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Theorem nlmvscn 18676
Description: The scalar multiplication of a normed module is continuous. Lemma for nrgtrg 18678 and nlmtlm 18682. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nlmvscn.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
nlmvscn.sf  |-  .x.  =  ( .s f `  W
)
nlmvscn.j  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
nlmvscn.kf  |-  K  =  ( TopOpen `  F )
Assertion
Ref Expression
nlmvscn  |-  ( W  e. NrmMod  ->  .x.  e.  (
( K  tX  J
)  Cn  J ) )

Proof of Theorem nlmvscn
Dummy variables  r  x  y  s  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nlmlmod 18667 . . . 4  |-  ( W  e. NrmMod  ->  W  e.  LMod )
2 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
3 nlmvscn.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
4 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( Base `  F )  =  (
Base `  F )
5 nlmvscn.sf . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s f `  W
)
62, 3, 4, 5lmodscaf 15927 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  .x.  :
( ( Base `  F
)  X.  ( Base `  W ) ) --> (
Base `  W )
)
71, 6syl 16 . . 3  |-  ( W  e. NrmMod  ->  .x.  : (
( Base `  F )  X.  ( Base `  W
) ) --> ( Base `  W ) )
8 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( dist `  W )  =  (
dist `  W )
9 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( dist `  F )  =  (
dist `  F )
10 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( norm `  W )  =  (
norm `  W )
11 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( norm `  F )  =  (
norm `  F )
12 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
13 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( ( r  /  2 )  /  ( ( (
norm `  F ) `  x )  +  1 ) )  =  ( ( r  /  2
)  /  ( ( ( norm `  F
) `  x )  +  1 ) )
14 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( ( r  /  2 )  /  ( ( (
norm `  W ) `  y )  +  ( ( r  /  2
)  /  ( ( ( norm `  F
) `  x )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( r  /  2
)  /  ( ( ( norm `  W
) `  y )  +  ( ( r  /  2 )  / 
( ( ( norm `  F ) `  x
)  +  1 ) ) ) )
15 simpll 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  W  e. NrmMod )
16 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  r  e.  RR+ )  -> 
r  e.  RR+ )
17 simplrl 737 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  x  e.  ( Base `  F ) )
18 simplrr 738 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  r  e.  RR+ )  -> 
y  e.  ( Base `  W ) )
193, 2, 4, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18nlmvscnlem1 18675 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( Base `  F
) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( x ( dist `  F
) z )  < 
s  /\  ( y
( dist `  W )
w )  <  s
)  ->  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( dist `  W
) ( z ( .s `  W ) w ) )  < 
r ) )
2019ralrimiva 2749 . . . . 5  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  ->  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( Base `  F
) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( x ( dist `  F
) z )  < 
s  /\  ( y
( dist `  W )
w )  <  s
)  ->  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( dist `  W
) ( z ( .s `  W ) w ) )  < 
r ) )
21 simplrl 737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  x  e.  ( Base `  F )
)
22 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  z  e.  ( Base `  F )
)
2321, 22ovresd 6173 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( x
( ( dist `  F
)  |`  ( ( Base `  F )  X.  ( Base `  F ) ) ) z )  =  ( x ( dist `  F ) z ) )
2423breq1d 4182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( (
x ( ( dist `  F )  |`  (
( Base `  F )  X.  ( Base `  F
) ) ) z )  <  s  <->  ( x
( dist `  F )
z )  <  s
) )
25 simplrr 738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  y  e.  ( Base `  W )
)
26 simprr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  w  e.  ( Base `  W )
)
2725, 26ovresd 6173 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( y
( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) w )  =  ( y ( dist `  W ) w ) )
