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Theorem nmblolbii 25418
Description: A lower bound for the norm of a bounded linear operator. (Contributed by NM, 7-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmblolbi.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nmblolbi.4  |-  L  =  ( normCV `  U )
nmblolbi.5  |-  M  =  ( normCV `  W )
nmblolbi.6  |-  N  =  ( U normOpOLD W
)
nmblolbi.7  |-  B  =  ( U  BLnOp  W )
nmblolbi.u  |-  U  e.  NrmCVec
nmblolbi.w  |-  W  e.  NrmCVec
nmblolbii.b  |-  T  e.  B
Assertion
Ref Expression
nmblolbii  |-  ( A  e.  X  ->  ( M `  ( T `  A ) )  <_ 
( ( N `  T )  x.  ( L `  A )
) )

Proof of Theorem nmblolbii
StepHypRef Expression
1 fveq2 5866 . . . 4  |-  ( A  =  ( 0vec `  U
)  ->  ( T `  A )  =  ( T `  ( 0vec `  U ) ) )
21fveq2d 5870 . . 3  |-  ( A  =  ( 0vec `  U
)  ->  ( M `  ( T `  A
) )  =  ( M `  ( T `
 ( 0vec `  U
) ) ) )
3 fveq2 5866 . . . 4  |-  ( A  =  ( 0vec `  U
)  ->  ( L `  A )  =  ( L `  ( 0vec `  U ) ) )
43oveq2d 6300 . . 3  |-  ( A  =  ( 0vec `  U
)  ->  ( ( N `  T )  x.  ( L `  A
) )  =  ( ( N `  T
)  x.  ( L `
 ( 0vec `  U
) ) ) )
52, 4breq12d 4460 . 2  |-  ( A  =  ( 0vec `  U
)  ->  ( ( M `  ( T `  A ) )  <_ 
( ( N `  T )  x.  ( L `  A )
)  <->  ( M `  ( T `  ( 0vec `  U ) ) )  <_  ( ( N `
 T )  x.  ( L `  ( 0vec `  U ) ) ) ) )
6 nmblolbi.u . . . . . . . . 9  |-  U  e.  NrmCVec
7 nmblolbi.1 . . . . . . . . . 10  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
8 nmblolbi.4 . . . . . . . . . 10  |-  L  =  ( normCV `  U )
97, 8nvcl 25266 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( L `  A )  e.  RR )
106, 9mpan 670 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  X  ->  ( L `  A )  e.  RR )
1110adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( L `  A )  e.  RR )
12 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0vec `  U )  =  (
0vec `  U )
137, 12, 8nvz 25276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( L `  A
)  =  0  <->  A  =  ( 0vec `  U
) ) )
146, 13mpan 670 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  X  ->  (
( L `  A
)  =  0  <->  A  =  ( 0vec `  U
) ) )
1514necon3bid 2725 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  X  ->  (
( L `  A
)  =/=  0  <->  A  =/=  ( 0vec `  U
) ) )
1615biimpar 485 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( L `  A )  =/=  0 )
1711, 16rereccld 10371 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  (
1  /  ( L `
 A ) )  e.  RR )
187, 12, 8nvgt0 25282 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( A  =/=  ( 0vec `  U
)  <->  0  <  ( L `  A )
) )
196, 18mpan 670 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  X  ->  ( A  =/=  ( 0vec `  U
)  <->  0  <  ( L `  A )
) )
2019biimpa 484 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  0  <  ( L `  A
) )
2111, 20recgt0d 10480 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  0  <  ( 1  /  ( L `  A )
) )
22 0re 9596 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
23 ltle 9673 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( 1  /  ( L `  A )
)  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( 1  /  ( L `  A )
)  ->  0  <_  ( 1  /  ( L `
 A ) ) ) )
2422, 17, 23sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  (
0  <  ( 1  /  ( L `  A ) )  -> 
0  <_  ( 1  /  ( L `  A ) ) ) )
2521, 24mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  0  <_  ( 1  /  ( L `  A )
) )
26 nmblolbi.w . . . . . . . . 9  |-  W  e.  NrmCVec
