Theorem nmcexi 27072

Description: Lemma for nmcopexi 27073 and nmcfnexi 27097. The norm of a continuous linear Hilbert space operator or functional exists. Theorem 3.5(i) of [Beran] p. 99. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmcex.1	|- E. y e. RR+ A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 )
nmcex.2	|- ( S ` T ) = sup ( { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } , RR* , < )
nmcex.3	|- ( x e. ~H -> ( N ` ( T ` x ) ) e. RR )
nmcex.4	|- ( N ` ( T ` 0h ) ) = 0
nmcex.5	|- ( ( ( y / 2 ) e. RR+ /\ x e. ~H ) -> ( ( y / 2 ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) = ( N ` ( T ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
nmcexi	|- ( S ` T ) e. RR

Distinct variable groups:   x, m, y, z, N   T, m, x, y, z

Allowed substitution hints:   S( x, y, z, m)

Proof of Theorem nmcexi

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmcex.2	. . 3 |- ( S ` T ) = sup ( { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } , RR* , < )
2		nmcex.3	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ~H -> ( N ` ( T ` x ) ) e. RR )
3		eleq1 2529	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( N ` ( T ` x ) ) -> ( m e. RR <-> ( N ` ( T ` x ) ) e. RR ) )
4	2, 3	syl5ibrcom 222	. . . . . . . 8 |- ( x e. ~H -> ( m = ( N ` ( T ` x ) ) -> m e. RR ) )
5	4	imp 429	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ~H /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) -> m e. RR )
6	5	adantrl 715	. . . . . 6 |- ( ( x e. ~H /\ ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) ) -> m e. RR )
7	6	rexlimiva 2945	. . . . 5 |- ( E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) -> m e. RR )
8	7	abssi 3571	. . . 4 |- { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } C_ RR
9		ax-hv0cl 26047	. . . . . . 7 |- 0h e. ~H
10		norm0 26172	. . . . . . . . 9 |- ( normh ` 0h ) = 0
11		0le1 10097	. . . . . . . . 9 |- 0 <_ 1
12	10, 11	eqbrtri 4475	. . . . . . . 8 |- ( normh ` 0h ) <_ 1
13		nmcex.4	. . . . . . . . 9 |- ( N ` ( T ` 0h ) ) = 0
14	13	eqcomi 2470	. . . . . . . 8 |- 0 = ( N ` ( T ` 0h ) )
15	12, 14	pm3.2i 455	. . . . . . 7 |- ( ( normh ` 0h ) <_ 1 /\ 0 = ( N ` ( T ` 0h ) ) )
16		fveq2 5872	. . . . . . . . . 10 |- ( x = 0h -> ( normh ` x ) = ( normh ` 0h ) )
17	16	breq1d 4466	. . . . . . . . 9 |- ( x = 0h -> ( ( normh ` x ) <_ 1 <-> ( normh ` 0h ) <_ 1 ) )
18		fveq2 5872	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = 0h -> ( T ` x ) = ( T ` 0h ) )
19	18	fveq2d 5876	. . . . . . . . . 10 |- ( x = 0h -> ( N ` ( T ` x ) ) = ( N ` ( T ` 0h ) ) )
20	19	eqeq2d 2471	. . . . . . . . 9 |- ( x = 0h -> ( 0 = ( N ` ( T ` x ) ) <-> 0 = ( N ` ( T ` 0h ) ) ) )
21	17, 20	anbi12d 710	. . . . . . . 8 |- ( x = 0h -> ( ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ 0 = ( N ` ( T ` x ) ) ) <-> ( ( normh ` 0h ) <_ 1 /\ 0 = ( N ` ( T ` 0h ) ) ) ) )
22	21	rspcev 3210	. . . . . . 7 |- ( ( 0h e. ~H /\ ( ( normh ` 0h ) <_ 1 /\ 0 = ( N ` ( T ` 0h ) ) ) ) -> E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ 0 = ( N ` ( T ` x ) ) ) )
23	9, 15, 22	mp2an 672	. . . . . 6 |- E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ 0 = ( N ` ( T ` x ) ) )
24		c0ex 9607	. . . . . . 7 |- 0 e. _V
25		eqeq1 2461	. . . . . . . . 9 |- ( m = 0 -> ( m = ( N ` ( T ` x ) ) <-> 0 = ( N ` ( T ` x ) ) ) )
26	25	anbi2d 703	. . . . . . . 8 |- ( m = 0 -> ( ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) <-> ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ 0 = ( N ` ( T ` x ) ) ) ) )
27	26	rexbidv 2968	. . . . . . 7 |- ( m = 0 -> ( E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) <-> E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ 0 = ( N ` ( T ` x ) ) ) ) )
28	24, 27	elab 3246	. . . . . 6 |- ( 0 e. { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } <-> E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ 0 = ( N ` ( T ` x ) ) ) )
29	23, 28	mpbir 209	. . . . 5 |- 0 e. { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) }
30	29	ne0ii 3800	. . . 4 |- { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } =/= (/)
31		nmcex.1	. . . . 5 |- E. y e. RR+ A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 )
32		2rp 11250	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR+
33		rpdivcl 11267	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. RR+ /\ y e. RR+ ) -> ( 2 / y ) e. RR+ )
34	32, 33	mpan 670	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR+ -> ( 2 / y ) e. RR+ )
35	34	rpred 11281	. . . . . . . 8 |- ( y e. RR+ -> ( 2 / y ) e. RR )
36	35	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( y e. RR+ /\ A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) ) -> ( 2 / y ) e. RR )
37		rpre 11251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y e. RR+ -> y e. RR )
38	37	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> y e. RR )
39	38	rehalfcld 10806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( y / 2 ) e. RR )
