  ( N `  ( T `  x
) ) ) )
2923, 28mpbir 213 . . . . 5  |-  0  e.  { m  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x )
) ) }
3029ne0ii 3769 . . . 4  |-  { m  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) ) }  =/=  (/)
31 nmcex.1 . . . . 5  |-  E. y  e.  RR+  A. z  e. 
~H  ( ( normh `  z )  <  y  ->  ( N `  ( T `  z )
)  <  1 )
32 2rp 11309 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR+
33 rpdivcl 11327 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )  ->  (
2  /  y )  e.  RR+ )
3432, 33mpan 675 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( 2  /  y )  e.  RR+ )
3534rpred 11343 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( 2  /  y )  e.  RR )
3635adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  A. z  e.  ~H  (
( normh `  z )  <  y  ->  ( N `  ( T `  z
) )  <  1
) )  ->  (
2  /  y )  e.  RR )
37 rpre 11310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  e.  RR )
3837adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
y  e.  RR )
3938rehalfcld 10861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( y  /  2
)  e.  RR )
4039recnd 9671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( y  /  2
)  e.  CC )
41 simprl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  ->  x  e.  ~H )
42 hvmulcl 26658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( y  /  2
)  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( y  / 
2 )  .h  x
)  e.  ~H )
4340, 41, 42syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( ( y  / 
2 )  .h  x
)  e.  ~H )
44 normcl 26770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  /  2
)  .h  x )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( y  /  2 )  .h  x ) )  e.  RR )
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( normh `  ( (
y  /  2 )  .h  x ) )  e.  RR )
46 simprr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( normh `  x )  <_  1 )
47 normcl 26770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  x )  e.  RR )
4847ad2antrl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( normh `  x )  e.  RR )
49 1red 9660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
1  e.  RR )
50 rphalfcl 11329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( y  /  2 )  e.  RR+ )
5150adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( y  /  2
)  e.  RR+ )
5248, 49, 51lemul2d 11384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( ( normh `  x
)  <_  1  <->  ( (
y  /  2 )  x.  ( normh `  x
) )  <_  (
( y  /  2
)  x.  1 ) ) )
5346, 52mpbid 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( ( y  / 
2 )  x.  ( normh `  x ) )  <_  ( ( y  /  2 )  x.  1 ) )
54 rpcn 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  /  2 )  e.  RR+  ->  ( y  /  2 )  e.  CC )
55 norm-iii 26785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( y  /  2
)  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( (
y  /  2 )  .h  x ) )  =  ( ( abs `  ( y  /  2
) )  x.  ( normh `  x ) ) )
5654, 55sylan 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( y  /  2
)  e.  RR+  /\  x  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( ( y  /  2 )  .h  x ) )  =  ( ( abs `  (
y  /  2 ) )  x.  ( normh `  x ) ) )
57 rpre 11310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  /  2 )  e.  RR+  ->  ( y  /  2 )  e.  RR )
58 rpge0 11316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  /  2 )  e.  RR+  ->  0  <_ 
( y  /  2
) )
5957, 58absidd 13478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  /  2 )  e.  RR+  ->  ( abs `  ( y  /  2
) )  =  ( y  /  2 ) )
6059oveq1d 6318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  /  2 )  e.  RR+  ->  ( ( abs `  ( y  /  2 ) )  x.  ( normh `  x
) )  =  ( ( y  /  2
)  x.  ( normh `  x ) ) )
6160adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( y  /  2
)  e.  RR+  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( abs `  (
y  /  2 ) )  x.  ( normh `  x ) )  =  ( ( y  / 
2 )  x.  ( normh `  x ) ) )
6256, 61eqtr2d 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( y  /  2
)  e.  RR+  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( y  /  2
)  x.  ( normh `  x ) )  =  ( normh `  ( (
y  /  2 )  .h  x ) ) )
6351, 41, 62syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( ( y  / 
2 )  x.  ( normh `  x ) )  =  ( normh `  (
( y  /  2
)  .h  x ) ) )
6440mulid1d 9662 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( ( y  / 
2 )  x.  1 )  =  ( y  /  2 ) )
6553, 63, 643brtr3d 4451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( normh `  ( (
y  /  2 )  .h  x ) )  <_  ( y  / 
2 ) )
66 rphalflt 11331 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( y  /  2 )  < 
y )