27 nmblolbii.b . . . . . . . . 9  |-  T  e.  B
28 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( BaseSet `  W )  =  (
BaseSet `  W )
29 nmblolbi.7 . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( U  BLnOp  W )
307, 28, 29blof 25404 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  B )  ->  T : X --> ( BaseSet `  W
) )
316, 26, 27, 30mp3an 1324 . . . . . . . 8  |-  T : X
--> ( BaseSet `  W )
3231ffvelrni 6020 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  X  ->  ( T `  A )  e.  ( BaseSet `  W )
)
3332adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( T `  A )  e.  ( BaseSet `  W )
)
34 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( .sOLD `  W )  =  ( .sOLD `  W )
35 nmblolbi.5 . . . . . . . 8  |-  M  =  ( normCV `  W )
3628, 34, 35nvsge0 25270 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  (
( 1  /  ( L `  A )
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  / 
( L `  A
) ) )  /\  ( T `  A )  e.  ( BaseSet `  W
) )  ->  ( M `  ( (
1  /  ( L `
 A ) ) ( .sOLD `  W ) ( T `
 A ) ) )  =  ( ( 1  /  ( L `
 A ) )  x.  ( M `  ( T `  A ) ) ) )
3726, 36mp3an1 1311 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 1  / 
( L `  A
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  /  ( L `  A ) ) )  /\  ( T `  A )  e.  (
BaseSet `  W ) )  ->  ( M `  ( ( 1  / 
( L `  A
) ) ( .sOLD `  W ) ( T `  A
) ) )  =  ( ( 1  / 
( L `  A
) )  x.  ( M `  ( T `  A ) ) ) )
3817, 25, 33, 37syl21anc 1227 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( M `  ( (
1  /  ( L `
 A ) ) ( .sOLD `  W ) ( T `
 A ) ) )  =  ( ( 1  /  ( L `
 A ) )  x.  ( M `  ( T `  A ) ) ) )
3917recnd 9622 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  (
1  /  ( L `
 A ) )  e.  CC )
40 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  A  e.  X )
41 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U 
LnOp  W )  =  ( U  LnOp  W )
4241, 29bloln 25403 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  B )  ->  T  e.  ( U  LnOp  W
) )
436, 26, 27, 42mp3an 1324 . . . . . . . . 9  |-  T  e.  ( U  LnOp  W
)
446, 26, 433pm3.2i 1174 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  ( U 
LnOp  W ) )
45 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( .sOLD `  U )  =  ( .sOLD `  U )
467, 45, 34, 41lnomul 25379 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  ( U  LnOp  W
) )  /\  (
( 1  /  ( L `  A )
)  e.  CC  /\  A  e.  X )
)  ->  ( T `  ( ( 1  / 
( L `  A
) ) ( .sOLD `  U ) A ) )  =  ( ( 1  / 
( L `  A
) ) ( .sOLD `  W ) ( T `  A
) ) )
4744, 46mpan 670 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  /  ( L `  A )
)  e.  CC  /\  A  e.  X )  ->  ( T `  (
( 1  /  ( L `  A )
) ( .sOLD `  U ) A ) )  =  ( ( 1  /  ( L `
 A ) ) ( .sOLD `  W ) ( T `
 A ) ) )
4839, 40, 47syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( T `  ( (
1  /  ( L `
 A ) ) ( .sOLD `  U ) A ) )  =  ( ( 1  /  ( L `
 A ) ) ( .sOLD `  W ) ( T `
 A ) ) )
4948fveq2d 5870 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( M `  ( T `  ( ( 1  / 
( L `  A
) ) ( .sOLD `  U ) A ) ) )  =  ( M `  ( ( 1  / 
( L `  A
) ) ( .sOLD `  W ) ( T `  A
) ) ) )
5028, 35nvcl 25266 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  ( T `  A )  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( M `  ( T `  A
) )  e.  RR )
5126, 32, 50sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  X  ->  ( M `  ( T `  A ) )  e.  RR )
