Theorem nlt1pi 9331

Description: No positive integer is less than one. (Contributed by NM, 23-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nlt1pi	|- -. A <N 1o

Proof of Theorem nlt1pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elni 9301	. . . 4 |- ( A e. N. <-> ( A e. om /\ A =/= (/) ) )
2	1	simprbi 466	. . 3 |- ( A e. N. -> A =/= (/) )
3		noel 3735	. . . . . 6 |- -. A e. (/)
4		1pi 9308	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. N.
5		ltpiord 9312	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. N. /\ 1o e. N. ) -> ( A <N 1o <-> A e. 1o ) )
6	4, 5	mpan2 677	. . . . . . . . 9 |- ( A e. N. -> ( A <N 1o <-> A e. 1o ) )
7		df-1o 7182	. . . . . . . . . . 11 |- 1o = suc (/)
8	7	eleq2i 2521	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. 1o <-> A e. suc (/) )
9		elsucg 5490	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. N. -> ( A e. suc (/) <-> ( A e. (/) \/ A = (/) ) ) )
10	8, 9	syl5bb 261	. . . . . . . . 9 |- ( A e. N. -> ( A e. 1o <-> ( A e. (/) \/ A = (/) ) ) )
11	6, 10	bitrd 257	. . . . . . . 8 |- ( A e. N. -> ( A <N 1o <-> ( A e. (/) \/ A = (/) ) ) )
12	11	biimpa 487	. . . . . . 7 |- ( ( A e. N. /\ A <N 1o ) -> ( A e. (/) \/ A = (/) ) )
13	12	ord 379	. . . . . 6 |- ( ( A e. N. /\ A <N 1o ) -> ( -. A e. (/) -> A = (/) ) )
14	3, 13	mpi 20	. . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ A <N 1o ) -> A = (/) )
15	14	ex 436	. . . 4 |- ( A e. N. -> ( A <N 1o -> A = (/) ) )
16	15	necon3ad 2637	. . 3 |- ( A e. N. -> ( A =/= (/) -> -. A <N 1o ) )
17	2, 16	mpd 15	. 2 |- ( A e. N. -> -. A <N 1o )
18		ltrelpi 9314	. . . . 5 |- <N C_ ( N. X. N. )
19	18	brel 4883	. . . 4 |- ( A <N 1o -> ( A e. N. /\ 1o e. N. ) )
20	19	simpld 461	. . 3 |- ( A <N 1o -> A e. N. )
21	20	con3i 141	. 2 |- ( -. A e. N. -> -. A <N 1o )
22	17, 21	pm2.61i 168	1 |- -. A <N 1o

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 188   \/ wo 370   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   =/= wne 2622   (/)c0 3731   class class class wbr 4402   suc csuc 5425   omcom 6692   1oc1o 7175   N.cnpi 9269   <N clti 9272

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pr 4639  ax-un 6583

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-om 6693  df-1o 7182  df-ni 9297  df-lti 9300

This theorem is referenced by:  indpi  9332  pinq  9352  archnq  9405