2827breq1d 4182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( (
y ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) ) w )  <  s  <->  ( y
( dist `  W )
w )  <  s
) )
2924, 28anbi12d 692 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( (
( x ( (
dist `  F )  |`  ( ( Base `  F
)  X.  ( Base `  F ) ) ) z )  <  s  /\  ( y ( (
dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) w )  <  s
)  <->  ( ( x ( dist `  F
) z )  < 
s  /\  ( y
( dist `  W )
w )  <  s
) ) )
302, 3, 4, 5, 12scafval 15924 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) )  ->  (
x  .x.  y )  =  ( x ( .s `  W ) y ) )
3130ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( x  .x.  y )  =  ( x ( .s `  W ) y ) )
322, 3, 4, 5, 12scafval 15924 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ( Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W
) )  ->  (
z  .x.  w )  =  ( z ( .s `  W ) w ) )
3332adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( z  .x.  w )  =  ( z ( .s `  W ) w ) )
3431, 33oveq12d 6058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( (
x  .x.  y )
( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) ( z  .x.  w ) )  =  ( ( x ( .s `  W ) y ) ( (
dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) ( z ( .s
`  W ) w ) ) )
351ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  W  e.  LMod )
362, 3, 12, 4lmodvscl 15922 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  x  e.  ( Base `  F
)  /\  y  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( x
( .s `  W
) y )  e.  ( Base `  W
) )
3735, 21, 25, 36syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( x
( .s `  W
) y )  e.  ( Base `  W
) )
382, 3, 12, 4lmodvscl 15922 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  z  e.  ( Base `  F
)  /\  w  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( z
( .s `  W
) w )  e.  ( Base `  W
) )
3935, 22, 26, 38syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( z
( .s `  W
) w )  e.  ( Base `  W
) )
4037, 39ovresd 6173 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) ( z ( .s `  W ) w ) )  =  ( ( x ( .s `  W ) y ) ( dist `  W ) ( z ( .s `  W
) w ) ) )
4134, 40eqtrd 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( (
x  .x.  y )
( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) ( z  .x.  w ) )  =  ( ( x ( .s `  W ) y ) ( dist `  W ) ( z ( .s `  W
) w ) ) )
4241breq1d 4182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( (
( x  .x.  y
) ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) ) ( z  .x.  w ) )  <  r  <->  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( dist `  W
) ( z ( .s `  W ) w ) )  < 
r ) )
4329, 42imbi12d 312 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( (
( ( x ( ( dist `  F
)  |`  ( ( Base `  F )  X.  ( Base `  F ) ) ) z )  < 
s  /\  ( y
( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) w )  < 
s )  ->  (
( x  .x.  y
) ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) ) ( z  .x.  w ) )  <  r )  <-> 
( ( ( x ( dist `  F
) z )  < 
s  /\  ( y
( dist `  W )
w )  <  s
)  ->  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( dist `  W
) ( z ( .s `  W ) w ) )  < 
r ) ) )
44432ralbidva 2706 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  -> 
( A. z  e.  ( Base `  F
) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( x ( ( dist `  F )  |`  (
( Base `  F )  X.  ( Base `  F
) ) ) z )  <  s  /\  ( y ( (
dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) w )  <  s
)  ->  ( (
x  .x.  y )
( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) ( z  .x.  w ) )  < 
r )  <->  A. z  e.  ( Base `  F
) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( x ( dist `  F
) z )  < 
s  /\  ( y
( dist `  W )
w )  <  s
)  ->  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( dist `  W
) ( z ( .s `  W ) w ) )  < 
r ) ) )
4544rexbidv 2687 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  -> 
( E. s  e.  RR+  A. z  e.  (
Base `  F ) A. w  e.  ( Base `  W ) ( ( ( x ( ( dist `  F
)  |`  ( ( Base `  F )  X.  ( Base `  F ) ) ) z )  < 
s  /\  ( y
( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) w )  < 
s )  ->  (
