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Theorem nmblolbii 26426
Description: A lower bound for the norm of a bounded linear operator. (Contributed by NM, 7-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmblolbi.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nmblolbi.4  |-  L  =  ( normCV `  U )
nmblolbi.5  |-  M  =  ( normCV `  W )
nmblolbi.6  |-  N  =  ( U normOpOLD W
)
nmblolbi.7  |-  B  =  ( U  BLnOp  W )
nmblolbi.u  |-  U  e.  NrmCVec
nmblolbi.w  |-  W  e.  NrmCVec
nmblolbii.b  |-  T  e.  B
Assertion
Ref Expression
nmblolbii  |-  ( A  e.  X  ->  ( M `  ( T `  A ) )  <_ 
( ( N `  T )  x.  ( L `  A )
) )

Proof of Theorem nmblolbii
StepHypRef Expression
1 fveq2 5878 . . . 4  |-  ( A  =  ( 0vec `  U
)  ->  ( T `  A )  =  ( T `  ( 0vec `  U ) ) )
21fveq2d 5882 . . 3  |-  ( A  =  ( 0vec `  U
)  ->  ( M `  ( T `  A
) )  =  ( M `  ( T `
 ( 0vec `  U
) ) ) )
3 fveq2 5878 . . . 4  |-  ( A  =  ( 0vec `  U
)  ->  ( L `  A )  =  ( L `  ( 0vec `  U ) ) )
43oveq2d 6318 . . 3  |-  ( A  =  ( 0vec `  U
)  ->  ( ( N `  T )  x.  ( L `  A
) )  =  ( ( N `  T
)  x.  ( L `
 ( 0vec `  U
) ) ) )
52, 4breq12d 4433 . 2  |-  ( A  =  ( 0vec `  U
)  ->  ( ( M `  ( T `  A ) )  <_ 
( ( N `  T )  x.  ( L `  A )
)  <->  ( M `  ( T `  ( 0vec `  U ) ) )  <_  ( ( N `
 T )  x.  ( L `  ( 0vec `  U ) ) ) ) )
6 nmblolbi.u . . . . . . . . 9  |-  U  e.  NrmCVec
7 nmblolbi.1 . . . . . . . . . 10  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
8 nmblolbi.4 . . . . . . . . . 10  |-  L  =  ( normCV `  U )
97, 8nvcl 26274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( L `  A )  e.  RR )
106, 9mpan 674 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  X  ->  ( L `  A )  e.  RR )
1110adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( L `  A )  e.  RR )
12 eqid 2422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0vec `  U )  =  (
0vec `  U )
137, 12, 8nvz 26284 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( L `  A
)  =  0  <->  A  =  ( 0vec `  U
) ) )
146, 13mpan 674 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  X  ->  (
( L `  A
)  =  0  <->  A  =  ( 0vec `  U
) ) )
1514necon3bid 2682 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  X  ->  (
( L `  A
)  =/=  0  <->  A  =/=  ( 0vec `  U
) ) )
1615biimpar 487 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( L `  A )  =/=  0 )
1711, 16rereccld 10435 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  (
1  /  ( L `
 A ) )  e.  RR )
187, 12, 8nvgt0 26290 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( A  =/=  ( 0vec `  U
)  <->  0  <  ( L `  A )
) )
196, 18mpan 674 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  X  ->  ( A  =/=  ( 0vec `  U
)  <->  0  <  ( L `  A )
) )
2019biimpa 486 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  0  <  ( L `  A
) )
2111, 20recgt0d 10542 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  0  <  ( 1  /  ( L `  A )
) )
22 0re 9644 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
23 ltle 9723 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( 1  /  ( L `  A )
)  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( 1  /  ( L `  A )
)  ->  0  <_  ( 1  /  ( L `
 A ) ) ) )
2422, 17, 23sylancr 667 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  (
0  <  ( 1  /  ( L `  A ) )  -> 
0  <_  ( 1  /  ( L `  A ) ) ) )
2521, 24mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  0  <_  ( 1  /  ( L `  A )
) )
26 nmblolbi.w . . . . . . . . 9  |-  W  e.  NrmCVec
