Theorem nmcexi 26649

Description: Lemma for nmcopexi 26650 and nmcfnexi 26674. The norm of a continuous linear Hilbert space operator or functional exists. Theorem 3.5(i) of [Beran] p. 99. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmcex.1	|- E. y e. RR+ A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 )
nmcex.2	|- ( S ` T ) = sup ( { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } , RR* , < )
nmcex.3	|- ( x e. ~H -> ( N ` ( T ` x ) ) e. RR )
nmcex.4	|- ( N ` ( T ` 0h ) ) = 0
nmcex.5	|- ( ( ( y / 2 ) e. RR+ /\ x e. ~H ) -> ( ( y / 2 ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) = ( N ` ( T ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
nmcexi	|- ( S ` T ) e. RR

Distinct variable groups:   x, m, y, z, N   T, m, x, y, z

Allowed substitution hints:   S( x, y, z, m)

Proof of Theorem nmcexi

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmcex.2	. . 3 |- ( S ` T ) = sup ( { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } , RR* , < )
2		nmcex.3	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ~H -> ( N ` ( T ` x ) ) e. RR )
3		eleq1 2539	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( N ` ( T ` x ) ) -> ( m e. RR <-> ( N ` ( T ` x ) ) e. RR ) )
4	2, 3	syl5ibrcom 222	. . . . . . . 8 |- ( x e. ~H -> ( m = ( N ` ( T ` x ) ) -> m e. RR ) )
5	4	imp 429	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ~H /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) -> m e. RR )
6	5	adantrl 715	. . . . . 6 |- ( ( x e. ~H /\ ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) ) -> m e. RR )
7	6	rexlimiva 2951	. . . . 5 |- ( E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) -> m e. RR )
8	7	abssi 3575	. . . 4 |- { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } C_ RR
9		ax-hv0cl 25624	. . . . . . 7 |- 0h e. ~H
10		norm0 25749	. . . . . . . . 9 |- ( normh ` 0h ) = 0
11		0le1 10076	. . . . . . . . 9 |- 0 <_ 1
12	10, 11	eqbrtri 4466	. . . . . . . 8 |- ( normh ` 0h ) <_ 1
13		nmcex.4	. . . . . . . . 9 |- ( N ` ( T ` 0h ) ) = 0
14	13	eqcomi 2480	. . . . . . . 8 |- 0 = ( N ` ( T ` 0h ) )
15	12, 14	pm3.2i 455	. . . . . . 7 |- ( ( normh ` 0h ) <_ 1 /\ 0 = ( N ` ( T ` 0h ) ) )
16		fveq2 5866	. . . . . . . . . 10 |- ( x = 0h -> ( normh ` x ) = ( normh ` 0h ) )
17	16	breq1d 4457	. . . . . . . . 9 |- ( x = 0h -> ( ( normh ` x ) <_ 1 <-> ( normh ` 0h ) <_ 1 ) )
18		fveq2 5866	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = 0h -> ( T ` x ) = ( T ` 0h ) )
19	18	fveq2d 5870	. . . . . . . . . 10 |- ( x = 0h -> ( N ` ( T ` x ) ) = ( N ` ( T ` 0h ) ) )
20	19	eqeq2d 2481	. . . . . . . . 9 |- ( x = 0h -> ( 0 = ( N ` ( T ` x ) ) <-> 0 = ( N ` ( T ` 0h ) ) ) )
21	17, 20	anbi12d 710	. . . . . . . 8 |- ( x = 0h -> ( ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ 0 = ( N ` ( T ` x ) ) ) <-> ( ( normh ` 0h ) <_ 1 /\ 0 = ( N ` ( T ` 0h ) ) ) ) )
22	21	rspcev 3214	. . . . . . 7 |- ( ( 0h e. ~H /\ ( ( normh ` 0h ) <_ 1 /\ 0 = ( N ` ( T ` 0h ) ) ) ) -> E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ 0 = ( N ` ( T ` x ) ) ) )
23	9, 15, 22	mp2an 672	. . . . . 6 |- E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ 0 = ( N ` ( T ` x ) ) )
24		c0ex 9590	. . . . . . 7 |- 0 e. _V
25		eqeq1 2471	. . . . . . . . 9 |- ( m = 0 -> ( m = ( N ` ( T ` x ) ) <-> 0 = ( N ` ( T ` x ) ) ) )
26	25	anbi2d 703	. . . . . . . 8 |- ( m = 0 -> ( ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) <-> ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ 0 = ( N ` ( T ` x ) ) ) ) )
27	26	rexbidv 2973	. . . . . . 7 |- ( m = 0 -> ( E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) <-> E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ 0 = ( N ` ( T ` x ) ) ) ) )
28	24, 27	elab 3250	. . . . . 6 |- ( 0 e. { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } <-> E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ 0 = ( N ` ( T ` x ) ) ) )
29	23, 28	mpbir 209	. . . . 5 |- 0 e. { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) }
30		ne0i 3791	. . . . 5 |- ( 0 e. { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } -> { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } =/= (/) )
31	29, 30	ax-mp 5	. . . 4 |- { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } =/= (/)
32		nmcex.1	. . . . 5 |- E. y e. RR+ A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 )
33		2rp 11225	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR+
34		rpdivcl 11242	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. RR+ /\ y e. RR+ ) -> ( 2 / y ) e. RR+ )
35	33, 34	mpan 670	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR+ -> ( 2 / y ) e. RR+ )
36	35	rpred 11256	. . . . . . . 8 |- ( y e. RR+ -> ( 2 / y ) e. RR )
37	36	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( y e. RR+ /\ A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) ) -> ( 2 / y ) e. RR )
38		rpre 11226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y e. RR+ -> y e. RR )
39	38	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> y e. RR )
