Theorem nlimon 3935

Description: Two ways to express the class of non-limit ordinal numbers. Part of Definition 7.27 of [TakeutiZaring] p. 42, who use the symbol K_I for this class.

Assertion

Ref	Expression
nlimon	|- {x e. On | (x = (/) \/ E.y e. On x = suc y)} = {x e. On | -. Lim x}

Distinct variable group:   x,y

Proof of Theorem nlimon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 3667	. . 3 |- (x e. On -> Ord x)
2		dflim3 3930	. . . . 5 |- (Lim x <-> (Ord x /\ -. (x = (/) \/ E.y e. On x = suc y)))
3	2	baib 749	. . . 4 |- (Ord x -> (Lim x <-> -. (x = (/) \/ E.y e. On x = suc y)))
4	3	con2bid 585	. . 3 |- (Ord x -> ((x = (/) \/ E.y e. On x = suc y) <-> -. Lim x))
5	1, 4	syl 12	. 2 |- (x e. On -> ((x = (/) \/ E.y e. On x = suc y) <-> -. Lim x))
6	5	rabbiia 2285	1 |- {x e. On | (x = (/) \/ E.y e. On x = suc y)} = {x e. On | -. Lim x}

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 163   \/ wo 239   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wrex 2106  {crab 2108  (/)c0 2875  Ord word 3656  Oncon0 3657  Lim wlim 3658  suc csuc 3659

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663

Copyright terms: Public domain