27 nmblolbii.b . . . . . . . . 9  |-  T  e.  B
28 eqid 2422 . . . . . . . . . 10  |-  ( BaseSet `  W )  =  (
BaseSet `  W )
29 nmblolbi.7 . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( U  BLnOp  W )
307, 28, 29blof 26412 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  B )  ->  T : X --> ( BaseSet `  W
) )
316, 26, 27, 30mp3an 1360 . . . . . . . 8  |-  T : X
--> ( BaseSet `  W )
3231ffvelrni 6033 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  X  ->  ( T `  A )  e.  ( BaseSet `  W )
)
3332adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( T `  A )  e.  ( BaseSet `  W )
)
34 eqid 2422 . . . . . . . 8  |-  ( .sOLD `  W )  =  ( .sOLD `  W )
35 nmblolbi.5 . . . . . . . 8  |-  M  =  ( normCV `  W )
3628, 34, 35nvsge0 26278 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  (
( 1  /  ( L `  A )
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  / 
( L `  A
) ) )  /\  ( T `  A )  e.  ( BaseSet `  W
) )  ->  ( M `  ( (
1  /  ( L `
 A ) ) ( .sOLD `  W ) ( T `
 A ) ) )  =  ( ( 1  /  ( L `
 A ) )  x.  ( M `  ( T `  A ) ) ) )
3726, 36mp3an1 1347 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 1  / 
( L `  A
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  /  ( L `  A ) ) )  /\  ( T `  A )  e.  (
BaseSet `  W ) )  ->  ( M `  ( ( 1  / 
( L `  A
) ) ( .sOLD `  W ) ( T `  A
) ) )  =  ( ( 1  / 
( L `  A
) )  x.  ( M `  ( T `  A ) ) ) )
3817, 25, 33, 37syl21anc 1263 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( M `  ( (
1  /  ( L `
 A ) ) ( .sOLD `  W ) ( T `
 A ) ) )  =  ( ( 1  /  ( L `
 A ) )  x.  ( M `  ( T `  A ) ) ) )
3917recnd 9670 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  (
1  /  ( L `
 A ) )  e.  CC )
40 simpl 458 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  A  e.  X )
41 eqid 2422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U 
LnOp  W )  =  ( U  LnOp  W )
4241, 29bloln 26411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  B )  ->  T  e.  ( U  LnOp  W
) )
436, 26, 27, 42mp3an 1360 . . . . . . . . 9  |-  T  e.  ( U  LnOp  W
)
446, 26, 433pm3.2i 1183 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  ( U 
LnOp  W ) )
45 eqid 2422 . . . . . . . . 9  |-  ( .sOLD `  U )  =  ( .sOLD `  U )
467, 45, 34, 41lnomul 26387 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  ( U  LnOp  W
) )  /\  (
( 1  /  ( L `  A )
)  e.  CC  /\  A  e.  X )
)  ->  ( T `  ( ( 1  / 
( L `  A
) ) ( .sOLD `  U ) A ) )  =  ( ( 1  / 
( L `  A
) ) ( .sOLD `  W ) ( T `  A
) ) )
4744, 46mpan 674 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  /  ( L `  A )
)  e.  CC  /\  A  e.  X )  ->  ( T `  (
( 1  /  ( L `  A )
) ( .sOLD `  U ) A ) )  =  ( ( 1  /  ( L `
 A ) ) ( .sOLD `  W ) ( T `
 A ) ) )
4839, 40, 47syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( T `  ( (
1  /  ( L `
 A ) ) ( .sOLD `  U ) A ) )  =  ( ( 1  /  ( L `
 A ) ) ( .sOLD `  W ) ( T `
 A ) ) )
4948fveq2d 5882 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( M `  ( T `  ( ( 1  / 
( L `  A
) ) ( .sOLD `  U ) A ) ) )  =  ( M `  ( ( 1  / 
( L `  A
) ) ( .sOLD `  W ) ( T `  A
) ) ) )
5028, 35nvcl 26274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  ( T `  A )  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( M `  ( T `  A
) )  e.  RR )
5126, 32, 50sylancr 667 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  X  ->  ( M `  ( T `  A ) )  e.  RR )
5251adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( M `  ( T `  A ) )  e.  RR )
5352recnd 9670 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( M `  ( T `  A ) )  e.  CC )