( x  .x.  y
) ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) ) ( z  .x.  w ) )  <  r )  <->  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( Base `  F
) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( x ( dist `  F
) z )  < 
s  /\  ( y
( dist `  W )
w )  <  s
)  ->  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( dist `  W
) ( z ( .s `  W ) w ) )  < 
r ) ) )
4645ralbidv 2686 . . . . 5  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  -> 
( A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( Base `  F ) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( x ( ( dist `  F )  |`  (
( Base `  F )  X.  ( Base `  F
) ) ) z )  <  s  /\  ( y ( (
dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) w )  <  s
)  ->  ( (
x  .x.  y )
( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) ( z  .x.  w ) )  < 
r )  <->  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  (
Base `  F ) A. w  e.  ( Base `  W ) ( ( ( x (
dist `  F )
z )  <  s  /\  ( y ( dist `  W ) w )  <  s )  -> 
( ( x ( .s `  W ) y ) ( dist `  W ) ( z ( .s `  W
) w ) )  <  r ) ) )
4720, 46mpbird 224 . . . 4  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  ->  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( Base `  F
) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( x ( ( dist `  F )  |`  (
( Base `  F )  X.  ( Base `  F
) ) ) z )  <  s  /\  ( y ( (
dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) w )  <  s
)  ->  ( (
x  .x.  y )
( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) ( z  .x.  w ) )  < 
r ) )
4847ralrimivva 2758 . . 3  |-  ( W  e. NrmMod  ->  A. x  e.  (
Base `  F ) A. y  e.  ( Base `  W ) A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( Base `  F
) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( x ( ( dist `  F )  |`  (
( Base `  F )  X.  ( Base `  F
) ) ) z )  <  s  /\  ( y ( (
dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) w )  <  s
)  ->  ( (
x  .x.  y )
( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) ( z  .x.  w ) )  < 
r ) )
493nlmngp2 18669 . . . . . 6  |-  ( W  e. NrmMod  ->  F  e. NrmGrp )
50 ngpms 18600 . . . . . 6  |-  ( F  e. NrmGrp  ->  F  e.  MetSp )
5149, 50syl 16 . . . . 5  |-  ( W  e. NrmMod  ->  F  e.  MetSp )
52 msxms 18437 . . . . 5  |-  ( F  e.  MetSp  ->  F  e.  *
MetSp )
53 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( (
dist `  F )  |`  ( ( Base `  F
)  X.  ( Base `  F ) ) )  =  ( ( dist `  F )  |`  (
( Base `  F )  X.  ( Base `  F
) ) )
544, 53xmsxmet 18439 . . . . 5  |-  ( F  e.  * MetSp  ->  (
( dist `  F )  |`  ( ( Base `  F
)  X.  ( Base `  F ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  F
) ) )
5551, 52, 543syl 19 . . . 4  |-  ( W  e. NrmMod  ->  ( ( dist `  F )  |`  (
( Base `  F )  X.  ( Base `  F
) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  F ) ) )
56 nlmngp 18666 . . . . . 6  |-  ( W  e. NrmMod  ->  W  e. NrmGrp )
57 ngpms 18600 . . . . . 6  |-  ( W  e. NrmGrp  ->  W  e.  MetSp )
5856, 57syl 16 . . . . 5  |-  ( W  e. NrmMod  ->  W  e.  MetSp )
59 msxms 18437 . . . . 5  |-  ( W  e.  MetSp  ->  W  e.  *
MetSp )
60 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( (
dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) )  =  ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) )
612, 60xmsxmet 18439 . . . . 5  |-  ( W  e.  * MetSp  ->  (
( dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  W
) ) )
6258, 59, 613syl 19 . . . 4  |-  ( W  e. NrmMod  ->  ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  W ) ) )
63 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( MetOpen `  ( ( dist `  F
)  |`  ( ( Base `  F )  X.  ( Base `  F ) ) ) )  =  (
MetOpen `  ( ( dist `  F )  |`  (
( Base `  F )  X.  ( Base `  F
) ) ) )
64 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( MetOpen `  ( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) )  =  (
MetOpen `  ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) ) )
6563, 64, 64txmetcn 18531 . . . 4  |-  ( ( ( ( dist `  F