40	39	recnd 9639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( y / 2 ) e. CC )
41		simprl 756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> x e. ~H )
42		hvmulcl 26057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( y / 2 ) e. CC /\ x e. ~H ) -> ( ( y / 2 ) .h x ) e. ~H )
43	40, 41, 42	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( ( y / 2 ) .h x ) e. ~H )
44		normcl 26169	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( y / 2 ) .h x ) e. ~H -> ( normh ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) e. RR )
45	43, 44	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( normh ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) e. RR )
46		simprr 757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( normh ` x ) <_ 1 )
47		normcl 26169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. ~H -> ( normh ` x ) e. RR )
48	47	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( normh ` x ) e. RR )
49		1red 9628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> 1 e. RR )
50		rphalfcl 11269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. RR+ -> ( y / 2 ) e. RR+ )
51	50	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( y / 2 ) e. RR+ )
52	48, 49, 51	lemul2d 11321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( ( normh ` x ) <_ 1 <-> ( ( y / 2 ) x. ( normh ` x ) ) <_ ( ( y / 2 ) x. 1 ) ) )
53	46, 52	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( ( y / 2 ) x. ( normh ` x ) ) <_ ( ( y / 2 ) x. 1 ) )
54		rpcn 11253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y / 2 ) e. RR+ -> ( y / 2 ) e. CC )
55		norm-iii 26184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( y / 2 ) e. CC /\ x e. ~H ) -> ( normh ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) = ( ( abs ` ( y / 2 ) ) x. ( normh ` x ) ) )
56	54, 55	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( y / 2 ) e. RR+ /\ x e. ~H ) -> ( normh ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) = ( ( abs ` ( y / 2 ) ) x. ( normh ` x ) ) )
57		rpre 11251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( y / 2 ) e. RR+ -> ( y / 2 ) e. RR )
58		rpge0 11257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( y / 2 ) e. RR+ -> 0 <_ ( y / 2 ) )
59	57, 58	absidd 13266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( y / 2 ) e. RR+ -> ( abs ` ( y / 2 ) ) = ( y / 2 ) )
60	59	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y / 2 ) e. RR+ -> ( ( abs ` ( y / 2 ) ) x. ( normh ` x ) ) = ( ( y / 2 ) x. ( normh ` x ) ) )
61	60	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( y / 2 ) e. RR+ /\ x e. ~H ) -> ( ( abs ` ( y / 2 ) ) x. ( normh ` x ) ) = ( ( y / 2 ) x. ( normh ` x ) ) )
62	56, 61	eqtr2d 2499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( y / 2 ) e. RR+ /\ x e. ~H ) -> ( ( y / 2 ) x. ( normh ` x ) ) = ( normh ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) )
63	51, 41, 62	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( ( y / 2 ) x. ( normh ` x ) ) = ( normh ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) )
64	40	mulid1d 9630	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( ( y / 2 ) x. 1 ) = ( y / 2 ) )
65	53, 63, 64	3brtr3d 4485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( normh ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) <_ ( y / 2 ) )
66		rphalflt 11271	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. RR+ -> ( y / 2 ) < y )
67	66	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( y / 2 ) < y )
68	45, 39, 38, 65, 67	lelttrd 9757	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( normh ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) < y )
69		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = ( ( y / 2 ) .h x ) -> ( normh ` z ) = ( normh ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) )
70	69	breq1d 4466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = ( ( y / 2 ) .h x ) -> ( ( normh ` z ) < y <-> ( normh ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) < y ) )
71		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z = ( ( y / 2 ) .h x ) -> ( T ` z ) = ( T ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) )
72	71	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = ( ( y / 2 ) .h x ) -> ( N ` ( T ` z ) ) = ( N ` ( T ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) ) )
73	72	breq1d 4466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = ( ( y / 2 ) .h x ) -> ( ( N ` ( T ` z ) ) < 1 <-> ( N ` ( T ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) ) < 1 ) )
74	70, 73	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = ( ( y / 2 ) .h x ) -> ( ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) <-> ( ( normh ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) < y -> ( N ` ( T ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) ) < 1 ) ) )
