MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nlmvscnlem2 Structured version   Unicode version

Theorem nlmvscnlem2 20278
Description: Lemma for nlmvscn 20280. Compare this proof with the similar elementary proof mulcn2 13085 for continuity of multiplication on  CC. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nlmvscn.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
nlmvscn.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
nlmvscn.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
nlmvscn.d  |-  D  =  ( dist `  W
)
nlmvscn.e  |-  E  =  ( dist `  F
)
nlmvscn.n  |-  N  =  ( norm `  W
)
nlmvscn.a  |-  A  =  ( norm `  F
)
nlmvscn.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
nlmvscn.t  |-  T  =  ( ( R  / 
2 )  /  (
( A `  B
)  +  1 ) )
nlmvscn.u  |-  U  =  ( ( R  / 
2 )  /  (
( N `  X
)  +  T ) )
nlmvscn.w  |-  ( ph  ->  W  e. NrmMod )
nlmvscn.r  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
nlmvscn.b  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
nlmvscn.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
nlmvscn.c  |-  ( ph  ->  C  e.  K )
nlmvscn.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
nlmvscn.1  |-  ( ph  ->  ( B E C )  <  U )
nlmvscn.2  |-  ( ph  ->  ( X D Y )  <  T )
Assertion
Ref Expression
nlmvscnlem2  |-  ( ph  ->  ( ( B  .x.  X ) D ( C  .x.  Y ) )  <  R )

Proof of Theorem nlmvscnlem2
StepHypRef Expression
1 nlmvscn.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e. NrmMod )
2 nlmngp 20270 . . . . 5  |-  ( W  e. NrmMod  ->  W  e. NrmGrp )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e. NrmGrp )
4 ngpms 20204 . . . 4  |-  ( W  e. NrmGrp  ->  W  e.  MetSp )
53, 4syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  MetSp )
6 nlmlmod 20271 . . . . 5  |-  ( W  e. NrmMod  ->  W  e.  LMod )
71, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
8 nlmvscn.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
9 nlmvscn.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
10 nlmvscn.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
11 nlmvscn.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
12 nlmvscn.s . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
13 nlmvscn.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  F
)
1410, 11, 12, 13lmodvscl 16977 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( B  .x.  X )  e.  V )
157, 8, 9, 14syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  .x.  X
)  e.  V )
16 nlmvscn.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  K )
17 nlmvscn.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
1810, 11, 12, 13lmodvscl 16977 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  C  e.  K  /\  Y  e.  V )  ->  ( C  .x.  Y )  e.  V )
197, 16, 17, 18syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  .x.  Y
)  e.  V )
20 nlmvscn.d . . . 4  |-  D  =  ( dist `  W
)
2110, 20mscl 20048 . . 3  |-  ( ( W  e.  MetSp  /\  ( B  .x.  X )  e.  V  /\  ( C 
.x.  Y )  e.  V )  ->  (
( B  .x.  X
) D ( C 
.x.  Y ) )  e.  RR )
225, 15, 19, 21syl3anc 1218 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( B  .x.  X ) D ( C  .x.  Y ) )  e.  RR )
2310, 11, 12, 13lmodvscl 16977 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  K  /\  Y  e.  V )  ->  ( B  .x.  Y )  e.  V )
247, 8, 17, 23syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  .x.  Y
)  e.  V )
2510, 20mscl 20048 . . . 4  |-  ( ( W  e.  MetSp  /\  ( B  .x.  X )  e.  V  /\  ( B 
.x.  Y )  e.  V )  ->  (
( B  .x.  X
) D ( B 
.x.  Y ) )  e.  RR )
265, 15, 24, 25syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( B  .x.  X ) D ( B  .x.  Y ) )  e.  RR )
2710, 20mscl 20048 . . . 4  |-  ( ( W  e.  MetSp  /\  ( B  .x.  Y )  e.  V  /\  ( C 
.x.  Y )  e.  V )  ->  (
( B  .x.  Y
) D ( C 
.x.  Y ) )  e.  RR )