40	39	rehalfcld 10785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( y / 2 ) e. RR )
41	40	recnd 9622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( y / 2 ) e. CC )
42		simprl 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> x e. ~H )
43		hvmulcl 25634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( y / 2 ) e. CC /\ x e. ~H ) -> ( ( y / 2 ) .h x ) e. ~H )
44	41, 42, 43	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( ( y / 2 ) .h x ) e. ~H )
45		normcl 25746	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( y / 2 ) .h x ) e. ~H -> ( normh ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) e. RR )
46	44, 45	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( normh ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) e. RR )
47		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( normh ` x ) <_ 1 )
48		normcl 25746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. ~H -> ( normh ` x ) e. RR )
49	48	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( normh ` x ) e. RR )
50		1red 9611	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> 1 e. RR )
51		rphalfcl 11244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. RR+ -> ( y / 2 ) e. RR+ )
52	51	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( y / 2 ) e. RR+ )
53	49, 50, 52	lemul2d 11296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( ( normh ` x ) <_ 1 <-> ( ( y / 2 ) x. ( normh ` x ) ) <_ ( ( y / 2 ) x. 1 ) ) )
54	47, 53	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( ( y / 2 ) x. ( normh ` x ) ) <_ ( ( y / 2 ) x. 1 ) )
55		rpcn 11228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y / 2 ) e. RR+ -> ( y / 2 ) e. CC )
56		norm-iii 25761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( y / 2 ) e. CC /\ x e. ~H ) -> ( normh ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) = ( ( abs ` ( y / 2 ) ) x. ( normh ` x ) ) )
57	55, 56	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( y / 2 ) e. RR+ /\ x e. ~H ) -> ( normh ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) = ( ( abs ` ( y / 2 ) ) x. ( normh ` x ) ) )
58		rpre 11226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( y / 2 ) e. RR+ -> ( y / 2 ) e. RR )
59		rpge0 11232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( y / 2 ) e. RR+ -> 0 <_ ( y / 2 ) )
60	58, 59	absidd 13217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( y / 2 ) e. RR+ -> ( abs ` ( y / 2 ) ) = ( y / 2 ) )
61	60	oveq1d 6299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y / 2 ) e. RR+ -> ( ( abs ` ( y / 2 ) ) x. ( normh ` x ) ) = ( ( y / 2 ) x. ( normh ` x ) ) )
62	61	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( y / 2 ) e. RR+ /\ x e. ~H ) -> ( ( abs ` ( y / 2 ) ) x. ( normh ` x ) ) = ( ( y / 2 ) x. ( normh ` x ) ) )
63	57, 62	eqtr2d 2509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( y / 2 ) e. RR+ /\ x e. ~H ) -> ( ( y / 2 ) x. ( normh ` x ) ) = ( normh ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) )
64	52, 42, 63	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( ( y / 2 ) x. ( normh ` x ) ) = ( normh ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) )
65	41	mulid1d 9613	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( ( y / 2 ) x. 1 ) = ( y / 2 ) )
66	54, 64, 65	3brtr3d 4476	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( normh ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) <_ ( y / 2 ) )
67		rphalflt 11246	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. RR+ -> ( y / 2 ) < y )
68	67	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( y / 2 ) < y )
69	46, 40, 39, 66, 68	lelttrd 9739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( normh ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) < y )
70		fveq2 5866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = ( ( y / 2 ) .h x ) -> ( normh ` z ) = ( normh ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) )
71	70	breq1d 4457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = ( ( y / 2 ) .h x ) -> ( ( normh ` z ) < y <-> ( normh ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) < y ) )
72		fveq2 5866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z = ( ( y / 2 ) .h x ) -> ( T ` z ) = ( T ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) )
73	72	fveq2d 5870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = ( ( y / 2 ) .h x ) -> ( N ` ( T ` z ) ) = ( N ` ( T ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) ) )
74	73	breq1d 4457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = ( ( y / 2 ) .h x ) -> ( ( N ` ( T ` z ) ) < 1 <-> ( N ` ( T ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) ) < 1 ) )
75	71, 74	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = ( ( y / 2 ) .h x ) -> ( ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) <-> ( ( normh ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) < y -> ( N ` ( T ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) ) < 1 ) ) )
