Theorem nllyi 19782

Description: The property of an n-locally A topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nllyi	|- ( ( J e. 𝑛Locally A /\ U e. J /\ P e. U ) -> E. u e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( u C_ U /\ ( J ↾t u ) e. A ) )

Distinct variable groups:   u, A   u, P   u, U   u, J

Proof of Theorem nllyi

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isnlly 19776	. . . . 5 |- ( J e. 𝑛Locally A <-> ( J e. Top /\ A. x e. J A. y e. x E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( J ↾t u ) e. A ) )
2	1	simprbi 464	. . . 4 |- ( J e. 𝑛Locally A -> A. x e. J A. y e. x E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( J ↾t u ) e. A )
3		pweq 4013	. . . . . . . 8 |- ( x = U -> ~P x = ~P U )
4	3	ineq2d 3700	. . . . . . 7 |- ( x = U -> ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P x ) = ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P U ) )
5	4	rexeqdv 3065	. . . . . 6 |- ( x = U -> ( E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( J ↾t u ) e. A <-> E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P U ) ( J ↾t u ) e. A ) )
6	5	raleqbi1dv 3066	. . . . 5 |- ( x = U -> ( A. y e. x E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( J ↾t u ) e. A <-> A. y e. U E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P U ) ( J ↾t u ) e. A ) )
7	6	rspccva 3213	. . . 4 |- ( ( A. x e. J A. y e. x E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( J ↾t u ) e. A /\ U e. J ) -> A. y e. U E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P U ) ( J ↾t u ) e. A )
8	2, 7	sylan 471	. . 3 |- ( ( J e. 𝑛Locally A /\ U e. J ) -> A. y e. U E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P U ) ( J ↾t u ) e. A )
9		elin 3687	. . . . . . . 8 |- ( u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P U ) <-> ( u e. ( ( nei ` J ) ` { y } ) /\ u e. ~P U ) )
10		sneq 4037	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = P -> { y } = { P } )
11	10	fveq2d 5870	. . . . . . . . . 10 |- ( y = P -> ( ( nei ` J ) ` { y } ) = ( ( nei ` J ) ` { P } ) )
12	11	eleq2d 2537	. . . . . . . . 9 |- ( y = P -> ( u e. ( ( nei ` J ) ` { y } ) <-> u e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) )
13		selpw 4017	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. ~P U <-> u C_ U )
14	13	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( y = P -> ( u e. ~P U <-> u C_ U ) )
15	12, 14	anbi12d 710	. . . . . . . 8 |- ( y = P -> ( ( u e. ( ( nei ` J ) ` { y } ) /\ u e. ~P U ) <-> ( u e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ u C_ U ) ) )
16	9, 15	syl5bb 257	. . . . . . 7 |- ( y = P -> ( u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P U ) <-> ( u e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ u C_ U ) ) )
17	16	anbi1d 704	. . . . . 6 |- ( y = P -> ( ( u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P U ) /\ ( J ↾t u ) e. A ) <-> ( ( u e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ u C_ U ) /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) )
18		anass 649	. . . . . 6 |- ( ( ( u e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ u C_ U ) /\ ( J ↾t u ) e. A ) <-> ( u e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ ( u C_ U /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) )
19	17, 18	syl6bb 261	. . . . 5 |- ( y = P -> ( ( u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P U ) /\ ( J ↾t u ) e. A ) <-> ( u e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ ( u C_ U /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) ) )
20	19	rexbidv2 2969	. . . 4 |- ( y = P -> ( E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P U ) ( J ↾t u ) e. A <-> E. u e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( u C_ U /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) )
21	20	rspccva 3213	. . 3 |- ( ( A. y e. U E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P U ) ( J ↾t u ) e. A /\ P e. U ) -> E. u e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( u C_ U /\ ( J ↾t u ) e. A ) )
22	8, 21	sylan 471	. 2 |- ( ( ( J e. 𝑛Locally A /\ U e. J ) /\ P e. U ) -> E. u e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( u C_ U /\ ( J ↾t u ) e. A ) )
23	22	3impa 1191	1 |- ( ( J e. 𝑛Locally A /\ U e. J /\ P e. U ) -> E. u e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( u C_ U /\ ( J ↾t u ) e. A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   i^i cin 3475   C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   {csn 4027   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   ↾_t crest 14679   Topctop 19201   neicnei 19404  𝑛Locally cnlly 19772

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-iota 5551  df-fv 5596  df-ov 6288  df-nlly 19774

This theorem is referenced by:  nlly2i  19783  llycmpkgen  19880