285, 24, 19, 27syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( B  .x.  Y ) D ( C  .x.  Y ) )  e.  RR )
2926, 28readdcld 9425 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( B 
.x.  X ) D ( B  .x.  Y
) )  +  ( ( B  .x.  Y
) D ( C 
.x.  Y ) ) )  e.  RR )
30 nlmvscn.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
3130rpred 11039 . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
3210, 20mstri 20056 . . 3  |-  ( ( W  e.  MetSp  /\  (
( B  .x.  X
)  e.  V  /\  ( C  .x.  Y )  e.  V  /\  ( B  .x.  Y )  e.  V ) )  -> 
( ( B  .x.  X ) D ( C  .x.  Y ) )  <_  ( (
( B  .x.  X
) D ( B 
.x.  Y ) )  +  ( ( B 
.x.  Y ) D ( C  .x.  Y
) ) ) )
335, 15, 19, 24, 32syl13anc 1220 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( B  .x.  X ) D ( C  .x.  Y ) )  <_  ( (
( B  .x.  X
) D ( B 
.x.  Y ) )  +  ( ( B 
.x.  Y ) D ( C  .x.  Y
) ) ) )
3411nlmngp2 20273 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e. NrmMod  ->  F  e. NrmGrp )
351, 34syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e. NrmGrp )
36 nlmvscn.a . . . . . . . . 9  |-  A  =  ( norm `  F
)
3713, 36nmcl 20219 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e. NrmGrp  /\  B  e.  K )  ->  ( A `  B )  e.  RR )
3835, 8, 37syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A `  B
)  e.  RR )
3913, 36nmge0 20220 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e. NrmGrp  /\  B  e.  K )  ->  0  <_  ( A `  B
) )
4035, 8, 39syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A `  B ) )
4138, 40ge0p1rpd 11065 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A `  B )  +  1 )  e.  RR+ )
4241rpred 11039 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A `  B )  +  1 )  e.  RR )
4310, 20mscl 20048 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  MetSp  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X D Y )  e.  RR )
445, 9, 17, 43syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X D Y )  e.  RR )
4542, 44remulcld 9426 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( A `
 B )  +  1 )  x.  ( X D Y ) )  e.  RR )
4631rehalfcld 10583 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( R  /  2
)  e.  RR )
4710, 12, 11, 13, 20, 36nlmdsdi 20274 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( B  e.  K  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( ( A `  B )  x.  ( X D Y ) )  =  ( ( B  .x.  X
) D ( B 
.x.  Y ) ) )
481, 8, 9, 17, 47syl13anc 1220 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A `  B )  x.  ( X D Y ) )  =  ( ( B 
.x.  X ) D ( B  .x.  Y
) ) )
49 msxms 20041 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  MetSp  ->  W  e.  *MetSp )
505, 49syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  *MetSp )
5110, 20xmsge0 20050 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  *MetSp  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  0  <_  ( X D Y ) )
5250, 9, 17, 51syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( X D Y ) )
5338lep1d 10276 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A `  B
)  <_  ( ( A `  B )  +  1 ) )
5438, 42, 44, 52, 53lemul1ad 10284 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A `  B )  x.  ( X D Y ) )  <_  ( ( ( A `  B )  +  1 )  x.  ( X D Y ) ) )
5548, 54eqbrtrrd 4326 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( B  .x.  X ) D ( B  .x.  Y ) )  <_  ( (
( A `  B
)  +  1 )  x.  ( X D Y ) ) )
56 nlmvscn.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X D Y )  <  T )
57 nlmvscn.t . . . . . 6  |-  T  =  ( ( R  / 
2 )  /  (
( A `  B
)  +  1 ) )
5856, 57syl6breq 4343 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X D Y )  <  ( ( R  /  2 )  /  ( ( A `
 B )  +  1 ) ) )
5944, 46, 41ltmuldiv2d 11083 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A `  B )  +  1 )  x.  ( X D Y ) )  <  ( R  /  2 )  <->  ( X D Y )  <  (
