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Theorem nlmvscnlem1 21063
Description: Lemma for nlmvscn 21064. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nlmvscn.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
nlmvscn.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
nlmvscn.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
nlmvscn.d  |-  D  =  ( dist `  W
)
nlmvscn.e  |-  E  =  ( dist `  F
)
nlmvscn.n  |-  N  =  ( norm `  W
)
nlmvscn.a  |-  A  =  ( norm `  F
)
nlmvscn.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
nlmvscn.t  |-  T  =  ( ( R  / 
2 )  /  (
( A `  B
)  +  1 ) )
nlmvscn.u  |-  U  =  ( ( R  / 
2 )  /  (
( N `  X
)  +  T ) )
nlmvscn.w  |-  ( ph  ->  W  e. NrmMod )
nlmvscn.r  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
nlmvscn.b  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
nlmvscn.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
Assertion
Ref Expression
nlmvscnlem1  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR+  A. x  e.  K  A. y  e.  V  (
( ( B E x )  <  r  /\  ( X D y )  <  r )  ->  ( ( B 
.x.  X ) D ( x  .x.  y
) )  <  R
) )
Distinct variable groups:    B, r    D, r    E, r    x, y,
ph    x, r, y, T    U, r, x, y    F, r, x, y    K, r, y    R, r    V, r    W, r, x, y    .x. , r, x, y    X, r
Allowed substitution hints:    ph( r)    A( x, y, r)    B( x, y)    D( x, y)    R( x, y)    E( x, y)    K( x)    N( x, y, r)    V( x, y)    X( x, y)

Proof of Theorem nlmvscnlem1
StepHypRef Expression
1 nlmvscn.t . . . 4  |-  T  =  ( ( R  / 
2 )  /  (
( A `  B
)  +  1 ) )
2 nlmvscn.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
32rphalfcld 11280 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( R  /  2
)  e.  RR+ )
4 nlmvscn.w . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e. NrmMod )
5 nlmvscn.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  (Scalar `  W )
65nlmngp2 21057 . . . . . . . 8  |-  ( W  e. NrmMod  ->  F  e. NrmGrp )
74, 6syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e. NrmGrp )
8 nlmvscn.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
9 nlmvscn.k . . . . . . . 8  |-  K  =  ( Base `  F
)
10 nlmvscn.a . . . . . . . 8  |-  A  =  ( norm `  F
)
119, 10nmcl 21003 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e. NrmGrp  /\  B  e.  K )  ->  ( A `  B )  e.  RR )
127, 8, 11syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A `  B
)  e.  RR )
139, 10nmge0 21004 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e. NrmGrp  /\  B  e.  K )  ->  0  <_  ( A `  B
) )
147, 8, 13syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A `  B ) )
1512, 14ge0p1rpd 11294 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A `  B )  +  1 )  e.  RR+ )
163, 15rpdivcld 11285 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( R  / 
2 )  /  (
( A `  B
)  +  1 ) )  e.  RR+ )
171, 16syl5eqel 2559 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
18 nlmvscn.u . . . 4  |-  U  =  ( ( R  / 
2 )  /  (
( N `  X
)  +  T ) )
19 nlmngp 21054 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e. NrmMod  ->  W  e. NrmGrp )
204, 19syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e. NrmGrp )
21 nlmvscn.x . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
22 nlmvscn.v . . . . . . . . 9  |-  V  =  ( Base `  W
)
23 nlmvscn.n . . . . . . . . 9  |-  N  =  ( norm `  W
)
2422, 23nmcl 21003 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  X )  e.  RR )
2520, 21, 24syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  X
)  e.  RR )
2617rpred 11268 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
2725, 26readdcld 9635 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N `  X )  +  T
)  e.  RR )
28 0red 9609 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
2922, 23nmge0 21004 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  X  e.  V )  ->  0  <_  ( N `  X
) )
3020, 21, 29syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( N `  X ) )
3125, 17ltaddrpd 11297 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  X
)  <  ( ( N `  X )  +  T ) )
3228, 25, 27, 30, 31lelttrd 9751 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( N `  X )  +  T ) )
3327, 32elrpd 11266 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  X )  +  T
)  e.  RR+ )
343, 33rpdivcld 11285 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( R  / 
2 )  /  (
( N `  X
)  +  T ) )  e.  RR+ )
3518, 34syl5eqel 2559 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  RR+ )
36 ifcl 3987 . . 3  |-  ( ( T  e.  RR+  /\  U  e.  RR+ )  ->  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  e.  RR+ )
3717, 35, 36syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  e.  RR+ )
38 nlmvscn.d . . . . 5  |-  D  =  ( dist `  W
)
39 nlmvscn.e . . . . 5  |-  E  =  ( dist `  F
)
40 nlmvscn.s . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
414adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  W  e. NrmMod )
422adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  R  e.  RR+ )
438adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  B  e.  K )
4421adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  X  e.  V )
45 simprll 761 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  x  e.  K )
46 simprlr 762 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  -> 
y  e.  V )
477adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  F  e. NrmGrp )
48 ngpms 20988 . . . . . . . 8  |-  ( F  e. NrmGrp  ->  F  e.  MetSp )
