Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nlmvscnlem2 Structured version   Unicode version

Theorem nlmvscnlem2 21320
 Description: Lemma for nlmvscn 21322. Compare this proof with the similar elementary proof mulcn2 13430 for continuity of multiplication on . (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nlmvscn.f Scalar
nlmvscn.v
nlmvscn.k
nlmvscn.d
nlmvscn.e
nlmvscn.n
nlmvscn.a
nlmvscn.s
nlmvscn.t
nlmvscn.u
nlmvscn.w NrmMod
nlmvscn.r
nlmvscn.b
nlmvscn.x
nlmvscn.c
nlmvscn.y
nlmvscn.1
nlmvscn.2
Assertion
Ref Expression
nlmvscnlem2

Proof of Theorem nlmvscnlem2
StepHypRef Expression
1 nlmvscn.w . . . . 5 NrmMod
2 nlmngp 21312 . . . . 5 NrmMod NrmGrp
31, 2syl 16 . . . 4 NrmGrp
4 ngpms 21246 . . . 4 NrmGrp
53, 4syl 16 . . 3
6 nlmlmod 21313 . . . . 5 NrmMod
71, 6syl 16 . . . 4
8 nlmvscn.b . . . 4
9 nlmvscn.x . . . 4
10 nlmvscn.v . . . . 5
11 nlmvscn.f . . . . 5 Scalar
12 nlmvscn.s . . . . 5
13 nlmvscn.k . . . . 5
1410, 11, 12, 13lmodvscl 17656 . . . 4
157, 8, 9, 14syl3anc 1228 . . 3
16 nlmvscn.c . . . 4
17 nlmvscn.y . . . 4
1810, 11, 12, 13lmodvscl 17656 . . . 4
197, 16, 17, 18syl3anc 1228 . . 3
20 nlmvscn.d . . . 4
2110, 20mscl 21090 . . 3
225, 15, 19, 21syl3anc 1228 . 2
2310, 11, 12, 13lmodvscl 17656 . . . . 5
247, 8, 17, 23syl3anc 1228 . . . 4
2510, 20mscl 21090 . . . 4
265, 15, 24, 25syl3anc 1228 . . 3
2710, 20mscl 21090 . . . 4
285, 24, 19, 27syl3anc 1228 . . 3
30 nlmvscn.r . . 3
3130rpred 11281 . 2
3210, 20mstri 21098 . . 3
335, 15, 19, 24, 32syl13anc 1230 . 2
3411nlmngp2 21315 . . . . . . . . 9 NrmMod NrmGrp
351, 34syl 16 . . . . . . . 8 NrmGrp
36 nlmvscn.a . . . . . . . . 9
3713, 36nmcl 21261 . . . . . . . 8 NrmGrp
3835, 8, 37syl2anc 661 . . . . . . 7
3913, 36nmge0 21262 . . . . . . . 8 NrmGrp
4035, 8, 39syl2anc 661 . . . . . . 7
4138, 40ge0p1rpd 11307 . . . . . 6
4241rpred 11281 . . . . 5
4310, 20mscl 21090 . . . . . 6
445, 9, 17, 43syl3anc 1228 . . . . 5
4542, 44remulcld 9641 . . . 4
4631rehalfcld 10806 . . . 4
4710, 12, 11, 13, 20, 36nlmdsdi 21316 . . . . . 6 NrmMod
481, 8, 9, 17, 47syl13anc 1230 . . . . 5
49 msxms 21083 . . . . . . . 8
505, 49syl 16 . . . . . . 7
5110, 20xmsge0 21092 . . . . . . 7
5250, 9, 17, 51syl3anc 1228 . . . . . 6
5338lep1d 10497 . . . . . 6
5438, 42, 44, 52, 53lemul1ad 10505 . . . . 5
5548, 54eqbrtrrd 4478 . . . 4
56 nlmvscn.2 . . . . . 6
57 nlmvscn.t . . . . . 6
5856, 57syl6breq 4495 . . . . 5
5944, 46, 41ltmuldiv2d 11325 . . . . 5
6058, 59mpbird 232 . . . 4
6126, 45, 46, 55, 60lelttrd 9757 . . 3
62 ngpms 21246 . . . . . . 7 NrmGrp
6335, 62syl 16 . . . . . 6
64 nlmvscn.e . . . . . . 7
6513, 64mscl 21090 . . . . . 6
