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Theorem nllyidm 19749
Description: Idempotence of the "n-locally" predicate, i.e. being "n-locally  A " is a local property. (Use loclly 19747 to show 𝑛Locally 𝑛Locally  A  = 𝑛Locally  A.) (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
nllyidm  |- Locally 𝑛Locally  A  = 𝑛Locally  A

Proof of Theorem nllyidm
Dummy variables  j  u  v  x  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 llytop 19732 . . . 4  |-  ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  ->  j  e.  Top )
2 llyi 19734 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x )  ->  E. u  e.  j  ( u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) )
3 simprr3 1041 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x )  /\  ( u  e.  j  /\  ( u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  ->  (
jt  u )  e. 𝑛Locally  A )
4 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x )  /\  ( u  e.  j  /\  ( u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  ->  u  e.  j )
5 ssid 3516 . . . . . . . . . . 11  |-  u  C_  u
65a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x )  /\  ( u  e.  j  /\  ( u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  ->  u  C_  u )
7 simpl1 994 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x )  /\  ( u  e.  j  /\  ( u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  ->  j  e. Locally 𝑛Locally  A )
87, 1syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x )  /\  ( u  e.  j  /\  ( u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  ->  j  e.  Top )
9 restopn2 19437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  Top  /\  u  e.  j )  ->  ( u  e.  ( jt  u )  <->  ( u  e.  j  /\  u  C_  u ) ) )
108, 4, 9syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x )  /\  ( u  e.  j  /\  ( u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  ->  (
u  e.  ( jt  u )  <->  ( u  e.  j  /\  u  C_  u ) ) )
114, 6, 10mpbir2and 915 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x )  /\  ( u  e.  j  /\  ( u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  ->  u  e.  ( jt  u ) )
12 simprr2 1040 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x )  /\  ( u  e.  j  /\  ( u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  ->  y  e.  u )
13 nlly2i 19736 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A  /\  u  e.  ( jt  u
)  /\  y  e.  u )  ->  E. v  e.  ~P  u E. z  e.  ( jt  u ) ( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A ) )
143, 11, 12, 13syl3anc 1223 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x )  /\  ( u  e.  j  /\  ( u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  ->  E. v  e.  ~P  u E. z  e.  ( jt  u ) ( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A ) )
15 restopn2 19437 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  Top  /\  u  e.  j )  ->  ( z  e.  ( jt  u )  <->  ( z  e.  j  /\  z  C_  u ) ) )
168, 4, 15syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x )  /\  ( u  e.  j  /\  ( u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  ->  (
z  e.  ( jt  u )  <->  ( z  e.  j  /\  z  C_  u ) ) )
1716adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x
)  /\  ( u  e.  j  /\  (
u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  /\  v  e.  ~P u )  -> 
( z  e.  ( jt  u )  <->  ( z  e.  j  /\  z  C_  u ) ) )
188adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x
)  /\  ( u  e.  j  /\  (
u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  /\  (
v  e.  ~P u  /\  ( z  e.  j  /\  z  C_  u
)  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A ) ) )  ->  j  e.  Top )
19 simpr2l 1050 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x
)  /\  ( u  e.  j  /\  (
u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  /\  (
v  e.  ~P u  /\  ( z  e.  j  /\  z  C_  u
)  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A ) ) )  ->  z  e.  j )
20 simpr31 1081 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x
)  /\  ( u  e.  j  /\  (
u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  /\  (
v  e.  ~P u  /\  ( z  e.  j  /\  z  C_  u
)  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A ) ) )  ->  y  e.  z )
21 opnneip 19379 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( j  e.  Top  /\  z  e.  j  /\  y  e.  z )  ->  z  e.  ( ( nei `  j ) `
 { y } ) )
2218, 19, 20, 21syl3anc 1223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x
)  /\  ( u  e.  j  /\  (
u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  /\  (
v  e.  ~P u  /\  ( z  e.  j  /\  z  C_  u
)  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A ) ) )  ->  z  e.  ( ( nei `  j
) `  { y } ) )
23 simpr32 1082 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x
)  /\  ( u  e.  j  /\  (
