Theorem nllyi 20101

Description: The property of an n-locally A topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nllyi	|- ( ( J e. 𝑛Locally A /\ U e. J /\ P e. U ) -> E. u e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( u C_ U /\ ( J ↾t u ) e. A ) )

Distinct variable groups:   u, A   u, P   u, U   u, J

Proof of Theorem nllyi

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isnlly 20095	. . . 4 |- ( J e. 𝑛Locally A <-> ( J e. Top /\ A. x e. J A. y e. x E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( J ↾t u ) e. A ) )
2	1	simprbi 464	. . 3 |- ( J e. 𝑛Locally A -> A. x e. J A. y e. x E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( J ↾t u ) e. A )
3		pweq 4018	. . . . . . 7 |- ( x = U -> ~P x = ~P U )
4	3	ineq2d 3696	. . . . . 6 |- ( x = U -> ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P x ) = ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P U ) )
5	4	rexeqdv 3061	. . . . 5 |- ( x = U -> ( E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( J ↾t u ) e. A <-> E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P U ) ( J ↾t u ) e. A ) )
6	5	raleqbi1dv 3062	. . . 4 |- ( x = U -> ( A. y e. x E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( J ↾t u ) e. A <-> A. y e. U E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P U ) ( J ↾t u ) e. A ) )
7	6	rspccva 3209	. . 3 |- ( ( A. x e. J A. y e. x E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( J ↾t u ) e. A /\ U e. J ) -> A. y e. U E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P U ) ( J ↾t u ) e. A )
8	2, 7	sylan 471	. 2 |- ( ( J e. 𝑛Locally A /\ U e. J ) -> A. y e. U E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P U ) ( J ↾t u ) e. A )
9		elin 3683	. . . . . . 7 |- ( u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P U ) <-> ( u e. ( ( nei ` J ) ` { y } ) /\ u e. ~P U ) )
10		sneq 4042	. . . . . . . . . 10 |- ( y = P -> { y } = { P } )
11	10	fveq2d 5876	. . . . . . . . 9 |- ( y = P -> ( ( nei ` J ) ` { y } ) = ( ( nei ` J ) ` { P } ) )
12	11	eleq2d 2527	. . . . . . . 8 |- ( y = P -> ( u e. ( ( nei ` J ) ` { y } ) <-> u e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) )
13		selpw 4022	. . . . . . . . 9 |- ( u e. ~P U <-> u C_ U )
14	13	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( y = P -> ( u e. ~P U <-> u C_ U ) )
15	12, 14	anbi12d 710	. . . . . . 7 |- ( y = P -> ( ( u e. ( ( nei ` J ) ` { y } ) /\ u e. ~P U ) <-> ( u e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ u C_ U ) ) )
16	9, 15	syl5bb 257	. . . . . 6 |- ( y = P -> ( u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P U ) <-> ( u e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ u C_ U ) ) )
17	16	anbi1d 704	. . . . 5 |- ( y = P -> ( ( u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P U ) /\ ( J ↾t u ) e. A ) <-> ( ( u e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ u C_ U ) /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) )
18		anass 649	. . . . 5 |- ( ( ( u e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ u C_ U ) /\ ( J ↾t u ) e. A ) <-> ( u e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ ( u C_ U /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) )
19	17, 18	syl6bb 261	. . . 4 |- ( y = P -> ( ( u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P U ) /\ ( J ↾t u ) e. A ) <-> ( u e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ ( u C_ U /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) ) )
20	19	rexbidv2 2964	. . 3 |- ( y = P -> ( E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P U ) ( J ↾t u ) e. A <-> E. u e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( u C_ U /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) )
21	20	rspccva 3209	. 2 |- ( ( A. y e. U E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P U ) ( J ↾t u ) e. A /\ P e. U ) -> E. u e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( u C_ U /\ ( J ↾t u ) e. A ) )
22	8, 21	stoic3 1610	1 |- ( ( J e. 𝑛Locally A /\ U e. J /\ P e. U ) -> E. u e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( u C_ U /\ ( J ↾t u ) e. A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808   i^i cin 3470   C_ wss 3471   ~Pcpw 4015   {csn 4032   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   ↾_t crest 14837   Topctop 19520   neicnei 19724  𝑛Locally cnlly 20091

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-iota 5557  df-fv 5602  df-ov 6299  df-nlly 20093

This theorem is referenced by:  nlly2i  20102  llycmpkgen  20178