76	75	rspcv 3210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( y / 2 ) .h x ) e. ~H -> ( A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) -> ( ( normh ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) < y -> ( N ` ( T ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) ) < 1 ) ) )
77	44, 76	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) -> ( ( normh ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) < y -> ( N ` ( T ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) ) < 1 ) ) )
78	69, 77	mpid 41	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) -> ( N ` ( T ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) ) < 1 ) )
79	2	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) e. RR )
80	79, 50, 52	ltmuldiv2d 11300	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( ( ( y / 2 ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) < 1 <-> ( N ` ( T ` x ) ) < ( 1 / ( y / 2 ) ) ) )
81	52	rprecred 11267	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( 1 / ( y / 2 ) ) e. RR )
82		ltle 9673	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR /\ ( 1 / ( y / 2 ) ) e. RR ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) < ( 1 / ( y / 2 ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ ( 1 / ( y / 2 ) ) ) )
83	79, 81, 82	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) < ( 1 / ( y / 2 ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ ( 1 / ( y / 2 ) ) ) )
84	80, 83	sylbid 215	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( ( ( y / 2 ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) < 1 -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ ( 1 / ( y / 2 ) ) ) )
85		nmcex.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( y / 2 ) e. RR+ /\ x e. ~H ) -> ( ( y / 2 ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) = ( N ` ( T ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) ) )
86	52, 42, 85	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( ( y / 2 ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) = ( N ` ( T ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) ) )
87	86	breq1d 4457	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( ( ( y / 2 ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) < 1 <-> ( N ` ( T ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) ) < 1 ) )
88		rpcn 11228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. RR+ -> y e. CC )
89		rpne0 11235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. RR+ -> y =/= 0 )
90		2cn 10606	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 2 e. CC
91		2ne0 10628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 2 =/= 0
92		recdiv 10250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) ) -> ( 1 / ( y / 2 ) ) = ( 2 / y ) )
93	90, 91, 92	mpanr12 685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) -> ( 1 / ( y / 2 ) ) = ( 2 / y ) )
94	88, 89, 93	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. RR+ -> ( 1 / ( y / 2 ) ) = ( 2 / y ) )
95	94	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( 1 / ( y / 2 ) ) = ( 2 / y ) )
96	95	breq2d 4459	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) <_ ( 1 / ( y / 2 ) ) <-> ( N ` ( T ` x ) ) <_ ( 2 / y ) ) )
97	84, 87, 96	3imtr3d 267	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( ( N ` ( T ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) ) < 1 -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ ( 2 / y ) ) )
98	78, 97	syld 44	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ ( 2 / y ) ) )
99	98	imp 429	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) /\ A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ ( 2 / y ) )
100	99	an32s 802	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. RR+ /\ A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) ) /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ ( 2 / y ) )
101	100	anassrs 648	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( y e. RR+ /\ A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) ) /\ x e. ~H ) /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ ( 2 / y ) )
102		breq1 4450	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( N ` ( T ` x ) ) -> ( n <_ ( 2 / y ) <-> ( N ` ( T ` x ) ) <_ ( 2 / y ) ) )
103	101, 102	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( y e. RR+ /\ A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) ) /\ x e. ~H ) /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) -> ( n = ( N ` ( T ` x ) ) -> n <_ ( 2 / y ) ) )
104	103	expimpd 603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. RR+ /\ A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) ) /\ x e. ~H ) -> ( ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ n = ( N ` ( T ` x ) ) ) -> n <_ ( 2 / y ) ) )
105	104	rexlimdva 2955	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. RR+ /\ A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) ) -> ( E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ n = ( N ` ( T ` x ) ) ) -> n <_ ( 2 / y ) ) )
