MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmblore Structured version   Unicode version

Theorem nmblore 26115
Description: The norm of a bounded operator is a real number. (Contributed by NM, 8-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmblore.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nmblore.2  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
nmblore.3  |-  N  =  ( U normOpOLD W
)
nmblore.5  |-  B  =  ( U  BLnOp  W )
Assertion
Ref Expression
nmblore  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  B )  ->  ( N `  T )  e.  RR )

Proof of Theorem nmblore
StepHypRef Expression
1 nmblore.1 . . . 4  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2 nmblore.2 . . . 4  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
3 nmblore.5 . . . 4  |-  B  =  ( U  BLnOp  W )
41, 2, 3blof 26114 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  B )  ->  T : X --> Y )
5 nmblore.3 . . . 4  |-  N  =  ( U normOpOLD W
)
61, 2, 5nmogtmnf 26099 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X
--> Y )  -> -oo  <  ( N `  T ) )
74, 6syld3an3 1275 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  B )  -> -oo  <  ( N `  T ) )
8 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( U 
LnOp  W )  =  ( U  LnOp  W )
95, 8, 3isblo 26111 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  ( T  e.  B  <->  ( T  e.  ( U  LnOp  W
)  /\  ( N `  T )  < +oo ) ) )
109simplbda 622 . . 3  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  /\  T  e.  B )  ->  ( N `  T
)  < +oo )
11103impa 1192 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  B )  ->  ( N `  T )  < +oo )
121, 2, 5nmoxr 26095 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X
--> Y )  ->  ( N `  T )  e.  RR* )
134, 12syld3an3 1275 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  B )  ->  ( N `  T )  e.  RR* )
14 xrrebnd 11422 . . 3  |-  ( ( N `  T )  e.  RR*  ->  ( ( N `  T )  e.  RR  <->  ( -oo  <  ( N `  T
)  /\  ( N `  T )  < +oo ) ) )
1513, 14syl 17 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  B )  ->  (
( N `  T
)  e.  RR  <->  ( -oo  <  ( N `  T
)  /\  ( N `  T )  < +oo ) ) )
167, 11, 15mpbir2and 923 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  B )  ->  ( N `  T )  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   class class class wbr 4395   -->wf 5565   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   RRcr 9521   +oocpnf 9655   -oocmnf 9656   RR*cxr 9657    < clt 9658   NrmCVeccnv 25891   BaseSetcba 25893    LnOp clno 26069   normOpOLDcnmoo 26070    BLnOp cblo 26071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-map 7459  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-sup 7935  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-rp 11266  df-seq 12152  df-exp 12211  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-grpo 25607  df-gid 25608  df-ginv 25609  df-ablo 25698  df-vc 25853  df-nv 25899  df-va 25902  df-ba 25903  df-sm 25904  df-0v 25905  df-nmcv 25907  df-lno 26073  df-nmoo 26074  df-blo 26075
This theorem is referenced by:  nmblolbii  26128  isblo3i  26130  blocni  26134  htthlem  26248
  Copyright terms: Public domain W3C validator