Theorem nlt1pi 9320

Description: No positive integer is less than one. (Contributed by NM, 23-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nlt1pi	|- -. A <N 1o

Proof of Theorem nlt1pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elni 9290	. . . 4 |- ( A e. N. <-> ( A e. om /\ A =/= (/) ) )
2	1	simprbi 465	. . 3 |- ( A e. N. -> A =/= (/) )
3		noel 3762	. . . . . 6 |- -. A e. (/)
4		1pi 9297	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. N.
5		ltpiord 9301	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. N. /\ 1o e. N. ) -> ( A <N 1o <-> A e. 1o ) )
6	4, 5	mpan2 675	. . . . . . . . 9 |- ( A e. N. -> ( A <N 1o <-> A e. 1o ) )
7		df-1o 7181	. . . . . . . . . . 11 |- 1o = suc (/)
8	7	eleq2i 2498	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. 1o <-> A e. suc (/) )
9		elsucg 5500	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. N. -> ( A e. suc (/) <-> ( A e. (/) \/ A = (/) ) ) )
10	8, 9	syl5bb 260	. . . . . . . . 9 |- ( A e. N. -> ( A e. 1o <-> ( A e. (/) \/ A = (/) ) ) )
11	6, 10	bitrd 256	. . . . . . . 8 |- ( A e. N. -> ( A <N 1o <-> ( A e. (/) \/ A = (/) ) ) )
12	11	biimpa 486	. . . . . . 7 |- ( ( A e. N. /\ A <N 1o ) -> ( A e. (/) \/ A = (/) ) )
13	12	ord 378	. . . . . 6 |- ( ( A e. N. /\ A <N 1o ) -> ( -. A e. (/) -> A = (/) ) )
14	3, 13	mpi 21	. . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ A <N 1o ) -> A = (/) )
15	14	ex 435	. . . 4 |- ( A e. N. -> ( A <N 1o -> A = (/) ) )
16	15	necon3ad 2632	. . 3 |- ( A e. N. -> ( A =/= (/) -> -. A <N 1o ) )
17	2, 16	mpd 15	. 2 |- ( A e. N. -> -. A <N 1o )
18		ltrelpi 9303	. . . . 5 |- <N C_ ( N. X. N. )
19	18	brel 4894	. . . 4 |- ( A <N 1o -> ( A e. N. /\ 1o e. N. ) )
20	19	simpld 460	. . 3 |- ( A <N 1o -> A e. N. )
21	20	con3i 140	. 2 |- ( -. A e. N. -> -. A <N 1o )
22	17, 21	pm2.61i 167	1 |- -. A <N 1o

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 187   \/ wo 369   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1867   =/= wne 2616   (/)c0 3758   class class class wbr 4417   suc csuc 5435   omcom 6697   1oc1o 7174   N.cnpi 9258   <N clti 9261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pr 4652  ax-un 6588

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-br 4418  df-opab 4476  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-om 6698  df-1o 7181  df-ni 9286  df-lti 9289

This theorem is referenced by:  indpi  9321  pinq  9341  archnq  9394