MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nlmvscnlem2 Structured version   Unicode version

Theorem nlmvscnlem2 21060
Description: Lemma for nlmvscn 21062. Compare this proof with the similar elementary proof mulcn2 13397 for continuity of multiplication on  CC. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nlmvscn.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
nlmvscn.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
nlmvscn.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
nlmvscn.d  |-  D  =  ( dist `  W
)
nlmvscn.e  |-  E  =  ( dist `  F
)
nlmvscn.n  |-  N  =  ( norm `  W
)
nlmvscn.a  |-  A  =  ( norm `  F
)
nlmvscn.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
nlmvscn.t  |-  T  =  ( ( R  / 
2 )  /  (
( A `  B
)  +  1 ) )
nlmvscn.u  |-  U  =  ( ( R  / 
2 )  /  (
( N `  X
)  +  T ) )
nlmvscn.w  |-  ( ph  ->  W  e. NrmMod )
nlmvscn.r  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
nlmvscn.b  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
nlmvscn.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
nlmvscn.c  |-  ( ph  ->  C  e.  K )
nlmvscn.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
nlmvscn.1  |-  ( ph  ->  ( B E C )  <  U )
nlmvscn.2  |-  ( ph  ->  ( X D Y )  <  T )
Assertion
Ref Expression
nlmvscnlem2  |-  ( ph  ->  ( ( B  .x.  X ) D ( C  .x.  Y ) )  <  R )

Proof of Theorem nlmvscnlem2
StepHypRef Expression
1 nlmvscn.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e. NrmMod )
2 nlmngp 21052 . . . . 5  |-  ( W  e. NrmMod  ->  W  e. NrmGrp )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e. NrmGrp )
4 ngpms 20986 . . . 4  |-  ( W  e. NrmGrp  ->  W  e.  MetSp )
53, 4syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  MetSp )
6 nlmlmod 21053 . . . . 5  |-  ( W  e. NrmMod  ->  W  e.  LMod )
71, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
8 nlmvscn.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
9 nlmvscn.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
10 nlmvscn.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
11 nlmvscn.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
12 nlmvscn.s . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
13 nlmvscn.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  F
)
1410, 11, 12, 13lmodvscl 17398 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( B  .x.  X )  e.  V )
157, 8, 9, 14syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  .x.  X
)  e.  V )
16 nlmvscn.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  K )
17 nlmvscn.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
1810, 11, 12, 13lmodvscl 17398 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  C  e.  K  /\  Y  e.  V )  ->  ( C  .x.  Y )  e.  V )
197, 16, 17, 18syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  .x.  Y
)  e.  V )
20 nlmvscn.d . . . 4  |-  D  =  ( dist `  W
)
2110, 20mscl 20830 . . 3  |-  ( ( W  e.  MetSp  /\  ( B  .x.  X )  e.  V  /\  ( C 
.x.  Y )  e.  V )  ->  (
( B  .x.  X
) D ( C 
.x.  Y ) )  e.  RR )
225, 15, 19, 21syl3anc 1228 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( B  .x.  X ) D ( C  .x.  Y ) )  e.  RR )
2310, 11, 12, 13lmodvscl 17398 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  K  /\  Y  e.  V )  ->  ( B  .x.  Y )  e.  V )
247, 8, 17, 23syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  .x.  Y
)  e.  V )
2510, 20mscl 20830 . . . 4  |-  ( ( W  e.  MetSp  /\  ( B  .x.  X )  e.  V  /\  ( B 
.x.  Y )  e.  V )  ->  (
( B  .x.  X
) D ( B 
.x.  Y ) )  e.  RR )
265, 15, 24, 25syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( B  .x.  X ) D ( B  .x.  Y ) )  e.  RR )
2710, 20mscl 20830 . . . 4  |-  ( ( W  e.  MetSp  /\  ( B  .x.  Y )  e.  V  /\  ( C 
