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Theorem nlmvscn 20110
Description: The scalar multiplication of a normed module is continuous. Lemma for nrgtrg 20112 and nlmtlm 20116. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nlmvscn.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
nlmvscn.sf  |-  .x.  =  ( .sf `  W
)
nlmvscn.j  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
nlmvscn.kf  |-  K  =  ( TopOpen `  F )
Assertion
Ref Expression
nlmvscn  |-  ( W  e. NrmMod  ->  .x.  e.  (
( K  tX  J
)  Cn  J ) )

Proof of Theorem nlmvscn
Dummy variables  r  x  y  s  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nlmlmod 20101 . . . 4  |-  ( W  e. NrmMod  ->  W  e.  LMod )
2 eqid 2433 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
3 nlmvscn.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
4 eqid 2433 . . . . 5  |-  ( Base `  F )  =  (
Base `  F )
5 nlmvscn.sf . . . . 5  |-  .x.  =  ( .sf `  W
)
62, 3, 4, 5lmodscaf 16894 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  .x.  :
( ( Base `  F
)  X.  ( Base `  W ) ) --> (
Base `  W )
)
71, 6syl 16 . . 3  |-  ( W  e. NrmMod  ->  .x.  : (
( Base `  F )  X.  ( Base `  W
) ) --> ( Base `  W ) )
8 eqid 2433 . . . . . . 7  |-  ( dist `  W )  =  (
dist `  W )
9 eqid 2433 . . . . . . 7  |-  ( dist `  F )  =  (
dist `  F )
10 eqid 2433 . . . . . . 7  |-  ( norm `  W )  =  (
norm `  W )
11 eqid 2433 . . . . . . 7  |-  ( norm `  F )  =  (
norm `  F )
12 eqid 2433 . . . . . . 7  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
13 eqid 2433 . . . . . . 7  |-  ( ( r  /  2 )  /  ( ( (
norm `  F ) `  x )  +  1 ) )  =  ( ( r  /  2
)  /  ( ( ( norm `  F
) `  x )  +  1 ) )
14 eqid 2433 . . . . . . 7  |-  ( ( r  /  2 )  /  ( ( (
norm `  W ) `  y )  +  ( ( r  /  2
)  /  ( ( ( norm `  F
) `  x )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( r  /  2
)  /  ( ( ( norm `  W
) `  y )  +  ( ( r  /  2 )  / 
( ( ( norm `  F ) `  x
)  +  1 ) ) ) )
15 simpll 746 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  W  e. NrmMod )
16 simpr 458 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  r  e.  RR+ )  -> 
r  e.  RR+ )
17 simplrl 752 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  x  e.  ( Base `  F ) )
18 simplrr 753 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  r  e.  RR+ )  -> 
y  e.  ( Base `  W ) )
193, 2, 4, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18nlmvscnlem1 20109 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( Base `  F
) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( x ( dist `  F
) z )  < 
s  /\  ( y
( dist `  W )
w )  <  s
)  ->  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( dist `  W
) ( z ( .s `  W ) w ) )  < 
r ) )
2019ralrimiva 2789 . . . . 5  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  ->  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( Base `  F
) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( x ( dist `  F
) z )  < 
s  /\  ( y
( dist `  W )
w )  <  s
)  ->  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( dist `  W
) ( z ( .s `  W ) w ) )  < 
r ) )
21 simplrl 752 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  x  e.  ( Base `  F )
)
22 simprl 748 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  z  e.  ( Base `  F )
)
2321, 22ovresd 6220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( x
( ( dist `  F
)  |`  ( ( Base `  F )  X.  ( Base `  F ) ) ) z )  =  ( x ( dist `  F ) z ) )
2423breq1d 4290 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( (
x ( ( dist `  F )  |`  (
( Base `  F )  X.  ( Base `  F
) ) ) z )  <  s  <->  ( x
( dist `  F )
z )  <  s
) )
25 simplrr 753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  y  e.  ( Base `  W )
)
26 simprr 749 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  w  e.  ( Base `  W )
)
2725, 26ovresd 6220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( y
( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) w )  =  ( y ( dist `  W ) w ) )
2827breq1d 4290 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( (
y ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) ) w )  <  s  <->  ( y
( dist `  W )
w )  <  s
) )
2924, 28anbi12d 703 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( (
( x ( (
dist `  F )  |`  ( ( Base `  F
)  X.  ( Base `  F ) ) ) z )  <  s  /\  ( y ( (
dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) w )  <  s
)  <->  ( ( x ( dist `  F
