Theorem nllyi 20483

Description: The property of an n-locally A topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nllyi	|- ( ( J e. 𝑛Locally A /\ U e. J /\ P e. U ) -> E. u e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( u C_ U /\ ( J ↾t u ) e. A ) )

Distinct variable groups:   u, A   u, P   u, U   u, J

Proof of Theorem nllyi

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isnlly 20477	. . . 4 |- ( J e. 𝑛Locally A <-> ( J e. Top /\ A. x e. J A. y e. x E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( J ↾t u ) e. A ) )
2	1	simprbi 466	. . 3 |- ( J e. 𝑛Locally A -> A. x e. J A. y e. x E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( J ↾t u ) e. A )
3		pweq 3953	. . . . . . 7 |- ( x = U -> ~P x = ~P U )
4	3	ineq2d 3633	. . . . . 6 |- ( x = U -> ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P x ) = ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P U ) )
5	4	rexeqdv 2993	. . . . 5 |- ( x = U -> ( E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( J ↾t u ) e. A <-> E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P U ) ( J ↾t u ) e. A ) )
6	5	raleqbi1dv 2994	. . . 4 |- ( x = U -> ( A. y e. x E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( J ↾t u ) e. A <-> A. y e. U E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P U ) ( J ↾t u ) e. A ) )
7	6	rspccva 3148	. . 3 |- ( ( A. x e. J A. y e. x E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( J ↾t u ) e. A /\ U e. J ) -> A. y e. U E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P U ) ( J ↾t u ) e. A )
8	2, 7	sylan 474	. 2 |- ( ( J e. 𝑛Locally A /\ U e. J ) -> A. y e. U E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P U ) ( J ↾t u ) e. A )
9		elin 3616	. . . . . . 7 |- ( u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P U ) <-> ( u e. ( ( nei ` J ) ` { y } ) /\ u e. ~P U ) )
10		sneq 3977	. . . . . . . . . 10 |- ( y = P -> { y } = { P } )
11	10	fveq2d 5867	. . . . . . . . 9 |- ( y = P -> ( ( nei ` J ) ` { y } ) = ( ( nei ` J ) ` { P } ) )
12	11	eleq2d 2513	. . . . . . . 8 |- ( y = P -> ( u e. ( ( nei ` J ) ` { y } ) <-> u e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) )
13		selpw 3957	. . . . . . . . 9 |- ( u e. ~P U <-> u C_ U )
14	13	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( y = P -> ( u e. ~P U <-> u C_ U ) )
15	12, 14	anbi12d 716	. . . . . . 7 |- ( y = P -> ( ( u e. ( ( nei ` J ) ` { y } ) /\ u e. ~P U ) <-> ( u e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ u C_ U ) ) )
16	9, 15	syl5bb 261	. . . . . 6 |- ( y = P -> ( u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P U ) <-> ( u e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ u C_ U ) ) )
17	16	anbi1d 710	. . . . 5 |- ( y = P -> ( ( u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P U ) /\ ( J ↾t u ) e. A ) <-> ( ( u e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ u C_ U ) /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) )
18		anass 654	. . . . 5 |- ( ( ( u e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ u C_ U ) /\ ( J ↾t u ) e. A ) <-> ( u e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ ( u C_ U /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) )
19	17, 18	syl6bb 265	. . . 4 |- ( y = P -> ( ( u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P U ) /\ ( J ↾t u ) e. A ) <-> ( u e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ ( u C_ U /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) ) )
20	19	rexbidv2 2896	. . 3 |- ( y = P -> ( E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P U ) ( J ↾t u ) e. A <-> E. u e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( u C_ U /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) )
21	20	rspccva 3148	. 2 |- ( ( A. y e. U E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P U ) ( J ↾t u ) e. A /\ P e. U ) -> E. u e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( u C_ U /\ ( J ↾t u ) e. A ) )
22	8, 21	stoic3 1659	1 |- ( ( J e. 𝑛Locally A /\ U e. J /\ P e. U ) -> E. u e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( u C_ U /\ ( J ↾t u ) e. A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 984   = wceq 1443   e. wcel 1886   A.wral 2736   E.wrex 2737   i^i cin 3402   C_ wss 3403   ~Pcpw 3950   {csn 3967   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   ↾_t crest 15312   Topctop 19910   neicnei 20106  𝑛Locally cnlly 20473

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 3046  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-op 3974  df-uni 4198  df-br 4402  df-iota 5545  df-fv 5589  df-ov 6291  df-nlly 20475

This theorem is referenced by:  nlly2i  20484  llycmpkgen  20560