75	74	rspcv 3206	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( y / 2 ) .h x ) e. ~H -> ( A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) -> ( ( normh ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) < y -> ( N ` ( T ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) ) < 1 ) ) )
76	43, 75	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) -> ( ( normh ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) < y -> ( N ` ( T ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) ) < 1 ) ) )
77	68, 76	mpid 41	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) -> ( N ` ( T ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) ) < 1 ) )
78	2	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) e. RR )
79	78, 49, 51	ltmuldiv2d 11325	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( ( ( y / 2 ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) < 1 <-> ( N ` ( T ` x ) ) < ( 1 / ( y / 2 ) ) ) )
80	51	rprecred 11292	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( 1 / ( y / 2 ) ) e. RR )
81		ltle 9690	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR /\ ( 1 / ( y / 2 ) ) e. RR ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) < ( 1 / ( y / 2 ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ ( 1 / ( y / 2 ) ) ) )
82	78, 80, 81	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) < ( 1 / ( y / 2 ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ ( 1 / ( y / 2 ) ) ) )
83	79, 82	sylbid 215	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( ( ( y / 2 ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) < 1 -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ ( 1 / ( y / 2 ) ) ) )
84		nmcex.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( y / 2 ) e. RR+ /\ x e. ~H ) -> ( ( y / 2 ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) = ( N ` ( T ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) ) )
85	51, 41, 84	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( ( y / 2 ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) = ( N ` ( T ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) ) )
86	85	breq1d 4466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( ( ( y / 2 ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) < 1 <-> ( N ` ( T ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) ) < 1 ) )
87		rpcn 11253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. RR+ -> y e. CC )
88		rpne0 11260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. RR+ -> y =/= 0 )
89		2cn 10627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 2 e. CC
90		2ne0 10649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 2 =/= 0
91		recdiv 10271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) ) -> ( 1 / ( y / 2 ) ) = ( 2 / y ) )
92	89, 90, 91	mpanr12 685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) -> ( 1 / ( y / 2 ) ) = ( 2 / y ) )
93	87, 88, 92	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. RR+ -> ( 1 / ( y / 2 ) ) = ( 2 / y ) )
94	93	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( 1 / ( y / 2 ) ) = ( 2 / y ) )
95	94	breq2d 4468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) <_ ( 1 / ( y / 2 ) ) <-> ( N ` ( T ` x ) ) <_ ( 2 / y ) ) )
96	83, 86, 95	3imtr3d 267	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( ( N ` ( T ` ( ( y / 2 ) .h x ) ) ) < 1 -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ ( 2 / y ) ) )
97	77, 96	syld 44	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ ( 2 / y ) ) )
98	97	imp 429	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y e. RR+ /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) /\ A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ ( 2 / y ) )
99	98	an32s 804	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. RR+ /\ A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) ) /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ ( 2 / y ) )
100	99	anassrs 648	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( y e. RR+ /\ A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) ) /\ x e. ~H ) /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ ( 2 / y ) )
101		breq1 4459	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( N ` ( T ` x ) ) -> ( n <_ ( 2 / y ) <-> ( N ` ( T ` x ) ) <_ ( 2 / y ) ) )
102	100, 101	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( y e. RR+ /\ A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) ) /\ x e. ~H ) /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) -> ( n = ( N ` ( T ` x ) ) -> n <_ ( 2 / y ) ) )
103	102	expimpd 603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. RR+ /\ A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) ) /\ x e. ~H ) -> ( ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ n = ( N ` ( T ` x ) ) ) -> n <_ ( 2 / y ) ) )
104	103	rexlimdva 2949	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. RR+ /\ A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) ) -> ( E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ n = ( N ` ( T ` x ) ) ) -> n <_ ( 2 / y ) ) )