6766adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( y  /  2
)  <  y )
6845, 39, 38, 65, 67lelttrd 9795 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( normh `  ( (
y  /  2 )  .h  x ) )  <  y )
69 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  ( ( y  /  2 )  .h  x )  ->  ( normh `  z )  =  ( normh `  ( (
y  /  2 )  .h  x ) ) )
7069breq1d 4431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  ( ( y  /  2 )  .h  x )  ->  (
( normh `  z )  <  y  <->  ( normh `  (
( y  /  2
)  .h  x ) )  <  y ) )
71 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  ( ( y  /  2 )  .h  x )  ->  ( T `  z )  =  ( T `  ( ( y  / 
2 )  .h  x
) ) )
7271fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  ( ( y  /  2 )  .h  x )  ->  ( N `  ( T `  z ) )  =  ( N `  ( T `  ( (
y  /  2 )  .h  x ) ) ) )
7372breq1d 4431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  ( ( y  /  2 )  .h  x )  ->  (
( N `  ( T `  z )
)  <  1  <->  ( N `  ( T `  (
( y  /  2
)  .h  x ) ) )  <  1
) )
7470, 73imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( ( y  /  2 )  .h  x )  ->  (
( ( normh `  z
)  <  y  ->  ( N `  ( T `
 z ) )  <  1 )  <->  ( ( normh `  ( ( y  /  2 )  .h  x ) )  < 
y  ->  ( N `  ( T `  (
( y  /  2
)  .h  x ) ) )  <  1
) ) )
7574rspcv 3179 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  /  2
)  .h  x )  e.  ~H  ->  ( A. z  e.  ~H  ( ( normh `  z
)  <  y  ->  ( N `  ( T `
 z ) )  <  1 )  -> 
( ( normh `  (
( y  /  2
)  .h  x ) )  <  y  -> 
( N `  ( T `  ( (
y  /  2 )  .h  x ) ) )  <  1 ) ) )
7643, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( A. z  e. 
~H  ( ( normh `  z )  <  y  ->  ( N `  ( T `  z )
)  <  1 )  ->  ( ( normh `  ( ( y  / 
2 )  .h  x
) )  <  y  ->  ( N `  ( T `  ( (
y  /  2 )  .h  x ) ) )  <  1 ) ) )
7768, 76mpid 43 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( A. z  e. 
~H  ( ( normh `  z )  <  y  ->  ( N `  ( T `  z )
)  <  1 )  ->  ( N `  ( T `  ( ( y  /  2 )  .h  x ) ) )  <  1 ) )
782ad2antrl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( N `  ( T `  x )
)  e.  RR )
7978, 49, 51ltmuldiv2d 11388 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( ( ( y  /  2 )  x.  ( N `  ( T `  x )
) )  <  1  <->  ( N `  ( T `
 x ) )  <  ( 1  / 
( y  /  2
) ) ) )
8051rprecred 11354 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( 1  /  (
y  /  2 ) )  e.  RR )
81 ltle 9724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N `  ( T `  x )
)  e.  RR  /\  ( 1  /  (
y  /  2 ) )  e.  RR )  ->  ( ( N `
 ( T `  x ) )  < 
( 1  /  (
y  /  2 ) )  ->  ( N `  ( T `  x
) )  <_  (
1  /  ( y  /  2 ) ) ) )
8278, 80, 81syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( ( N `  ( T `  x ) )  <  ( 1  /  ( y  / 
2 ) )  -> 
( N `  ( T `  x )
)  <_  ( 1  /  ( y  / 
2 ) ) ) )
8379, 82sylbid 219 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( ( ( y  /  2 )  x.  ( N `  ( T `  x )
) )  <  1  ->  ( N `  ( T `  x )
)  <_  ( 1  /  ( y  / 
2 ) ) ) )
84 nmcex.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  /  2
)  e.  RR+  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( y  /  2
)  x.  ( N `
 ( T `  x ) ) )  =  ( N `  ( T `  ( ( y  /  2 )  .h  x ) ) ) )
8551, 41, 84syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( ( y  / 
2 )  x.  ( N `  ( T `  x ) ) )  =  ( N `  ( T `  ( ( y  /  2 )  .h  x ) ) ) )
8685breq1d 4431 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( ( ( y  /  2 )  x.  ( N `  ( T `  x )
) )  <  1  <->  ( N `  ( T `
 ( ( y  /  2 )  .h  x ) ) )  <  1 ) )
87 rpcn 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  e.  CC )
88 rpne0 11319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  =/=  0 )
89 2cn 10682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  e.  CC
90 2ne0 10704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  =/=  0
91 recdiv 10315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( 1  /  (
y  /  2 ) )  =  ( 2  /  y ) )
9289, 90, 91mpanr12 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  -> 
( 1  /  (
y  /  2 ) )  =  ( 2  /  y ) )
9387, 88, 92syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( 1  /  ( y  / 
2 ) )  =  ( 2  /  y
) )
9493adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( 1  /  (
y  /  2 ) )  =  ( 2  /  y ) )
9594breq2d 4433 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( ( N `  ( T `  x ) )  <_  ( 1  /  ( y  / 
2 ) )  <->  ( N `  ( T `  x
) )  <_  (
2  /  y ) ) )
9683, 86, 953imtr3d 271 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( ( N `  ( T `  ( ( y  /  2 )  .h  x ) ) )  <  1  -> 
( N `  ( T `  x )
)  <_  ( 2  /  y ) ) )
9777, 96syld 46 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( A. z  e. 
