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Theorem nlmvscnlem2 18674
Description: Lemma for nlmvscn 18676. Compare this proof with the similar elementary proof mulcn2 12344 for continuity of multiplication on  CC. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nlmvscn.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
nlmvscn.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
nlmvscn.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
nlmvscn.d  |-  D  =  ( dist `  W
)
nlmvscn.e  |-  E  =  ( dist `  F
)
nlmvscn.n  |-  N  =  ( norm `  W
)
nlmvscn.a  |-  A  =  ( norm `  F
)
nlmvscn.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
nlmvscn.t  |-  T  =  ( ( R  / 
2 )  /  (
( A `  B
)  +  1 ) )
nlmvscn.u  |-  U  =  ( ( R  / 
2 )  /  (
( N `  X
)  +  T ) )
nlmvscn.w  |-  ( ph  ->  W  e. NrmMod )
nlmvscn.r  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
nlmvscn.b  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
nlmvscn.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
nlmvscn.c  |-  ( ph  ->  C  e.  K )
nlmvscn.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
nlmvscn.1  |-  ( ph  ->  ( B E C )  <  U )
nlmvscn.2  |-  ( ph  ->  ( X D Y )  <  T )
Assertion
Ref Expression
nlmvscnlem2  |-  ( ph  ->  ( ( B  .x.  X ) D ( C  .x.  Y ) )  <  R )

Proof of Theorem nlmvscnlem2
StepHypRef Expression
1 nlmvscn.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e. NrmMod )
2 nlmngp 18666 . . . . 5  |-  ( W  e. NrmMod  ->  W  e. NrmGrp )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e. NrmGrp )
4 ngpms 18600 . . . 4  |-  ( W  e. NrmGrp  ->  W  e.  MetSp )
53, 4syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  MetSp )
6 nlmlmod 18667 . . . . 5  |-  ( W  e. NrmMod  ->  W  e.  LMod )
71, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
8 nlmvscn.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
9 nlmvscn.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
10 nlmvscn.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
11 nlmvscn.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
12 nlmvscn.s . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
13 nlmvscn.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  F
)
1410, 11, 12, 13lmodvscl 15922 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( B  .x.  X )  e.  V )
157, 8, 9, 14syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  .x.  X
)  e.  V )
16 nlmvscn.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  K )
17 nlmvscn.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
1810, 11, 12, 13lmodvscl 15922 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  C  e.  K  /\  Y  e.  V )  ->  ( C  .x.  Y )  e.  V )
197, 16, 17, 18syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  .x.  Y
)  e.  V )
20 nlmvscn.d . . . 4  |-  D  =  ( dist `  W
)
2110, 20mscl 18444 . . 3  |-  ( ( W  e.  MetSp  /\  ( B  .x.  X )  e.  V  /\  ( C 
.x.  Y )  e.  V )  ->  (
( B  .x.  X
) D ( C 
.x.  Y ) )  e.  RR )
225, 15, 19, 21syl3anc 1184 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( B  .x.  X ) D ( C  .x.  Y ) )  e.  RR )
2310, 11, 12, 13lmodvscl 15922 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  K  /\  Y  e.  V )  ->  ( B  .x.  Y )  e.  V )
247, 8, 17, 23syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  .x.  Y
)  e.  V )
2510, 20mscl 18444 . . . 4  |-  ( ( W  e.  MetSp  /\  ( B  .x.  X )  e.  V  /\  ( B 
.x.  Y )  e.  V )  ->  (
( B  .x.  X
) D ( B 
.x.  Y ) )  e.  RR )
265, 15, 24, 25syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( B  .x.  X ) D ( B  .x.  Y ) )  e.  RR )
2710, 20mscl 18444 . . . 4  |-  ( ( W  e.  MetSp  /\  ( B  .x.  Y )  e.  V  /\  ( C 
.x.  Y )  e.  V )  ->  (
( B  .x.  Y
) D ( C 
.x.  Y ) )  e.  RR )
285, 24, 19, 27syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( B  .x.  Y ) D ( C  .x.  Y ) )  e.  RR )
2926, 28readdcld 9071 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( B 
.x.  X ) D ( B  .x.  Y
) )  +  ( ( B  .x.  Y
) D ( C 
.x.  Y ) ) )  e.  RR )
30 nlmvscn.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
3130rpred 10604 . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
3210, 20mstri 18452 . . 3  |-  ( ( W  e.  MetSp  /\  (
( B  .x.  X
)  e.  V  /\  ( C  .x.  Y )  e.  V  /\  ( B  .x.  Y )  e.  V ) )  -> 
( ( B  .x.  X ) D ( C  .x.  Y ) )  <_  ( (
( B  .x.  X
) D ( B 
.x.  Y ) )  +  ( ( B 
.x.  Y ) D ( C  .x.  Y
) ) ) )
335, 15, 19, 24, 32syl13anc 1186 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( B  .x.  X ) D ( C  .x.  Y ) )  <_  ( (
( B  .x.  X
) D ( B 
.x.  Y ) )  +  ( ( B 
.x.  Y ) D ( C  .x.  Y
) ) ) )
3411nlmngp2 18669 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e. NrmMod  ->  F  e. NrmGrp )
351, 34syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e. NrmGrp )