6663, 8, 16, 65syl3anc 1228 . . . . 5
67 nlmvscn.n . . . . . . . 8
6810, 67nmcl 21261 . . . . . . 7 NrmGrp
693, 9, 68syl2anc 661 . . . . . 6
7030rphalfcld 11293 . . . . . . . . 9
7170, 41rpdivcld 11298 . . . . . . . 8
7257, 71syl5eqel 2549 . . . . . . 7
7372rpred 11281 . . . . . 6
7469, 73readdcld 9640 . . . . 5
7566, 74remulcld 9641 . . . 4
7610, 12, 11, 13, 20, 67, 64nlmdsdir 21317 . . . . . 6 NrmMod
771, 8, 16, 17, 76syl13anc 1230 . . . . 5
7810, 67nmcl 21261 . . . . . . 7 NrmGrp
793, 17, 78syl2anc 661 . . . . . 6
80 msxms 21083 . . . . . . . 8
8163, 80syl 16 . . . . . . 7
8213, 64xmsge0 21092 . . . . . . 7
8381, 8, 16, 82syl3anc 1228 . . . . . 6
8479, 69resubcld 10008 . . . . . . . 8
85 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11
8610, 67, 85nm2dif 21270 . . . . . . . . . 10 NrmGrp
873, 17, 9, 86syl3anc 1228 . . . . . . . . 9
8867, 10, 85, 20ngpdsr 21250 . . . . . . . . . 10 NrmGrp
893, 9, 17, 88syl3anc 1228 . . . . . . . . 9
9087, 89breqtrrd 4482 . . . . . . . 8
9144, 73, 56ltled 9750 . . . . . . . 8
9284, 44, 73, 90, 91letrd 9756 . . . . . . 7
9379, 69, 73lesubadd2d 10172 . . . . . . 7
9492, 93mpbid 210 . . . . . 6
9579, 74, 66, 83, 94lemul2ad 10506 . . . . 5
9677, 95eqbrtrrd 4478 . . . 4
97 nlmvscn.1 . . . . . 6
98 nlmvscn.u . . . . . 6
9997, 98syl6breq 4495 . . . . 5
100 0red 9614 . . . . . . 7
10110, 67nmge0 21262 . . . . . . . 8 NrmGrp
1023, 9, 101syl2anc 661 . . . . . . 7
10369, 72ltaddrpd 11310 . . . . . . 7
104100, 69, 74, 102, 103lelttrd 9757 . . . . . 6
105 ltmuldiv 10436 . . . . . 6
10666, 46, 74, 104, 105syl112anc 1232 . . . . 5
10799, 106mpbird 232 . . . 4
10828, 75, 46, 96, 107lelttrd 9757 . . 3
10926, 28, 31, 61, 108lt2halvesd 10807 . 2
11022, 29, 31, 33, 109lelttrd 9757 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wceq 1395   wcel 1819   class class class wbr 4456  cfv 5594  (class class class)co 6296  cr 9508  cc0 9509  c1 9510   caddc 9512   cmul 9514   clt 9645   cle 9646   cmin 9824   cdiv 10227  c2 10606  crp 11245  cbs 14644  Scalarcsca 14715  cvsca 14716  cds 14721  csg 16182  clmod 17639  cxme 20946  cmt 20947  cnm 21223  NrmGrpcngp 21224  NrmModcnlm 21227 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-fz 11698  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-0g 14859  df-topgen 14861  df-xrs 14919  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-lmod 17641  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-xms 20949  df-ms 20950  df-nm 21229  df-ngp 21230  df-nrg 21232  df-nlm 21233 This theorem is referenced by:  nlmvscnlem1  21321
 Copyright terms: Public domain W3C validator