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Theorem nllyidm 19052
Description: Idempotence of the "n-locally" predicate, i.e. being "n-locally  A " is a local property. (Use loclly 19050 to show 𝑛Locally 𝑛Locally  A  = 𝑛Locally  A.) (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
nllyidm  |- Locally 𝑛Locally  A  = 𝑛Locally  A

Proof of Theorem nllyidm
Dummy variables  j  u  v  x  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 llytop 19035 . . . 4  |-  ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  ->  j  e.  Top )
2 llyi 19037 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x )  ->  E. u  e.  j  ( u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) )
3 simprr3 1033 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x )  /\  ( u  e.  j  /\  ( u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  ->  (
jt  u )  e. 𝑛Locally  A )
4 simprl 750 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x )  /\  ( u  e.  j  /\  ( u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  ->  u  e.  j )
5 ssid 3372 . . . . . . . . . . 11  |-  u  C_  u
65a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x )  /\  ( u  e.  j  /\  ( u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  ->  u  C_  u )
7 simpl1 986 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x )  /\  ( u  e.  j  /\  ( u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  ->  j  e. Locally 𝑛Locally  A )
87, 1syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x )  /\  ( u  e.  j  /\  ( u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  ->  j  e.  Top )
9 restopn2 18740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  Top  /\  u  e.  j )  ->  ( u  e.  ( jt  u )  <->  ( u  e.  j  /\  u  C_  u ) ) )
108, 4, 9syl2anc 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x )  /\  ( u  e.  j  /\  ( u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  ->  (
u  e.  ( jt  u )  <->  ( u  e.  j  /\  u  C_  u ) ) )
114, 6, 10mpbir2and 908 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x )  /\  ( u  e.  j  /\  ( u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  ->  u  e.  ( jt  u ) )
12 simprr2 1032 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x )  /\  ( u  e.  j  /\  ( u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  ->  y  e.  u )
13 nlly2i 19039 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A  /\  u  e.  ( jt  u
)  /\  y  e.  u )  ->  E. v  e.  ~P  u E. z  e.  ( jt  u ) ( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A ) )
143, 11, 12, 13syl3anc 1213 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x )  /\  ( u  e.  j  /\  ( u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  ->  E. v  e.  ~P  u E. z  e.  ( jt  u ) ( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A ) )
15 restopn2 18740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  Top  /\  u  e.  j )  ->  ( z  e.  ( jt  u )  <->  ( z  e.  j  /\  z  C_  u ) ) )
168, 4, 15syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x )  /\  ( u  e.  j  /\  ( u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  ->  (
z  e.  ( jt  u )  <->  ( z  e.  j  /\  z  C_  u ) ) )
1716adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x
)  /\  ( u  e.  j  /\  (
u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  /\  v  e.  ~P u )  -> 
( z  e.  ( jt  u )  <->  ( z  e.  j  /\  z  C_  u ) ) )
188adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x
)  /\  ( u  e.  j  /\  (
u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  /\  (
v  e.  ~P u  /\  ( z  e.  j  /\  z  C_  u
)  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A ) ) )  ->  j  e.  Top )
19 simpr2l 1042 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x
)  /\  ( u  e.  j  /\  (
u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  /\  (
v  e.  ~P u  /\  ( z  e.  j  /\  z  C_  u
)  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A ) ) )  ->  z  e.  j )
20 simpr31 1073 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x
)  /\  ( u  e.  j  /\  (
u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  /\  (
v  e.  ~P u  /\  ( z  e.  j  /\  z  C_  u
)  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A ) ) )  ->  y  e.  z )
21 opnneip 18682 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( j  e.  Top  /\  z  e.  j  /\  y  e.  z )  ->  z  e.  ( ( nei `  j ) `
 { y } ) )
2218, 19, 20, 21syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x
)  /\  ( u  e.  j  /\  (
u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  /\  (
v  e.  ~P u  /\  ( z  e.  j  /\  z  C_  u
)  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A ) ) )  ->  z  e.  ( ( nei `  j
) `  { y } ) )
23 simpr32 1074 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x
)  /\  ( u  e.  j  /\  (