u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  /\  (
v  e.  ~P u  /\  ( z  e.  j  /\  z  C_  u
)  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A ) ) )  ->  z  C_  v
)
24 simpr1 997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x
)  /\  ( u  e.  j  /\  (
u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  /\  (
v  e.  ~P u  /\  ( z  e.  j  /\  z  C_  u
)  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A ) ) )  ->  v  e.  ~P u )
2524elpwid 4013 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x
)  /\  ( u  e.  j  /\  (
u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  /\  (
v  e.  ~P u  /\  ( z  e.  j  /\  z  C_  u
)  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A ) ) )  ->  v  C_  u
)
264adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x
)  /\  ( u  e.  j  /\  (
u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  /\  (
v  e.  ~P u  /\  ( z  e.  j  /\  z  C_  u
)  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A ) ) )  ->  u  e.  j )
27 elssuni 4268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  e.  j  ->  u  C_ 
U. j )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x
)  /\  ( u  e.  j  /\  (
u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  /\  (
v  e.  ~P u  /\  ( z  e.  j  /\  z  C_  u
)  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A ) ) )  ->  u  C_  U. j
)
2925, 28sstrd 3507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x
)  /\  ( u  e.  j  /\  (
u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  /\  (
v  e.  ~P u  /\  ( z  e.  j  /\  z  C_  u
)  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A ) ) )  ->  v  C_  U. j
)
30 eqid 2460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U. j  =  U. j
3130ssnei2 19376 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( j  e.  Top  /\  z  e.  ( ( nei `  j ) `
 { y } ) )  /\  (
z  C_  v  /\  v  C_  U. j ) )  ->  v  e.  ( ( nei `  j
) `  { y } ) )
3218, 22, 23, 29, 31syl22anc 1224 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x
)  /\  ( u  e.  j  /\  (
u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  /\  (
v  e.  ~P u  /\  ( z  e.  j  /\  z  C_  u
)  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A ) ) )  ->  v  e.  ( ( nei `  j
) `  { y } ) )
33 simprr1 1039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x )  /\  ( u  e.  j  /\  ( u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  ->  u  C_  x )
3433adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x
)  /\  ( u  e.  j  /\  (
u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  /\  (
v  e.  ~P u  /\  ( z  e.  j  /\  z  C_  u
)  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A ) ) )  ->  u  C_  x
)
3525, 34sstrd 3507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x
)  /\  ( u  e.  j  /\  (
u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  /\  (
v  e.  ~P u  /\  ( z  e.  j  /\  z  C_  u
)  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A ) ) )  ->  v  C_  x
)
36 selpw 4010 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  e.  ~P x  <->  v  C_  x )
3735, 36sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x
)  /\  ( u  e.  j  /\  (
u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  /\  (
v  e.  ~P u  /\  ( z  e.  j  /\  z  C_  u
)  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A ) ) )  ->  v  e.  ~P x )
3832, 37elind 3681 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x
)  /\  ( u  e.  j  /\  (
u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  /\  (
v  e.  ~P u  /\  ( z  e.  j  /\  z  C_  u
)  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A ) ) )  ->  v  e.  ( ( ( nei `  j
) `  { y } )  i^i  ~P x ) )
39 restabs 19425 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( j  e.  Top  /\  v  C_  u  /\  u  e.  j )  ->  (
( jt  u )t  v )  =  ( jt  v ) )
4018, 25, 26, 39syl3anc 1223 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x
)  /\  ( u  e.  j  /\  (
u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  /\  (
v  e.  ~P u  /\  ( z  e.  j  /\  z  C_  u
)  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A ) ) )  ->  ( ( jt  u )t  v )  =  ( jt  v ) )
41 simpr33 1083 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x
)  /\  ( u  e.  j  /\  (
u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  /\  (
v  e.  ~P u  /\  ( z  e.  j  /\  z  C_  u
)  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A ) ) )  ->  ( ( jt  u )t  v )  e.  A
)
4240, 41eqeltrrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x
)  /\  ( u  e.  j  /\  (
u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  /\  (
v  e.  ~P u  /\  ( z  e.  j  /\  z  C_  u
)  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A ) ) )  ->  ( jt  v )  e.  A )
4338, 42jca 532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x