( R  /  2
)  /  ( ( A `  B )  +  1 ) ) ) )
6058, 59mpbird 232 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( A `
 B )  +  1 )  x.  ( X D Y ) )  <  ( R  / 
2 ) )
6126, 45, 46, 55, 60lelttrd 9541 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( B  .x.  X ) D ( B  .x.  Y ) )  <  ( R  /  2 ) )
62 ngpms 20204 . . . . . . 7  |-  ( F  e. NrmGrp  ->  F  e.  MetSp )
6335, 62syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  MetSp )
64 nlmvscn.e . . . . . . 7  |-  E  =  ( dist `  F
)
6513, 64mscl 20048 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  MetSp  /\  B  e.  K  /\  C  e.  K )  ->  ( B E C )  e.  RR )
6663, 8, 16, 65syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B E C )  e.  RR )
67 nlmvscn.n . . . . . . . 8  |-  N  =  ( norm `  W
)
6810, 67nmcl 20219 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  X )  e.  RR )
693, 9, 68syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  X
)  e.  RR )
7030rphalfcld 11051 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( R  /  2
)  e.  RR+ )
7170, 41rpdivcld 11056 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( R  / 
2 )  /  (
( A `  B
)  +  1 ) )  e.  RR+ )
7257, 71syl5eqel 2527 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
7372rpred 11039 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
7469, 73readdcld 9425 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  X )  +  T
)  e.  RR )
7566, 74remulcld 9426 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( B E C )  x.  (
( N `  X
)  +  T ) )  e.  RR )
7610, 12, 11, 13, 20, 67, 64nlmdsdir 20275 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( B  e.  K  /\  C  e.  K  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( ( B E C )  x.  ( N `  Y
) )  =  ( ( B  .x.  Y
) D ( C 
.x.  Y ) ) )
771, 8, 16, 17, 76syl13anc 1220 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( B E C )  x.  ( N `  Y )
)  =  ( ( B  .x.  Y ) D ( C  .x.  Y ) ) )
7810, 67nmcl 20219 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  Y )  e.  RR )
793, 17, 78syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  Y
)  e.  RR )
80 msxms 20041 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  MetSp  ->  F  e.  *MetSp )
8163, 80syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  *MetSp )
8213, 64xmsge0 20050 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  *MetSp  /\  B  e.  K  /\  C  e.  K )  ->  0  <_  ( B E C ) )
8381, 8, 16, 82syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( B E C ) )
8479, 69resubcld 9788 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N `  Y )  -  ( N `  X )
)  e.  RR )
85 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -g `  W )  =  (
-g `  W )
8610, 67, 85nm2dif 20228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  V )  ->  (
( N `  Y
)  -  ( N `
 X ) )  <_  ( N `  ( Y ( -g `  W
) X ) ) )
873, 17, 9, 86syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N `  Y )  -  ( N `  X )
)  <_  ( N `  ( Y ( -g `  W ) X ) ) )
8867, 10, 85, 20ngpdsr 20208 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X D Y )  =  ( N `  ( Y ( -g `  W
) X ) ) )
893, 9, 17, 88syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X D Y )  =  ( N `
 ( Y (
-g `  W ) X ) ) )
9087, 89breqtrrd 4330 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N `  Y )  -  ( N `  X )
)  <_  ( X D Y ) )
9144, 73, 56ltled 9534 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X D Y )  <_  T )
9284, 44, 73, 90, 91letrd 9540 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N `  Y )  -  ( N `  X )
)  <_  T )
9379, 69, 73lesubadd2d 9950 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( N `
 Y )  -  ( N `  X ) )  <_  T  <->  ( N `  Y )  <_  (
( N `  X
)  +  T ) ) )
9492, 93mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  Y
