MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmblore Structured version   Unicode version

Theorem nmblore 25363
Description: The norm of a bounded operator is a real number. (Contributed by NM, 8-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmblore.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nmblore.2  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
nmblore.3  |-  N  =  ( U normOpOLD W
)
nmblore.5  |-  B  =  ( U  BLnOp  W )
Assertion
Ref Expression
nmblore  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  B )  ->  ( N `  T )  e.  RR )

Proof of Theorem nmblore
StepHypRef Expression
1 nmblore.1 . . . 4  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2 nmblore.2 . . . 4  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
3 nmblore.5 . . . 4  |-  B  =  ( U  BLnOp  W )
41, 2, 3blof 25362 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  B )  ->  T : X --> Y )
5 nmblore.3 . . . 4  |-  N  =  ( U normOpOLD W
)
61, 2, 5nmogtmnf 25347 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X
--> Y )  -> -oo  <  ( N `  T ) )
74, 6syld3an3 1268 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  B )  -> -oo  <  ( N `  T ) )
8 eqid 2460 . . . . 5  |-  ( U 
LnOp  W )  =  ( U  LnOp  W )
95, 8, 3isblo 25359 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  ( T  e.  B  <->  ( T  e.  ( U  LnOp  W
)  /\  ( N `  T )  < +oo ) ) )
109simplbda 624 . . 3  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  /\  T  e.  B )  ->  ( N `  T
)  < +oo )
11103impa 1186 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  B )  ->  ( N `  T )  < +oo )
121, 2, 5nmoxr 25343 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X
--> Y )  ->  ( N `  T )  e.  RR* )
134, 12syld3an3 1268 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  B )  ->  ( N `  T )  e.  RR* )
14 xrrebnd 11358 . . 3  |-  ( ( N `  T )  e.  RR*  ->  ( ( N `  T )  e.  RR  <->  ( -oo  <  ( N `  T
)  /\  ( N `  T )  < +oo ) ) )
1513, 14syl 16 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  B )  ->  (
( N `  T
)  e.  RR  <->  ( -oo  <  ( N `  T
)  /\  ( N `  T )  < +oo ) ) )
167, 11, 15mpbir2and 915 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  B )  ->  ( N `  T )  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   class class class wbr 4440   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   RRcr 9480   +oocpnf 9614   -oocmnf 9615   RR*cxr 9616    < clt 9617   NrmCVeccnv 25139   BaseSetcba 25141    LnOp clno 25317   normOpOLDcnmoo 25318    BLnOp cblo 25319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-map 7412  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-sup 7890  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-rp 11210  df-seq 12064  df-exp 12123  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-grpo 24855  df-gid 24856  df-ginv 24857  df-ablo 24946  df-vc 25101  df-nv 25147  df-va 25150  df-ba 25151  df-sm 25152  df-0v 25153  df-nmcv 25155  df-lno 25321  df-nmoo 25322  df-blo 25323
This theorem is referenced by:  nmblolbii  25376  isblo3i  25378  blocni  25382  htthlem  25496
  Copyright terms: Public domain W3C validator