.x.  Y )  e.  V )  ->  (
( B  .x.  Y
) D ( C 
.x.  Y ) )  e.  RR )
285, 24, 19, 27syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( B  .x.  Y ) D ( C  .x.  Y ) )  e.  RR )
2926, 28readdcld 9635 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( B 
.x.  X ) D ( B  .x.  Y
) )  +  ( ( B  .x.  Y
) D ( C 
.x.  Y ) ) )  e.  RR )
30 nlmvscn.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
3130rpred 11268 . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
3210, 20mstri 20838 . . 3  |-  ( ( W  e.  MetSp  /\  (
( B  .x.  X
)  e.  V  /\  ( C  .x.  Y )  e.  V  /\  ( B  .x.  Y )  e.  V ) )  -> 
( ( B  .x.  X ) D ( C  .x.  Y ) )  <_  ( (
( B  .x.  X
) D ( B 
.x.  Y ) )  +  ( ( B 
.x.  Y ) D ( C  .x.  Y
) ) ) )
335, 15, 19, 24, 32syl13anc 1230 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( B  .x.  X ) D ( C  .x.  Y ) )  <_  ( (
( B  .x.  X
) D ( B 
.x.  Y ) )  +  ( ( B 
.x.  Y ) D ( C  .x.  Y
) ) ) )
3411nlmngp2 21055 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e. NrmMod  ->  F  e. NrmGrp )
351, 34syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e. NrmGrp )
36 nlmvscn.a . . . . . . . . 9  |-  A  =  ( norm `  F
)
3713, 36nmcl 21001 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e. NrmGrp  /\  B  e.  K )  ->  ( A `  B )  e.  RR )
3835, 8, 37syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A `  B
)  e.  RR )
3913, 36nmge0 21002 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e. NrmGrp  /\  B  e.  K )  ->  0  <_  ( A `  B
) )
4035, 8, 39syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A `  B ) )
4138, 40ge0p1rpd 11294 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A `  B )  +  1 )  e.  RR+ )
4241rpred 11268 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A `  B )  +  1 )  e.  RR )
4310, 20mscl 20830 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  MetSp  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X D Y )  e.  RR )
445, 9, 17, 43syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X D Y )  e.  RR )
4542, 44remulcld 9636 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( A `
 B )  +  1 )  x.  ( X D Y ) )  e.  RR )
4631rehalfcld 10797 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( R  /  2
)  e.  RR )
4710, 12, 11, 13, 20, 36nlmdsdi 21056 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( B  e.  K  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( ( A `  B )  x.  ( X D Y ) )  =  ( ( B  .x.  X
) D ( B 
.x.  Y ) ) )
481, 8, 9, 17, 47syl13anc 1230 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A `  B )  x.  ( X D Y ) )  =  ( ( B 
.x.  X ) D ( B  .x.  Y
) ) )
49 msxms 20823 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  MetSp  ->  W  e.  *MetSp )
505, 49syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  *MetSp )
5110, 20xmsge0 20832 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  *MetSp  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  0  <_  ( X D Y ) )
5250, 9, 17, 51syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( X D Y ) )
5338lep1d 10489 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A `  B
)  <_  ( ( A `  B )  +  1 ) )
5438, 42, 44, 52, 53lemul1ad 10497 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A `  B )  x.  ( X D Y ) )  <_  ( ( ( A `  B )  +  1 )  x.  ( X D Y ) ) )
5548, 54eqbrtrrd 4475 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( B  .x.  X ) D ( B  .x.  Y ) )  <_  ( (
( A `  B
)  +  1 )  x.  ( X D Y ) ) )
56 nlmvscn.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X D Y )  <  T )
57 nlmvscn.t . . . . . 6  |-  T  =  ( ( R  / 
2 )  /  (
( A `  B
)  +  1 ) )
5856, 57syl6breq 4492 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X D Y )  <  ( ( R  /  2 )  /  ( ( A `
