Theorem nlimsucgOLD 3924

Description: A successor is not a limit ordinal.

Assertion

Ref	Expression
nlimsucgOLD	|- (A e. B -> -. Lim suc A)

Proof of Theorem nlimsucgOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsuc 3895	. . . . . . 7 |- (Ord A <-> Ord suc A)
2		ordirr 3676	. . . . . . 7 |- (Ord suc A -> -. suc A e. suc A)
3	1, 2	sylbi 216	. . . . . 6 |- (Ord A -> -. suc A e. suc A)
4	3	adantl 424	. . . . 5 |- ((A e. B /\ Ord A) -> -. suc A e. suc A)
5		eleq1 1957	. . . . . . 7 |- (suc A = U.suc A -> (suc A e. suc A <-> U.suc A e. suc A))
6		simpr 350	. . . . . . . 8 |- ((A e. B /\ U.suc A = A) -> U.suc A = A)
7		sucidg 3743	. . . . . . . . 9 |- (A e. B -> A e. suc A)
8	7	adantr 425	. . . . . . . 8 |- ((A e. B /\ U.suc A = A) -> A e. suc A)
9	6, 8	eqeltrd 1971	. . . . . . 7 |- ((A e. B /\ U.suc A = A) -> U.suc A e. suc A)
10	5, 9	syl5cbir 228	. . . . . 6 |- ((A e. B /\ U.suc A = A) -> (suc A = U.suc A -> suc A e. suc A))
11		ordunisuc 3911	. . . . . 6 |- (Ord A -> U.suc A = A)
12	10, 11	sylan2 500	. . . . 5 |- ((A e. B /\ Ord A) -> (suc A = U.suc A -> suc A e. suc A))
13	4, 12	mtod 123	. . . 4 |- ((A e. B /\ Ord A) -> -. suc A = U.suc A)
14	13	ex 402	. . 3 |- (A e. B -> (Ord A -> -. suc A = U.suc A))
15		limuni 3724	. . . 4 |- (Lim suc A -> suc A = U.suc A)
16	15	a1i 8	. . 3 |- (A e. B -> (Lim suc A -> suc A = U.suc A))
17	14, 16	nsyld 132	. 2 |- (A e. B -> (Ord A -> -. Lim suc A))
18		simp1 876	. . . 4 |- ((Ord suc A /\ suc A =/= (/) /\ suc A = U.suc A) -> Ord suc A)
19		df-lim 3662	. . . 4 |- (Lim suc A <-> (Ord suc A /\ suc A =/= (/) /\ suc A = U.suc A))
20	18, 19, 1	3imtr4i 236	. . 3 |- (Lim suc A -> Ord A)
21	20	con3i 114	. 2 |- (-. Ord A -> -. Lim suc A)
22	17, 21	pm2.61d1 142	1 |- (A e. B -> -. Lim suc A)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  (/)c0 2875  U.cuni 3177  Ord word 3656  Lim wlim 3658  suc csuc 3659

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663

Copyright terms: Public domain