4947, 48syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  F  e.  MetSp )
509, 39mscl 20832 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  MetSp  /\  B  e.  K  /\  x  e.  K )  ->  ( B E x )  e.  RR )
5149, 43, 45, 50syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  -> 
( B E x )  e.  RR )
5237adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  e.  RR+ )
5352rpred 11268 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  e.  RR )
5435rpred 11268 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
5554adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  U  e.  RR )
56 simprrl 763 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  -> 
( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
)
5726adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  T  e.  RR )
58 min2 11402 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR )  ->  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  <_  U
)
5957, 55, 58syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  <_  U )
6051, 53, 55, 56, 59ltletrd 9753 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  -> 
( B E x )  <  U )
61 ngpms 20988 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e. NrmGrp  ->  W  e.  MetSp )
6220, 61syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  MetSp )
6362adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  W  e.  MetSp )
6422, 38mscl 20832 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  MetSp  /\  X  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  ( X D y )  e.  RR )
6563, 44, 46, 64syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  -> 
( X D y )  e.  RR )
66 simprrr 764 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  -> 
( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
)
67 min1 11401 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR )  ->  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  <_  T
)
6857, 55, 67syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  <_  T )
6965, 53, 57, 66, 68ltletrd 9753 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  -> 
( X D y )  <  T )
705, 22, 9, 38, 39, 23, 10, 40, 1, 18, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 60, 69nlmvscnlem2 21062 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  -> 
( ( B  .x.  X ) D ( x  .x.  y ) )  <  R )
7170expr 615 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  V ) )  -> 
( ( ( B E x )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U ) )  -> 
( ( B  .x.  X ) D ( x  .x.  y ) )  <  R ) )
7271ralrimivva 2888 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  K  A. y  e.  V  ( ( ( B E x )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U ) )  -> 
( ( B  .x.  X ) D ( x  .x.  y ) )  <  R ) )
73 breq2 4457 . . . . . 6  |-  ( r  =  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  ->  (
( B E x )  <  r  <->  ( B E x )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U ) ) )
74 breq2 4457 . . . . . 6  |-  ( r  =  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  ->  (
( X D y )  <  r  <->  ( X D y )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U ) ) )
7573, 74anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( r  =  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  ->  (
( ( B E x )  <  r  /\  ( X D y )  <  r )  <-> 
( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )
7675imbi1d 317 . . . 4  |-  ( r  =  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  ->  (
( ( ( B E x )  < 
r  /\  ( X D y )  < 
r )  ->  (
( B  .x.  X
) D ( x 
.x.  y ) )  <  R )  <->  ( (
( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
)  ->  ( ( B  .x.  X ) D ( x  .x.  y
) )  <  R
) ) )
77762ralbidv 2911 . . 3  |-  ( r  =  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  ->  ( A. x  e.  K  A. y  e.  V  ( ( ( B E x )  < 
r  /\  ( X D y )  < 
r )  ->  (
( B  .x.  X
) D ( x 
.x.  y ) )  <  R )  <->  A. x  e.  K  A. y  e.  V  ( (
( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
)  ->  ( ( B  .x.  X ) D ( x  .x.  y
) )  <  R
) ) )
7877rspcev 3219 . 2  |-  ( ( if ( T  <_  U ,  T ,  U )  e.  RR+  /\ 
A. x  e.  K  A. y  e.  V  ( ( ( B E x )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U ) )  -> 
( ( B  .x.  X ) D ( x  .x.  y ) )  <  R ) )  ->  E. r  e.  RR+  A. x  e.  K  A. y  e.  V  ( ( ( B E x )  <  r  /\  ( X D y )  < 
r )  ->  (
( B  .x.  X
) D ( x 
.x.  y ) )  <  R ) )
7937, 72, 78syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR+  A. x  e.  K  A. y  e.  V  (
( ( B E x )  <  r  /\  ( X D y )  <  r )  ->  ( ( B 
.x.  X ) D ( x  .x.  y
) )  <  R
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   E.wrex 2818   ifcif 3945   class class class wbr 4453   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505    + caddc 9507    < clt 9640    <_ cle 9641    / cdiv 10218   2c2 10597   RR+crp 11232   Basecbs 14507  Scalarcsca 14575   .scvsca 14576   distcds 14581   MetSpcmt 20689   normcnm 20965  NrmGrpcngp 20966  NrmModcnlm 20969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-fz 11685  df-seq 12088  df-exp 12147  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-0g 14714  df-topgen 14716  df-xrs 14774  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-lmod 17385  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-xms 20691  df-ms 20692  df-nm 20971  df-ngp 20972  df-nrg 20974  df-nlm 20975
This theorem is referenced by:  nlmvscn  21064
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