 B )  +  1 ) ) )
5944, 46, 41ltmuldiv2d 11312 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A `  B )  +  1 )  x.  ( X D Y ) )  <  ( R  /  2 )  <->  ( X D Y )  <  (
( R  /  2
)  /  ( ( A `  B )  +  1 ) ) ) )
6058, 59mpbird 232 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( A `
 B )  +  1 )  x.  ( X D Y ) )  <  ( R  / 
2 ) )
6126, 45, 46, 55, 60lelttrd 9751 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( B  .x.  X ) D ( B  .x.  Y ) )  <  ( R  /  2 ) )
62 ngpms 20986 . . . . . . 7  |-  ( F  e. NrmGrp  ->  F  e.  MetSp )
6335, 62syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  MetSp )
64 nlmvscn.e . . . . . . 7  |-  E  =  ( dist `  F
)
6513, 64mscl 20830 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  MetSp  /\  B  e.  K  /\  C  e.  K )  ->  ( B E C )  e.  RR )
6663, 8, 16, 65syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B E C )  e.  RR )
67 nlmvscn.n . . . . . . . 8  |-  N  =  ( norm `  W
)
6810, 67nmcl 21001 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  X )  e.  RR )
693, 9, 68syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  X
)  e.  RR )
7030rphalfcld 11280 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( R  /  2
)  e.  RR+ )
7170, 41rpdivcld 11285 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( R  / 
2 )  /  (
( A `  B
)  +  1 ) )  e.  RR+ )
7257, 71syl5eqel 2559 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
7372rpred 11268 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
7469, 73readdcld 9635 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  X )  +  T
)  e.  RR )
7566, 74remulcld 9636 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( B E C )  x.  (
( N `  X
)  +  T ) )  e.  RR )
7610, 12, 11, 13, 20, 67, 64nlmdsdir 21057 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( B  e.  K  /\  C  e.  K  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( ( B E C )  x.  ( N `  Y
) )  =  ( ( B  .x.  Y
) D ( C 
.x.  Y ) ) )
771, 8, 16, 17, 76syl13anc 1230 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( B E C )  x.  ( N `  Y )
)  =  ( ( B  .x.  Y ) D ( C  .x.  Y ) ) )
7810, 67nmcl 21001 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  Y )  e.  RR )
793, 17, 78syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  Y
)  e.  RR )
80 msxms 20823 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  MetSp  ->  F  e.  *MetSp )
8163, 80syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  *MetSp )
8213, 64xmsge0 20832 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  *MetSp  /\  B  e.  K  /\  C  e.  K )  ->  0  <_  ( B E C ) )
8381, 8, 16, 82syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( B E C ) )
8479, 69resubcld 9999 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N `  Y )  -  ( N `  X )
)  e.  RR )
85 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -g `  W )  =  (
-g `  W )
8610, 67, 85nm2dif 21010 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  V )  ->  (
( N `  Y
)  -  ( N `
 X ) )  <_  ( N `  ( Y ( -g `  W
) X ) ) )
873, 17, 9, 86syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N `  Y )  -  ( N `  X )
)  <_  ( N `  ( Y ( -g `  W ) X ) ) )
8867, 10, 85, 20ngpdsr 20990 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X D Y )  =  ( N `  ( Y ( -g `  W
) X ) ) )
893, 9, 17, 88syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X D Y )  =  ( N `
 ( Y (
-g `  W ) X ) ) )
9087, 89breqtrrd 4479 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N `  Y )  -  ( N `  X )
)  <_  ( X D Y ) )
9144, 73, 56ltled 9744 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X D Y )  <_  T )
9284, 44, 73, 90, 91letrd 9750 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N `  Y )  -  ( N `  X )
