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Theorem nmblolbii 25692
Description: A lower bound for the norm of a bounded linear operator. (Contributed by NM, 7-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmblolbi.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nmblolbi.4  |-  L  =  ( normCV `  U )
nmblolbi.5  |-  M  =  ( normCV `  W )
nmblolbi.6  |-  N  =  ( U normOpOLD W
)
nmblolbi.7  |-  B  =  ( U  BLnOp  W )
nmblolbi.u  |-  U  e.  NrmCVec
nmblolbi.w  |-  W  e.  NrmCVec
nmblolbii.b  |-  T  e.  B
Assertion
Ref Expression
nmblolbii  |-  ( A  e.  X  ->  ( M `  ( T `  A ) )  <_ 
( ( N `  T )  x.  ( L `  A )
) )

Proof of Theorem nmblolbii
StepHypRef Expression
1 fveq2 5856 . . . 4  |-  ( A  =  ( 0vec `  U
)  ->  ( T `  A )  =  ( T `  ( 0vec `  U ) ) )
21fveq2d 5860 . . 3  |-  ( A  =  ( 0vec `  U
)  ->  ( M `  ( T `  A
) )  =  ( M `  ( T `
 ( 0vec `  U
) ) ) )
3 fveq2 5856 . . . 4  |-  ( A  =  ( 0vec `  U
)  ->  ( L `  A )  =  ( L `  ( 0vec `  U ) ) )
43oveq2d 6297 . . 3  |-  ( A  =  ( 0vec `  U
)  ->  ( ( N `  T )  x.  ( L `  A
) )  =  ( ( N `  T
)  x.  ( L `
 ( 0vec `  U
) ) ) )
52, 4breq12d 4450 . 2  |-  ( A  =  ( 0vec `  U
)  ->  ( ( M `  ( T `  A ) )  <_ 
( ( N `  T )  x.  ( L `  A )
)  <->  ( M `  ( T `  ( 0vec `  U ) ) )  <_  ( ( N `
 T )  x.  ( L `  ( 0vec `  U ) ) ) ) )
6 nmblolbi.u . . . . . . . . 9  |-  U  e.  NrmCVec
7 nmblolbi.1 . . . . . . . . . 10  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
8 nmblolbi.4 . . . . . . . . . 10  |-  L  =  ( normCV `  U )
97, 8nvcl 25540 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( L `  A )  e.  RR )
106, 9mpan 670 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  X  ->  ( L `  A )  e.  RR )
1110adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( L `  A )  e.  RR )
12 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0vec `  U )  =  (
0vec `  U )
137, 12, 8nvz 25550 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( L `  A
)  =  0  <->  A  =  ( 0vec `  U
) ) )
146, 13mpan 670 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  X  ->  (
( L `  A
)  =  0  <->  A  =  ( 0vec `  U
) ) )
1514necon3bid 2701 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  X  ->  (
( L `  A
)  =/=  0  <->  A  =/=  ( 0vec `  U
) ) )
1615biimpar 485 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( L `  A )  =/=  0 )
1711, 16rereccld 10378 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  (
1  /  ( L `
 A ) )  e.  RR )
187, 12, 8nvgt0 25556 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( A  =/=  ( 0vec `  U
)  <->  0  <  ( L `  A )
) )
196, 18mpan 670 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  X  ->  ( A  =/=  ( 0vec `  U
)  <->  0  <  ( L `  A )
) )
2019biimpa 484 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  0  <  ( L `  A
) )
2111, 20recgt0d 10487 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  0  <  ( 1  /  ( L `  A )
) )
22 0re 9599 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
23 ltle 9676 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( 1  /  ( L `  A )
)  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( 1  /  ( L `  A )
)  ->  0  <_  ( 1  /  ( L `
 A ) ) ) )
2422, 17, 23sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  (
0  <  ( 1  /  ( L `  A ) )  -> 
0  <_  ( 1  /  ( L `  A ) ) ) )
2521, 24mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  0  <_  ( 1  /  ( L `  A )
) )