105	104	alrimiv 1720	. . . . . . 7 |- ( ( y e. RR+ /\ A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) ) -> A. n ( E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ n = ( N ` ( T ` x ) ) ) -> n <_ ( 2 / y ) ) )
106		eqeq1 2461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = n -> ( m = ( N ` ( T ` x ) ) <-> n = ( N ` ( T ` x ) ) ) )
107	106	anbi2d 703	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = n -> ( ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) <-> ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ n = ( N ` ( T ` x ) ) ) ) )
108	107	rexbidv 2968	. . . . . . . . . 10 |- ( m = n -> ( E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) <-> E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ n = ( N ` ( T ` x ) ) ) ) )
109	108	ralab 3260	. . . . . . . . 9 |- ( A. n e. { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } n <_ z <-> A. n ( E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ n = ( N ` ( T ` x ) ) ) -> n <_ z ) )
110		breq2 4460	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( 2 / y ) -> ( n <_ z <-> n <_ ( 2 / y ) ) )
111	110	imbi2d 316	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( 2 / y ) -> ( ( E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ n = ( N ` ( T ` x ) ) ) -> n <_ z ) <-> ( E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ n = ( N ` ( T ` x ) ) ) -> n <_ ( 2 / y ) ) ) )
112	111	albidv 1714	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( 2 / y ) -> ( A. n ( E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ n = ( N ` ( T ` x ) ) ) -> n <_ z ) <-> A. n ( E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ n = ( N ` ( T ` x ) ) ) -> n <_ ( 2 / y ) ) ) )
113	109, 112	syl5bb 257	. . . . . . . 8 |- ( z = ( 2 / y ) -> ( A. n e. { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } n <_ z <-> A. n ( E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ n = ( N ` ( T ` x ) ) ) -> n <_ ( 2 / y ) ) ) )
114	113	rspcev 3210	. . . . . . 7 |- ( ( ( 2 / y ) e. RR /\ A. n ( E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ n = ( N ` ( T ` x ) ) ) -> n <_ ( 2 / y ) ) ) -> E. z e. RR A. n e. { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } n <_ z )
115	36, 105, 114	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( y e. RR+ /\ A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) ) -> E. z e. RR A. n e. { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } n <_ z )
116	115	rexlimiva 2945	. . . . 5 |- ( E. y e. RR+ A. z e. ~H ( ( normh ` z ) < y -> ( N ` ( T ` z ) ) < 1 ) -> E. z e. RR A. n e. { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } n <_ z )
117	31, 116	ax-mp 5	. . . 4 |- E. z e. RR A. n e. { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } n <_ z
118		supxrre 11544	. . . 4 |- ( ( { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } C_ RR /\ { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } =/= (/) /\ E. z e. RR A. n e. { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } n <_ z ) -> sup ( { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } , RR* , < ) = sup ( { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } , RR , < ) )
119	8, 30, 117, 118	mp3an 1324	. . 3 |- sup ( { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } , RR* , < ) = sup ( { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } , RR , < )
120	1, 119	eqtri 2486	. 2 |- ( S ` T ) = sup ( { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } , RR , < )
121		suprcl 10523	. . 3 |- ( ( { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } C_ RR /\ { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } =/= (/) /\ E. z e. RR A. n e. { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } n <_ z ) -> sup ( { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } , RR , < ) e. RR )
122	8, 30, 117, 121	mp3an 1324	. 2 |- sup ( { m | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ m = ( N ` ( T ` x ) ) ) } , RR , < ) e. RR
123	120, 122	eqeltri 2541	1 |- ( S ` T ) e. RR

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   A.wal 1393   = wceq 1395   e. wcel 1819   {cab 2442   =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   C_ wss 3471   (/)c0 3793   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   supcsup 7918   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   x. cmul 9514   RR*cxr 9644   < clt 9645   <_ cle 9646   / cdiv 10227   2c2 10606   RR+crp 11245   abscabs 13079   ~Hchil 25963   .h csm 25965   normhcno 25967   0hc0v 25968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-hv0cl 26047  ax-hfvmul 26049  ax-hvmul0 26054  ax-hfi 26123  ax-his1 26126  ax-his3 26128  ax-his4 26129

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-hnorm 26012

This theorem is referenced by:  nmcopexi  27073  nmcfnexi  27097