5411recnd 9670 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( L `  A )  e.  CC )
5553, 54, 16divrec2d 10388 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( M `  ( T `  A )
)  /  ( L `
 A ) )  =  ( ( 1  /  ( L `  A ) )  x.  ( M `  ( T `  A )
) ) )
5638, 49, 553eqtr4rd 2474 . . . 4  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( M `  ( T `  A )
)  /  ( L `
 A ) )  =  ( M `  ( T `  ( ( 1  /  ( L `
 A ) ) ( .sOLD `  U ) A ) ) ) )
577, 45nvscl 26233 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
1  /  ( L `
 A ) )  e.  CC  /\  A  e.  X )  ->  (
( 1  /  ( L `  A )
) ( .sOLD `  U ) A )  e.  X )
586, 57mp3an1 1347 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  /  ( L `  A )
)  e.  CC  /\  A  e.  X )  ->  ( ( 1  / 
( L `  A
) ) ( .sOLD `  U ) A )  e.  X
)
5939, 40, 58syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( 1  /  ( L `  A )
) ( .sOLD `  U ) A )  e.  X )
6058ancoms 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  X  /\  ( 1  /  ( L `  A )
)  e.  CC )  ->  ( ( 1  /  ( L `  A ) ) ( .sOLD `  U
) A )  e.  X )
6139, 60syldan 472 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( 1  /  ( L `  A )
) ( .sOLD `  U ) A )  e.  X )
627, 8nvcl 26274 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
( 1  /  ( L `  A )
) ( .sOLD `  U ) A )  e.  X )  -> 
( L `  (
( 1  /  ( L `  A )
) ( .sOLD `  U ) A ) )  e.  RR )
636, 61, 62sylancr 667 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( L `  ( (
1  /  ( L `
 A ) ) ( .sOLD `  U ) A ) )  e.  RR )
647, 45, 12, 8nv1 26291 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( L `  ( (
1  /  ( L `
 A ) ) ( .sOLD `  U ) A ) )  =  1 )
656, 64mp3an1 1347 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( L `  ( (
1  /  ( L `
 A ) ) ( .sOLD `  U ) A ) )  =  1 )
66 eqle 9737 . . . . . 6  |-  ( ( ( L `  (
( 1  /  ( L `  A )
) ( .sOLD `  U ) A ) )  e.  RR  /\  ( L `  ( ( 1  /  ( L `
 A ) ) ( .sOLD `  U ) A ) )  =  1 )  ->  ( L `  ( ( 1  / 
( L `  A
) ) ( .sOLD `  U ) A ) )  <_ 
1 )
6763, 65, 66syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( L `  ( (
1  /  ( L `
 A ) ) ( .sOLD `  U ) A ) )  <_  1 )
686, 26, 313pm3.2i 1183 . . . . . 6  |-  ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X --> ( BaseSet `  W ) )
69 nmblolbi.6 . . . . . . 7  |-  N  =  ( U normOpOLD W
)
707, 28, 8, 35, 69nmoolb 26398 . . . . . 6  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X --> ( BaseSet `  W
) )  /\  (
( ( 1  / 
( L `  A
) ) ( .sOLD `  U ) A )  e.  X  /\  ( L `  (
( 1  /  ( L `  A )
) ( .sOLD `  U ) A ) )  <_  1 ) )  ->  ( M `  ( T `  (
( 1  /  ( L `  A )
) ( .sOLD `  U ) A ) ) )  <_  ( N `  T )
)
7168, 70mpan 674 . . . . 5  |-  ( ( ( ( 1  / 
( L `  A
) ) ( .sOLD `  U ) A )  e.  X  /\  ( L `  (
( 1  /  ( L `  A )
) ( .sOLD `  U ) A ) )  <_  1 )  ->  ( M `  ( T `  ( ( 1  /  ( L `
 A ) ) ( .sOLD `  U ) A ) ) )  <_  ( N `  T )
)
7259, 67, 71syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( M `  ( T `  ( ( 1  / 
( L `  A
) ) ( .sOLD `  U ) A ) ) )  <_  ( N `  T ) )
7356, 72eqbrtrd 4441 . . 3  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( M `  ( T `  A )
)  /  ( L `
 A ) )  <_  ( N `  T ) )
747, 28, 69, 29nmblore 26413 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  B )  ->  ( N `  T )  e.  RR )
756, 26, 27, 74mp3an 1360 . . . . . . 7  |-  ( N `
 T )  e.  RR
7675a1i 11 . . . . . 6  |-  ( A  e.  X  ->  ( N `  T )  e.  RR )
7751, 10, 763jca 1185 . . . . 5  |-  ( A  e.  X  ->  (