26 nmblolbi.w . . . . . . . . 9  |-  W  e.  NrmCVec
27 nmblolbii.b . . . . . . . . 9  |-  T  e.  B
28 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( BaseSet `  W )  =  (
BaseSet `  W )
29 nmblolbi.7 . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( U  BLnOp  W )
307, 28, 29blof 25678 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  B )  ->  T : X --> ( BaseSet `  W
) )
316, 26, 27, 30mp3an 1325 . . . . . . . 8  |-  T : X
--> ( BaseSet `  W )
3231ffvelrni 6015 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  X  ->  ( T `  A )  e.  ( BaseSet `  W )
)
3332adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( T `  A )  e.  ( BaseSet `  W )
)
34 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( .sOLD `  W )  =  ( .sOLD `  W )
35 nmblolbi.5 . . . . . . . 8  |-  M  =  ( normCV `  W )
3628, 34, 35nvsge0 25544 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  (
( 1  /  ( L `  A )
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  / 
( L `  A
) ) )  /\  ( T `  A )  e.  ( BaseSet `  W
) )  ->  ( M `  ( (
1  /  ( L `
 A ) ) ( .sOLD `  W ) ( T `
 A ) ) )  =  ( ( 1  /  ( L `
 A ) )  x.  ( M `  ( T `  A ) ) ) )
3726, 36mp3an1 1312 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 1  / 
( L `  A
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  /  ( L `  A ) ) )  /\  ( T `  A )  e.  (
BaseSet `  W ) )  ->  ( M `  ( ( 1  / 
( L `  A
) ) ( .sOLD `  W ) ( T `  A
) ) )  =  ( ( 1  / 
( L `  A
) )  x.  ( M `  ( T `  A ) ) ) )
3817, 25, 33, 37syl21anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( M `  ( (
1  /  ( L `
 A ) ) ( .sOLD `  W ) ( T `
 A ) ) )  =  ( ( 1  /  ( L `
 A ) )  x.  ( M `  ( T `  A ) ) ) )
3917recnd 9625 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  (
1  /  ( L `
 A ) )  e.  CC )
40 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  A  e.  X )
41 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U 
LnOp  W )  =  ( U  LnOp  W )
4241, 29bloln 25677 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  B )  ->  T  e.  ( U  LnOp  W
) )
436, 26, 27, 42mp3an 1325 . . . . . . . . 9  |-  T  e.  ( U  LnOp  W
)
446, 26, 433pm3.2i 1175 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  ( U 
LnOp  W ) )
45 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( .sOLD `  U )  =  ( .sOLD `  U )
467, 45, 34, 41lnomul 25653 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  ( U  LnOp  W
) )  /\  (
( 1  /  ( L `  A )
)  e.  CC  /\  A  e.  X )
)  ->  ( T `  ( ( 1  / 
( L `  A
) ) ( .sOLD `  U ) A ) )  =  ( ( 1  / 
( L `  A
) ) ( .sOLD `  W ) ( T `  A
) ) )
4744, 46mpan 670 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  /  ( L `  A )
)  e.  CC  /\  A  e.  X )  ->  ( T `  (
( 1  /  ( L `  A )
) ( .sOLD `  U ) A ) )  =  ( ( 1  /  ( L `
 A ) ) ( .sOLD `  W ) ( T `
 A ) ) )
4839, 40, 47syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( T `  ( (
1  /  ( L `
 A ) ) ( .sOLD `  U ) A ) )  =  ( ( 1  /  ( L `
 A ) ) ( .sOLD `  W ) ( T `
 A ) ) )
4948fveq2d 5860 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( M `  ( T `  ( ( 1  / 
( L `  A
) ) ( .sOLD `  U ) A ) ) )  =  ( M `  ( ( 1  / 
( L `  A
) ) ( .sOLD `  W ) ( T `  A
) ) ) )
5028, 35nvcl 25540 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  ( T `  A )  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( M `  ( T `  A
) )  e.  RR )
5126, 32, 50sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  X  ->  ( M `  ( T `  A ) )  e.  RR )