)  <_  T )
9379, 69, 73lesubadd2d 10163 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( N `
 Y )  -  ( N `  X ) )  <_  T  <->  ( N `  Y )  <_  (
( N `  X
)  +  T ) ) )
9492, 93mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  Y
)  <_  ( ( N `  X )  +  T ) )
9579, 74, 66, 83, 94lemul2ad 10498 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( B E C )  x.  ( N `  Y )
)  <_  ( ( B E C )  x.  ( ( N `  X )  +  T
) ) )
9677, 95eqbrtrrd 4475 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( B  .x.  Y ) D ( C  .x.  Y ) )  <_  ( ( B E C )  x.  ( ( N `  X )  +  T
) ) )
97 nlmvscn.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B E C )  <  U )
98 nlmvscn.u . . . . . 6  |-  U  =  ( ( R  / 
2 )  /  (
( N `  X
)  +  T ) )
9997, 98syl6breq 4492 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B E C )  <  ( ( R  /  2 )  /  ( ( N `
 X )  +  T ) ) )
100 0red 9609 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
10110, 67nmge0 21002 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  X  e.  V )  ->  0  <_  ( N `  X
) )
1023, 9, 101syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( N `  X ) )
10369, 72ltaddrpd 11297 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  X
)  <  ( ( N `  X )  +  T ) )
104100, 69, 74, 102, 103lelttrd 9751 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( N `  X )  +  T ) )
105 ltmuldiv 10427 . . . . . 6  |-  ( ( ( B E C )  e.  RR  /\  ( R  /  2
)  e.  RR  /\  ( ( ( N `
 X )  +  T )  e.  RR  /\  0  <  ( ( N `  X )  +  T ) ) )  ->  ( (
( B E C )  x.  ( ( N `  X )  +  T ) )  <  ( R  / 
2 )  <->  ( B E C )  <  (
( R  /  2
)  /  ( ( N `  X )  +  T ) ) ) )
10666, 46, 74, 104, 105syl112anc 1232 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( B E C )  x.  ( ( N `  X )  +  T
) )  <  ( R  /  2 )  <->  ( B E C )  <  (
( R  /  2
)  /  ( ( N `  X )  +  T ) ) ) )
10799, 106mpbird 232 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( B E C )  x.  (
( N `  X
)  +  T ) )  <  ( R  /  2 ) )
10828, 75, 46, 96, 107lelttrd 9751 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( B  .x.  Y ) D ( C  .x.  Y ) )  <  ( R  /  2 ) )
10926, 28, 31, 61, 108lt2halvesd 10798 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( B 
.x.  X ) D ( B  .x.  Y
) )  +  ( ( B  .x.  Y
) D ( C 
.x.  Y ) ) )  <  R )
11022, 29, 31, 33, 109lelttrd 9751 1  |-  ( ph  ->  ( ( B  .x.  X ) D ( C  .x.  Y ) )  <  R )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1379    e. wcel 1767   class class class wbr 4453   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505    + caddc 9507    x. cmul 9509    < clt 9640    <_ cle 9641    - cmin 9817    / cdiv 10218   2c2 10597   RR+crp 11232   Basecbs 14506  Scalarcsca 14574   .scvsca 14575   distcds 14580   -gcsg 15926   LModclmod 17381   *MetSpcxme 20686   MetSpcmt 20687   normcnm 20963  NrmGrpcngp 20964  NrmModcnlm 20967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-fz 11685  df-seq 12088  df-exp 12147  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-struct 14508  df-ndx 14509  df-slot 14510  df-base 14511  df-sets 14512  df-plusg 14584  df-mulr 14585  df-tset 14590  df-ple 14591  df-ds 14593  df-0g 14713  df-topgen 14715  df-xrs 14773  df-mgm 15745  df-sgrp 15784  df-mnd 15794  df-grp 15928  df-minusg 15929  df-sbg 15930  df-mgp 17012  df-ur 17024  df-ring 17070  df-lmod 17383  df-psmet 18279  df-xmet 18280  df-met 18281  df-bl 18282  df-mopn 18283  df-top 19266  df-bases 19268  df-topon 19269  df-topsp 19270  df-xms 20689  df-ms 20690  df-nm 20969  df-ngp 20970  df-nrg 20972  df-nlm 20973
This theorem is referenced by:  nlmvscnlem1  21061
  Copyright terms: Public domain W3C validator