36 nlmvscn.a . . . . . . . . 9  |-  A  =  ( norm `  F
)
3713, 36nmcl 18615 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e. NrmGrp  /\  B  e.  K )  ->  ( A `  B )  e.  RR )
3835, 8, 37syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A `  B
)  e.  RR )
3913, 36nmge0 18616 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e. NrmGrp  /\  B  e.  K )  ->  0  <_  ( A `  B
) )
4035, 8, 39syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A `  B ) )
4138, 40ge0p1rpd 10630 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A `  B )  +  1 )  e.  RR+ )
4241rpred 10604 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A `  B )  +  1 )  e.  RR )
4310, 20mscl 18444 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  MetSp  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X D Y )  e.  RR )
445, 9, 17, 43syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X D Y )  e.  RR )
4542, 44remulcld 9072 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( A `
 B )  +  1 )  x.  ( X D Y ) )  e.  RR )
4631rehalfcld 10170 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( R  /  2
)  e.  RR )
4710, 12, 11, 13, 20, 36nlmdsdi 18670 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( B  e.  K  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( ( A `  B )  x.  ( X D Y ) )  =  ( ( B  .x.  X
) D ( B 
.x.  Y ) ) )
481, 8, 9, 17, 47syl13anc 1186 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A `  B )  x.  ( X D Y ) )  =  ( ( B 
.x.  X ) D ( B  .x.  Y
) ) )
49 msxms 18437 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  MetSp  ->  W  e.  *
MetSp )
505, 49syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  * MetSp )
5110, 20xmsge0 18446 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  * MetSp  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  0  <_  ( X D Y ) )
5250, 9, 17, 51syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( X D Y ) )
5338lep1d 9898 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A `  B
)  <_  ( ( A `  B )  +  1 ) )
5438, 42, 44, 52, 53lemul1ad 9906 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A `  B )  x.  ( X D Y ) )  <_  ( ( ( A `  B )  +  1 )  x.  ( X D Y ) ) )
5548, 54eqbrtrrd 4194 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( B  .x.  X ) D ( B  .x.  Y ) )  <_  ( (
( A `  B
)  +  1 )  x.  ( X D Y ) ) )
56 nlmvscn.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X D Y )  <  T )
57 nlmvscn.t . . . . . 6  |-  T  =  ( ( R  / 
2 )  /  (
( A `  B
)  +  1 ) )
5856, 57syl6breq 4211 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X D Y )  <  ( ( R  /  2 )  /  ( ( A `
 B )  +  1 ) ) )
5944, 46, 41ltmuldiv2d 10648 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A `  B )  +  1 )  x.  ( X D Y ) )  <  ( R  /  2 )  <->  ( X D Y )  <  (
( R  /  2
)  /  ( ( A `  B )  +  1 ) ) ) )
6058, 59mpbird 224 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( A `
 B )  +  1 )  x.  ( X D Y ) )  <  ( R  / 
2 ) )
6126, 45, 46, 55, 60lelttrd 9184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( B  .x.  X ) D ( B  .x.  Y ) )  <  ( R  /  2 ) )
62 ngpms 18600 . . . . . . 7  |-  ( F  e. NrmGrp  ->  F  e.  MetSp )
6335, 62syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  MetSp )
64 nlmvscn.e . . . . . . 7  |-  E  =  ( dist `  F
)
6513, 64mscl 18444 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  MetSp  /\  B  e.  K  /\  C  e.  K )  ->  ( B E C )  e.  RR )
6663, 8, 16, 65syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B E C )  e.  RR )
67 nlmvscn.n . . . . . . . 8  |-  N  =  ( norm `  W
)
6810, 67nmcl 18615 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  X )  e.  RR )
693, 9, 68syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  X
)  e.  RR )
7030rphalfcld 10616 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( R  /  2
)  e.  RR+ )
7170, 41rpdivcld 10621 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( R  / 
2 )  /  (
( A `  B
)  +  1 ) )  e.  RR+ )
7257, 71syl5eqel 2488 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
7372rpred 10604 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
7469, 73readdcld 9071 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  X )  +  T
)  e.  RR )
7566, 74remulcld 9072 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( B E C )  x.  (
( N `  X
)  +  T ) )  e.  RR )
7610, 12, 11, 13, 20, 67, 64nlmdsdir 18671 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( B  e.  K  /\  C  e.  K  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( ( B E C )  x.  ( N `  Y
) )  =  ( ( B  .x.  Y
) D ( C 
.x.  Y ) ) )
771, 8, 16, 17, 76syl13anc 1186 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( B E C )  x.  ( N `  Y )
)  =  ( ( B  .x.  Y ) D ( C  .x.  Y ) ) )
7810, 67nmcl 18615 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  Y )  e.  RR )