5251adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( M `  ( T `  A ) )  e.  RR )
5352recnd 9625 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( M `  ( T `  A ) )  e.  CC )
5411recnd 9625 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( L `  A )  e.  CC )
5553, 54, 16divrec2d 10331 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( M `  ( T `  A )
)  /  ( L `
 A ) )  =  ( ( 1  /  ( L `  A ) )  x.  ( M `  ( T `  A )
) ) )
5638, 49, 553eqtr4rd 2495 . . . 4  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( M `  ( T `  A )
)  /  ( L `
 A ) )  =  ( M `  ( T `  ( ( 1  /  ( L `
 A ) ) ( .sOLD `  U ) A ) ) ) )
577, 45nvscl 25499 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
1  /  ( L `
 A ) )  e.  CC  /\  A  e.  X )  ->  (
( 1  /  ( L `  A )
) ( .sOLD `  U ) A )  e.  X )
586, 57mp3an1 1312 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  /  ( L `  A )
)  e.  CC  /\  A  e.  X )  ->  ( ( 1  / 
( L `  A
) ) ( .sOLD `  U ) A )  e.  X
)
5939, 40, 58syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( 1  /  ( L `  A )
) ( .sOLD `  U ) A )  e.  X )
6058ancoms 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  X  /\  ( 1  /  ( L `  A )
)  e.  CC )  ->  ( ( 1  /  ( L `  A ) ) ( .sOLD `  U
) A )  e.  X )
6139, 60syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( 1  /  ( L `  A )
) ( .sOLD `  U ) A )  e.  X )
627, 8nvcl 25540 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
( 1  /  ( L `  A )
) ( .sOLD `  U ) A )  e.  X )  -> 
( L `  (
( 1  /  ( L `  A )
) ( .sOLD `  U ) A ) )  e.  RR )
636, 61, 62sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( L `  ( (
1  /  ( L `
 A ) ) ( .sOLD `  U ) A ) )  e.  RR )
647, 45, 12, 8nv1 25557 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( L `  ( (
1  /  ( L `
 A ) ) ( .sOLD `  U ) A ) )  =  1 )
656, 64mp3an1 1312 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( L `  ( (
1  /  ( L `
 A ) ) ( .sOLD `  U ) A ) )  =  1 )
66 eqle 9690 . . . . . 6  |-  ( ( ( L `  (
( 1  /  ( L `  A )
) ( .sOLD `  U ) A ) )  e.  RR  /\  ( L `  ( ( 1  /  ( L `
 A ) ) ( .sOLD `  U ) A ) )  =  1 )  ->  ( L `  ( ( 1  / 
( L `  A
) ) ( .sOLD `  U ) A ) )  <_ 
1 )
6763, 65, 66syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( L `  ( (
1  /  ( L `
 A ) ) ( .sOLD `  U ) A ) )  <_  1 )
686, 26, 313pm3.2i 1175 . . . . . 6  |-  ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X --> ( BaseSet `  W ) )
69 nmblolbi.6 . . . . . . 7  |-  N  =  ( U normOpOLD W
)
707, 28, 8, 35, 69nmoolb 25664 . . . . . 6  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X --> ( BaseSet `  W
) )  /\  (
( ( 1  / 
( L `  A
) ) ( .sOLD `  U ) A )  e.  X  /\  ( L `  (
( 1  /  ( L `  A )
) ( .sOLD `  U ) A ) )  <_  1 ) )  ->  ( M `  ( T `  (
( 1  /  ( L `  A )
) ( .sOLD `  U ) A ) ) )  <_  ( N `  T )
)
7168, 70mpan 670 . . . . 5  |-  ( ( ( ( 1  / 
( L `  A
) ) ( .sOLD `  U ) A )  e.  X  /\  ( L `  (
( 1  /  ( L `  A )
) ( .sOLD `  U ) A ) )  <_  1 )  ->  ( M `  ( T `  ( ( 1  /  ( L `
 A ) ) ( .sOLD `  U ) A ) ) )  <_  ( N `  T )
)
7259, 67, 71syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( M `  ( T `  ( ( 1  / 
( L `  A
) ) ( .sOLD `  U ) A ) ) )  <_  ( N `  T ) )
7356, 72eqbrtrd 4457 . . 3  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( M `  ( T `  A )
)  /  ( L `
 A ) )  <_  ( N `  T ) )
747, 28, 69, 29nmblore 25679 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  B )  ->  ( N `  T )  e.  RR )