5251adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( M `  ( T `  A ) )  e.  RR )
5352recnd 9622 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( M `  ( T `  A ) )  e.  CC )
5411recnd 9622 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( L `  A )  e.  CC )
5553, 54, 16divrec2d 10324 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( M `  ( T `  A )
)  /  ( L `
 A ) )  =  ( ( 1  /  ( L `  A ) )  x.  ( M `  ( T `  A )
) ) )
5638, 49, 553eqtr4rd 2519 . . . 4  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( M `  ( T `  A )
)  /  ( L `
 A ) )  =  ( M `  ( T `  ( ( 1  /  ( L `
 A ) ) ( .sOLD `  U ) A ) ) ) )
577, 45nvscl 25225 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
1  /  ( L `
 A ) )  e.  CC  /\  A  e.  X )  ->  (
( 1  /  ( L `  A )
) ( .sOLD `  U ) A )  e.  X )
586, 57mp3an1 1311 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  /  ( L `  A )
)  e.  CC  /\  A  e.  X )  ->  ( ( 1  / 
( L `  A
) ) ( .sOLD `  U ) A )  e.  X
)
5939, 40, 58syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( 1  /  ( L `  A )
) ( .sOLD `  U ) A )  e.  X )
6058ancoms 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  X  /\  ( 1  /  ( L `  A )
)  e.  CC )  ->  ( ( 1  /  ( L `  A ) ) ( .sOLD `  U
) A )  e.  X )
6139, 60syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( 1  /  ( L `  A )
) ( .sOLD `  U ) A )  e.  X )
627, 8nvcl 25266 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
( 1  /  ( L `  A )
) ( .sOLD `  U ) A )  e.  X )  -> 
( L `  (
( 1  /  ( L `  A )
) ( .sOLD `  U ) A ) )  e.  RR )
636, 61, 62sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( L `  ( (
1  /  ( L `
 A ) ) ( .sOLD `  U ) A ) )  e.  RR )
647, 45, 12, 8nv1 25283 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( L `  ( (
1  /  ( L `
 A ) ) ( .sOLD `  U ) A ) )  =  1 )
656, 64mp3an1 1311 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( L `  ( (
1  /  ( L `
 A ) ) ( .sOLD `  U ) A ) )  =  1 )
66 eqle 9687 . . . . . 6  |-  ( ( ( L `  (
( 1  /  ( L `  A )
) ( .sOLD `  U ) A ) )  e.  RR  /\  ( L `  ( ( 1  /  ( L `
 A ) ) ( .sOLD `  U ) A ) )  =  1 )  ->  ( L `  ( ( 1  / 
( L `  A
) ) ( .sOLD `  U ) A ) )  <_ 
1 )
6763, 65, 66syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( L `  ( (
1  /  ( L `
 A ) ) ( .sOLD `  U ) A ) )  <_  1 )
686, 26, 313pm3.2i 1174 . . . . . 6  |-  ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X --> ( BaseSet `  W ) )
69 nmblolbi.6 . . . . . . 7  |-  N  =  ( U normOpOLD W
)
707, 28, 8, 35, 69nmoolb 25390 . . . . . 6  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X --> ( BaseSet `  W
) )  /\  (
( ( 1  / 
( L `  A
) ) ( .sOLD `  U ) A )  e.  X  /\  ( L `  (
( 1  /  ( L `  A )
) ( .sOLD `  U ) A ) )  <_  1 ) )  ->  ( M `  ( T `  (
( 1  /  ( L `  A )
) ( .sOLD `  U ) A ) ) )  <_  ( N `  T )
)
7168, 70mpan 670 . . . . 5  |-  ( ( ( ( 1  / 
( L `  A
) ) ( .sOLD `  U ) A )  e.  X  /\  ( L `  (
( 1  /  ( L `  A )
) ( .sOLD `  U ) A ) )  <_  1 )  ->  ( M `  ( T `  ( ( 1  /  ( L `
 A ) ) ( .sOLD `  U ) A ) ) )  <_  ( N `  T )
)
7259, 67, 71syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( M `  ( T `  ( ( 1  / 
( L `  A
) ) ( .sOLD `  U ) A ) ) )  <_  ( N `  T ) )
7356, 72eqbrtrd 4467 . . 3  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( M `  ( T `  A )
)  /  ( L `
 A ) )  <_  ( N `  T ) )
747, 28, 69, 29nmblore 25405 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  B )  ->  ( N `  T )  e.  RR )