793, 17, 78syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  Y
)  e.  RR )
80 msxms 18437 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  MetSp  ->  F  e.  *
MetSp )
8163, 80syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  * MetSp )
8213, 64xmsge0 18446 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  * MetSp  /\  B  e.  K  /\  C  e.  K )  ->  0  <_  ( B E C ) )
8381, 8, 16, 82syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( B E C ) )
8479, 69resubcld 9421 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N `  Y )  -  ( N `  X )
)  e.  RR )
85 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -g `  W )  =  (
-g `  W )
8610, 67, 85nm2dif 18624 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  V )  ->  (
( N `  Y
)  -  ( N `
 X ) )  <_  ( N `  ( Y ( -g `  W
) X ) ) )
873, 17, 9, 86syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N `  Y )  -  ( N `  X )
)  <_  ( N `  ( Y ( -g `  W ) X ) ) )
8867, 10, 85, 20ngpdsr 18604 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X D Y )  =  ( N `  ( Y ( -g `  W
) X ) ) )
893, 9, 17, 88syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X D Y )  =  ( N `
 ( Y (
-g `  W ) X ) ) )
9087, 89breqtrrd 4198 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N `  Y )  -  ( N `  X )
)  <_  ( X D Y ) )
9144, 73, 56ltled 9177 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X D Y )  <_  T )
9284, 44, 73, 90, 91letrd 9183 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N `  Y )  -  ( N `  X )
)  <_  T )
9379, 69, 73lesubadd2d 9581 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( N `
 Y )  -  ( N `  X ) )  <_  T  <->  ( N `  Y )  <_  (
( N `  X
)  +  T ) ) )
9492, 93mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  Y
)  <_  ( ( N `  X )  +  T ) )
9579, 74, 66, 83, 94lemul2ad 9907 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( B E C )  x.  ( N `  Y )
)  <_  ( ( B E C )  x.  ( ( N `  X )  +  T
) ) )
9677, 95eqbrtrrd 4194 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( B  .x.  Y ) D ( C  .x.  Y ) )  <_  ( ( B E C )  x.  ( ( N `  X )  +  T
) ) )
97 nlmvscn.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B E C )  <  U )
98 nlmvscn.u . . . . . 6  |-  U  =  ( ( R  / 
2 )  /  (
( N `  X
)  +  T ) )
9997, 98syl6breq 4211 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B E C )  <  ( ( R  /  2 )  /  ( ( N `
 X )  +  T ) ) )
100 0re 9047 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
101100a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
10210, 67nmge0 18616 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  X  e.  V )  ->  0  <_  ( N `  X
) )
1033, 9, 102syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( N `  X ) )
10469, 72ltaddrpd 10633 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  X
)  <  ( ( N `  X )  +  T ) )
105101, 69, 74, 103, 104lelttrd 9184 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( N `  X )  +  T ) )
106 ltmuldiv 9836 . . . . . 6  |-  ( ( ( B E C )  e.  RR  /\  ( R  /  2
)  e.  RR  /\  ( ( ( N `
 X )  +  T )  e.  RR  /\  0  <  ( ( N `  X )  +  T ) ) )  ->  ( (
( B E C )  x.  ( ( N `  X )  +  T ) )  <  ( R  / 
2 )  <->  ( B E C )  <  (
( R  /  2
)  /  ( ( N `  X )  +  T ) ) ) )
10766, 46, 74, 105, 106syl112anc 1188 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( B E C )  x.  ( ( N `  X )  +  T
) )  <  ( R  /  2 )  <->  ( B E C )  <  (
( R  /  2
)  /  ( ( N `  X )  +  T ) ) ) )
10899, 107mpbird 224 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( B E C )  x.  (
( N `  X
)  +  T ) )  <  ( R  /  2 ) )
10928, 75, 46, 96, 108lelttrd 9184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( B  .x.  Y ) D ( C  .x.  Y ) )  <  ( R  /  2 ) )
11026, 28, 31, 61, 109lt2halvesd 10171 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( B 
.x.  X ) D ( B  .x.  Y
) )  +  ( ( B  .x.  Y
) D ( C 
.x.  Y ) ) )  <  R )
11122, 29, 31, 33, 110lelttrd 9184 1  |-  ( ph  ->  ( ( B  .x.  X ) D ( C  .x.  Y ) )  <  R )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    = wceq 1649    e. wcel 1721   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247    / cdiv 9633   2c2 10005   RR+crp 10568   Basecbs 13424  Scalarcsca 13487   .scvsca 13488   distcds 13493   -gcsg 14643   LModclmod 15905   *
MetSpcxme 18300   MetSpcmt 18301   normcnm 18577  NrmGrpcngp 18578  NrmModcnlm 18581
This theorem is referenced by:  nlmvscnlem1  18675
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-fz 11000  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-topgen 13622  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-ur 15620  df-lmod 15907  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-xms 18303  df-ms 18304  df-nm 18583  df-ngp 18584  df-nrg 18586  df-nlm 18587
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