756, 26, 27, 74mp3an 1325 . . . . . . 7  |-  ( N `
 T )  e.  RR
7675a1i 11 . . . . . 6  |-  ( A  e.  X  ->  ( N `  T )  e.  RR )
7751, 10, 763jca 1177 . . . . 5  |-  ( A  e.  X  ->  (
( M `  ( T `  A )
)  e.  RR  /\  ( L `  A )  e.  RR  /\  ( N `  T )  e.  RR ) )
7877adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( M `  ( T `  A )
)  e.  RR  /\  ( L `  A )  e.  RR  /\  ( N `  T )  e.  RR ) )
79 ledivmul2OLD 10430 . . . 4  |-  ( ( ( ( M `  ( T `  A ) )  e.  RR  /\  ( L `  A )  e.  RR  /\  ( N `  T )  e.  RR )  /\  0  <  ( L `  A
) )  ->  (
( ( M `  ( T `  A ) )  /  ( L `
 A ) )  <_  ( N `  T )  <->  ( M `  ( T `  A
) )  <_  (
( N `  T
)  x.  ( L `
 A ) ) ) )
8078, 20, 79syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( ( M `  ( T `  A ) )  /  ( L `
 A ) )  <_  ( N `  T )  <->  ( M `  ( T `  A
) )  <_  (
( N `  T
)  x.  ( L `
 A ) ) ) )
8173, 80mpbid 210 . 2  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( M `  ( T `  A ) )  <_ 
( ( N `  T )  x.  ( L `  A )
) )
82 0le0 10632 . . . 4  |-  0  <_  0
83 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( 0vec `  W )  =  (
0vec `  W )
847, 28, 12, 83, 41lno0 25649 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  ( U  LnOp  W ) )  ->  ( T `  ( 0vec `  U
) )  =  (
0vec `  W )
)
856, 26, 43, 84mp3an 1325 . . . . . 6  |-  ( T `
 ( 0vec `  U
) )  =  (
0vec `  W )
8685fveq2i 5859 . . . . 5  |-  ( M `
 ( T `  ( 0vec `  U )
) )  =  ( M `  ( 0vec `  W ) )
8783, 35nvz0 25549 . . . . . 6  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  ( M `  ( 0vec `  W )
)  =  0 )
8826, 87ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( M `
 ( 0vec `  W
) )  =  0
8986, 88eqtri 2472 . . . 4  |-  ( M `
 ( T `  ( 0vec `  U )
) )  =  0
9012, 8nvz0 25549 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( L `  ( 0vec `  U )
)  =  0 )
916, 90ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( L `
 ( 0vec `  U
) )  =  0
9291oveq2i 6292 . . . . 5  |-  ( ( N `  T )  x.  ( L `  ( 0vec `  U )
) )  =  ( ( N `  T
)  x.  0 )
9375recni 9611 . . . . . 6  |-  ( N `
 T )  e.  CC
9493mul01i 9773 . . . . 5  |-  ( ( N `  T )  x.  0 )  =  0
9592, 94eqtri 2472 . . . 4  |-  ( ( N `  T )  x.  ( L `  ( 0vec `  U )
) )  =  0
9682, 89, 953brtr4i 4465 . . 3  |-  ( M `
 ( T `  ( 0vec `  U )
) )  <_  (
( N `  T
)  x.  ( L `
 ( 0vec `  U
) ) )
9796a1i 11 . 2  |-  ( A  e.  X  ->  ( M `  ( T `  ( 0vec `  U
) ) )  <_ 
( ( N `  T )  x.  ( L `  ( 0vec `  U ) ) ) )
985, 81, 97pm2.61ne 2758 1  |-  ( A  e.  X  ->  ( M `  ( T `  A ) )  <_ 
( ( N `  T )  x.  ( L `  A )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   class class class wbr 4437   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   CCcc 9493   RRcr 9494   0cc0 9495   1c1 9496    x. cmul 9500    < clt 9631    <_ cle 9632    / cdiv 10213   NrmCVeccnv 25455   BaseSetcba 25457   .sOLDcns 25458   0veccn0v 25459   normCVcnmcv 25461    LnOp clno 25633   normOpOLDcnmoo 25634    BLnOp cblo 25635
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11093  df-rp 11232  df-seq 12090  df-exp 12149  df-cj 12914  df-re 12915  df-im 12916  df-sqrt 13050  df-abs 13051  df-grpo 25171  df-gid 25172  df-ginv 25173  df-ablo 25262  df-vc 25417  df-nv 25463  df-va 25466  df-ba 25467  df-sm 25468  df-0v 25469  df-nmcv 25471  df-lno 25637  df-nmoo 25638  df-blo 25639
This theorem is referenced by:  nmblolbi  25693
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