756, 26, 27, 74mp3an 1324 . . . . . . 7  |-  ( N `
 T )  e.  RR
7675a1i 11 . . . . . 6  |-  ( A  e.  X  ->  ( N `  T )  e.  RR )
7751, 10, 763jca 1176 . . . . 5  |-  ( A  e.  X  ->  (
( M `  ( T `  A )
)  e.  RR  /\  ( L `  A )  e.  RR  /\  ( N `  T )  e.  RR ) )
7877adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( M `  ( T `  A )
)  e.  RR  /\  ( L `  A )  e.  RR  /\  ( N `  T )  e.  RR ) )
79 ledivmul2OLD 10423 . . . 4  |-  ( ( ( ( M `  ( T `  A ) )  e.  RR  /\  ( L `  A )  e.  RR  /\  ( N `  T )  e.  RR )  /\  0  <  ( L `  A
) )  ->  (
( ( M `  ( T `  A ) )  /  ( L `
 A ) )  <_  ( N `  T )  <->  ( M `  ( T `  A
) )  <_  (
( N `  T
)  x.  ( L `
 A ) ) ) )
8078, 20, 79syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( ( M `  ( T `  A ) )  /  ( L `
 A ) )  <_  ( N `  T )  <->  ( M `  ( T `  A
) )  <_  (
( N `  T
)  x.  ( L `
 A ) ) ) )
8173, 80mpbid 210 . 2  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( M `  ( T `  A ) )  <_ 
( ( N `  T )  x.  ( L `  A )
) )
82 0le0 10625 . . . 4  |-  0  <_  0
83 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( 0vec `  W )  =  (
0vec `  W )
847, 28, 12, 83, 41lno0 25375 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  ( U  LnOp  W ) )  ->  ( T `  ( 0vec `  U
) )  =  (
0vec `  W )
)
856, 26, 43, 84mp3an 1324 . . . . . 6  |-  ( T `
 ( 0vec `  U
) )  =  (
0vec `  W )
8685fveq2i 5869 . . . . 5  |-  ( M `
 ( T `  ( 0vec `  U )
) )  =  ( M `  ( 0vec `  W ) )
8783, 35nvz0 25275 . . . . . 6  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  ( M `  ( 0vec `  W )
)  =  0 )
8826, 87ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( M `
 ( 0vec `  W
) )  =  0
8986, 88eqtri 2496 . . . 4  |-  ( M `
 ( T `  ( 0vec `  U )
) )  =  0
9012, 8nvz0 25275 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( L `  ( 0vec `  U )
)  =  0 )
916, 90ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( L `
 ( 0vec `  U
) )  =  0
9291oveq2i 6295 . . . . 5  |-  ( ( N `  T )  x.  ( L `  ( 0vec `  U )
) )  =  ( ( N `  T
)  x.  0 )
9375recni 9608 . . . . . 6  |-  ( N `
 T )  e.  CC
9493mul01i 9769 . . . . 5  |-  ( ( N `  T )  x.  0 )  =  0
9592, 94eqtri 2496 . . . 4  |-  ( ( N `  T )  x.  ( L `  ( 0vec `  U )
) )  =  0
9682, 89, 953brtr4i 4475 . . 3  |-  ( M `
 ( T `  ( 0vec `  U )
) )  <_  (
( N `  T
)  x.  ( L `
 ( 0vec `  U
) ) )
9796a1i 11 . 2  |-  ( A  e.  X  ->  ( M `  ( T `  ( 0vec `  U
) ) )  <_ 
( ( N `  T )  x.  ( L `  ( 0vec `  U ) ) ) )
985, 81, 97pm2.61ne 2782 1  |-  ( A  e.  X  ->  ( M `  ( T `  A ) )  <_ 
( ( N `  T )  x.  ( L `  A )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   class class class wbr 4447   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   CCcc 9490   RRcr 9491   0cc0 9492   1c1 9493    x. cmul 9497    < clt 9628    <_ cle 9629    / cdiv 10206   NrmCVeccnv 25181   BaseSetcba 25183   .sOLDcns 25184   0veccn0v 25185   normCVcnmcv 25187    LnOp clno 25359   normOpOLDcnmoo 25360    BLnOp cblo 25361
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-sup 7901  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-rp 11221  df-seq 12076  df-exp 12135  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-grpo 24897  df-gid 24898  df-ginv 24899  df-ablo 24988  df-vc 25143  df-nv 25189  df-va 25192  df-ba 25193  df-sm 25194  df-0v 25195  df-nmcv 25197  df-lno 25363  df-nmoo 25364  df-blo 25365
This theorem is referenced by:  nmblolbi  25419
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