)  /\  ( u  e.  j  /\  (
u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  /\  (
v  e.  ~P u  /\  ( z  e.  j  /\  z  C_  u
)  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A ) ) )  ->  ( v  e.  ( ( ( nei `  j ) `  {
y } )  i^i 
~P x )  /\  ( jt  v )  e.  A ) )
44433exp2 1209 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x )  /\  ( u  e.  j  /\  ( u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  ->  (
v  e.  ~P u  ->  ( ( z  e.  j  /\  z  C_  u )  ->  (
( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A )  ->  ( v  e.  ( ( ( nei `  j ) `  {
y } )  i^i 
~P x )  /\  ( jt  v )  e.  A ) ) ) ) )
4544imp 429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x
)  /\  ( u  e.  j  /\  (
u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  /\  v  e.  ~P u )  -> 
( ( z  e.  j  /\  z  C_  u )  ->  (
( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A )  ->  ( v  e.  ( ( ( nei `  j ) `  {
y } )  i^i 
~P x )  /\  ( jt  v )  e.  A ) ) ) )
4617, 45sylbid 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x
)  /\  ( u  e.  j  /\  (
u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  /\  v  e.  ~P u )  -> 
( z  e.  ( jt  u )  ->  (
( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A )  ->  ( v  e.  ( ( ( nei `  j ) `  {
y } )  i^i 
~P x )  /\  ( jt  v )  e.  A ) ) ) )
4746rexlimdv 2946 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x
)  /\  ( u  e.  j  /\  (
u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  /\  v  e.  ~P u )  -> 
( E. z  e.  ( jt  u ) ( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A )  ->  (
v  e.  ( ( ( nei `  j
) `  { y } )  i^i  ~P x )  /\  (
jt  v )  e.  A
) ) )
4847expimpd 603 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x )  /\  ( u  e.  j  /\  ( u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  ->  (
( v  e.  ~P u  /\  E. z  e.  ( jt  u ) ( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A ) )  -> 
( v  e.  ( ( ( nei `  j
) `  { y } )  i^i  ~P x )  /\  (
jt  v )  e.  A
) ) )
4948reximdv2 2927 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x )  /\  ( u  e.  j  /\  ( u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  ->  ( E. v  e.  ~P  u E. z  e.  ( jt  u ) ( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A )  ->  E. v  e.  ( ( ( nei `  j ) `  {
y } )  i^i 
~P x ) ( jt  v )  e.  A
) )
5014, 49mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x )  /\  ( u  e.  j  /\  ( u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  ->  E. v  e.  ( ( ( nei `  j ) `  {
y } )  i^i 
~P x ) ( jt  v )  e.  A
)
512, 50rexlimddv 2952 . . . . . 6  |-  ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x )  ->  E. v  e.  ( ( ( nei `  j ) `  {
y } )  i^i 
~P x ) ( jt  v )  e.  A
)
52513expb 1192 . . . . 5  |-  ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  (
x  e.  j  /\  y  e.  x )
)  ->  E. v  e.  ( ( ( nei `  j ) `  {
y } )  i^i 
~P x ) ( jt  v )  e.  A
)
5352ralrimivva 2878 . . . 4  |-  ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  ->  A. x  e.  j 
A. y  e.  x  E. v  e.  (
( ( nei `  j
) `  { y } )  i^i  ~P x ) ( jt  v )  e.  A )
54 isnlly 19729 . . . 4  |-  ( j  e. 𝑛Locally  A  <->  ( j  e. 
Top  /\  A. x  e.  j  A. y  e.  x  E. v  e.  ( ( ( nei `  j ) `  {
y } )  i^i 
~P x ) ( jt  v )  e.  A
) )
551, 53, 54sylanbrc 664 . . 3  |-  ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  ->  j  e. 𝑛Locally  A )
5655ssriv 3501 . 2  |- Locally 𝑛Locally  A  C_ 𝑛Locally  A
57 nllyrest 19746 . . . . 5  |-  ( ( j  e. 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j )  ->  (
jt  x )  e. 𝑛Locally  A )
5857adantl 466 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  ( j  e. 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j ) )  -> 
( jt  x )  e. 𝑛Locally  A )
59 nllytop 19733 . . . . . 6  |-  ( j  e. 𝑛Locally  A  ->  j  e.  Top )
6059ssriv 3501 . . . . 5  |- 𝑛Locally  A  C_  Top
6160a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
-> 𝑛Locally  A  C_  Top )
6258, 61restlly 19743 . . 3  |-  ( T. 
-> 𝑛Locally  A  C_ Locally 𝑛Locally  A )
6362trud 1383 . 2  |- 𝑛Locally  A  C_ Locally 𝑛Locally  A
6456, 63eqssi 3513 1  |- Locally 𝑛Locally  A  = 𝑛Locally  A
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374   T. wtru 1375    e. wcel 1762   A.wral 2807   E.wrex 2808    i^i cin 3468    C_ wss 3469   ~Pcpw 4003   {csn 4020   U.cuni 4238   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   ↾t crest 14665   Topctop 19154   neicnei 19357  Locally clly 19724  𝑛Locally cnlly 19725
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-oadd 7124  df-er 7301  df-en 7507  df-fin 7510  df-fi 7860  df-rest 14667  df-topgen 14688  df-top 19159  df-bases 19161  df-topon 19162  df-nei 19358  df-lly 19726  df-nlly 19727
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