)  <_  ( ( N `  X )  +  T ) )
9579, 74, 66, 83, 94lemul2ad 10285 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( B E C )  x.  ( N `  Y )
)  <_  ( ( B E C )  x.  ( ( N `  X )  +  T
) ) )
9677, 95eqbrtrrd 4326 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( B  .x.  Y ) D ( C  .x.  Y ) )  <_  ( ( B E C )  x.  ( ( N `  X )  +  T
) ) )
97 nlmvscn.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B E C )  <  U )
98 nlmvscn.u . . . . . 6  |-  U  =  ( ( R  / 
2 )  /  (
( N `  X
)  +  T ) )
9997, 98syl6breq 4343 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B E C )  <  ( ( R  /  2 )  /  ( ( N `
 X )  +  T ) ) )
100 0red 9399 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
10110, 67nmge0 20220 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  X  e.  V )  ->  0  <_  ( N `  X
) )
1023, 9, 101syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( N `  X ) )
10369, 72ltaddrpd 11068 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  X
)  <  ( ( N `  X )  +  T ) )
104100, 69, 74, 102, 103lelttrd 9541 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( N `  X )  +  T ) )
105 ltmuldiv 10214 . . . . . 6  |-  ( ( ( B E C )  e.  RR  /\  ( R  /  2
)  e.  RR  /\  ( ( ( N `
 X )  +  T )  e.  RR  /\  0  <  ( ( N `  X )  +  T ) ) )  ->  ( (
( B E C )  x.  ( ( N `  X )  +  T ) )  <  ( R  / 
2 )  <->  ( B E C )  <  (
( R  /  2
)  /  ( ( N `  X )  +  T ) ) ) )
10666, 46, 74, 104, 105syl112anc 1222 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( B E C )  x.  ( ( N `  X )  +  T
) )  <  ( R  /  2 )  <->  ( B E C )  <  (
( R  /  2
)  /  ( ( N `  X )  +  T ) ) ) )
10799, 106mpbird 232 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( B E C )  x.  (
( N `  X
)  +  T ) )  <  ( R  /  2 ) )
10828, 75, 46, 96, 107lelttrd 9541 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( B  .x.  Y ) D ( C  .x.  Y ) )  <  ( R  /  2 ) )
10926, 28, 31, 61, 108lt2halvesd 10584 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( B 
.x.  X ) D ( B  .x.  Y
) )  +  ( ( B  .x.  Y
) D ( C 
.x.  Y ) ) )  <  R )
11022, 29, 31, 33, 109lelttrd 9541 1  |-  ( ph  ->  ( ( B  .x.  X ) D ( C  .x.  Y ) )  <  R )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4304   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   RRcr 9293   0cc0 9294   1c1 9295    + caddc 9297    x. cmul 9299    < clt 9430    <_ cle 9431    - cmin 9607    / cdiv 10005   2c2 10383   RR+crp 11003   Basecbs 14186  Scalarcsca 14253   .scvsca 14254   distcds 14259   -gcsg 15425   LModclmod 16960   *MetSpcxme 19904   MetSpcmt 19905   normcnm 20181  NrmGrpcngp 20182  NrmModcnlm 20185
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-oadd 6936  df-er 7113  df-map 7228  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-sup 7703  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-4 10394  df-5 10395  df-6 10396  df-7 10397  df-8 10398  df-9 10399  df-10 10400  df-n0 10592  df-z 10659  df-dec 10768  df-uz 10874  df-q 10966  df-rp 11004  df-xneg 11101  df-xadd 11102  df-xmul 11103  df-fz 11450  df-seq 11819  df-exp 11878  df-cj 12600  df-re 12601  df-im 12602  df-sqr 12736  df-abs 12737  df-struct 14188  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-sets 14192  df-plusg 14263  df-mulr 14264  df-tset 14269  df-ple 14270  df-ds 14272  df-0g 14392  df-topgen 14394  df-xrs 14452  df-mnd 15427  df-grp 15557  df-minusg 15558  df-sbg 15559  df-mgp 16604  df-ur 16616  df-rng 16659  df-lmod 16962  df-psmet 17821  df-xmet 17822  df-met 17823  df-bl 17824  df-mopn 17825  df-top 18515  df-bases 18517  df-topon 18518  df-topsp 18519  df-xms 19907  df-ms 19908  df-nm 20187  df-ngp 20188  df-nrg 20190  df-nlm 20191
This theorem is referenced by:  nlmvscnlem1  20279
  Copyright terms: Public domain W3C validator