MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nlmdsdir Structured version   Unicode version

Theorem nlmdsdir 20238
Description: Distribute a distance calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nlmdsdi.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
nlmdsdi.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
nlmdsdi.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
nlmdsdi.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
nlmdsdi.d  |-  D  =  ( dist `  W
)
nlmdsdir.n  |-  N  =  ( norm `  W
)
nlmdsdir.e  |-  E  =  ( dist `  F
)
Assertion
Ref Expression
nlmdsdir  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( ( X E Y )  x.  ( N `  Z
) )  =  ( ( X  .x.  Z
) D ( Y 
.x.  Z ) ) )

Proof of Theorem nlmdsdir
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  W  e. NrmMod )
2 nlmdsdi.f . . . . . . . 8  |-  F  =  (Scalar `  W )
32nlmngp2 20236 . . . . . . 7  |-  ( W  e. NrmMod  ->  F  e. NrmGrp )
43adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  F  e. NrmGrp )
5 ngpgrp 20166 . . . . . 6  |-  ( F  e. NrmGrp  ->  F  e.  Grp )
64, 5syl 16 . . . . 5  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  F  e.  Grp )
7 simpr1 994 . . . . 5  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  X  e.  K )
8 simpr2 995 . . . . 5  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  Y  e.  K )
9 nlmdsdi.k . . . . . 6  |-  K  =  ( Base `  F
)
10 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( -g `  F )  =  (
-g `  F )
119, 10grpsubcl 15597 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  Grp  /\  X  e.  K  /\  Y  e.  K )  ->  ( X ( -g `  F ) Y )  e.  K )
126, 7, 8, 11syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( X
( -g `  F ) Y )  e.  K
)
13 simpr3 996 . . . 4  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  Z  e.  V )
14 nlmdsdi.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
15 nlmdsdir.n . . . . 5  |-  N  =  ( norm `  W
)
16 nlmdsdi.s . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
17 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( norm `  F )  =  (
norm `  F )
1814, 15, 16, 2, 9, 17nmvs 20232 . . . 4  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X ( -g `  F
) Y )  e.  K  /\  Z  e.  V )  ->  ( N `  ( ( X ( -g `  F
) Y )  .x.  Z ) )  =  ( ( ( norm `  F ) `  ( X ( -g `  F
) Y ) )  x.  ( N `  Z ) ) )
191, 12, 13, 18syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( N `  ( ( X (
-g `  F ) Y )  .x.  Z
) )  =  ( ( ( norm `  F
) `  ( X
( -g `  F ) Y ) )  x.  ( N `  Z
) ) )
20 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( -g `  W )  =  (
-g `  W )
21 nlmlmod 20234 . . . . . 6  |-  ( W  e. NrmMod  ->  W  e.  LMod )
2221adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  W  e.  LMod )
2314, 16, 2, 9, 20, 10, 22, 7, 8, 13lmodsubdir 16981 . . . 4  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( ( X ( -g `  F
) Y )  .x.  Z )  =  ( ( X  .x.  Z
) ( -g `  W
) ( Y  .x.  Z ) ) )
2423fveq2d 5690 . . 3  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( N `  ( ( X (
-g `  F ) Y )  .x.  Z
) )  =  ( N `  ( ( X  .x.  Z ) ( -g `  W
) ( Y  .x.  Z ) ) ) )
2519, 24eqtr3d 2472 . 2  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( (
( norm `  F ) `  ( X ( -g `  F ) Y ) )  x.  ( N `
 Z ) )  =  ( N `  ( ( X  .x.  Z ) ( -g `  W ) ( Y 
.x.  Z ) ) ) )
26 nlmdsdir.e . . . . 5  |-  E  =  ( dist `  F
)
2717, 9, 10, 26ngpds 20170 . . . 4  |-  ( ( F  e. NrmGrp  /\  X  e.  K  /\  Y  e.  K )  ->  ( X E Y )  =  ( ( norm `  F
) `  ( X
( -g `  F ) Y ) ) )
284, 7, 8, 27syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( X E Y )  =  ( ( norm `  F
) `  ( X
( -g `  F ) Y ) ) )
2928oveq1d 6101 . 2  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( ( X E Y )  x.  ( N `  Z
) )  =  ( ( ( norm `  F
) `  ( X
( -g `  F ) Y ) )  x.  ( N `  Z
) ) )
30 nlmngp 20233 . . . 4  |-  ( W  e. NrmMod  ->  W  e. NrmGrp )
3130adantr 465 . . 3  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  W  e. NrmGrp )
3214, 2, 16, 9lmodvscl 16943 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K  /\  Z  e.  V )  ->  ( X  .x.  Z )  e.  V )
3322, 7, 13, 32syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( X  .x.  Z )  e.  V
)
3414, 2, 16, 9lmodvscl 16943 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )  ->  ( Y  .x.  Z )  e.  V )
3522, 8, 13, 34syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( Y  .x.  Z )  e.  V
)
36 nlmdsdi.d . . . 4  |-  D  =  ( dist `  W
)
3715, 14, 20, 36ngpds 20170 . . 3  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  ( X  .x.  Z )  e.  V  /\  ( Y 
.x.  Z )  e.  V )  ->  (
( X  .x.  Z
) D ( Y 
.x.  Z ) )  =  ( N `  ( ( X  .x.  Z ) ( -g `  W ) ( Y 
.x.  Z ) ) ) )
3831, 33, 35, 37syl3anc 1218 . 2  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( ( X  .x.  Z ) D ( Y  .x.  Z
) )  =  ( N `  ( ( X  .x.  Z ) ( -g `  W
) ( Y  .x.  Z ) ) ) )
3925, 29, 383eqtr4d 2480 1  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( ( X E Y )  x.  ( N `  Z
) )  =  ( ( X  .x.  Z
) D ( Y 
.x.  Z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5413  (class class class)co 6086    x. cmul 9279   Basecbs 14166  Scalarcsca 14233   .scvsca 14234   distcds 14239   Grpcgrp 15402   -gcsg 15405   LModclmod 16926   normcnm 20144  NrmGrpcngp 20145  NrmModcnlm 20148
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-sup 7683  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-plusg 14243  df-0g 14372  df-topgen 14374  df-mnd 15407  df-grp 15536  df-minusg 15537  df-sbg 15538  df-mgp 16580  df-ur 16592  df-rng 16635  df-lmod 16928  df-psmet 17784  df-xmet 17785  df-met 17786  df-bl 17787  df-mopn 17788  df-top 18478  df-bases 18480  df-topon 18481  df-topsp 18482  df-xms 19870  df-ms 19871  df-nm 20150  df-ngp 20151  df-nrg 20153  df-nlm 20154
This theorem is referenced by:  nlmvscnlem2  20241
  Copyright terms: Public domain W3C validator