MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nlmdsdir Structured version   Unicode version

Theorem nlmdsdir 21317
Description: Distribute a distance calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nlmdsdi.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
nlmdsdi.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
nlmdsdi.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
nlmdsdi.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
nlmdsdi.d  |-  D  =  ( dist `  W
)
nlmdsdir.n  |-  N  =  ( norm `  W
)
nlmdsdir.e  |-  E  =  ( dist `  F
)
Assertion
Ref Expression
nlmdsdir  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( ( X E Y )  x.  ( N `  Z
) )  =  ( ( X  .x.  Z
) D ( Y 
.x.  Z ) ) )

Proof of Theorem nlmdsdir
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  W  e. NrmMod )
2 nlmdsdi.f . . . . . . . 8  |-  F  =  (Scalar `  W )
32nlmngp2 21315 . . . . . . 7  |-  ( W  e. NrmMod  ->  F  e. NrmGrp )
43adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  F  e. NrmGrp )
5 ngpgrp 21245 . . . . . 6  |-  ( F  e. NrmGrp  ->  F  e.  Grp )
64, 5syl 16 . . . . 5  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  F  e.  Grp )
7 simpr1 1002 . . . . 5  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  X  e.  K )
8 simpr2 1003 . . . . 5  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  Y  e.  K )
9 nlmdsdi.k . . . . . 6  |-  K  =  ( Base `  F
)
10 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( -g `  F )  =  (
-g `  F )
119, 10grpsubcl 16245 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  Grp  /\  X  e.  K  /\  Y  e.  K )  ->  ( X ( -g `  F ) Y )  e.  K )
126, 7, 8, 11syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( X
( -g `  F ) Y )  e.  K
)
13 simpr3 1004 . . . 4  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  Z  e.  V )
14 nlmdsdi.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
15 nlmdsdir.n . . . . 5  |-  N  =  ( norm `  W
)
16 nlmdsdi.s . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
17 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( norm `  F )  =  (
norm `  F )
1814, 15, 16, 2, 9, 17nmvs 21311 . . . 4  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X ( -g `  F
) Y )  e.  K  /\  Z  e.  V )  ->  ( N `  ( ( X ( -g `  F
) Y )  .x.  Z ) )  =  ( ( ( norm `  F ) `  ( X ( -g `  F
) Y ) )  x.  ( N `  Z ) ) )
191, 12, 13, 18syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( N `  ( ( X (
-g `  F ) Y )  .x.  Z
) )  =  ( ( ( norm `  F
) `  ( X
( -g `  F ) Y ) )  x.  ( N `  Z
) ) )
20 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( -g `  W )  =  (
-g `  W )
21 nlmlmod 21313 . . . . . 6  |-  ( W  e. NrmMod  ->  W  e.  LMod )
2221adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  W  e.  LMod )
2314, 16, 2, 9, 20, 10, 22, 7, 8, 13lmodsubdir 17695 . . . 4  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( ( X ( -g `  F
) Y )  .x.  Z )  =  ( ( X  .x.  Z
) ( -g `  W
) ( Y  .x.  Z ) ) )
2423fveq2d 5876 . . 3  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( N `  ( ( X (
-g `  F ) Y )  .x.  Z
) )  =  ( N `  ( ( X  .x.  Z ) ( -g `  W
) ( Y  .x.  Z ) ) ) )
2519, 24eqtr3d 2500 . 2  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( (
( norm `  F ) `  ( X ( -g `  F ) Y ) )  x.  ( N `
 Z ) )  =  ( N `  ( ( X  .x.  Z ) ( -g `  W ) ( Y 
.x.  Z ) ) ) )
26 nlmdsdir.e . . . . 5  |-  E  =  ( dist `  F
)
2717, 9, 10, 26ngpds 21249 . . . 4  |-  ( ( F  e. NrmGrp  /\  X  e.  K  /\  Y  e.  K )  ->  ( X E Y )  =  ( ( norm `  F
) `  ( X
( -g `  F ) Y ) ) )
284, 7, 8, 27syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( X E Y )  =  ( ( norm `  F
) `  ( X
( -g `  F ) Y ) ) )
2928oveq1d 6311 . 2  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( ( X E Y )  x.  ( N `  Z
) )  =  ( ( ( norm `  F
) `  ( X
( -g `  F ) Y ) )  x.  ( N `  Z
) ) )
30 nlmngp 21312 . . . 4  |-  ( W  e. NrmMod  ->  W  e. NrmGrp )
3130adantr 465 . . 3  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  W  e. NrmGrp )
3214, 2, 16, 9lmodvscl 17656 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K  /\  Z  e.  V )  ->  ( X  .x.  Z )  e.  V )
3322, 7, 13, 32syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( X  .x.  Z )  e.  V
)
3414, 2, 16, 9lmodvscl 17656 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )  ->  ( Y  .x.  Z )  e.  V )
3522, 8, 13, 34syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( Y  .x.  Z )  e.  V
)
36 nlmdsdi.d . . . 4  |-  D  =  ( dist `  W
)
3715, 14, 20, 36ngpds 21249 . . 3  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  ( X  .x.  Z )  e.  V  /\  ( Y 
.x.  Z )  e.  V )  ->  (
( X  .x.  Z
) D ( Y 
.x.  Z ) )  =  ( N `  ( ( X  .x.  Z ) ( -g `  W ) ( Y 
.x.  Z ) ) ) )
3831, 33, 35, 37syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( ( X  .x.  Z ) D ( Y  .x.  Z
) )  =  ( N `  ( ( X  .x.  Z ) ( -g `  W
) ( Y  .x.  Z ) ) ) )
3925, 29, 383eqtr4d 2508 1  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( ( X E Y )  x.  ( N `  Z
) )  =  ( ( X  .x.  Z
) D ( Y 
.x.  Z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    x. cmul 9514   Basecbs 14644  Scalarcsca 14715   .scvsca 14716   distcds 14721   Grpcgrp 16180   -gcsg 16182   LModclmod 17639   normcnm 21223  NrmGrpcngp 21224  NrmModcnlm 21227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-plusg 14725  df-0g 14859  df-topgen 14861  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-lmod 17641  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-xms 20949  df-ms 20950  df-nm 21229  df-ngp 21230  df-nrg 21232  df-nlm 21233
This theorem is referenced by:  nlmvscnlem2  21320
  Copyright terms: Public domain W3C validator