MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nlmdsdir Structured version   Unicode version

Theorem nlmdsdir 21627
Description: Distribute a distance calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nlmdsdi.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
nlmdsdi.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
nlmdsdi.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
nlmdsdi.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
nlmdsdi.d  |-  D  =  ( dist `  W
)
nlmdsdir.n  |-  N  =  ( norm `  W
)
nlmdsdir.e  |-  E  =  ( dist `  F
)
Assertion
Ref Expression
nlmdsdir  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( ( X E Y )  x.  ( N `  Z
) )  =  ( ( X  .x.  Z
) D ( Y 
.x.  Z ) ) )

Proof of Theorem nlmdsdir
StepHypRef Expression
1 simpl 458 . . . 4  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  W  e. NrmMod )
2 nlmdsdi.f . . . . . . . 8  |-  F  =  (Scalar `  W )
32nlmngp2 21625 . . . . . . 7  |-  ( W  e. NrmMod  ->  F  e. NrmGrp )
43adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  F  e. NrmGrp )
5 ngpgrp 21555 . . . . . 6  |-  ( F  e. NrmGrp  ->  F  e.  Grp )
64, 5syl 17 . . . . 5  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  F  e.  Grp )
7 simpr1 1011 . . . . 5  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  X  e.  K )
8 simpr2 1012 . . . . 5  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  Y  e.  K )
9 nlmdsdi.k . . . . . 6  |-  K  =  ( Base `  F
)
10 eqid 2428 . . . . . 6  |-  ( -g `  F )  =  (
-g `  F )
119, 10grpsubcl 16677 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  Grp  /\  X  e.  K  /\  Y  e.  K )  ->  ( X ( -g `  F ) Y )  e.  K )
126, 7, 8, 11syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( X
( -g `  F ) Y )  e.  K
)
13 simpr3 1013 . . . 4  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  Z  e.  V )
14 nlmdsdi.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
15 nlmdsdir.n . . . . 5  |-  N  =  ( norm `  W
)
16 nlmdsdi.s . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
17 eqid 2428 . . . . 5  |-  ( norm `  F )  =  (
norm `  F )
1814, 15, 16, 2, 9, 17nmvs 21621 . . . 4  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X ( -g `  F
) Y )  e.  K  /\  Z  e.  V )  ->  ( N `  ( ( X ( -g `  F
) Y )  .x.  Z ) )  =  ( ( ( norm `  F ) `  ( X ( -g `  F
) Y ) )  x.  ( N `  Z ) ) )
191, 12, 13, 18syl3anc 1264 . . 3  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( N `  ( ( X (
-g `  F ) Y )  .x.  Z
) )  =  ( ( ( norm `  F
) `  ( X
( -g `  F ) Y ) )  x.  ( N `  Z
) ) )
20 eqid 2428 . . . . 5  |-  ( -g `  W )  =  (
-g `  W )
21 nlmlmod 21623 . . . . . 6  |-  ( W  e. NrmMod  ->  W  e.  LMod )
2221adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  W  e.  LMod )
2314, 16, 2, 9, 20, 10, 22, 7, 8, 13lmodsubdir 18089 . . . 4  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( ( X ( -g `  F
) Y )  .x.  Z )  =  ( ( X  .x.  Z
) ( -g `  W
) ( Y  .x.  Z ) ) )
2423fveq2d 5829 . . 3  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( N `  ( ( X (
-g `  F ) Y )  .x.  Z
) )  =  ( N `  ( ( X  .x.  Z ) ( -g `  W
) ( Y  .x.  Z ) ) ) )
2519, 24eqtr3d 2464 . 2  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( (
( norm `  F ) `  ( X ( -g `  F ) Y ) )  x.  ( N `
 Z ) )  =  ( N `  ( ( X  .x.  Z ) ( -g `  W ) ( Y 
.x.  Z ) ) ) )
26 nlmdsdir.e . . . . 5  |-  E  =  ( dist `  F
)
2717, 9, 10, 26ngpds 21559 . . . 4  |-  ( ( F  e. NrmGrp  /\  X  e.  K  /\  Y  e.  K )  ->  ( X E Y )  =  ( ( norm `  F
) `  ( X
( -g `  F ) Y ) ) )
284, 7, 8, 27syl3anc 1264 . . 3  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( X E Y )  =  ( ( norm `  F
) `  ( X
( -g `  F ) Y ) ) )
2928oveq1d 6264 . 2  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( ( X E Y )  x.  ( N `  Z
) )  =  ( ( ( norm `  F
) `  ( X
( -g `  F ) Y ) )  x.  ( N `  Z
) ) )
30 nlmngp 21622 . . . 4  |-  ( W  e. NrmMod  ->  W  e. NrmGrp )
3130adantr 466 . . 3  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  W  e. NrmGrp )
3214, 2, 16, 9lmodvscl 18051 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K  /\  Z  e.  V )  ->  ( X  .x.  Z )  e.  V )
3322, 7, 13, 32syl3anc 1264 . . 3  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( X  .x.  Z )  e.  V
)
3414, 2, 16, 9lmodvscl 18051 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )  ->  ( Y  .x.  Z )  e.  V )
3522, 8, 13, 34syl3anc 1264 . . 3  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( Y  .x.  Z )  e.  V
)
36 nlmdsdi.d . . . 4  |-  D  =  ( dist `  W
)
3715, 14, 20, 36ngpds 21559 . . 3  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  ( X  .x.  Z )  e.  V  /\  ( Y 
.x.  Z )  e.  V )  ->  (
( X  .x.  Z
) D ( Y 
.x.  Z ) )  =  ( N `  ( ( X  .x.  Z ) ( -g `  W ) ( Y 
.x.  Z ) ) ) )
3831, 33, 35, 37syl3anc 1264 . 2  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( ( X  .x.  Z ) D ( Y  .x.  Z
) )  =  ( N `  ( ( X  .x.  Z ) ( -g `  W
) ( Y  .x.  Z ) ) ) )
3925, 29, 383eqtr4d 2472 1  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( ( X E Y )  x.  ( N `  Z
) )  =  ( ( X  .x.  Z
) D ( Y 
.x.  Z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872   ` cfv 5544  (class class class)co 6249    x. cmul 9495   Basecbs 15064  Scalarcsca 15136   .scvsca 15137   distcds 15142   Grpcgrp 16612   -gcsg 16614   LModclmod 18034   normcnm 21533  NrmGrpcngp 21534  NrmModcnlm 21537
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-er 7318  df-map 7429  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-sup 7909  df-inf 7910  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-nn 10561  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10889  df-uz 11111  df-q 11216  df-rp 11254  df-xneg 11360  df-xadd 11361  df-xmul 11362  df-ndx 15067  df-slot 15068  df-base 15069  df-sets 15070  df-plusg 15146  df-0g 15283  df-topgen 15285  df-mgm 16431  df-sgrp 16470  df-mnd 16480  df-grp 16616  df-minusg 16617  df-sbg 16618  df-mgp 17667  df-ur 17679  df-ring 17725  df-lmod 18036  df-psmet 18905  df-xmet 18906  df-met 18907  df-bl 18908  df-mopn 18909  df-top 19863  df-bases 19864  df-topon 19865  df-topsp 19866  df-xms 21277  df-ms 21278  df-nm 21539  df-ngp 21540  df-nrg 21542  df-nlm 21543
This theorem is referenced by:  nlmvscnlem2  21630
  Copyright terms: Public domain W3C validator