u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  /\  (
v  e.  ~P u  /\  ( z  e.  j  /\  z  C_  u
)  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A ) ) )  ->  z  C_  v
)
24 simpr1 989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x
)  /\  ( u  e.  j  /\  (
u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  /\  (
v  e.  ~P u  /\  ( z  e.  j  /\  z  C_  u
)  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A ) ) )  ->  v  e.  ~P u )
2524elpwid 3867 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x
)  /\  ( u  e.  j  /\  (
u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  /\  (
v  e.  ~P u  /\  ( z  e.  j  /\  z  C_  u
)  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A ) ) )  ->  v  C_  u
)
264adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x
)  /\  ( u  e.  j  /\  (
u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  /\  (
v  e.  ~P u  /\  ( z  e.  j  /\  z  C_  u
)  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A ) ) )  ->  u  e.  j )
27 elssuni 4118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  e.  j  ->  u  C_ 
U. j )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x
)  /\  ( u  e.  j  /\  (
u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  /\  (
v  e.  ~P u  /\  ( z  e.  j  /\  z  C_  u
)  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A ) ) )  ->  u  C_  U. j
)
2925, 28sstrd 3363 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x
)  /\  ( u  e.  j  /\  (
u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  /\  (
v  e.  ~P u  /\  ( z  e.  j  /\  z  C_  u
)  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A ) ) )  ->  v  C_  U. j
)
30 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U. j  =  U. j
3130ssnei2 18679 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( j  e.  Top  /\  z  e.  ( ( nei `  j ) `
 { y } ) )  /\  (
z  C_  v  /\  v  C_  U. j ) )  ->  v  e.  ( ( nei `  j
) `  { y } ) )
3218, 22, 23, 29, 31syl22anc 1214 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x
)  /\  ( u  e.  j  /\  (
u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  /\  (
v  e.  ~P u  /\  ( z  e.  j  /\  z  C_  u
)  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A ) ) )  ->  v  e.  ( ( nei `  j
) `  { y } ) )
33 simprr1 1031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x )  /\  ( u  e.  j  /\  ( u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  ->  u  C_  x )
3433adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x
)  /\  ( u  e.  j  /\  (
u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  /\  (
v  e.  ~P u  /\  ( z  e.  j  /\  z  C_  u
)  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A ) ) )  ->  u  C_  x
)
3525, 34sstrd 3363 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x
)  /\  ( u  e.  j  /\  (
u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  /\  (
v  e.  ~P u  /\  ( z  e.  j  /\  z  C_  u
)  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A ) ) )  ->  v  C_  x
)
36 selpw 3864 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  e.  ~P x  <->  v  C_  x )
3735, 36sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x
)  /\  ( u  e.  j  /\  (
u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  /\  (
v  e.  ~P u  /\  ( z  e.  j  /\  z  C_  u
)  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A ) ) )  ->  v  e.  ~P x )
3832, 37elind 3537 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x
)  /\  ( u  e.  j  /\  (
u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  /\  (
v  e.  ~P u  /\  ( z  e.  j  /\  z  C_  u
)  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A ) ) )  ->  v  e.  ( ( ( nei `  j
) `  { y } )  i^i  ~P x ) )
39 restabs 18728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( j  e.  Top  /\  v  C_  u  /\  u  e.  j )  ->  (
( jt  u )t  v )  =  ( jt  v ) )
4018, 25, 26, 39syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x
)  /\  ( u  e.  j  /\  (
u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  /\  (
v  e.  ~P u  /\  ( z  e.  j  /\  z  C_  u
)  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A ) ) )  ->  ( ( jt  u )t  v )  =  ( jt  v ) )
41 simpr33 1075 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x
)  /\  ( u  e.  j  /\  (
u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  /\  (
v  e.  ~P u  /\  ( z  e.  j  /\  z  C_  u
)  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A ) ) )  ->  ( ( jt  u )t  v )  e.  A
)
4240, 41eqeltrrd 2516 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x
)  /\  ( u  e.  j  /\  (
u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  /\  (
v  e.  ~P u  /\  ( z  e.  j  /\  z  C_  u
)  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A ) ) )  ->  ( jt  v )  e.  A )
4338, 42jca 529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x