( M `  ( T `  A )
)  e.  RR  /\  ( L `  A )  e.  RR  /\  ( N `  T )  e.  RR ) )
7877adantr 466 . . . 4  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( M `  ( T `  A )
)  e.  RR  /\  ( L `  A )  e.  RR  /\  ( N `  T )  e.  RR ) )
79 ledivmul2OLD 10486 . . . 4  |-  ( ( ( ( M `  ( T `  A ) )  e.  RR  /\  ( L `  A )  e.  RR  /\  ( N `  T )  e.  RR )  /\  0  <  ( L `  A
) )  ->  (
( ( M `  ( T `  A ) )  /  ( L `
 A ) )  <_  ( N `  T )  <->  ( M `  ( T `  A
) )  <_  (
( N `  T
)  x.  ( L `
 A ) ) ) )
8078, 20, 79syl2anc 665 . . 3  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( ( M `  ( T `  A ) )  /  ( L `
 A ) )  <_  ( N `  T )  <->  ( M `  ( T `  A
) )  <_  (
( N `  T
)  x.  ( L `
 A ) ) ) )
8173, 80mpbid 213 . 2  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( M `  ( T `  A ) )  <_ 
( ( N `  T )  x.  ( L `  A )
) )
82 0le0 10700 . . . 4  |-  0  <_  0
83 eqid 2422 . . . . . . . 8  |-  ( 0vec `  W )  =  (
0vec `  W )
847, 28, 12, 83, 41lno0 26383 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  ( U  LnOp  W ) )  ->  ( T `  ( 0vec `  U
) )  =  (
0vec `  W )
)
856, 26, 43, 84mp3an 1360 . . . . . 6  |-  ( T `
 ( 0vec `  U
) )  =  (
0vec `  W )
8685fveq2i 5881 . . . . 5  |-  ( M `
 ( T `  ( 0vec `  U )
) )  =  ( M `  ( 0vec `  W ) )
8783, 35nvz0 26283 . . . . . 6  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  ( M `  ( 0vec `  W )
)  =  0 )
8826, 87ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( M `
 ( 0vec `  W
) )  =  0
8986, 88eqtri 2451 . . . 4  |-  ( M `
 ( T `  ( 0vec `  U )
) )  =  0
9012, 8nvz0 26283 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( L `  ( 0vec `  U )
)  =  0 )
916, 90ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( L `
 ( 0vec `  U
) )  =  0
9291oveq2i 6313 . . . . 5  |-  ( ( N `  T )  x.  ( L `  ( 0vec `  U )
) )  =  ( ( N `  T
)  x.  0 )
9375recni 9656 . . . . . 6  |-  ( N `
 T )  e.  CC
9493mul01i 9824 . . . . 5  |-  ( ( N `  T )  x.  0 )  =  0
9592, 94eqtri 2451 . . . 4  |-  ( ( N `  T )  x.  ( L `  ( 0vec `  U )
) )  =  0
9682, 89, 953brtr4i 4449 . . 3  |-  ( M `
 ( T `  ( 0vec `  U )
) )  <_  (
( N `  T
)  x.  ( L `
 ( 0vec `  U
) ) )
9796a1i 11 . 2  |-  ( A  e.  X  ->  ( M `  ( T `  ( 0vec `  U
) ) )  <_ 
( ( N `  T )  x.  ( L `  ( 0vec `  U ) ) ) )
985, 81, 97pm2.61ne 2739 1  |-  ( A  e.  X  ->  ( M `  ( T `  A ) )  <_ 
( ( N `  T )  x.  ( L `  A )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1868    =/= wne 2618   class class class wbr 4420   -->wf 5594   ` cfv 5598  (class class class)co 6302   CCcc 9538   RRcr 9539   0cc0 9540   1c1 9541    x. cmul 9545    < clt 9676    <_ cle 9677    / cdiv 10270   NrmCVeccnv 26189   BaseSetcba 26191   .sOLDcns 26192   0veccn0v 26193   normCVcnmcv 26195    LnOp clno 26367   normOpOLDcnmoo 26368    BLnOp cblo 26369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617  ax-pre-sup 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-sup 7959  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-div 10271  df-nn 10611  df-2 10669  df-3 10670  df-n0 10871  df-z 10939  df-uz 11161  df-rp 11304  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13151  df-re 13152  df-im 13153  df-sqrt 13287  df-abs 13288  df-grpo 25905  df-gid 25906  df-ginv 25907  df-ablo 25996  df-vc 26151  df-nv 26197  df-va 26200  df-ba 26201  df-sm 26202  df-0v 26203  df-nmcv 26205  df-lno 26371  df-nmoo 26372  df-blo 26373
This theorem is referenced by:  nmblolbi  26427
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