~H  ( ( normh `  z )  <  y  ->  ( N `  ( T `  z )
)  <  1 )  ->  ( N `  ( T `  x ) )  <_  ( 2  /  y ) ) )
9897imp 431 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  /\  A. z  e.  ~H  (
( normh `  z )  <  y  ->  ( N `  ( T `  z
) )  <  1
) )  ->  ( N `  ( T `  x ) )  <_ 
( 2  /  y
) )
9998an32s 812 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\ 
A. z  e.  ~H  ( ( normh `  z
)  <  y  ->  ( N `  ( T `
 z ) )  <  1 ) )  /\  ( x  e. 
~H  /\  ( normh `  x )  <_  1
) )  ->  ( N `  ( T `  x ) )  <_ 
( 2  /  y
) )
10099anassrs 653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e.  RR+  /\  A. z  e. 
~H  ( ( normh `  z )  <  y  ->  ( N `  ( T `  z )
)  <  1 ) )  /\  x  e. 
~H )  /\  ( normh `  x )  <_ 
1 )  ->  ( N `  ( T `  x ) )  <_ 
( 2  /  y
) )
101 breq1 4424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( N `  ( T `  x ) )  ->  ( n  <_  ( 2  /  y
)  <->  ( N `  ( T `  x ) )  <_  ( 2  /  y ) ) )
102100, 101syl5ibrcom 226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  e.  RR+  /\  A. z  e. 
~H  ( ( normh `  z )  <  y  ->  ( N `  ( T `  z )
)  <  1 ) )  /\  x  e. 
~H )  /\  ( normh `  x )  <_ 
1 )  ->  (
n  =  ( N `
 ( T `  x ) )  ->  n  <_  ( 2  / 
y ) ) )
103102expimpd 607 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\ 
A. z  e.  ~H  ( ( normh `  z
)  <  y  ->  ( N `  ( T `
 z ) )  <  1 ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( (
normh `  x )  <_ 
1  /\  n  =  ( N `  ( T `
 x ) ) )  ->  n  <_  ( 2  /  y ) ) )
104103rexlimdva 2918 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  A. z  e.  ~H  (
( normh `  z )  <  y  ->  ( N `  ( T `  z
) )  <  1
) )  ->  ( E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  n  =  ( N `  ( T `  x
) ) )  ->  n  <_  ( 2  / 
y ) ) )
105104alrimiv 1764 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  A. z  e.  ~H  (
( normh `  z )  <  y  ->  ( N `  ( T `  z
) )  <  1
) )  ->  A. n
( E. x  e. 
~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  n  =  ( N `  ( T `  x ) ) )  ->  n  <_  (
2  /  y ) ) )
106 eqeq1 2427 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  (
m  =  ( N `
 ( T `  x ) )  <->  n  =  ( N `  ( T `
 x ) ) ) )
107106anbi2d 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) )  <->  ( ( normh `  x )  <_ 
1  /\  n  =  ( N `  ( T `
 x ) ) ) ) )
108107rexbidv 2940 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  ( E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) )  <->  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  n  =  ( N `  ( T `  x ) ) ) ) )
109108ralab 3233 . . . . . . . . 9  |-  ( A. n  e.  { m  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) ) } n  <_  z  <->  A. n
( E. x  e. 