) z )  < 
s  /\  ( y
( dist `  W )
w )  <  s
) ) )
302, 3, 4, 5, 12scafval 16891 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) )  ->  (
x  .x.  y )  =  ( x ( .s `  W ) y ) )
3130ad2antlr 719 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( x  .x.  y )  =  ( x ( .s `  W ) y ) )
322, 3, 4, 5, 12scafval 16891 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ( Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W
) )  ->  (
z  .x.  w )  =  ( z ( .s `  W ) w ) )
3332adantl 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( z  .x.  w )  =  ( z ( .s `  W ) w ) )
3431, 33oveq12d 6098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( (
x  .x.  y )
( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) ( z  .x.  w ) )  =  ( ( x ( .s `  W ) y ) ( (
dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) ( z ( .s
`  W ) w ) ) )
351ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  W  e.  LMod )
362, 3, 12, 4lmodvscl 16889 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  x  e.  ( Base `  F
)  /\  y  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( x
( .s `  W
) y )  e.  ( Base `  W
) )
3735, 21, 25, 36syl3anc 1211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( x
( .s `  W
) y )  e.  ( Base `  W
) )
382, 3, 12, 4lmodvscl 16889 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  z  e.  ( Base `  F
)  /\  w  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( z
( .s `  W
) w )  e.  ( Base `  W
) )
3935, 22, 26, 38syl3anc 1211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( z
( .s `  W
) w )  e.  ( Base `  W
) )
4037, 39ovresd 6220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) ( z ( .s `  W ) w ) )  =  ( ( x ( .s `  W ) y ) ( dist `  W ) ( z ( .s `  W
) w ) ) )
4134, 40eqtrd 2465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( (
x  .x.  y )
( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) ( z  .x.  w ) )  =  ( ( x ( .s `  W ) y ) ( dist `  W ) ( z ( .s `  W
) w ) ) )
4241breq1d 4290 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( (
( x  .x.  y
) ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) ) ( z  .x.  w ) )  <  r  <->  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( dist `  W
) ( z ( .s `  W ) w ) )  < 
r ) )
4329, 42imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( (
( ( x ( ( dist `  F
)  |`  ( ( Base `  F )  X.  ( Base `  F ) ) ) z )  < 
s  /\  ( y
( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) w )  < 
s )  ->  (
( x  .x.  y
) ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) ) ( z  .x.  w ) )  <  r )  <-> 
( ( ( x ( dist `  F
) z )  < 
s  /\  ( y
( dist `  W )
w )  <  s
)  ->  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( dist `  W
) ( z ( .s `  W ) w ) )  < 
r ) ) )
44432ralbidva 2745 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  -> 
( A. z  e.  ( Base `  F
) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( x ( ( dist `  F )  |`  (
( Base `  F )  X.  ( Base `  F
) ) ) z )  <  s  /\  ( y ( (
dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) w )  <  s
)  ->  ( (
x  .x.  y )
( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) ( z  .x.  w ) )  < 
r )  <->  A. z  e.  ( Base `  F
) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( x ( dist `  F
) z )  < 
s  /\  ( y
( dist `  W )
w )  <  s
)  ->  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( dist `  W
) ( z ( .s `  W ) w ) )  < 
r ) ) )
4544rexbidv 2726 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  -> 
( E. s  e.  RR+  A. z  e.  (
Base `  F ) A. w  e.  ( Base `  W ) ( ( ( x ( ( dist `  F
)  |`  ( ( Base `  F )  X.  ( Base `  F ) ) ) z )  < 
s  /\  ( y
( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) w )  < 
s )  ->  (
( x  .x.  y
) ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) ) ( z  .x.  w ) )  <  r )  <->  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( Base `  F
) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( x ( dist `  F
) z )  < 
s  /\  ( y
( dist `  W )
w )  <  s
)  ->  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( dist `  W
) ( z ( .s `  W ) w ) )  < 
r ) ) )
4645ralbidv 2725 . . . . 5  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  -> 
( A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( Base `  F ) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( x ( ( dist `  F )  |`  (
( Base `  F )  X.  ( Base `  F
) ) ) z )  <  s  /\  ( y ( (
dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) w )  <  s
)  ->  ( (
x  .x.  y )
( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) ( z  .x.  w ) )  < 
r )  <->  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  (
Base `  F ) A. w  e.  ( Base `  W ) ( ( ( x (
dist `  F )
z )  <  s  /\  ( y ( dist `  W ) w )  <  s )  -> 
( ( x ( .s `  W ) y ) ( dist `  W ) ( z ( .s `  W
) w ) )  <  r ) ) )
4720, 46mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  ->  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( Base `  F
) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( x ( ( dist `  F )  |`  (
( Base `  F )  X.  ( Base `  F
) ) ) z )  <  s  /\  ( y ( (
dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) w )  <  s
)  ->  ( (
x  .x.  y )
( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) ( z  .x.  w ) )  < 
r ) )
4847ralrimivva 2798 . . 3  |-  ( W  e. NrmMod  ->  A. x  e.  (
Base `  F ) A. y  e.  ( Base `  W ) A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( Base `  F
) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( x ( ( dist `  F )  |`  (
( Base `  F )  X.  ( Base `  F
) ) ) z )  <  s  /\  ( y ( (
dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) w )  <  s
)  ->  ( (
x  .x.  y )
( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) ( z  .x.  w ) )  < 
r ) )
493nlmngp2 20103 . . . . . 6  |-  ( W  e. NrmMod  ->  F  e. NrmGrp )
50 ngpms 20034 . . . . . 6  |-  ( F  e. NrmGrp  ->  F  e.  MetSp )
5149, 50syl 16 . . . . 5  |-  ( W  e. NrmMod  ->  F  e.  MetSp )
52 msxms 19871 . . . . 5  |-  ( F  e.  MetSp  ->  F  e.  *MetSp )
53 eqid 2433 . . . . . 6  |-  ( (
dist `  F )  |`  ( ( Base `  F
)  X.  ( Base `  F ) ) )  =  ( ( dist `  F )  |`  (
( Base `  F )  X.  ( Base `  F
) ) )
544, 53xmsxmet 19873 . . . . 5  |-  ( F  e.  *MetSp  ->  (
( dist `  F )  |`  ( ( Base `  F
)  X.  ( Base `  F ) ) )  e.  ( *Met `  ( Base `  F
) ) )
5551, 52, 543syl 20 . . . 4  |-  ( W  e. NrmMod  ->  ( ( dist `  F )  |`  (
( Base `  F )  X.  ( Base `  F
) ) )  e.  ( *Met `  ( Base `  F )
) )
56 nlmngp 20100 . . . . . 6  |-  ( W  e. NrmMod  ->  W  e. NrmGrp )
57 ngpms 20034 . . . . . 6  |-  ( W  e. NrmGrp  ->  W  e.  MetSp )
5856, 57syl 16 . . . . 5  |-  ( W  e. NrmMod  ->  W  e.  MetSp )
59 msxms 19871 . . . . 5  |-  ( W  e.  MetSp  ->  W  e.  *MetSp )
60 eqid 2433 . . . . . 6  |-  ( (
dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) )  =  ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) )
612, 60xmsxmet 19873 . . . . 5  |-  ( W  e.  *MetSp  ->  (
( dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) )  e.  ( *Met `  ( Base `  W
) ) )
6258, 59, 613syl 20 . . . 4  |-  ( W  e. NrmMod  ->  ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) )  e.  ( *Met `  ( Base `  W )
) )
63 eqid 2433 . . . . 5  |-  ( MetOpen `  ( ( dist `  F
)  |`  ( ( Base `  F )  X.  ( Base `  F ) ) ) )  =  (
MetOpen `  ( ( dist `  F )  |`  (
( Base `  F )  X.  ( Base `  F
) ) ) )
64 eqid 2433 . . . . 5  |-  ( MetOpen `  ( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) )  =  (
MetOpen `  ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) ) )
6563, 64, 64txmetcn 19965 . . . 4  |-  ( ( ( ( dist `  F
)  |`  ( ( Base `  F )  X.  ( Base `  F ) ) )  e.  ( *Met `  ( Base `  F ) )  /\  ( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) )  e.  ( *Met `  ( Base `  W ) )  /\  ( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) )  e.  ( *Met `  ( Base `  W ) ) )  ->  (  .x.  e.  ( ( ( MetOpen `  ( ( dist `  F
)  |`  ( ( Base `  F )  X.  ( Base `  F ) ) ) )  tX  ( MetOpen
`  ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) ) ) )  Cn  ( MetOpen `  ( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) ) )  <->  (  .x.  : ( ( Base `  F
)  X.  ( Base `  W ) ) --> (
Base `  W )  /\  A. x  e.  (
Base `  F ) A. y  e.  ( Base `  W ) A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( Base `  F
) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( x ( ( dist `  F )  |`  (
( Base `  F )  X.  ( Base `  F
) ) ) z )  <  s  /\  ( y ( (
dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) w )  <  s
)  ->  ( (
x  .x.  y )
( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) ( z  .x.  w ) )  < 
r ) ) ) )
6655, 62, 62, 65syl3anc 1211 . . 3  |-  ( W  e. NrmMod  ->  (  .x.  e.  ( ( ( MetOpen `  ( ( dist `  F
)  |`  ( ( Base `  F )  X.  ( Base `  F ) ) ) )  tX  ( MetOpen
