Theorem nllyi 20567

Description: The property of an n-locally A topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nllyi	|- ( ( J e. 𝑛Locally A /\ U e. J /\ P e. U ) -> E. u e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( u C_ U /\ ( J ↾t u ) e. A ) )

Distinct variable groups:   u, A   u, P   u, U   u, J

Proof of Theorem nllyi

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isnlly 20561	. . . 4 |- ( J e. 𝑛Locally A <-> ( J e. Top /\ A. x e. J A. y e. x E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( J ↾t u ) e. A ) )
2	1	simprbi 471	. . 3 |- ( J e. 𝑛Locally A -> A. x e. J A. y e. x E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( J ↾t u ) e. A )
3		pweq 3945	. . . . . . 7 |- ( x = U -> ~P x = ~P U )
4	3	ineq2d 3625	. . . . . 6 |- ( x = U -> ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P x ) = ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P U ) )
5	4	rexeqdv 2980	. . . . 5 |- ( x = U -> ( E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( J ↾t u ) e. A <-> E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P U ) ( J ↾t u ) e. A ) )
6	5	raleqbi1dv 2981	. . . 4 |- ( x = U -> ( A. y e. x E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( J ↾t u ) e. A <-> A. y e. U E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P U ) ( J ↾t u ) e. A ) )
7	6	rspccva 3135	. . 3 |- ( ( A. x e. J A. y e. x E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( J ↾t u ) e. A /\ U e. J ) -> A. y e. U E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P U ) ( J ↾t u ) e. A )
8	2, 7	sylan 479	. 2 |- ( ( J e. 𝑛Locally A /\ U e. J ) -> A. y e. U E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P U ) ( J ↾t u ) e. A )
9		elin 3608	. . . . . . 7 |- ( u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P U ) <-> ( u e. ( ( nei ` J ) ` { y } ) /\ u e. ~P U ) )
10		sneq 3969	. . . . . . . . . 10 |- ( y = P -> { y } = { P } )
11	10	fveq2d 5883	. . . . . . . . 9 |- ( y = P -> ( ( nei ` J ) ` { y } ) = ( ( nei ` J ) ` { P } ) )
12	11	eleq2d 2534	. . . . . . . 8 |- ( y = P -> ( u e. ( ( nei ` J ) ` { y } ) <-> u e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) )
13		selpw 3949	. . . . . . . . 9 |- ( u e. ~P U <-> u C_ U )
14	13	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( y = P -> ( u e. ~P U <-> u C_ U ) )
15	12, 14	anbi12d 725	. . . . . . 7 |- ( y = P -> ( ( u e. ( ( nei ` J ) ` { y } ) /\ u e. ~P U ) <-> ( u e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ u C_ U ) ) )
16	9, 15	syl5bb 265	. . . . . 6 |- ( y = P -> ( u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P U ) <-> ( u e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ u C_ U ) ) )
17	16	anbi1d 719	. . . . 5 |- ( y = P -> ( ( u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P U ) /\ ( J ↾t u ) e. A ) <-> ( ( u e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ u C_ U ) /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) )
18		anass 661	. . . . 5 |- ( ( ( u e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ u C_ U ) /\ ( J ↾t u ) e. A ) <-> ( u e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ ( u C_ U /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) )
19	17, 18	syl6bb 269	. . . 4 |- ( y = P -> ( ( u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P U ) /\ ( J ↾t u ) e. A ) <-> ( u e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ ( u C_ U /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) ) )
20	19	rexbidv2 2888	. . 3 |- ( y = P -> ( E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P U ) ( J ↾t u ) e. A <-> E. u e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( u C_ U /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) )
21	20	rspccva 3135	. 2 |- ( ( A. y e. U E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P U ) ( J ↾t u ) e. A /\ P e. U ) -> E. u e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( u C_ U /\ ( J ↾t u ) e. A ) )
22	8, 21	stoic3 1668	1 |- ( ( J e. 𝑛Locally A /\ U e. J /\ P e. U ) -> E. u e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( u C_ U /\ ( J ↾t u ) e. A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   i^i cin 3389   C_ wss 3390   ~Pcpw 3942   {csn 3959   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   ↾_t crest 15397   Topctop 19994   neicnei 20190  𝑛Locally cnlly 20557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-iota 5553  df-fv 5597  df-ov 6311  df-nlly 20559

This theorem is referenced by:  nlly2i  20568  llycmpkgen  20644