)  /\  ( u  e.  j  /\  (
u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  /\  (
v  e.  ~P u  /\  ( z  e.  j  /\  z  C_  u
)  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A ) ) )  ->  ( v  e.  ( ( ( nei `  j ) `  {
y } )  i^i 
~P x )  /\  ( jt  v )  e.  A ) )
44433exp2 1200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x )  /\  ( u  e.  j  /\  ( u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  ->  (
v  e.  ~P u  ->  ( ( z  e.  j  /\  z  C_  u )  ->  (
( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A )  ->  ( v  e.  ( ( ( nei `  j ) `  {
y } )  i^i 
~P x )  /\  ( jt  v )  e.  A ) ) ) ) )
4544imp 429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x
)  /\  ( u  e.  j  /\  (
u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  /\  v  e.  ~P u )  -> 
( ( z  e.  j  /\  z  C_  u )  ->  (
( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A )  ->  ( v  e.  ( ( ( nei `  j ) `  {
y } )  i^i 
~P x )  /\  ( jt  v )  e.  A ) ) ) )
4617, 45sylbid 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x
)  /\  ( u  e.  j  /\  (
u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  /\  v  e.  ~P u )  -> 
( z  e.  ( jt  u )  ->  (
( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A )  ->  ( v  e.  ( ( ( nei `  j ) `  {
y } )  i^i 
~P x )  /\  ( jt  v )  e.  A ) ) ) )
4746rexlimdv 2838 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x
)  /\  ( u  e.  j  /\  (
u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  /\  v  e.  ~P u )  -> 
( E. z  e.  ( jt  u ) ( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A )  ->  (
v  e.  ( ( ( nei `  j
) `  { y } )  i^i  ~P x )  /\  (
jt  v )  e.  A
) ) )
4847expimpd 600 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x )  /\  ( u  e.  j  /\  ( u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  ->  (
( v  e.  ~P u  /\  E. z  e.  ( jt  u ) ( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A ) )  -> 
( v  e.  ( ( ( nei `  j
) `  { y } )  i^i  ~P x )  /\  (
jt  v )  e.  A
) ) )
4948reximdv2 2823 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x )  /\  ( u  e.  j  /\  ( u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  ->  ( E. v  e.  ~P  u E. z  e.  ( jt  u ) ( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A )  ->  E. v  e.  ( ( ( nei `  j ) `  {
y } )  i^i 
~P x ) ( jt  v )  e.  A
) )
5014, 49mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x )  /\  ( u  e.  j  /\  ( u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  ->  E. v  e.  ( ( ( nei `  j ) `  {
y } )  i^i 
~P x ) ( jt  v )  e.  A
)
512, 50rexlimddv 2843 . . . . . 6  |-  ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x )  ->  E. v  e.  ( ( ( nei `  j ) `  {
y } )  i^i 
~P x ) ( jt  v )  e.  A
)
52513expb 1183 . . . . 5  |-  ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  (
x  e.  j  /\  y  e.  x )
)  ->  E. v  e.  ( ( ( nei `  j ) `  {
y } )  i^i 
~P x ) ( jt  v )  e.  A
)
5352ralrimivva 2806 . . . 4  |-  ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  ->  A. x  e.  j 
A. y  e.  x  E. v  e.  (
( ( nei `  j
) `  { y } )  i^i  ~P x ) ( jt  v )  e.  A )
54 isnlly 19032 . . . 4  |-  ( j  e. 𝑛Locally  A  <->  ( j  e. 
Top  /\  A. x  e.  j  A. y  e.  x  E. v  e.  ( ( ( nei `  j ) `  {
y } )  i^i 
~P x ) ( jt  v )  e.  A
) )
551, 53, 54sylanbrc 659 . . 3  |-  ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  ->  j  e. 𝑛Locally  A )
5655ssriv 3357 . 2  |- Locally 𝑛Locally  A  C_ 𝑛Locally  A
57 nllyrest 19049 . . . . 5  |-  ( ( j  e. 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j )  ->  (
jt  x )  e. 𝑛Locally  A )
5857adantl 463 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  ( j  e. 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j ) )  -> 
( jt  x )  e. 𝑛Locally  A )
59 nllytop 19036 . . . . . 6  |-  ( j  e. 𝑛Locally  A  ->  j  e.  Top )
6059ssriv 3357 . . . . 5  |- 𝑛Locally  A  C_  Top
6160a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
-> 𝑛Locally  A  C_  Top )
6258, 61restlly 19046 . . 3  |-  ( T. 
-> 𝑛Locally  A  C_ Locally 𝑛Locally  A )
6362trud 1373 . 2  |- 𝑛Locally  A  C_ Locally 𝑛Locally  A
6456, 63eqssi 3369 1  |- Locally 𝑛Locally  A  = 𝑛Locally  A
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364   T. wtru 1365    e. wcel 1761   A.wral 2713   E.wrex 2714    i^i cin 3324    C_ wss 3325   ~Pcpw 3857   {csn 3874   U.cuni 4088   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   ↾t crest 14355   Topctop 18457   neicnei 18660  Locally clly 19027  𝑛Locally cnlly 19028
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-oadd 6920  df-er 7097  df-en 7307  df-fin 7310  df-fi 7657  df-rest 14357  df-topgen 14378  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-nei 18661  df-lly 19029  df-nlly 19030
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