`  ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) ) ) )  Cn  ( MetOpen `  ( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) ) )  <->  (  .x.  : ( ( Base `  F
)  X.  ( Base `  W ) ) --> (
Base `  W )  /\  A. x  e.  (
Base `  F ) A. y  e.  ( Base `  W ) A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( Base `  F
) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( x ( ( dist `  F )  |`  (
( Base `  F )  X.  ( Base `  F
) ) ) z )  <  s  /\  ( y ( (
dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) w )  <  s
)  ->  ( (
x  .x.  y )
( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) ( z  .x.  w ) )  < 
r ) ) ) )
677, 48, 66mpbir2and 906 . 2  |-  ( W  e. NrmMod  ->  .x.  e.  (
( ( MetOpen `  (
( dist `  F )  |`  ( ( Base `  F
)  X.  ( Base `  F ) ) ) )  tX  ( MetOpen `  ( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) ) )  Cn  ( MetOpen `  ( ( dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) ) ) )
68 nlmvscn.kf . . . . . 6  |-  K  =  ( TopOpen `  F )
6968, 4, 53mstopn 19869 . . . . 5  |-  ( F  e.  MetSp  ->  K  =  ( MetOpen `  ( ( dist `  F )  |`  ( ( Base `  F
)  X.  ( Base `  F ) ) ) ) )
7051, 69syl 16 . . . 4  |-  ( W  e. NrmMod  ->  K  =  (
MetOpen `  ( ( dist `  F )  |`  (
( Base `  F )  X.  ( Base `  F
) ) ) ) )
71 nlmvscn.j . . . . . 6  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
7271, 2, 60mstopn 19869 . . . . 5  |-  ( W  e.  MetSp  ->  J  =  ( MetOpen `  ( ( dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) ) )
7358, 72syl 16 . . . 4  |-  ( W  e. NrmMod  ->  J  =  (
MetOpen `  ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) ) ) )
7470, 73oveq12d 6098 . . 3  |-  ( W  e. NrmMod  ->  ( K  tX  J )  =  ( ( MetOpen `  ( ( dist `  F )  |`  ( ( Base `  F
)  X.  ( Base `  F ) ) ) )  tX  ( MetOpen `  ( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) ) ) )
7574, 73oveq12d 6098 . 2  |-  ( W  e. NrmMod  ->  ( ( K 
tX  J )  Cn  J )  =  ( ( ( MetOpen `  (
( dist `  F )  |`  ( ( Base `  F
)  X.  ( Base `  F ) ) ) )  tX  ( MetOpen `  ( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) ) )  Cn  ( MetOpen `  ( ( dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) ) ) )
7667, 75eleqtrrd 2510 1  |-  ( W  e. NrmMod  ->  .x.  e.  (
( K  tX  J
)  Cn  J ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755   A.wral 2705   E.wrex 2706   class class class wbr 4280    X. cxp 4825    |` cres 4829   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   1c1 9271    + caddc 9273    < clt 9406    / cdiv 9981   2c2 10359   RR+crp 10979   Basecbs 14157  Scalarcsca 14224   .scvsca 14225   distcds 14230   TopOpenctopn 14343   LModclmod 16872   .sfcscaf 16873   *Metcxmt 17645   MetOpencmopn 17650    Cn ccn 18670    tX ctx 18975   *MetSpcxme 19734   MetSpcmt 19735   normcnm 20011  NrmGrpcngp 20012  NrmModcnlm 20015
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-ixp 7252  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fsupp 7609  df-fi 7649  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-cda 8325  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-7 10373  df-8 10374  df-9 10375  df-10 10376  df-n0 10568  df-z 10635  df-dec 10744  df-uz 10850  df-q 10942  df-rp 10980  df-xneg 11077  df-xadd 11078  df-xmul 11079  df-icc 11295  df-fz 11425  df-fzo 11533  df-seq 11791  df-exp 11850  df-hash 12088  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709  df-struct 14159  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-sets 14163  df-ress 14164  df-plusg 14234  df-mulr 14235  df-sca 14237  df-vsca 14238  df-ip 14239  df-tset 14240  df-ple 14241  df-ds 14243  df-hom 14245  df-cco 14246  df-rest 14344  df-topn 14345  df-0g 14363  df-gsum 14364  df-topgen 14365  df-pt 14366  df-prds 14369  df-xrs 14423  df-qtop 14428  df-imas 14429  df-xps 14431  df-mre 14507  df-mrc 14508  df-acs 14510  df-mnd 15398  df-submnd 15448  df-grp 15525  df-minusg 15526  df-sbg 15527  df-mulg 15528  df-cntz 15815  df-cmn 16259  df-mgp 16566  df-rng 16580  df-ur 16582  df-lmod 16874  df-scaf 16875  df-psmet 17653  df-xmet 17654  df-met 17655  df-bl 17656  df-mopn 17657  df-top 18345  df-bases 18347  df-topon 18348  df-topsp 18349  df-cn 18673  df-cnp 18674  df-tx 18977  df-hmeo 19170  df-xms 19737  df-ms 19738  df-tms 19739  df-nm 20017  df-ngp 20018  df-nrg 20020  df-nlm 20021
This theorem is referenced by:  nrgtrg  20112  nlmtlm  20116
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