106	105	alrimiv 1695	. . . . . . 7 |- ( ( y e. RR+ /\ A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) ) -> A. n ( E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ n = ( N ` ( T ` x ) ) ) -> n <_ ( 2 / y ) ) )
107		eqeq1 2471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = n -> ( m = ( N ` ( T ` x ) ) <-> n = ( N ` ( T ` x ) ) ) )
108	107	anbi2d 703	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = n -> ( ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) <-> ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ n = ( N ` ( T ` x ) ) ) ) )
109	108	rexbidv 2973	. . . . . . . . . 10 |- ( m = n -> ( E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) <-> E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ n = ( N ` ( T ` x ) ) ) ) )
110	109	ralab 3264	. . . . . . . . 9 |- ( A. n e. { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } n <_ z <-> A. n ( E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ n = ( N ` ( T ` x ) ) ) -> n <_ z ) )
111		breq2 4451	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( 2 / y ) -> ( n <_ z <-> n <_ ( 2 / y ) ) )
112	111	imbi2d 316	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( 2 / y ) -> ( ( E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ n = ( N ` ( T ` x ) ) ) -> n <_ z ) <-> ( E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ n = ( N ` ( T ` x ) ) ) -> n <_ ( 2 / y ) ) ) )
113	112	albidv 1689	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( 2 / y ) -> ( A. n ( E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ n = ( N ` ( T ` x ) ) ) -> n <_ z ) <-> A. n ( E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ n = ( N ` ( T ` x ) ) ) -> n <_ ( 2 / y ) ) ) )
114	110, 113	syl5bb 257	. . . . . . . 8 |- ( z = ( 2 / y ) -> ( A. n e. { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } n <_ z <-> A. n ( E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ n = ( N ` ( T ` x ) ) ) -> n <_ ( 2 / y ) ) ) )
115	114	rspcev 3214	. . . . . . 7 |- ( ( ( 2 / y ) e. RR /\ A. n ( E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ n = ( N ` ( T ` x ) ) ) -> n <_ ( 2 / y ) ) ) -> E. z e. RR A. n e. { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } n <_ z )
116	37, 106, 115	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( y e. RR+ /\ A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) ) -> E. z e. RR A. n e. { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } n <_ z )
117	116	rexlimiva 2951	. . . . 5 |- ( E. y e. RR+ A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) -> E. z e. RR A. n e. { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } n <_ z )
118	32, 117	ax-mp 5	. . . 4 |- E. z e. RR A. n e. { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } n <_ z
119		supxrre 11519	. . . 4 |- ( ( { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } C_ RR /\ { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } =/= (/) /\ E. z e. RR A. n e. { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } n <_ z ) -> sup ( { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } , RR* , < ) = sup ( { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } , RR , < ) )
120	8, 31, 118, 119	mp3an 1324	. . 3 |- sup ( { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } , RR* , < ) = sup ( { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } , RR , < )
121	1, 120	eqtri 2496	. 2 |- ( S ` T ) = sup ( { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } , RR , < )
122		suprcl 10503	. . 3 |- ( ( { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } C_ RR /\ { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } =/= (/) /\ E. z e. RR A. n e. { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } n <_ z ) -> sup ( { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } , RR , < ) e. RR )
123	8, 31, 118, 122	mp3an 1324	. 2 |- sup ( { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } , RR , < ) e. RR
124	121, 123	eqeltri 2551	1 |- ( S ` T ) e. RR

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   A.wal 1377   = wceq 1379   e. wcel 1767   {cab 2452   =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   C_ wss 3476   (/)c0 3785   class class class wbr 4447   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   supcsup 7900   CCcc 9490   RRcr 9491   0cc0 9492   1c1 9493   x. cmul 9497   RR*cxr 9627   < clt 9628   <_ cle 9629   / cdiv 10206   2c2 10585   RR+crp 11220   abscabs 13030   ~Hchil 25540   .h csm 25542   normhcno 25544   0hc0v 25545

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-hv0cl 25624  ax-hfvmul 25626  ax-hvmul0 25631  ax-hfi 25700  ax-his1 25703  ax-his3 25705  ax-his4 25706

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-sup 7901  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-rp 11221  df-seq 12076  df-exp 12135  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-hnorm 25589

This theorem is referenced by:  nmcopexi  26650  nmcfnexi  26674