)  |`  ( ( Base `  F )  X.  ( Base `  F ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  F ) )  /\  ( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  W ) )  /\  ( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  W ) ) )  ->  (  .x.  e.  ( ( ( MetOpen `  ( ( dist `  F
)  |`  ( ( Base `  F )  X.  ( Base `  F ) ) ) )  tX  ( MetOpen
`  ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) ) ) )  Cn  ( MetOpen `  ( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) ) )  <->  (  .x.  : ( ( Base `  F
)  X.  ( Base `  W ) ) --> (
Base `  W )  /\  A. x  e.  (
Base `  F ) A. y  e.  ( Base `  W ) A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( Base `  F
) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( x ( ( dist `  F )  |`  (
( Base `  F )  X.  ( Base `  F
) ) ) z )  <  s  /\  ( y ( (
dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) w )  <  s
)  ->  ( (
x  .x.  y )
( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) ( z  .x.  w ) )  < 
r ) ) ) )
6655, 62, 62, 65syl3anc 1184 . . 3  |-  ( W  e. NrmMod  ->  (  .x.  e.  ( ( ( MetOpen `  ( ( dist `  F
)  |`  ( ( Base `  F )  X.  ( Base `  F ) ) ) )  tX  ( MetOpen
`  ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) ) ) )  Cn  ( MetOpen `  ( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) ) )  <->  (  .x.  : ( ( Base `  F
)  X.  ( Base `  W ) ) --> (
Base `  W )  /\  A. x  e.  (
Base `  F ) A. y  e.  ( Base `  W ) A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( Base `  F
) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( x ( ( dist `  F )  |`  (
( Base `  F )  X.  ( Base `  F
) ) ) z )  <  s  /\  ( y ( (
dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) w )  <  s
)  ->  ( (
x  .x.  y )
( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) ( z  .x.  w ) )  < 
r ) ) ) )
677, 48, 66mpbir2and 889 . 2  |-  ( W  e. NrmMod  ->  .x.  e.  (
( ( MetOpen `  (
( dist `  F )  |`  ( ( Base `  F
)  X.  ( Base `  F ) ) ) )  tX  ( MetOpen `  ( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) ) )  Cn  ( MetOpen `  ( ( dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) ) ) )
68 nlmvscn.kf . . . . . 6  |-  K  =  ( TopOpen `  F )
6968, 4, 53mstopn 18435 . . . . 5  |-  ( F  e.  MetSp  ->  K  =  ( MetOpen `  ( ( dist `  F )  |`  ( ( Base `  F
)  X.  ( Base `  F ) ) ) ) )
7051, 69syl 16 . . . 4  |-  ( W  e. NrmMod  ->  K  =  (
MetOpen `  ( ( dist `  F )  |`  (
( Base `  F )  X.  ( Base `  F
) ) ) ) )
71 nlmvscn.j . . . . . 6  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
7271, 2, 60mstopn 18435 . . . . 5  |-  ( W  e.  MetSp  ->  J  =  ( MetOpen `  ( ( dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) ) )
7358, 72syl 16 . . . 4  |-  ( W  e. NrmMod  ->  J  =  (
MetOpen `  ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) ) ) )
7470, 73oveq12d 6058 . . 3  |-  ( W  e. NrmMod  ->  ( K  tX  J )  =  ( ( MetOpen `  ( ( dist `  F )  |`  ( ( Base `  F
)  X.  ( Base `  F ) ) ) )  tX  ( MetOpen `  ( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) ) ) )
7574, 73oveq12d 6058 . 2  |-  ( W  e. NrmMod  ->  ( ( K 
tX  J )  Cn  J )  =  ( ( ( MetOpen `  (
( dist `  F )  |`  ( ( Base `  F
)  X.  ( Base `  F ) ) ) )  tX  ( MetOpen `  ( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) ) )  Cn  ( MetOpen `  ( ( dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) ) ) )
7667, 75eleqtrrd 2481 1  |-  ( W  e. NrmMod  ->  .x.  e.  (
( K  tX  J
)  Cn  J ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   class class class wbr 4172    X. cxp 4835    |` cres 4839   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   1c1 8947    + caddc 8949    < clt 9076    / cdiv 9633   2c2 10005   RR+crp 10568   Basecbs 13424  Scalarcsca 13487   .scvsca 13488   distcds 13493   TopOpenctopn 13604   LModclmod 15905   .s fcscaf 15906   * Metcxmt 16641   MetOpencmopn 16646    Cn ccn 17242    tX ctx 17545   *
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This theorem is referenced by:  nrgtrg  18678  nlmtlm  18682
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-ur 15620  df-lmod 15907  df-scaf 15908  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-nm 18583  df-ngp 18584  df-nrg 18586  df-nlm 18587
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