~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  n  =  ( N `  ( T `  x ) ) )  ->  n  <_  z
) )
110 breq2 4425 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( 2  / 
y )  ->  (
n  <_  z  <->  n  <_  ( 2  /  y ) ) )
111110imbi2d 318 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( 2  / 
y )  ->  (
( E. x  e. 
~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  n  =  ( N `  ( T `  x ) ) )  ->  n  <_  z
)  <->  ( E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  n  =  ( N `  ( T `  x ) ) )  ->  n  <_  (
2  /  y ) ) ) )
112111albidv 1758 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( 2  / 
y )  ->  ( A. n ( E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  n  =  ( N `  ( T `  x ) ) )  ->  n  <_  z
)  <->  A. n ( E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  n  =  ( N `  ( T `  x )
) )  ->  n  <_  ( 2  /  y
) ) ) )
113109, 112syl5bb 261 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( 2  / 
y )  ->  ( A. n  e.  { m  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) ) } n  <_  z  <->  A. n
( E. x  e. 
~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  n  =  ( N `  ( T `  x ) ) )  ->  n  <_  (
2  /  y ) ) ) )
114113rspcev 3183 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  /  y
)  e.  RR  /\  A. n ( E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  n  =  ( N `  ( T `  x ) ) )  ->  n  <_  (
2  /  y ) ) )  ->  E. z  e.  RR  A. n  e. 
{ m  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x )
) ) } n  <_  z )
11536, 105, 114syl2anc 666 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  A. z  e.  ~H  (
( normh `  z )  <  y  ->  ( N `  ( T `  z
) )  <  1
) )  ->  E. z  e.  RR  A. n  e. 
{ m  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x )
) ) } n  <_  z )
116115rexlimiva 2914 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ~H  ( ( normh `  z )  <  y  ->  ( N `  ( T `  z )
)  <  1 )  ->  E. z  e.  RR  A. n  e.  { m  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) ) } n  <_  z )
11731, 116ax-mp 5 . . . 4  |-  E. z  e.  RR  A. n  e. 
{ m  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x )
) ) } n  <_  z
118 supxrre 11615 . . . 4  |-  ( ( { m  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x )
) ) }  C_  RR  /\  { m  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) ) }  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. n  e. 
{ m  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x )
) ) } n  <_  z )  ->  sup ( { m  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x )
) ) } ,  RR* ,  <  )  =  sup ( { m  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) ) } ,  RR ,  <  ) )
1198, 30, 117, 118mp3an 1361 . . 3  |-  sup ( { m  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x )
) ) } ,  RR* ,  <  )  =  sup ( { m  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) ) } ,  RR ,  <  )
1201, 119eqtri 2452 . 2  |-  ( S `
 T )  =  sup ( { m  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) ) } ,  RR ,  <  )
121 suprcl 10571 . . 3  |-  ( ( { m  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x )
) ) }  C_  RR  /\  { m  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) ) }  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. n  e. 
{ m  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x )
) ) } n  <_  z )  ->  sup ( { m  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x )
) ) } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
1228, 30, 117, 121mp3an 1361 . 2  |-  sup ( { m  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x )
) ) } ,  RR ,  <  )  e.  RR
123120, 122eqeltri 2507 1  |-  ( S `
 T )  e.  RR
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371   A.wal 1436    = wceq 1438    e. wcel 1869   {cab 2408    =/= wne 2619   A.wral 2776   E.wrex 2777    C_ wss 3437   (/)c0 3762   class class class wbr 4421   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   supcsup 7958   CCcc 9539   RRcr 9540   0cc0 9541   1c1 9542    x. cmul 9546   RR*cxr 9676    < clt 9677    <_ cle 9678    / cdiv 10271   2c2 10661   RR+crp 11304   abscabs 13291   ~Hchil 26564    .h csm 26566   normhcno 26568   0hc0v 26569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619  ax-hv0cl 26648  ax-hfvmul 26650  ax-hvmul0 26655  ax-hfi 26724  ax-his1 26727  ax-his3 26729  ax-his4 26730
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-er 7369  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-sup 7960  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-rp 11305  df-seq 12215  df-exp 12274  df-cj 13156  df-re 13157  df-im 13158  df-sqrt 13292  df-abs 13293  df-hnorm 26613
This theorem is referenced by:  nmcopexi  27672  nmcfnexi  27696
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